2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之三角函數(shù)

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之三角函數(shù)

選擇題(共8小題)

1.已知函數(shù)/(%)=V5sin2%cos2%+cos22%,則下列結(jié)論不正確的是()

71

A.f(x)的最小正周期為一

B.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(黃，義)對(duì)稱

C.若/(x+/)是偶函數(shù)，貝此=杳+1^，ZcZ

D./(x)在區(qū)間［0,勺上的值域?yàn)椋?,1］

2.已知函數(shù)/(%)=Zs譏(3%+0)缶〉0,3〉0,|勿〈芻的部分圖象如圖所示，D(5,0),B(2,A),

1

BCLCD,則〃分=(

A.4B.2V5C.4V2D.2V10

3>0,-5qv今的部分圖像如圖所示，若/⑻=熱則/(28+

3.已知函數(shù)/(%)=Asin^x+0)(4〉0,

7

D.

9

4.若aG(0/引，cos2a=g,則sina+cosa=()

2V2I+2V22V3

A.1

5.已知/(x)=sin(cox+(p)(u)>0)滿足fg)=1,/(17r)=0且/(x)在。，患)上單調(diào)，則co的最大

值為（）

1218630

A.—B.—C.—D.—

7171717

6.將函數(shù)/（久）=s譏&Y）（3>0）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的j縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g

（X）的圖象.若g（X）在（0,芻上有且僅有3個(gè)極值點(diǎn)，則3的取值范圍為（）

芋]B.(,'4]C.(4,爭(zhēng)D.(學(xué)，7]

71

7.已知角a的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)。，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,將角a的終邊繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)三后,

經(jīng)過點(diǎn)(-3,4),則sina=()

3V3+44-3V33V3-44+3V3

A.---------B.---------C.---------

10101010

8.函數(shù)/⑶=2s出（2x+0）（O〈0V當(dāng)?shù)膱D象如圖所示，現(xiàn)將y=f（x）的圖象各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來

的2倍，縱坐標(biāo)不變，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為（）

Ti

A.y=2sin(4x+冬)B.y=2sin(x+石)

TTTV

C.y=2sm(4x+@)D.y=2sin(x+2)

二.填空題（共5小題）

9.已知XI,X2是函數(shù)/（%）=2s譏（3%+0）-百?>0,的兩個(gè)零點(diǎn)，且出一%217n譏=?若將

函數(shù)/（X）的圖象向左平移g個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,且函數(shù)/（X）在。）內(nèi)恰有2個(gè)最

值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)e的取值范圍為.

10.已知a,0為銳角，且cosa=:，cos（a+/?）二則cos0的值為.

11.函數(shù)/1（%）=|s譏（3%+初（<o>0）的部分圖象如圖所示，則3=

12.已知函數(shù)/(九)=tan2x與g(%)=-看)的圖象在區(qū)間［-m川上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為相，直線x+y=2

與，(x)的圖象在區(qū)間［0,川上的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為小則機(jī)+幾=.

37r

13.已知/(x)=2sin(2X+5),若茄，xi,X3G［O,一］,使得/(xi)=f(%2)=/(兀3),若兀1+%2+工3的

32

最大值為M,最小值為N,則M+N=.

三.解答題(共7小題)

—>->—>T

14.已知向量a=(cos%,2sinx),b=(2cosx,V3cosx),函數(shù)/(%)=Q,b.

⑴若f(%o)=3且%。6(蔣，求cos2xo的值；

71

(2)將/(x)圖象上所有的點(diǎn)向右平移二個(gè)單位，然后再向下平移1個(gè)單位，最后使所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)

6

變?yōu)樵瓉淼腡，得到函數(shù)g(x)的圖象，當(dāng)9守時(shí)，解不等式g(x)".

15.設(shè)函數(shù)/(%)=2V3sm(^-+x)cosx+(sinx-cosx)2—1.

(1)求/(%)的圖象的對(duì)稱軸方程和對(duì)稱中心的坐標(biāo)；

(2)求f(x)在信，等上的最值.

16.已知/(x)=2sin(o)x+(p),其中3>0,|(p|

(1)若叩=/,函數(shù)>=/(%)的最小正周期7為4m求函數(shù)y=/(x)的單調(diào)減區(qū)間；

—>—>

(2)設(shè)函數(shù)y=/(無)的部分圖像如圖所示，其中ABSC=12,D(0,-V3),求函數(shù)的最小正周期T,

并求y=f(x)的解析式.

17.摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢的往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰

四周的景色(如圖1)某摩天輪的最高點(diǎn)距離地面的高度為90米，最低點(diǎn)距離地面10米，摩天輪上均

勻設(shè)置了36個(gè)座艙(如圖2),開啟后摩天輪按逆時(shí)針方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，游客在座艙離地面最近時(shí)的位置

進(jìn)入座艙，摩天輪轉(zhuǎn)完一周后在相同的位置離開座艙摩天輪轉(zhuǎn)一周需要30分鐘，當(dāng)游客甲坐上摩天輪

的座艙開始計(jì)時(shí).

圖1圖2

(1)經(jīng)過t分鐘后游客甲距離地面的高度為X米，已知X關(guān)于/的函數(shù)關(guān)系式滿足H⑺=Asin(3f+(p)

+B(其中A>0,3>0,求摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周的解析式反(f)；

(2)問：游客甲坐上摩天輪后多長(zhǎng)時(shí)間，距離地面的高度恰好為30米？

18.設(shè)/(無)=sinx+cosx(xGR).

(1)判斷函數(shù)丫=[/(X+*)]2的奇偶性，并寫出最小正周期；

_-JrTC

(2)求函數(shù)y=〃久》(久一方在[0,萬]上的最大值.

19.己知函數(shù)/(x)=cosx(2V^sinx+cos尤)-sin?尤.

(I)求函數(shù)/(無)的單調(diào)遞增區(qū)間和最小正周期；

(II)若當(dāng)x6[0,月時(shí)，關(guān)于尤的不等式/(無)/n,求實(shí)數(shù)相的取值范圍.

請(qǐng)選擇①和②中的一個(gè)條件，補(bǔ)全問題(II),并求解.其中，①有解；②恒成立.

20.已知函數(shù)/(x)=(siiu+V3cosx)(cosx-V3sinx).

(1)求函數(shù)/(無)的單調(diào)遞增區(qū)間；

677

(2)右/(xo)=耳，xoE[0/引，求cos2xo的值.

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之三角函數(shù)

參考答案與試題解析

一.選擇題(共8小題)

1.已知函數(shù)/(%)=久cos2%+cos22%,則下列結(jié)論不正確的是()

71

A.f(x)的最小正周期為a

B./(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(招，》對(duì)稱

C.若/(x+t)是偶函數(shù)，貝此=今+竽，依Z

D.f(x)在區(qū)間［0,*上的值域?yàn)椋?,1］

【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；三角函數(shù)的周期性.

【專題】整體思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】D

【分析】結(jié)合二倍角公式及輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷.

【解答】解：/(%)=y/3sin2xcos2x+cos22x

V3.,.1,,1

=-^-sin4x+,cos4x+q

冗、1

=sin(4X+N)+不，

6z

i

則T=Qi,A正確；

5TT157T1

因?yàn)?(媼)=7'即函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于(喜，萬)對(duì)稱，5正確；

若/(x+/)—sin(4X+4/+N)+亍是偶函數(shù)，則4%+/=方+/CTT,

62oL

所以「=召+^依Z,C正確；

,7?■，加7T77r177

當(dāng)04％工不時(shí)，一＜4%+一＜—，―5〈sin(4x+z)WL

466626

所以0Wf(x)w|,。錯(cuò)誤.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦函數(shù)的對(duì)稱性，周期性，奇偶性，單調(diào)性的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

2.己知函數(shù)/'(久)=2s譏(3工+0)(力＞0,3＞0,|何＜芻的部分圖象如圖所示，D(5,0),B(2,A),

1

BC±CD,則/(分=()

A.4B.2V5C.4V2D.2V10

【考點(diǎn)】由y=Asin(3x+(p)的部分圖象確定其解析式.

【專題】函數(shù)思想；數(shù)形結(jié)合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】B

__TT訂

【分析】依題意，可求得了(x)=2gsin(-x+g),從而可求得答案.

1

【解答】解：,?二7=5-2=3,

4

.?.7=§=12,解得3=今

3O

由“五點(diǎn)作圖法”可得2x[+<p=。

6丁，

?71

..(p=9

TC77

(x)=Asin(-x+z).

J66

AA

又f(0)=丁即C(0,—),

,:B(2,A),D(5,0),BC1.CD,

.^-A0~2幺2

:.kBC。kcD=5------=——=—1,A>0,

0-25-040

.*.A=2V10,

---TC77

.*./(x)=2VT0sin(r+z),

6o

1,_n「

:.f(-)=2V10sin—=2A/5.

J24

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查由〉=啟吊(0)對(duì)5)的部分圖象確定其解析式，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

3.已知函數(shù)/(久)=4s譏(3刀+0)(力〉0,3〉0,—*VrV芻的部分圖像如圖所示，若f(8)J則f(26+

竽)=(

)

7

A.B.C.D.-

99

【考點(diǎn)】由y=Asin(<nx+<p)的部分圖象確定其解析式.

【專題】整體思想；綜合法;三角函數(shù)的求值；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】D

【分析】由最值求出A,由五點(diǎn)作圖及特殊點(diǎn)求出3,<p,進(jìn)而求出/G）,然后結(jié)合誘導(dǎo)公式及二倍角

公式即可求解.

【解答】解：由題意得A=l,f（0）=sincp=

所以叩=1f(x)=sin（3X+可）,

,,47ra)n

因?yàn)槎?5=n'

一一117T

所以3=2，f（X）=sin(一x+萬),

23

1-7T1

因?yàn)?（。）sin(16+-)=亍,

233

則/'(29+等)=sin(0+普)=sin(6+竽+*)

2TTo17117

cos(。+竽)=1-2sin2(-0+-)=1-2x2=(.

32399

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了部分函數(shù)的性質(zhì)求解y=Asin（3x+<p）的解析式，還考查了二倍角公式及誘導(dǎo)

公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

4.若aG(0/今，cos2a=g,則sina+cosa=(

2V21+2V22V3

A.1B.——C.---------D.——

333

【考點(diǎn)】二倍角的三角函數(shù)；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】C

【分析】由已知利用二倍角的余弦公式可求cosa的值，進(jìn)而利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sina的

值，即可得解sina+cosa的值.

【解答】解：因?yàn)閍W（0,分cos2a==2cos2a-1,

所以cosa=^或—竽（舍去），

所以sina=V1—cos2a=亍，

,2721+2V2

貝!Jsina+cosa=+=-6-

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二倍角的余弦公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)

化思想，屬于基礎(chǔ)題.

5.已知/（%）=sin（u）x+（p）（u）>0）滿足f?）=1,/（尚兀）=0且/（x）在。，/上單調(diào)，則3的最大

值為（）

1218630

A.—B.—C.—D.—

7171717

【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的單調(diào)性.

【專題】整體思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】B

【分析】通過對(duì)稱軸與對(duì)稱點(diǎn)得出3的式子，再通過單調(diào)得出3的范圍，即可得出答案.

【解答】解：：/（無）=sin（3X+①）（3>0）滿足/弓）=1,=0,

571TnT177r

-7T——=—+—，即T=二』(九GN*),

34423+6公)

.6+12n/_z*、

??3=一正一(nEN),

V/（x）在6,沿上單調(diào),

5717r771T271rL12

——一一=—<-=—，即3<亍,

641222a7

18

當(dāng)"=1時(shí)3最大，最大值為百,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

6.將函數(shù)“X）=S譏弓3K-軟3>0）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g

（X）的圖象.若g（X）在（0,電上有且僅有3個(gè)極值點(diǎn)，則3的取值范圍為（）

A.(2>~2~]B.(2，4]C.(4,D.，7]

【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin(wx+cp)的圖象變換.

【專題】函數(shù)思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】C

【分析】依題意，可得g。)=Si7l(23久-奇，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得3的取值范圍.

【解答】解:將函數(shù)人久)=s譏&3X-奇(3>0)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的右縱坐標(biāo)不變,

__冗

可知，g(%)=sin(2oox—6)，

VO<x<J,

TC71,2607171

一7（J—7---彳.

6<20X636

又g(x)在(0,芻上有且僅有3個(gè)極值點(diǎn),

5TT2(x)nn7n

:.—V----——<一,

2362

解得4<3<芋，

3的取值范圍為：(4,學(xué)].

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)y=Asin(3x+<p)的圖象變換，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

7T

7.已知角a的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O,始邊與無軸的非負(fù)半軸重合，將角a的終邊繞。點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)三后,

經(jīng)過點(diǎn)(-3,4),則sina=()

3V3+44-3V33V3-44+3V3

A.------B.------C.------

10101010

【考點(diǎn)】任意角的三角函數(shù)的定義.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】B

【分析】直接利用三角函數(shù)的定義和角的變換的應(yīng)用求出結(jié)果.

TCTT

【解答】解：...角a的終邊按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)三后得到的角為a-等由三角函數(shù)的定義：可得cos(a-

3J

71、—33./71、4

引二百丁甲s皿a「)二

（-3）2+42

...,71,71、.,n、71,,7T、,7T41,,3、遮4—373

??SITICC=SlYiyOL—可+可）=5譏（仇一g,COS可+COS\OL--^）SITI可=耳義'+（一5）X=——

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)的定義，三角函數(shù)的角的變換，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)

換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.函數(shù)/(久)=2s出(2X+9)(0VRV芻的圖象如圖所示，現(xiàn)將>=/⑴的圖象各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來

的2倍，縱坐標(biāo)不變，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為()

A.y=2sin(4x+^-)B.y-2sin(x+

7T7T

C.y—2sin(4x+-^)D.y=2sin(x+2)

【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin(3x+(p)的圖象變換.

【專題】整體思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】D

【分析】根據(jù)圖像的最大值點(diǎn)以及正弦函數(shù)的性質(zhì)求出<p的值，進(jìn)而求出函數(shù)/(x)的解析式，再根

據(jù)圖像變換即可求解.

【解答】解：由圖像可得當(dāng)x=金時(shí)，函數(shù)取得最大值，

貝U2義^2+隼=2A~TT+2,k&Z)解得(p=2Znr+可，keZ,

又o<<pvg,所以<p=q,

所以函數(shù)的解析式為/(x)=2sin⑵+5)，

則y=/(x)的圖象各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，

所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y=2sin(尤+?),

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)y=sin(3無+隼)的圖形變換，涉及到求解函數(shù)解析式的問題，考查了學(xué)生的

運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

二.填空題（共5小題）

9.已知xi,無2是函數(shù)f（久）=2sin（3x+卬）一百（3>0,|9|<^）的兩個(gè)零點(diǎn)，且|與-%21譏=*若將

函數(shù)/（X）的圖象向左平移;個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且函數(shù)/（X）在G，。）內(nèi)恰有2個(gè)最

57r47r

值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)e的取值范圍為（―,1.

【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（a）x+（p）的圖象變換.

【專題】整體思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

■八八一■5兀47r

【答案】（―,—].

OD

【分析】由已知結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)先求出了（無）的解析式，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解。的范

圍.

【解答】解：由題意，函數(shù)/（%）=2s譏（3%+0）-遮3>0,\（p\<^）的兩個(gè)零點(diǎn)，且|%1-％217n譏=著，

則（i）xi+（p=2內(nèi)r+于ZEZ,

2TT

（Ji）X2+（p=2〃Tl+

所以co（%2-xi）=5+2（n-k）n,

r710）71

即---=一,

63

所以o）=2,

所以f（%）=2sin（2x+9）—遍，

7T

又因?yàn)閷⒑瘮?shù)/G）的圖象向左平移]個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，

所以/（%）=2sin（2x+等+0）為偶函數(shù)，

271JI

則-+（p=^7T+矛左EZ,

又因?yàn)镮sl

所以（p=-*f（x）=2sin（2x—■卷）—V3,

當(dāng)%€/，8）時(shí)，|<2x-1<20-I，函數(shù)有且只有兩個(gè)最值點(diǎn)，

匚u1、13"-八TC>5TT

所以〈<26-^工亍，

262

…“5兀4TT

解得丁<e<

63

一y、，5TT4TT

故答案為：（二，—

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)在函數(shù)解析式求解中的應(yīng)用，還考查了正弦函數(shù)最值取得條件

的應(yīng)用，屬于中檔題.

4165

10.已知a,0為銳角，且cosa=耳，cos（a+8）=—希，則co已的值為口.

【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的三角函數(shù).

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)同角三角形函數(shù)關(guān)系及角的范圍得到sin（a+/?）=If和sina=|,利用湊角法及余弦差角

公式進(jìn)行計(jì)算.

【解答】解：YOVaV/,0<y?<J,

.*.0<a+p<n.

由cos(a+0)——得si?i(a+/?)=-y1—cos2((z+/?)=^1—(―

4

又cosa=1，

?

??six?i.cc_—53.

cosp=cos[(a+p)-a]=cos(a+0)cosa+sin(a+0)sina

,16、4,6335

=^65)X5+65X5=13-

故答案為：卷.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩角差的余弦公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

7r3

11.函數(shù)/（X）=|s譏（3X+可）|（3>0）的部分圖象如圖所示，則3=5

【考點(diǎn)】由y=Asin（wx+cp）的部分圖象確定其解析式.

【專題】函數(shù)思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

3

【答案】--

【分析】由圖象可知f(m)=0,即可推出3=干，kez.進(jìn)而根據(jù)圖象可推得不<7<M，即

99

可得出一〈3〈一，進(jìn)而可得出答案.

84

【解答】解：由題圖知，/(萼)=0,則3a)+—=kji,kEZ,解得3=3,kEZ,

設(shè)。(%)=sin(a)x+芻的最小正周期為T,

口，T47rT?187r167r

易知一<—<-,所以一<T<—，

49299

t?，87r27r167r-"99

因?yàn)閍)>0,所以一V—V---，解得一<(JL)<~,

93984

當(dāng)且僅當(dāng)％=1時(shí)，符合題意，此時(shí)3=9.

3

故答案為：

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角函數(shù)的周期性，屬于基礎(chǔ)題.

12.已知函數(shù)/(x)=tan2x與g(%)=-看)的圖象在區(qū)間［-h，川上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為相，直線x+y=2

與f(x)的圖象在區(qū)間［0,川上的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為小則加十幾=7.

【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的圖象；余弦函數(shù)的圖象.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】7.

【分析】直接利用正弦型函數(shù)和正切型函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出交點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【解答】解：函數(shù)/(x)=tan2x與。(久)=sin('-1)的圖象在區(qū)間［-11,n］上的圖象,

如圖所示：

故函數(shù)/(x)=tan2x與函數(shù)g(%)=sin(工一號(hào))在區(qū)間［-JT,IT］上的圖象上交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4,即機(jī)=4,

直線x+y=2與/(%)的圖象在區(qū)間［0,川上的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3,即〃=3,

故m+n=7.

故答案為：7.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：正弦型函數(shù)和正切型函數(shù)的圖象，主要考查學(xué)生的理解能力和畫圖能力，

屬于中檔題.

37T

13.已知小)=2sin⑵+卜若9，必X3G[O,y],使得/(xi)=f(x2)=/8),若xi+i的

237r

最大值為M,最小值為N,則M+N=—.

5

【考點(diǎn)】三角函數(shù)的最值；正弦函數(shù)的圖象.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】等.

6

【分析】直接利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用和函數(shù)的值的應(yīng)用求出函數(shù)的最大值和最小值，最后求出最

值的和.

3冗

【解答】解：作出函數(shù)/(X)在[0,3]上的圖象，XI,XI,尤3為函數(shù)/(X)的圖象與函數(shù)>=機(jī)圖象的

交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，數(shù)形結(jié)合即可求出M和N的值；

作出函數(shù)/(x)的圖象；

如圖所示：

①當(dāng)函數(shù)/(X)的圖象與函數(shù)y=W的圖象相交時(shí)，前三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為XI,X2,X3,此時(shí)取N,

,7171

%1+%2=12x=6*

f(it)=2sin(371+=—V3,所以％3=ir,

所以N=+冷+%3=X2+7T=-g~,

②當(dāng)函數(shù)/(X)的圖象與函數(shù)y=-遮的圖象相交時(shí)，前三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為XI,X2,X3,此時(shí)取

M,

,77rc77r

+%2=交X2=可,

/(岑)=2s譏(3兀+5)=—V3

即%3=:，

所以："=普+竽=粵，

故弘+2等+普=等.

237r

故答案為：——.

6

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，三角函數(shù)的值的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算

能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題.

三.解答題(共7小題)

—>->—>T

14.已知向量a=(cos%,2sinx),b=(2cosx,V3cosx),函數(shù)/(%)=Q，b.

⑴若f(%o)=3且%。6(蔣，求cos2xo的值；

71

(2)將/(x)圖象上所有的點(diǎn)向右平移二個(gè)單位，然后再向下平移1個(gè)單位，最后使所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)

變?yōu)樵瓉淼?，得到函?shù)g(x)的圖象，當(dāng)9守時(shí)，解不等式g(x)".

【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin(3x+(p)的圖象變換；平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

.林士▼/r、3—4A/3

【答案】(1)——;

10

⑵殺5-

【分析】(1)由向量的數(shù)量積運(yùn)算及三角恒等變換化簡(jiǎn)/(X)解析式，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及

兩角差的余弦公式化簡(jiǎn)求解即可；

(2)利用三角函數(shù)圖象的平移變換求出g(無)，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)解不等式即可.

T7

【解答】解:(1)/(x)=a-b=2cos*x+2y[3sinxcosx..................1分

=cos2x+1+V3sm2x....3分

=2sin(2x+1)+1,............4分

因?yàn)?(%o)=3即2s譏(2%o+看)+1=哲所以sin(2%o+看)=',...5分

又%?！核?久。+髀段,沿，

所以cos(2%o+看)=..................6分

-JT-TT

所以cos2%o=COS(2XQ+6一石)，...........................7分

=cos(2x0+看)cos看+sin(2x0+看)si九看

4V3,31

=-5XT+5X2

=直”1...............8分

10,刀

(2)由題意知，g(%)=4(2si?i(2(%—1)+看)+1—1)=s譏(2%一1)，...10分

,1,口1n57r

由g(%)>亍得一+2/CTT<2%——<一+2klI,kEZ,

z666

7171

所以一+/c7T<%<_+kn,kEZ,.................................11分

62

令k=0,得x6/舒，令k--1,得%6[―,—月，

又XE[一/引，所以％6吟，丁

故不等式g(x)號(hào)，XG[-1,勺的解集為強(qiáng)|].................13分

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，三角恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象的平移變換，考查運(yùn)算

求解能力，屬于中檔題.

15.設(shè)函數(shù)/(%)=2V3sin(^+x)cosx+(sinx-cosx)2—1.

(1)求/(x)的圖象的對(duì)稱軸方程和對(duì)稱中心的坐標(biāo)；

(2)求fG)在信,第上的最值.

【考點(diǎn)】三角函數(shù)的最值；正弦函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性.

【專題】函數(shù)思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】(1)/(%)的圖象的對(duì)稱軸方程為x=竽-若，kez；對(duì)稱中心的坐標(biāo)為(3+/V3),kez；

(2)f(x)的最大值為2遮，最小值為-2+回

【分析】(1)利用三角恒等變換化簡(jiǎn)得/(x)=2cos(2尤+看)+V3,利用余弦函數(shù)的性質(zhì)可求得了(尤)

的圖象的對(duì)稱軸方程和對(duì)稱中心的坐標(biāo)；

⑵x嗚，將知+看嗎詈],利用余弦函數(shù)的性質(zhì)可求得了(x)的最值.

【解答】解：(1),.*/(x)=2V5cos2龍-sin2x=W(l+cos2x)-sin2x=2cos(2x+5)+V3,

/o

令2x+n=kn,

6

Eiik"JTTT,__

則x—-2—夏?，％CZ,

：.f(x)的圖象的對(duì)稱軸方程為彳=竽—各蛇Z；

令2x+n=Arc+左

6LEZ,

rrt.iklTTT.?

則X=-5-+z，依

，oZ,

knTI一

(x)的圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為(一+-，V3),%EZ；

26

⑵)尤6%，策今2x+江g等]，

TTV3

cos(2x+z)E[一1，—]，

62

,V(x)G[-2+V3,2V3],

.V(x)的最大值為2V3,最小值為-2+V3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

16.已知/(x)=2sin(o)x+(p),其中u)>0,|(p|<^.

⑴若中=全函數(shù)y=/(x)的最小正周期T為4n,求函數(shù)尸/⑴的單調(diào)減區(qū)間；

(2)設(shè)函數(shù)>=/(無)的部分圖像如圖所示，其中幾?元=12,0(0,-V3),求函數(shù)的最小正周期T,

并求>=/(X)的解析式.

【考點(diǎn)】由丫=人5吊(u)x+(p)的部分圖象確定其解析式；三角函數(shù)的周期性；正弦函數(shù)的單調(diào)性.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案1(1)[4/CTT+]，4/C7T+GZ);

(2)/(%)=2sin(^x—

【分析】(1)由周期公式求出o),可得/(x)解析式，再由正弦函數(shù)的單調(diào)性求解即可;

—>—>rp2.

(2)由題意可得48?AC=-彳+16,結(jié)合已知條件求出周期T,從而求出3,將。(0,-遮)代入了

(x)解析式中，結(jié)合中的取值范圍可得隼的值，從而可得了(x)的解析式.

【解答】解:(1)若9=%函數(shù)y=/(x)的最小正周期T為4m

則7=—=4兀，解得3=

故/(%)=2sin(^x+勺.

令2/CTT+久+2/CTT+(kGZ),

解得4ATTT+2~~(左EZ),

解得單調(diào)減區(qū)間為[4/c7i+§,4/CTT+^-](fc6Z).

(2)由題可得久/一%B=2，xc-XA=2f班-,3=4,yc-yA=4,

貝iMB=(一今，-4),AC=Q,-4),

—>—>rp2.

因此,AC=—+16,

—>—>

又AB?AC=12,得T=4.

由T=父=4,得3=5.

(1)Z

再將D(0,一遮)代入y=/(x),即2s譏卬=-V3.

由⑼V*,解得0=—申

因此y=/(x)的解析式為/(無)=2singx-號(hào)).

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查由y=Asin(Qt+隼)的部分圖象確定其解析式，考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查運(yùn)算

求解能力，屬于中檔題.

17.摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢的往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰

四周的景色(如圖1)某摩天輪的最高點(diǎn)距離地面的高度為90米，最低點(diǎn)距離地面10米，摩天輪上均

勻設(shè)置了36個(gè)座艙(如圖2),開啟后摩天輪按逆時(shí)針方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，游客在座艙離地面最近時(shí)的位置

進(jìn)入座艙，摩天輪轉(zhuǎn)完一周后在相同的位置離開座艙摩天輪轉(zhuǎn)一周需要30分鐘，當(dāng)游客甲坐上摩天輪

的座艙開始計(jì)時(shí).

圖1圖2

(1)經(jīng)過f分鐘后游客甲距離地面的高度為H米，已知X關(guān)于/的函數(shù)關(guān)系式滿足8G)=Asin(3r+(p)

+B(其中A>0,3>0,|<p|WTt),求摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周的解析式A(f)；

(2)問：游客甲坐上摩天輪后多長(zhǎng)時(shí)間，距離地面的高度恰好為30米?

【考點(diǎn)】三角函數(shù)應(yīng)用；由y=Asin(a)x+cp)的部分圖象確定其解析式.

【專題】函數(shù)思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】(1)l(t)=-40cos各+50,怎［0,30］；

(2)游客甲坐上摩天輪5分鐘或25分鐘時(shí)，距離地面的高度恰好為30米.

【分析】(1)利用正弦型函數(shù)的一般式y(tǒng)=Asin(wZ+cp)+B結(jié)合題意，求出A,co,<p,B-,

(2)根據(jù)(1)求出的表達(dá)式，將=30化簡(jiǎn)求得f.

【解答】解：(1)H⑺=Asin(3f+(p)+B(其中A>0,3>0,|(p|<Tt),

由題意知：f4+8=90A=40

-X+B=10B=50'

27rn

T=—=30=a=

(A)15

故=40s譏(含t+0)+50,

9：H(0)=10,

??sincp==-1,

又

?71

??(P——2，

：?H(t)—40si?i(y^t—引+50——40cost+50,

故解析式為：H(t)=-40cos含t+50,怎［0,30］；

(2)令H(/)=30,則一cost=—mBPcos1=

Ti

因?yàn)樯希?,30］,則一tE［0,2TT］,

15

TC7T,、57r

所以77t=二或7T，

1533

解得t=5或t=25,

故游客甲坐上摩天輪5分鐘或25分鐘時(shí)，距離地面的高度恰好為30米.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，屬于中檔題.

18.設(shè)/(x)=sinx+cosx(xGR).

(1)判斷函數(shù)丫=[/(久+今]2的奇偶性，并寫出最小正周期；

rrr](

(2)求函數(shù)y=/(%)/(%—今在[0,萬]上的最大值.

【考點(diǎn)】三角函數(shù)的最值；三角函數(shù)的周期性.

【專題】三角函數(shù)的求值.

【答案】(1)非奇非偶函數(shù)，1T；

(2)1+孝.

【分析】(1)對(duì)函數(shù)/(x)進(jìn)行三角恒等變換，代入變量，從而判斷函數(shù)y的奇偶性，利用公式求出最

小正周期；

(2)代入變量，化簡(jiǎn)后進(jìn)行三角恒等變換，根據(jù)變量的取值范圍，結(jié)合函數(shù)圖像得出最大值.

【解答】解：(l)/(x)=V2(Jsinr+孝cosx)=V2sin(x+今)，

f(x+5)=V2sin(x+5+5)=V2cos(x+?)>

JLL44

y=2cos2(x+今)=1+cos(2x+=1-sin2x,

由此可見函數(shù)y為非奇非偶函數(shù)，最小正周期為

故函數(shù)y為：非奇非偶函數(shù)，最小正周期為：e

(2)y=2sin(x+fsinx=V2(sin2x+sinxcosx)

,—11i兀^2

=V2(一一一cos2x+7；sin2x)=sin(2x—7)+-5-,

22242

當(dāng)0&芋,當(dāng)2x—左=0y取得最大值，為1+辱,

N44441ZZ

故函數(shù)y的最大值為：1+孝.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的合并化簡(jiǎn)和二倍角公式，屬中檔題.

19.已知函數(shù)/(x)=cosx(2V3siiix+cosx)-sin2x.

(I)求函數(shù)/G)的單調(diào)遞增區(qū)間和最小正周期；

(II)若當(dāng)％C[0,芻時(shí)，關(guān)于x的不等式/(%)2m，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

請(qǐng)選擇①和②中的一個(gè)條件，補(bǔ)全問題（II）,并求解.其中，①有解；②恒成立.

【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的三角函數(shù)；正弦函數(shù)的單調(diào)性.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】（/）先結(jié)合二倍角公式及輔助角公式對(duì)已知函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性及周期

性可求；

（〃）若選擇①，由/（X）2也有解，即（尤）max,結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求；

若選擇②，由/（無）〉相恒成立，即機(jī)勺'（X）,”加，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求.

【解答】（I）解：因?yàn)?'（X）=2百5譏XCOSX+