2025屆全國(guó)高三數(shù)學(xué)模擬考試試題四文含解析

PAGE24-2025屆全國(guó)高三數(shù)學(xué)模擬考試試題（四）文（含解析）時(shí)量：120分鐘滿分：150分留意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考號(hào)等填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)的位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再涂選其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合是1~20以內(nèi)的全部素?cái)?shù)，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)交集的定義可知，交集即為兩集合的公共元素所組成的集合，求出即可.【詳解】解：，.∴.故選B.【點(diǎn)睛】此題考查了兩集合交集的求法.2.若復(fù)數(shù)滿意，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】由可求得，即可得出答案.【詳解】解：，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為位于第四象限.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則是分子分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù).3.已知雙曲線的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意得到關(guān)于m的方程，解方程求得m的值即可確定雙曲線方程.【詳解】由題意可得：，則實(shí)軸長(zhǎng)為：，虛軸長(zhǎng)為，由題意有：，解得：，代入可得雙曲線方程為.本題選擇D選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線方程的求解，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化實(shí)力和計(jì)算求解實(shí)力.4.已知二次函數(shù)，且是偶函數(shù)，若滿意，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C.由的范圍確定 D.由，的范圍共同確定【答案】B【解析】【分析】由是偶函數(shù)可得，從而得到函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，所以，再寫(xiě)出不等式，即可得答案；【詳解】是偶函數(shù)，，函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，，，或，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、一元二次不等式的求解，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理實(shí)力、運(yùn)算求解實(shí)力.5.1852年，英國(guó)來(lái)華傳教士偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問(wèn)題的解法傳至歐洲.1874年，英國(guó)數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得到的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國(guó)剩余定理”.“中國(guó)剩余定理”講的是一個(gè)關(guān)于整除的問(wèn)題，例如求1到2000這2000個(gè)整數(shù)中，能被3除余1且被7除余1的數(shù)的個(gè)數(shù)，現(xiàn)由程序框圖，其中MOD函數(shù)是一個(gè)求余函數(shù)，記表示m除以n的余數(shù)，例如，則輸出i為（）.A.98 B.97 C.96 D.95【答案】D【解析】【分析】依據(jù)程序圖可知，能被3除余1且被7除余1的數(shù)，就是能被21整除余1的數(shù)，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及解不等式即得?！驹斀狻坑深}得，運(yùn)行程序圖，當(dāng)時(shí)，且，滿意條件，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，且，此時(shí)，可得等差數(shù)列，，則，當(dāng)時(shí)，即，，i是正整數(shù)，因此.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖，由于運(yùn)行次數(shù)較多，因此須要將運(yùn)行程序的規(guī)律轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，再進(jìn)行求解。6.若，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，分別求得的取值范圍，即可求解.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得，由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得，可得，又由，所以，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的比較大小，其中解答中嫻熟應(yīng)用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求得的取值范圍是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算實(shí)力.7.已知函數(shù)則（）A.對(duì)隨意實(shí)數(shù)，方程無(wú)解B.存在實(shí)數(shù)，方程有2個(gè)根C.存在實(shí)數(shù)，方程有3個(gè)根D.對(duì)隨意實(shí)數(shù)，方程有1個(gè)根【答案】B【解析】【分析】作出函數(shù)的圖象，設(shè)，則方程，即為，結(jié)合圖象，分，，和四種狀況探討，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，設(shè)，則方程，即為，結(jié)合圖象，可得①當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程有兩個(gè)根，其中，此時(shí)方程有1個(gè)根或2個(gè)根；②當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程有兩個(gè)根，此時(shí)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；③當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程只有一個(gè)根，其中，此時(shí)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；④當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，此時(shí)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.綜合可得，存在實(shí)數(shù)，方程有2個(gè)根.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，其中解答中作出函數(shù)的圖象，以及合理運(yùn)用換元法分析求解是解答的關(guān)鍵，著重考查數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與運(yùn)算實(shí)力.8.已知函數(shù)，將其圖象向右平移個(gè)單位后得到的圖象，若，則的值可能為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求得的解析式，依據(jù)和的取值范圍，推斷出的可能取值.【詳解】，向右平移得到.，，，故“且”或“且”，即“且”或“且”，即“且”或“且”，其中.所以或，令，則的值為.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)圖象變換，考查三角函數(shù)的值域，屬于中檔題.9.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿意，，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先依據(jù)題中條件，可以整理得到，從而推斷出數(shù)列是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而求得，之后應(yīng)用錯(cuò)位相減法求得，將代入即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以有，所以，因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以，即，又因?yàn)?，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，所以，所以，所以①，②，①-②得：，所以，所以，故選：C.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問(wèn)題，涉及到的學(xué)問(wèn)點(diǎn)有利用遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法對(duì)數(shù)列求和，屬于中檔題目.10.在中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊.已知，，，則（）.A. B. C.或 D.【答案】A【解析】【分析】先依據(jù)余弦定理和可求出，因?yàn)锳，B，C是三角形的內(nèi)角，所以可得，再由和余弦定理可得b的值。【詳解】由題得，，，，化簡(jiǎn)整理得，，又，，，由正弦定理得，.故按：A【點(diǎn)睛】本題考查利用正余弦定理解三角形，是?？碱}型。11.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，且對(duì)隨意，都有，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意，可知函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，可確定為常數(shù)，設(shè)，可寫(xiě)出，結(jié)合題意，求得，從而得到，進(jìn)而求得，得到結(jié)果.【詳解】依據(jù)題意，函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，且對(duì)隨意，都有成立，則有為常數(shù)，設(shè)，則，則，解得或（舍），所以，所以，故選：C.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用，屬于簡(jiǎn)潔題目.12.橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線交于，兩點(diǎn)，若，，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由可得，若，有，結(jié)合可求得，，最終結(jié)合幾何圖形有即可求得離心率【詳解】由題意，有，即，知過(guò)左焦點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，令，有，，且由上知①又∵有，且知：∴由知：②，由①、②可知：，∴結(jié)合幾何圖形知：，即得故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了求離心率的問(wèn)題，結(jié)合向量的線性關(guān)系及模相等，有相關(guān)線段的比例關(guān)系及等量關(guān)系，即求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，結(jié)合幾何圖形依據(jù)線段比例求離心率二、填空題13.平面對(duì)量與的夾角為，且，，則________．【答案】2【解析】【分析】依據(jù)，利用數(shù)量積運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)榕c的夾角為，，所以，所以故答案為：2【點(diǎn)睛】本題主要考查平面對(duì)量的數(shù)量積運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.14.設(shè)實(shí)數(shù)，滿意約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值是________.【答案】【解析】【分析】畫(huà)出可行域，平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界位置，由此求得目標(biāo)函數(shù)的最小值.【詳解】畫(huà)出可行域如下圖所示，平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界點(diǎn)，此時(shí)取得最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查線性規(guī)劃求最值，屬于基礎(chǔ)題.15.已知，則________.【答案】【解析】【分析】利用二倍角公式和誘導(dǎo)公式，化簡(jiǎn)求得所求表達(dá)式的值.【詳解】故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查二倍角公式、誘導(dǎo)公式，屬于中檔題.16.已知四棱錐中，底面是梯形，且，，，，且，，則三棱錐外接球的表面積為_(kāi)_______.【答案】【解析】【分析】取的中點(diǎn)，連接，證得平面，從而得到等邊三角形，再取中點(diǎn)，設(shè)三棱錐外接球的球心為，半徑為，球心到的距離為，在直角和直角中，列出方程組，求得，結(jié)合面積公式，即可求解.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，可得，又由底面是梯形，且，，，可得，所以平面，又由平面，所以所以平面，在直角中，，在直角中，，且，所以等邊三角形，取的中點(diǎn)，可得且，設(shè)三棱錐外接球的球心為，半徑為，球心到的距離為，在直角中，可得，在直角中，可得，解得，所以球的表面積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了球的表面積的計(jì)算，以及球的組合的性質(zhì)及應(yīng)用，其中解答中依據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，找出球心的位置，結(jié)合球的性質(zhì)列出方程組是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算實(shí)力和轉(zhuǎn)換實(shí)力，以及空間想象實(shí)力，屬于中檔試題.三、解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)考生都必需作答.第22，23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題17.設(shè)為正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿意，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，利用已知條件得，利用定義求得通項(xiàng)公式即可；（2）由，求出的通項(xiàng)公式，利用分組求和法求出即可.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，則，且，由已知得，即，解得，（2）由，得，.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及分組求和.屬于較易題.18.在新高考改革中，打破了文理分科的“”模式，不少省份采納了“”，“”，“”等模式.其中“”模式的操作又更受歡迎，即語(yǔ)數(shù)外三門(mén)為必考科目，然后在物理和歷史中選考一門(mén)，最終從剩余的四門(mén)中選考兩門(mén).某校為了了解學(xué)生的選科狀況，從高二年級(jí)的2000名學(xué)生（其中男生1100人，女生900人）中，采納分層抽樣的方法從中抽取n名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.（1）已知抽取的n名學(xué)生中含男生110人，求n的值及抽取到的女生人數(shù)；（2）在（1）的狀況下對(duì)抽取到的n名同學(xué)“選物理”和“選歷史”進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，得到下列2×2列聯(lián)表.請(qǐng)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并推斷是否有99%的把握認(rèn)為選科目與性別有關(guān)？選物理選歷史合計(jì)男生90女生30合計(jì)（3）在（2）的條件下，從抽取的“選歷史”的學(xué)生中按性別分層抽樣再抽取5名，再?gòu)倪@5名學(xué)生中抽取2人了解選政治、地理、化學(xué)、生物的狀況，求2人至少有1名男生的概率.參考公式：.0.100.0100.0012.7066.63510.828【答案】（1）；90人；（2）詳見(jiàn)解析；（3）.【解析】【分析】（1）依據(jù)題意列出方程求n，再求出女生人數(shù)；（2）依據(jù)題意填寫(xiě)列聯(lián)表，計(jì)算的值，比照臨界值得出結(jié)論；（3）利用分層抽樣法和列舉法，求出基本領(lǐng)件數(shù)，計(jì)算所求的概率值?！驹斀狻拷猓海?）由題意得，解得，則女生人數(shù)為（人）.（2）選物理選歷史合計(jì)男生9020110女生603090合計(jì)15050200∴沒(méi)有99%的把握認(rèn)為選科與性別有關(guān).（3）從選歷史的學(xué)生中按性別分層抽5名學(xué)生，則由（2）可知，有2名男生，3名女生，設(shè)男生編號(hào)為1，2，女生編號(hào)為3，4，5，5名學(xué)生中再選取2人，則全部等可能的結(jié)果為34，35，31，32，45，41，42，51，52，12共10種，至少1名男生的結(jié)果為31，32，41，42，51，52共7種，∴2人中至少1名男生的概率為.【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣，填寫(xiě)列聯(lián)表和求的值，以及古典概型，是?？碱}型。19.已知直四棱柱的底面ABCD是菱形，，E是上隨意一點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）設(shè)，當(dāng)E為的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E到平面的距離.【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）由題，，又ABCD是菱形，那么，可知平面，平面BDE，即得證；（2）由等體積法，計(jì)算即得?！驹斀狻拷猓海?）證明：∵四棱柱是直四棱柱，∴底面ABCD，而底面ABCD，∴.又ABCD是菱形，有，∵，故平面又平面BDE，∴平面平面.（2）法一：設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，連OE，，由（1）知點(diǎn)E到平面的距離即點(diǎn)E到直線的距離.又在三角形中，，，得OE邊上的高為，故E到直線的距離.法二：由，而，，故.【點(diǎn)睛】本題考查平面與平面垂直的判定定理，以及用等體積法求點(diǎn)到平面的距離，是?？碱}型。20.已知平面上的動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，點(diǎn)在直線：上的射影為，若.（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)過(guò)定點(diǎn)的直線與軌跡交于，兩點(diǎn)，若在直線上存在兩點(diǎn)，使直線，交于軌跡上的一點(diǎn)（異于，），是否存在軸上點(diǎn)，使？若存在，懇求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）存在，或.【解析】【分析】（1）轉(zhuǎn)化條件為動(dòng)點(diǎn)到直線距離等于，由拋物線的定義即可得解；（2）設(shè)，，，由直線方程的學(xué)問(wèn)可得、，設(shè)直線，聯(lián)立方程由韋達(dá)定理可得、，假設(shè)存在點(diǎn)滿意條件，由平面對(duì)量數(shù)量積的坐標(biāo)表示化簡(jiǎn)可得，即可得解.【詳解】（1）由可得動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于，所以動(dòng)點(diǎn)到直線的距離等于，所以點(diǎn)的軌跡為拋物線，點(diǎn)為該拋物線的焦點(diǎn)，直線為其準(zhǔn)線，所以點(diǎn)的軌跡的方程為；（2）設(shè)直線，，，，則直線的斜率，所以直線，當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)，同理可得點(diǎn)，由，消去x化簡(jiǎn)可得，，所以，，假設(shè)存在點(diǎn)滿意條件，則，，則，所以，解得或，所以存在定點(diǎn)或滿意條件.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線定義的應(yīng)用及直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了拋物線中定點(diǎn)問(wèn)題的解決及運(yùn)算求解實(shí)力，屬于中檔題.21.已知函數(shù)（，且）（1）探討函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）答案不唯一，詳見(jiàn)解析；（2）【解析】【分析】（1）求得的定義域和導(dǎo)函數(shù)，對(duì)分成和兩種狀況進(jìn)行分類探討，由此求得的單調(diào)區(qū)間.（2）求得的導(dǎo)函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，依題意可知在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，且零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值符號(hào)相反，利用導(dǎo)數(shù)探討的零點(diǎn)，由此求得的取值范圍.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，在區(qū)間和上，遞減，在區(qū)間上，遞增.當(dāng)時(shí)，在區(qū)間和上，遞增，在區(qū)間上，遞減.（2），.當(dāng)時(shí)，.構(gòu)造函數(shù)，依題意可知在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，且零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值符號(hào)相反.，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上遞增，至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意.當(dāng)時(shí)，令，解得.（i）若即，則在區(qū)間上遞減，至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意.（ii）若即，則在區(qū)間上遞增，至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意.（iii）若，即，則在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；.要使在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，且零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值符號(hào)相反，則需，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的極值點(diǎn)，屬于中檔題.（二）選考題：請(qǐng)考生在第22，23題中任選一題作答.假如多做，那么按所做的第一題計(jì)分.[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在直角坐標(biāo)系中