2023-2024學(xué)年人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)重難點(diǎn)題型突破訓(xùn)練：旋轉(zhuǎn)重難點(diǎn)模型（5大類型）（含答案與解析）

專題3旋轉(zhuǎn)重難點(diǎn)模型(5大類型)

_Um靠氫如他獨(dú)____________________________________

【題型1手拉手模型】

【題型2“半角”模型】

【題型3構(gòu)造旋轉(zhuǎn)模型解題】

【題型4奔馳模型】

【題型5費(fèi)馬點(diǎn)模型】

一旦-擦魚方逆___________________________________________

模型一：“手拉手”模型

模型特征：兩個(gè)等邊三角形或等腰直角三角形或正方形共頂點(diǎn)。

模型說(shuō)明：如圖1,AABE,AACF都是等邊三角形，可證▲AECg^ABF。

如圖2,AABD,AACE都是等腰直角三角形，可證^ADC絲AABE

如圖2,四邊形ABEF,四邊形ACHD都是正方形，可證▲ABDg^AFC

模型二：“半角”模型

模型特征：大角含半角+有相等的邊，通過(guò)旋轉(zhuǎn)“使相等的邊重合，拼出特殊角”

模型說(shuō)明：

(1)如圖，在正方形ABCD中，NEAF=45°,將AADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得至

可證▲AEFWAEG,所以可到DF+BE=EF

（2）如圖，在等腰直角AABC中，NMAN=45°,將^ACN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到▲

ABQ,可證▲AMN/▲AMQ,所以可得CN?+BM?=MN?

（3）如圖，等腰上ABC中，AB=BC,NDBE=〈NC3A.將ACBD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)NCBA

的度數(shù)得到^ABD，可證▲DBEWAD'BE.

BH

模型三：構(gòu)造旋轉(zhuǎn)模型解題

方法指導(dǎo)：若一個(gè)圖形中含有相等的線段和特殊的角度，通常是以等線段的公共端點(diǎn)為旋

轉(zhuǎn)中心進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，使得相等的邊重合，得出特殊的圖形.

常見(jiàn)圖形旋轉(zhuǎn)：

（1）”等邊三角形”的旋轉(zhuǎn)

方法歸納：將等邊三角形內(nèi)的一個(gè)小三角形，旋轉(zhuǎn)60度，從而使小三角形

的一邊與原等邊三角形的邊重合，連接小三角形的鈍角頂點(diǎn)，得三角形.通過(guò)旋

轉(zhuǎn)將不相關(guān)的線段轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中，將分散的已知條件集中起來(lái)，使問(wèn)題

得以解決.

模型四：奔馳模型

如圖，等邊aABC,PA=3,PB=4,PC=5,

模型五：費(fèi)馬點(diǎn)模型

【費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題】

問(wèn)題：如圖1,如何找點(diǎn)P使它到△耳?三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和PA+PB+PC最小？

圖文解析：

如圖1,把a(bǔ)APC繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△APC,連接PP.則ACPP，為等邊三角形,

CP=PP',PA=P'A',

???PA+PB+PC=PA+PB+PPBC.

???點(diǎn)A，可看成是線段CA繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。而得的定點(diǎn)，BA，為

定長(zhǎng)

.?.當(dāng)B、P、P\A,四點(diǎn)在同一直線上時(shí)，PA+PB+PC最小.最小

值為BA/

-國(guó)道至更/_______________________________

【題型1“手拉手”模型】

【典例1】（2022春?西安期末）如圖，在。中，BC=5,以4C為邊向外作等邊^(qū)

ACD,以N8為邊向外作等邊△4BE,連接CE、BD.

（1）若ZC=4,N4cB=30°,求CE的長(zhǎng)；

（2）若/4BC=60°,48=3,求5。的長(zhǎng).

【變式1-1］（2022秋?荔灣區(qū)校級(jí)期中）以AABC的AB,4C為邊分別作正方形

正方形4CG尸，連接DC,BF.

（1）CD與8R有什么數(shù)量與位置關(guān)系？說(shuō)明理由.

（2）利用旋轉(zhuǎn)的觀點(diǎn)，在此題中，AlOC可看成由哪個(gè)三角形繞哪點(diǎn)旋轉(zhuǎn)多少角度得到

的.

D

【變式1-2](2022九上?吉林期末)如圖①，在△ABC中，ZC=9O°,AC=BC=迎,

點(diǎn)D,E分別在邊4C,BC上,且CD=CE=?,此時(shí)AD=BE,ADJ.BE成立.

圖①圖②圖③

(1)將△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。時(shí)，在圖②中補(bǔ)充圖形，并直接寫出BE的長(zhǎng)度；

(2)當(dāng)△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，AD與BE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是否

仍然成立？若成立，請(qǐng)你利用圖③證明，若不成立請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)將△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，當(dāng)A,D,E三點(diǎn)在同一條直線上時(shí),

請(qǐng)直接寫出4。的長(zhǎng)度.

【題型2“半角”模型】

【典例2】(秋?錦江區(qū)期末)在△EC中，AB=AC,點(diǎn)E,尸是邊BC所在直線上與點(diǎn)8,

C不重合的兩點(diǎn).

(1)如圖1,當(dāng)NA4C=90°,NE4尸=45°時(shí)，直接寫出線段BE,CF,￡尸的數(shù)量關(guān)系:

(不必證明)

(2)如圖2,當(dāng)NA4C=60°,ZEAF=30°時(shí)，已知BE=3,CF=5,求線段EF的長(zhǎng)度；

(3)如圖3,當(dāng)NB4c=90°,Z￡L4F=135°時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄烤€段CE,BF,E尸的數(shù)量關(guān)系,

并證明.

【變式2-1】(春?金牛區(qū)校級(jí)期中)類比探究：

(1)如圖1,等邊△/BC內(nèi)有一點(diǎn)尸，若4尸=8,BP=15,C尸=17,求N4P8的大小:

(提示：將八18尸繞頂點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)到A4CP處)

(2)如圖2,在△4BC中，ZCAB=90°,AB=AC,E、尸為8c上的點(diǎn)，且2瓦4尸=

45°.求證：EF2=BE2+FC2；

(3)如圖3,在△48C中，ZC=90°,ZABC=30°,點(diǎn)O為內(nèi)一點(diǎn)，連接

AO、BO、CO,且N4OC=NCO5=NBO4=120°,若/C=L求O4+OB+OC的值.

圖1圖2圖3

【變式2-2](2022春?西山區(qū)校級(jí)月考)如圖，己知正方形點(diǎn)E、F分別是48、

3C邊上，且NEDF=45。，將△D4E繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到△OCM.

(1)求證：AEDF冬/XMDF；

(2)若正方形43co的邊長(zhǎng)為5,4E=2時(shí)，求所的長(zhǎng)？

【變式2-3］（2022春?路北區(qū)期末）如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形488內(nèi)作NE4尸=45°,

4E交BC于點(diǎn)、E,■交CD于點(diǎn)尸，連接E尸，將△4￡）尸繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△

ABG.

（1）求證：GE=FE;

（2）若D尸=3,求BE的長(zhǎng)為

【變式2-4】（2022秋?山西期末）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：

從正方形的一個(gè)頂點(diǎn)引出夾角為45。的兩條射線，并連接它們與該頂點(diǎn)的兩對(duì)邊的交點(diǎn)

構(gòu)成的基本平面幾何模型稱為半角模型.半角模型可證出多個(gè)幾何結(jié)論，例如：

如圖1,在正方形488中，以/為頂點(diǎn)的/及4尸=45°,AE、AF與BC、8邊分別交

于E、尸兩點(diǎn).易證得EF=BE+FD.

大致證明思路：如圖2,將尸繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到由NHBE=

180°可得H、B、E三點(diǎn)共線，NHAE=NEAF=45°,進(jìn)而可證明△4E7WZX4E/，

故EF=BE+DF.

任務(wù):

圖1圖2圖3

如圖3,在四邊形488中，AB=AD,ZB=ZD=90°,ZBZD=120°,以4為頂點(diǎn)

的NE4尸=60°,AE.4F與BC、CD邊分別交于E、F兩點(diǎn).請(qǐng)參照閱讀材料中的解題

方法，你認(rèn)為結(jié)論EF=BE+Z）產(chǎn)是否依然成立，若成立，請(qǐng)寫出證明過(guò)程；若不成立，

請(qǐng)說(shuō)明理由.

【題型3構(gòu)造旋轉(zhuǎn)模型解題】

【典例3】（九上?江津期中）請(qǐng)閱讀下列材料：

問(wèn)題：如圖1,在等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,且PA=2,PB=V3，PC=1,求4BPC

度數(shù)的大小和等邊三角形ABC的邊長(zhǎng).

李明同學(xué)的思路是：將aBPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形（如圖

2）,連接PP：可得△PTB是等邊三角形，而APP，A又是直角三角形（由勾股定理的

逆定理可證），所以NAPB=150。，而4BPC=NAPB=150。，進(jìn)而求出等邊aABC的邊長(zhǎng)

為V7，問(wèn)題得到解決.

請(qǐng)你參考李明同學(xué)的思路，探究并解決下列問(wèn)題：如圖3,在正方形ABCD內(nèi)有一

點(diǎn)P,且PA=芯，BP=&，PC=1.求/BPC度數(shù)的大小和正方形ABCD的邊長(zhǎng).

【變式3-1】（九上?南昌月考）如圖，在等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,且PZ=2,PB=

百，PC=1,求ABPC的度數(shù)和等邊三角形ABC的邊長(zhǎng).

B

【變式3-2】（九上?德州期中）當(dāng)圖形具有鄰邊相等的特征時(shí)，我們可以把圖形的一部分

繞著公共端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，這樣將分散的條件集中起來(lái)，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的.

（1）如圖1,等腰直角三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,連接AP,BP,CP,NAPB=135。,

為探究AP,BP,CP三條線段間的數(shù)量關(guān)系，我們可以將aABP,繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

90。得到△ACP',連接PP',貝iJPP=AP,ACPP是三角形，AP,

BP,CP三條線段的數(shù)量關(guān)系是.

（2）如圖2,等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,連接AP、BP、CP,zAPB=150°,請(qǐng)

借助第一問(wèn)的方法探究AP、BP、CP三條線段間的數(shù)量關(guān)系.

（3）如圖3,在四邊形ABCD中，ADIIBC,點(diǎn)P在四邊形的內(nèi)部，且PD=PC,zCPD

=90°,zAPB=135°,AD=4,BC=5,請(qǐng)直接寫出AB的長(zhǎng).

【題型4奔馳模型解題】

【典例4】（2023?嶗山區(qū)模擬）閱讀下面材料:

小偉遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1,在正三角形/5C內(nèi)有一點(diǎn)尸，且R4=3,

PB=4,PC=5,求N4PB的度數(shù).

小偉是這樣思考的：如圖2,利用旋轉(zhuǎn)和全等的知識(shí)構(gòu)造△ZP'C,連接

PP',得到兩個(gè)特殊的三角形，從而將問(wèn)題解決.

請(qǐng)你回答：圖1中N4P3的度數(shù)等于—.

參考小偉同學(xué)思考問(wèn)題的方法，解決下列問(wèn)題：

(1)如圖3,在正方形4SC。內(nèi)有一點(diǎn)尸，且PB=\,PD=

g則N4P5的度數(shù)等于—，正方形的邊長(zhǎng)為—;

(2)如圖4,在正六邊形45cDE廠內(nèi)有一點(diǎn)尸，且尸N=2,PB=\,PF=

V13,則N4P5的度數(shù)等—，正六邊形的邊長(zhǎng)為

【變式4-1](2023春?廣東期中)18.如圖，尸是正三角形48c內(nèi)的一點(diǎn)，且

PA=6,PB=8,PC=10.若將△尸NC繞點(diǎn)N逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到

(1)ZMAP=°,連接尸則尸；

(2)求N4P5的度數(shù).

【變式4-2](2023春?古田縣期中)閱讀材料，解決問(wèn)題：

(1)如圖①等邊△A8C內(nèi)有一點(diǎn)尸，若點(diǎn)尸到頂點(diǎn)/、B、C的距離分別為

5,12,13,求N4P3的度數(shù).為了解決本題，我們可以將AAS尸繞頂點(diǎn)/旋

轉(zhuǎn)到△NCP處，此時(shí)ZUCP咨/XABP,這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條

線段尸/、PB、尸C轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出N4P3=；

（2）請(qǐng)你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問(wèn)題，已知如圖②，△

48。中，ZC45=90°,AB=AC,E、產(chǎn)為5c上的點(diǎn)且NE4/=45。，求證:

EFi=BE2+FC2.

A

【變式4-3］（2023春?市南區(qū)期中）如圖，點(diǎn)O是等邊△48C內(nèi)一點(diǎn)，。是△

45C外的一點(diǎn)，ZAOB=WG°,ZBOC=a,將△臺(tái)。。繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

60°得A1DC,連接。Z）.

（1）當(dāng)a=150°,ZODA=；

（2）當(dāng)a為多少度時(shí)，是等腰三角形？說(shuō)明理由.

【變式4-4］（2023春?金牛區(qū)校級(jí)月考）如圖，在等邊△48。中，點(diǎn)D為L(zhǎng)ABC

內(nèi)的一點(diǎn)，ZADB=120°,ZADC^90°,將40繞點(diǎn)N逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得

AE；

(1)求證：AABD*AACE；

(2)求NDCE的度數(shù)；

(3)若BD=1,求40,CZ)的長(zhǎng).

【變式4-5](2022春?侯馬市期末)如圖①，△N3C和△40七中，ZBAC=Z

DAE=90°,點(diǎn)刀、E分別在邊48、AC±,ZABC=ZADE=45°.

(1)如圖②，將△40石繞點(diǎn)Z逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖位置，若/BAD=30。，

求/員4￡的度數(shù)；

(2)如圖②，將△4DE繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度a=時(shí),

直線NC與?！甏怪?0°VaW360°)；

(3)如圖③，繞點(diǎn)2在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，連接5。，且40=4,AB=

10,求的最大值和最小值.

【題型5費(fèi)馬點(diǎn)模型解題】

【典例5】(秋?祁江區(qū)期末)背景資料：

在已知所在平面上求一點(diǎn)尸，使它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最

小.

這個(gè)問(wèn)題是法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的,

所求的點(diǎn)被人們稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”.

如圖①，當(dāng)△々C三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)尸在△4BC內(nèi)部，此時(shí)

ZAPB=ABPC=ZCPA=120°,此時(shí)，尸/+尸3+尸。的值最小.

解決問(wèn)題：

（1）如圖②，等邊△/SC內(nèi)有一點(diǎn)尸，若點(diǎn)尸到頂點(diǎn)/、B、C的距離分別

為3,4,5,求N4P5的度數(shù).

為了解決本題，我們可以將尸繞頂點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)到處，此時(shí)△NCP

分ABP,這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段上4,PB,尸C轉(zhuǎn)化到一個(gè)

三角形中，從而求出N4PB=；

基本運(yùn)用：

（2）請(qǐng)你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問(wèn)題：

如圖③，A45C中，ZC45=90°,AB=AC,E,尸為5c上的點(diǎn)，且產(chǎn)

=45°,判斷應(yīng)；EF,尸。之間的數(shù)量關(guān)系并證明；

能力提升：

（3）如圖④，在RtAZffC中，ZC=90°,AC=1,ZABC=30°，點(diǎn)尸為

RtA45C的費(fèi)馬點(diǎn)，連接4P,BP,CP,求正/+尸5+尸。的值.

【變式5-1］（2022秋?大冶市期末）如圖，。是等邊三角形48。外一點(diǎn)，連接

AD,BD,CD,已知5。=8,8=3,則當(dāng)線段40的長(zhǎng)度最小時(shí)，

①/BDC=；

@AD的最小值是

【變式5-2］（2022?荷塘區(qū)模擬）在△月5c中，若其內(nèi)部的點(diǎn)。滿足N

BPC=ZCPA=12G°,則稱尸為A45C的費(fèi)馬點(diǎn).如圖所示，在A43C中，已

知/加C=45°,設(shè)尸為A45C的費(fèi)馬點(diǎn)，且滿足NPA4=45°,PA=4,則4

PAC的面積為

BC

專題3旋轉(zhuǎn)重難點(diǎn)模型(5大類型)

_Um靠氫如他獨(dú)___________________________________

【題型1手拉手模型】

【題型2“半角”模型】

【題型3構(gòu)造旋轉(zhuǎn)模型解題】

【題型4奔馳模型】

【題型5費(fèi)馬點(diǎn)模型】

?-援筌變修________________________________________

模型一：“手拉手”模型

模型特征：兩個(gè)等邊三角形或等腰直角三角形或正方形共頂點(diǎn)。

模型說(shuō)明：如圖1,AABE,AACF都是等邊三角形，可證▲AECg^ABF。

如圖2,AABD,AACE都是等腰直角三角形，可證^ADC絲AABE

如圖2,四邊形ABEF,四邊形ACHD都是正方形，可證▲ABDg^AFC

模型二：“半角”模型

模型特征：大角含半角+有相等的邊，通過(guò)旋轉(zhuǎn)“使相等的邊重合，拼出特殊角”

模型說(shuō)明：

(1)如圖，在正方形ABCD中，/EAF=45°,將AADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到AABG

可證▲AEFWAEG,所以可到DF+BE=EF

（2）如圖，在等腰直角AABC中，NMAN=45°,將^ACN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到▲

ABQ,可證▲AMN/▲AMQ,所以可得CN?+BM?=MN?

（3）如圖，等腰AABC中，AB=BC,NDBE=JNCUA.將ACBD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)NCBA

的度數(shù)得到^ABD，可證▲DBEWAD'BE.

BH

模型三：構(gòu)造旋轉(zhuǎn)模型解題

方法指導(dǎo)：若一個(gè)圖形中含有相等的線段和特殊的角度，通常是以等線段的公共端點(diǎn)為旋

轉(zhuǎn)中心進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，使得相等的邊重合，得出特殊的圖形.

常見(jiàn)圖形旋轉(zhuǎn)：

（1）”等邊三角形”的旋轉(zhuǎn)

方法歸納：將等邊三角形內(nèi)的一個(gè)小三角形，旋轉(zhuǎn)60度，從而使小三角形

的一邊與原等邊三角形的邊重合，連接小三角形的鈍角頂點(diǎn)，得三角形.通過(guò)旋

轉(zhuǎn)將不相關(guān)的線段轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中，將分散的已知條件集中起來(lái)，使問(wèn)題

得以解決.

模型四：奔馳模型

如圖，等邊aABC,PA=3,PB=4,PC=5,

則①NAPB=150°,②SAABCAB2=*!更匹

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模型五：費(fèi)馬點(diǎn)模型

【費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題】

問(wèn)題：如圖1,如何找點(diǎn)P使它到△耳?三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和PA+PB+PC最?。?/p>

圖文解析：

如圖1,把a(bǔ)APC繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△APC,連接PP.則ACPP，為等邊三角形,

CP=PP',PA=P'A',

.??PA+PB+PC=P'A'+PB+PP'BC'.

???點(diǎn)A，可看成是線段CA繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。而得的定點(diǎn)，BA，為

定長(zhǎng)

.?.當(dāng)B、P、P\A,四點(diǎn)在同一直線上時(shí)，PA+PB+PC最小.最小

值為BA/

-國(guó)道至變/_______________________________

【題型1“手拉手”模型】

【典例1】(2022春?西安期末)如圖，在△慫。中，BC=5,以4C為邊向外作等邊^(qū)

ACD,以48為邊向外作等邊AIBE,連接CE、BD.

(1)若4C=4,ZACB=30°,求CE的長(zhǎng)；

(2)若NZBC=60°,48=3,求5。的長(zhǎng).

【解答】解：(1)???△48E與ZUCD是等邊三角形,

.'.AC—AD,AB=AE,

：.ZDCA=ZCAD-ZEAB=60°,

，ZEAB+ZBAC^ZCAD+ZBAC,

即NE/C=NB4D

在△區(qū)4c和△B4D中，

'AE=BA

<NEAC=NBAD，

LAC=AD

:?△EAgABAD(SAS),

：.EC=BD9

又?.?NZCB=30°,

：?NDCB=NACB+NDCA=90°,

■:CD=AC=4,BC=5,

BD=TBC2@D2=425+16=V41,

AC￡=V41；

(2)如圖，作EK垂直于C5延長(zhǎng)線于點(diǎn)K.

Y^ABE與/\ACD是等邊三角形，

^.AC=AD,AB=AE,

ZDCA=ZCAD=ZEAB=6Q°,

/.NEAB+NBAC=NCAD+/BAC,

即NE4C=NR4Z).

在△瓦4c和△切。中，

rAE=BA

,NEAONBAD，

LAC=AD

AEAC^/\BAD(SAS),

:,EC=BD,

VZABC=60°,NABE=60°,

/.ZEBK=60°,

/.ZBEK=3Q°,

13

:?BK=±BE=0,

22

【變式1?1】（2022秋?荔灣區(qū)校級(jí)期中）以△々C的45,ZC為邊分別作正方形40”,

正方形4CGR連接DC,BF.

(1)8與5尸有什么數(shù)量與位置關(guān)系？說(shuō)明理由.

(2)利用旋轉(zhuǎn)的觀點(diǎn)，在此題中，△ADC可看成由哪個(gè)三角形繞哪點(diǎn)旋轉(zhuǎn)多少角度得到

的.

【解答】解：(1)CD=BFS.CD±BF,理由如下：

?.?四邊形48即和四邊形4CG尸都是正方形，

：.AD=AB,AC=AF,ZDAB=ZCAF=90°,

又VNDAC=ZDAB+ZBAC,NB4F=ZCAF+ZBAC,

：.ZDAC^ZBAF,

在△D4C與△切尸中，

'AD=AB

-ZDAC=ZBAF,

,AC=AF

:.ADAgABAF(SAS),

：.DC=BF,

：.ZAFB=ZACD,

又,：4AFN+NANF=90°,NANF=NCNM,

：.ZACD+ZCNM=9QQ,

/.ZNMC=9Qa,

：.BF±CD；

(2)'：AD^AB,AC=AF,CD=BF,ZDAB=ZCAF=90°,

...△/LDC可看成是AIS/繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的.

【變式1-2](2022九上,吉林期末)如圖①，在△ABC中，zC=90°,AC=BC=^,

點(diǎn)D,E分別在邊4C,BC上,且CD=CE=V^,MAD=BE,AD_LBE成立.

圖①圖②圖③

(l)將△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。時(shí)，在圖②中補(bǔ)充圖形，并直接寫出BE的長(zhǎng)度;

(2)當(dāng)△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，與BE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是

否仍然成立？若成立，請(qǐng)你利用圖③證明，若不成立請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)將△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，當(dāng)A,D,E三點(diǎn)在同一條直線上

時(shí)，請(qǐng)直接寫出AD的長(zhǎng)度.

【答案】解：如圖所示，

BE=2V2；

(2)解：AD^BE,ADJ.BE仍然成立.

證明：延長(zhǎng)AD交BE于點(diǎn)H,

AACD=Z-ACB-Z.BCD,

ABCE=ADCE-ABCD,

：.AACD=ABCE,

又,：CD=CE,AC=BC,

:.△BCE,

：.AD=BE,zl=z2,

在RtZXABC中，zl+z3+z4=90°,

.\z2+z3+z4=90°,

：.AAHB=90°,

J.ADLBE.

(3)4。=而-1或4。=返+1

【題型2“半角”模型】

【典例2】(秋?錦江區(qū)期末)在△疑。中，AB=AC,點(diǎn)E,尸是邊所在直線上與點(diǎn)5,

C不重合的兩點(diǎn).

(1)如圖1,當(dāng)NA4C=90°,NE4尸=45°時(shí)，直接寫出線段BE,CF,M的數(shù)量關(guān)

系：(不必證明)

(2)如圖2,當(dāng)NA4C=60°,NEAF=30°時(shí)，己知BE=3,CF=5,求線段E尸的長(zhǎng)

度；

(3)如圖3,當(dāng)NA4c=90°,ZEAF=135°時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄烤€段CE,BF,EF的數(shù)量關(guān)系，

【解答】解：(1)結(jié)論：EF1=BE1+CF1.

理由：VZBAC=90a,AB=AC,

...將△/LBE繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得AlCG,連接尸G,如圖1中,

：.AG=AE,CG=BE,N4CG=NB,ZEAG=90a,

NFCG=ZACB+ZACG=ZACB+ZB=90a,

/.FG2=FC2+CG2=BE2+FC2:

又；NE4F=45°,

而NEAG=90°,

：.ZGAF=90°-45°=45°,

；?NEAF=NGAF,

\'AF=AF9AE=AG,

，/\AEFW/\AGF(SAS),

:.EF=FG,

：.EF2=BE2+CF2.

(2)如圖2中，VZBAC=6O0,AB=AC,

???將A4BE繞點(diǎn)Z逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得A4CG,連接產(chǎn)G,作交BC的延長(zhǎng)線于

H.

圖2

VZBAC=60°,NEAF=30°,

/.ZBAE+ZCAF=ZCAG+ZCAF=ZFAG=3Q°,

JNE4F=NFAG,

\'AF=AF,AE=AG,

:.△AEgAAGF(SAS),

：.EF=FG,

在RtZXCGH中，?:CG=BE=3,NGS=60°,

...NCGN=30°,

.?.Ca=2CG=g

22

在Rtz^FG”中，F(xiàn)G

：.EF=FG=1.

(3)結(jié)論：EF1=EC1+BF2

理由：如圖3中，將八位：。繞點(diǎn)Z順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到—BG,連接FG.

/.ZABC=ZACB=45°,

9：/\ACE^/\ABG,

：.ZCAE=ZBAGfEC=BG,ZACE=ZABG=45°,

：.ZCAB=ZEAG=90Q,ZGBF=90°,

AZFAG=3600-Z.EAF-ZEAG=360°-135°-90°=135°,

/.ZFAE=ZFAG9

■:FA=FA,AG=AE9

:AFAEQ/\FAG(SAS),

：?EF=FG,

在RtZ\TOG中，TN尸3G=90。,

.'.FG^^BG2+BF2,

'：FG=EF,BG=EC,

：.EF2=EC1+BF2.

【變式2-1】(春?金牛區(qū)校級(jí)期中)類比探究：

(1)如圖1,等邊△/BC內(nèi)有一點(diǎn)尸，若4P=8,BP=15,CP=11,求N4PB的大小;

(提示：將ZUBP繞頂點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)到A4CP處)

(2)如圖2,在△4BC中，ZC4B=90°,AB=AC,E、尸為上的點(diǎn)，且/瓦4產(chǎn)=

45°.求證：EF2^BE2+FC2；

(3)如圖3,在△NBC中，ZC=90°,ZABC=30°,點(diǎn)。為△ZBC內(nèi)一點(diǎn)，連接

40、BO、CO,且NNOC=NCO5=NBOZ=120°,若/C=l,求OZ+OB+OC的值.

【解答】解：（1）如圖1,將AlPB繞著點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△4CP',

J.^ACP'^/\ABP,

：.AP'=4P=8、CP'=5尸=15、ZAP'C=NAPB,

由題意知旋轉(zhuǎn)角NR4P=60°,

J.^APP'為等邊三角形，

：.PP'=AP=S,ZAP'尸=60°,

,:PP’2+pC2=82+152=172=PC2,

：.APP'C=90°,

:.NAPB=NAP'C=NAP'P+NPP'C=60°+90°=150°

（2）如圖2,把△ABE繞著點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△4CE',

則4E'=AE,CE'=CE,ZCAE'=NBAE,

'：ZBAC=9Q°,ZEAF=45°,

:.NBAE+NCAF=NCAF+NCAE'=NFAE'=45°,

:.NEAF=NE'AF,S.AE=AE,AF=AF,

：.^AEF9/\AE'F(.SAS},

：.EF=E'F,

VZB^-ZACB=90°,

/.ZACB+ZACEr=90°,

AZFCEr=90°,

：.ErF2=CF2+CEf2,

：.EF2=BE2+CF2i

(3)如圖3,將繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△/'O'B處,連接OO',

???在RtZUBC中，ZC=90°,AC=19ZABC=3Q0,

：.AB=29

???BC=VAB2-AC2=V3，

,?,△208繞點(diǎn)5順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°,

??.△Z'Of8如圖所示；

ZArBC=ZABC+6^=30°+60°=90°,

VZACB=90°,AC=19ZABC=30°,

A.B=224C=2f

,?,△203繞點(diǎn)3順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60。，得到△/'O'B,

：.ArB=AB=2,BO=BO',HO'=AO,

：./\BOO'是等邊三角形，

：.BO=OO',Z.BOO'=NBO'0=60°,

VZAOC=ZCOB=ZBOA=120°,

:.NCOB+NBOO'=NBO'A'+ZBO'0=120°+60°=180°,

：.C.O、A'.O'四點(diǎn)共線，

在RtA4'8c中，A'C—VBC2+A?B2—V7，

：.OA+OB+OC=A'O'+OO'+OC=A'C=中.

【變式2-2】(2022春?西山區(qū)校級(jí)月考)如圖，己知正方形力5。),點(diǎn)￡、F分別是A3、

BC邊上，且NEZ)F=45。，將△ZME繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到△QCM.

(1)求證：4EDFm△MDF：

(2)若正方形488的邊長(zhǎng)為5,4￡=2時(shí)，求E尸的長(zhǎng)？

【解答】(D證明：?.?四邊形458是正方形，

:.NA=NB=NDCF=90°,AD=AB=BC=5,

由旋轉(zhuǎn)得：

ZA=ZDCM=90a,DE=DM,NEDM=90°,

/.ZDCF+ZDCM=1800,

二尸、C、M■三點(diǎn)在同一條直線上，

；NED尸=45°,

:.ZFDM=ZEDM-NEDC=45°,

:.NEDF=FDM,

?:DF=DF,

：.4ED0/\MDFCSAS)；

(2)設(shè)CF=x,

：.BF=BC-CF=5-x,

由旋轉(zhuǎn)得：AE=CM=2,

：.BE=AB-AE=3,FM=CF+CM=2+x,

---△EDgAMDF,

：.EF=FM=2+x,

在RtZ\EB尸中，BE2+BF2=EF2,

/.9+(5-x)2=(2+x)2,

?丫15

7

：.EF=2+x=^-,

7

尸的長(zhǎng)為29.

7

【變式2-3](2022春?路北區(qū)期末)如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形488內(nèi)作NE1F=45°,

4E交BC于點(diǎn)E,AF交CD于點(diǎn)F,連接E尸，將△〃)尸繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△

ABG.

(1)求證：GE=FE；

【解答】(1)證明：???將AID尸繞點(diǎn)2順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到A43G,

:?DF=BG,ND4F=NBAG,

VZDAB=90°,NEAF=45°,

:.NDAF+NEAB=45°,

/.ZBAG^-ZEAB=45°,

???ZEAF=NEAG,

在△及4G和產(chǎn)中，

<AG=AF

<ZEAG=ZEAF,

,AE=AE

A^EAG^/XEAF(SAS),

:,GE=FE,

(2)解：設(shè)5E=x,貝ijGE=BG+3E=3+x,CE=6-x,

：.EF=3+X9

YCD=6,D尸=3,

ACF=3,

VZC=90°,

/.(6-x)2+32=(3-hr)2,

解得，x=2,

即BE=2,

【變式2-4】(2022秋?山西期末)閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：

從正方形的一個(gè)頂點(diǎn)引出夾角為45°的兩條射線，并連接它們與該頂點(diǎn)的兩對(duì)邊的交點(diǎn)

構(gòu)成的基本平面幾何模型稱為半角模型.半角模型可證出多個(gè)幾何結(jié)論，例如：

如圖1,在正方形488中，以Z為頂點(diǎn)的NE4尸=45°,AE、AF與BC、8邊分別交

于E、尸兩點(diǎn).易述得EF=BE+FD.

大致證明思路：如圖2,將尸繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△48",由NHBE=

180°可得“、B、E三點(diǎn)共線，NHAE=NEAF=45",進(jìn)而可證明

故EF=BE+DF.

圖1圖2圖3

如圖3,在四邊形月58中，AB=AD,ZB=ZD=90°,ZBAD=120a,以Z為頂點(diǎn)

的尸=60°,AE、4F與BC、CD邊分別交于E、尸兩點(diǎn).請(qǐng)參照閱讀材料中的解題

方法，你認(rèn)為結(jié)論E尸=5E+Q尸是否依然成立，若成立，請(qǐng)寫出證明過(guò)程；若不成立，

請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解答】解：成立.

證明：將尸繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到ZUBM,

:.△ABMWdADF,ZABM^ZD=90a,NMAB=NFAD,AM=AF,MB=DF,

：.NMBE=NABM+N/BE=180°,

:.M、B、E三點(diǎn)共線，

NMAE=NMAB+NBAE=NFA"NBAE=/BAD-ZEAF=60a,

:.ZMAE=NFAE,

?：AE=AE,AM=AF,

：.^MAE^^FAE(.SAS'),

：.ME=EFf

:?EF=ME=MB+BE=DF+BE.

圖3

【題型3構(gòu)造旋轉(zhuǎn)模型解題】

【典例3】（九上?江津期中）請(qǐng)閱讀下列材料：

問(wèn)題：如圖1,在等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,且PA=2,PB=V3，PC=1、求NBPC

度數(shù)的大小和等邊三角形ABC的邊長(zhǎng).

李明同學(xué)的思路是：將aBPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形（如圖

2）,連接PP，，可得aPTB是等邊三角形，而APP，A又是直角三角形（由勾股定理的

逆定理可證），所以NAPB=150。，而/BPC=NAPB=150。，進(jìn)而求出等邊aABC的邊長(zhǎng)

為V7，問(wèn)題得到解決.

請(qǐng)你參考李明同學(xué)的思路，探究并解決下列問(wèn)題：如圖3,在正方形ABCD內(nèi)有一

點(diǎn)P,且PA=V^,BP=V2，PC=1.求NBPC度數(shù)的大小和正方形ABCD的邊長(zhǎng).

將ABPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，MABP^,RIJABPC^ABP-A.

，AP，=PC=1,BP=BP，=V2；

連接PP',

在RtABPT中，

VBP=BPf=V2，/PBP，=90。，

，PP，=2,zBP'P=45°；

在AAPP中，AP，=LPP，=2,AP=yfs,

Vl2+22=(V5)2,BPAP，2+PP，2=AP2；

.?.△APP是直角三角形，即/APP=90。，

."APB=135。，

."BPC=/APB=135。.

過(guò)點(diǎn)B作BE1AP，，交AP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,

."BEP，=90。，

；NAP'B=135。，

."EP'B=45。，

...△BEP，是等腰直角三角形，

VBP'-y[2,

；.EP，=BE=1,

.".AE=AP,+EP,=2；

.?.在Rt^ABE中，由勾股定理，得AB=V^；

.,.zBPC=135°,正方形邊長(zhǎng)為V5.

【變式3-1】(九上?南昌月考)如圖，在等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,且PA=2,PB=

百，PC=1,求Z.BPC的度數(shù)和等邊三角形ABC的邊長(zhǎng).

【解答】解：?.WABC是等邊三角形

：.^ABC=60°

將ABPC繞點(diǎn)B順時(shí)針選轉(zhuǎn)60°，連接BP'

/.AP'=CP=1,BP，=PB=K,zBPC=/-P'BA,z.AP'B=Z-BPC

■:乙PBC+AABP=乙ABC=60°

.?.乙4BP+乙4BP=乙ABC=60°

：.AP'PB是等邊三角形

:.PF=5,z_PP'B=60°

'：AP'=1,AP=2

：.AP'2+PP'2=AP2

：.APP'A為直角三角形

；.NBPC=NAPB=150°

過(guò)點(diǎn)B做BM1AP',交AP'的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M

：.AMP'B=30°,BM=@

2

3

?'?AM—1+堤=與

22

由勾股定理得：AB=IJAM2+BM2~V7

等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為y/y.

【變式3-2】（九上?德州期中）當(dāng)圖形具有鄰邊相等的特征時(shí)，我們可以把圖形的一部分

繞著公共端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，這樣將分散的條件集中起來(lái)，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的.

（1）如圖1,等腰直角三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,連接AP,BP,CP,zAPB=135°,

為探究AP,BP,CP三條線段間的數(shù)量關(guān)系，我們可以將AABP,繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

90。得到△ACP',連接PP',則PP=AP,ACPP'>三角形，AP,

BP,CP三條線段的數(shù)量關(guān)系是.

(2)如圖2,等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,連接AP、BP、CP,zAPB=150°,請(qǐng)

借助第一問(wèn)的方法探究AP、BP、CP三條線段間的數(shù)量關(guān)系.

⑶如圖3,在四邊形ABCD中，ADIIBC,點(diǎn)P在四邊形的內(nèi)部，且PD=PC,zCPD

=90。，NAPB=135。，AD=4,BC=5,請(qǐng)直接寫出AB的長(zhǎng).

【解答】(1)V2；直角；PC2=BP2+2AP2

(2)解：如圖所示，將4ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到4CBP',連接PP,,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：Bp=BP,zCp，B=z^4PB=150°,"Bp，=60",AP'

=AP,CP'=AP,

/.△BPP'是等邊三角形，

：.BP=PP',ABP'P=60°,

APP'C=Z-CP'B-ABP'P=90°,

：.PC2=PP'2+P'C2,

：.PC2=BP2+AP2；

(3)解：=V4i

【題型4奔馳模型解題】

【典例4】(2023?嶗山區(qū)模擬)閱讀下面材料：

小偉遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1,在正三角形力3c內(nèi)有一點(diǎn)尸，且尸力=3,

尸5=4,PC=5,求N4P5的度數(shù).

小偉是這樣思考的：如圖2,利用旋轉(zhuǎn)和全等的知識(shí)構(gòu)造△&?'C,連接

PP',得到兩個(gè)特殊的三角形，從而將問(wèn)題解決.

請(qǐng)你回答：圖1中NAPB的度數(shù)等于150。.

參考小偉同學(xué)思考問(wèn)題的方法，解決下列問(wèn)題：

(1)如圖3,在正方形48C。內(nèi)有一點(diǎn)尸，且尸PB=\,PD=

V17,則N4P6的度數(shù)等于135°,正方形的邊長(zhǎng)為V13；

(2)如圖4,在正六邊形/5。刀石尸內(nèi)有一點(diǎn)尸，且PN=2,PB=\,PF=

V13,則N幺尸3的度數(shù)等于120°,正六邊形的邊長(zhǎng)為

V7.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】閱讀材料：把△4P5繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到—。尸‘，根據(jù)旋

轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得PA=PA,P'C=PB,APAP'=60°,然后求出△⑷，P是

等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出產(chǎn)產(chǎn)'=PA=3,ZAP'尸=60°,

再利用勾股定理逆定理求出NPPC=90°,然后求出N4P'C,即為N4P5

的度數(shù)；

(1)把△4P5繞點(diǎn)N逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△4DP,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得

P'A=PA,P'D=PB,ZPAP'=90°,然后判斷出A4PP是等腰直角三

角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出尸P,ZAP'尸=45°,再利用勾股

定理逆定理求出NPP。=90°,然后求出N4P'D,即為N4P5的度數(shù)；再

求出點(diǎn)尸'、尸、3三點(diǎn)共線，過(guò)點(diǎn)幺作?尸尸'于E,根據(jù)等腰直角三角

形的性質(zhì)求出,然后求出5E,在Rt△幺跳:中，利用勾股定

2

理列式求出AB即可；

(2)把△4P5繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。得到A4"',根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得

P'A=PA,P'F=PB,APAP'=120°，然后求出A4PP是底角為30。的

等腰三角形，過(guò)點(diǎn)Z作㈤/，尸尸'于跖設(shè)尸P與力尸相交于N,求出aw=

1,再求出尸尸'，ZAP'尸=30°,再利用勾股定理逆定理求出NPPF=

90°,然后求出N/PF,即為N4P5的度數(shù)；根據(jù)P尸、4M的長(zhǎng)度得到

P'F=AM,利用“角角邊”證明△力和N全等，根據(jù)全等三角形

對(duì)應(yīng)邊相等可得4V=網(wǎng)，P'N=MN,然后求出MM在RtA4A/N中，利用

勾股定理列式求出3,然后求出/尸即可.

【解答】解：閱讀材料：把△4P5繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△4CP',

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，P'幺=R4=3,P'D=PB=4,NPAP'=60°,

：.AAPP'是等邊三角形，

：.PP'=24=3,AAP'尸=60°,

"：PP'2+尸'C2=32+42=25,尸02=52=25,

：.PP'2+P'C=Pd

：.APP'C=90°,

/.ZAP'C=ZAP'P+ZPP'C=60°+90°=150°；

^LZAPB=ZAP'C=150°；

(1)如圖3,把△4P6繞點(diǎn)N逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ZDP,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，PA=PA=2?,P'D=PB=1,/PAP'=90°,

：./\APP'是等腰直角三角形，

：.PP'=V2P^=72X272=4,NAP'P=45°,

'：PP'2+p3=42+12=17,PZ>2=V172=17,

：.PP'2+P'小=產(chǎn)。2,

:.乙PP'0=90°,

ZAP'D=/AP'P+ZPP'D=45°+90°=135°,

故，ZAPB=ZAP'0=135°,

?：4APB+/APP'=135°+45°=180°,

...點(diǎn)P、尸、3三點(diǎn)共線，

過(guò)點(diǎn)幺作4ELLPP于E,

則=』X4=2,

22

：.BE=PE+PB=2+\=3,

在Rt/\ABE中，^-5=VAE2+BE2=A/22+32=<^13;

(2)如圖4,?正六邊形的內(nèi)角為上X(6-2)*180°=120°,

6

...把△4P5繞點(diǎn)力逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到A4/P',

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，P'A=PA=2,P'F=PB=LZPAP'=120°,

AZAPP'=/AP'P=1(180°-120°)=30°,

過(guò)點(diǎn)/作N/LPP于/,設(shè)尸P與ZE相交于N,

則W=UN=_1X2=1,

22

P'M=PM="\/PA2-AM2=^22-12=?

：.PP'=2PM=2M，

'：PP'2+P'產(chǎn)=(273)2+y=i3,尸產(chǎn)=后2=”，

：.PP'2+P'產(chǎn)=尸產(chǎn)，

AZPP'F=90°,

AZAP'F=ZAP'P+ZPP'F=30°+90°=120°,

故，ZAPB=ZAP'F=120°,

,:P‘F=4M=1,

■:AAMN和AFP，N中，

'/PP'F=ZAMN=90°

<NP'NF=ZANM，

PF=AM

AAAMN^AFP'N(AAS),

：.AN=FN,P'N=MN=kp'M=?,

在中，42癡2+股2

故答案為：150°；(1)135°,V13;(2)120°,4.

【變式4-1](2023春?廣東期中)18.如圖，尸是正三角形48c內(nèi)的一點(diǎn)，且

PA=6,尸5=8,PC=10.若將繞點(diǎn)Z逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到△腿48.

(1)ZMAP=