2023年高考全國乙卷數(shù)學（文）試題（解析版）

2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（全國乙卷）

文科數(shù)學

一、選擇題

|2+i2+2i3|=

1.?1()

A.1B.2C.75D.5

【答案】C

【解析】由題意可得2+i?+2i3=2—1—2i=l—2i，

則|2+i2+2i3卜|l-2i|=^12+(-2)2=6

故選：C.

2.設(shè)全集。={0,1,2,4,6,8},集合M={0,4,6},N={0,1,6},則Mu集N=()

A.{0,2,4,6,8}B.{0,1,4,6,8}C.{1,2,4,6,8}D.U

【答案】A

【解析】由題意可得={2,4,8},則M2N={0,2,4,6,8}.

故選：A.

3.如圖，網(wǎng)格紙上繪制的一個零件的三視圖,網(wǎng)格小正方形的邊長為1,則該零件的表面

積為（）

B

A.24B.26C.28D.30

【答案】D

【解析】如圖所示，在長方體-中，AB=BC=2,M=3,

點H,I,J,K為所在棱上靠近點耳,G,，,A的三等分點，。L,M,N為所在棱的中點,

則三視圖所對應的幾何體為長方體ABC。-A4GR去掉長方體ON/G-之后所

得的幾何體，

該幾何體的表面積和原來的長方體的表面積相比少2個邊長為1的正方形,

其表面積為：2x（2x2）+4x（2x3）-2x（lxl）=30.

故選：D.

jr

4.在一ABC中，內(nèi)角A,3,C的對邊分別是a,dc,若acosB—灰osA=c,且。=］，則

ZB=()

717137c2兀

A.—B.—C.—D.—

105105

【答案】C

【解析】由題意結(jié)合正弦定理可得sinAcosB-sinBcosA=sinC,

即sinAcosB-sinBcosA=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA,

整理可得sin5cosA=0,由于5￡(0,兀)，故sin5>0,

據(jù)此可得cosA=0,A='，則3=兀一4—C=兀一'一2=

22510

故選：C.

5.已知是偶函數(shù)，則4=()

e1

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】因為為偶函數(shù)，則

p(aT)x~|

(-3X\C-c

/(x)T(r—------^:0,

e-e-a￥-le^-l

又因為工不恒為0,可得^_屋一3=0，即］=屋一小，

則x=(a—l)x,即l=a—1,解得a=2.

故選：D.

6.正方形ABC。的邊長是2,E是A3的中點，則EC.EO=（）

A.75B.3C.2A/5D.5

【答案】B

r）uimuumuunuum

【解析】方法一：以｛AB,A。｝為基底向量，可知AB=AD=2,ABAD=0,

uunuuruurniuunuumuumuuruumiuunuum

則EC=EB+BC=-AB+AD,ED=EA+AD=——AB+AD,

22

uunuum（iuunuum、（iuunuumAiuun、uum,

所以EC-ED=+?—/AB+AD=—+AD=-1+4=3；

方法二：如圖，以A為坐標原點建立平面直角坐標系，

/、/UUUUUU

則E（l,o）,C（2,2）,D（0,2）,可得EC=（1,2）,ED=（-1,2）,

umuuuu

所以EC?即=—1+4=3；

方法三：由題意可得：ED=EC=4i,CD=2,

DE2+CE?-DC?5+5-4_3

在,CDE中,由余弦定理可得cosZDEC=

2DECE2xV5xV5-5

uunuunuunuunx^/5x-|

所以EC?ED=ECEDcos/DEC==3.

故選：B.

|r

7.設(shè)O為平面坐標系的坐標原點，在區(qū)域｛（%》）|1</+）；2<4｝內(nèi)隨機取一點4則直

7T

線0A的傾斜角不大于一的概率為（）

4

D.

2

【答案】C

【解析】因為區(qū)域｛（%封1"爐+,2K4｝表示以。（0,0）圓心，外圓半徑R=2,內(nèi)圓半徑

r=1的圓環(huán),

IT

則直線Q4的傾斜角不大于一的部分如陰影所示，在第一象限部分對應的圓心角

4

TT

ZMON=~,

4

2x兀

結(jié)合對稱性可得所求概率_4_1?

1D—-------——

2兀4

故選：C.

8.函數(shù)〃%)=%3+雙+2存在3個零點，則〃的取值范圍是()

A.(口,一2)B.3)C.(Y,T)D.

(-3,。)

【答案】B

【解析】f(x)=x3+6ZX+2,貝！J/'(x)=3/+〃，

若/(%)要存在3個零點，則/(%)要存在極大值和極小值，則〃<0,

令/(尤)=3必+。=0,解得x=-

且當s,-Jf]

。時，f'(x)>0,

7

當xe-/3<0

故/(%)的極大值為J?],

極小值為,

一/

用>。[需-收+2〉。

f-

若/(九)要存在3個零點，則:—/，即VY，解得3,

舟。區(qū)尋#+2<。

7b

故選：B.

9.某學校舉辦作文比賽，共6個主題，每位參賽同學從中隨機抽取一個主題準備作文，則

甲、乙兩位參賽同學抽到不同主題概率為()

52-1

A.—B.—C.—D.—

6323

【答案】A

【解析】甲有6種選擇，乙也有6種選擇，故總數(shù)共有6x6=36種，

若甲、乙抽到的主題不同，則共有A；=30種，

305

則其概率為

366

故選：A.

10.已知函數(shù)/(x)=sin(tox+9)在區(qū)間單調(diào)遞增，直線工=4和*=當為函數(shù)

6

y=/(x)的圖像的兩條對稱軸，則/

A.一顯1

B.——D

22C1T

【答案】D

兀2兀

【解析】因為/(x)=sin(ox+9)在區(qū)間單調(diào)遞增,

65T

LLI、T2兀71兀L八LIE2兀_

所以一=------二一，且外＞0,則7=兀，w=—=2,

2362T

當x=N時，/(九)取得最小值，則2?工+e=2E—殳，k?z,

662

則/(x)=sin(2x—g),

11.已知實數(shù)滿足f+丁―4x—2y—4=0,則x—y的最大值是()

7

B.4c.1+3A/2D.7

【答案】C

【解析】法一：令x—y=k,則x=k+y,

代入原式化簡得2y2+(2左一6)y+左2—4左一4=0,

因為存在實數(shù)V，則A20,即(2左一6)2—4x2(左2一4左一4)20,

化簡得左2—2左一1740，解得1—3行〈左<1+30，

故x—y的最大值是30+1，

法二：x2+y2-4x-2y-4=0,<?(x-2)2+(y-l)2=9,

令x=3cos6+2,y=3sin6+l,其中6e[0,2可,

則x-y=3cos6-3sine+l=3后cos[6+[]+1,

JTJTVJjTTT7口

6e[0,2?],所以e+,則e+—=2兀，即8=——時，x—y取得最大值

L」4144」44

30+1，

法三：由％2+,2_4%_2,_4=0可得0：_2)2+0_1)2=9,

12-14|

設(shè)x-y=左，則圓心到直線x-y=k的距離d

解得1—30〈左＜1+3虛

故選：C.

2

12.設(shè)A,B為雙曲線V-匕=1上兩點，下列四個點中，可為線段A8中點的是（

9

A.（1,1）B.（-1,2）C.（1,3）D.

（TT）

【答案】D

【解析】設(shè)A（x，X）,5（%，%），則的中點M［受孕，國產(chǎn)

%-%「2_另+%

x-x玉+%2

12%+x2

2

i=l

X；一

9兩式相減得（才-考）-若戈=0，

因A3在雙曲線上，則《2，

xf-A=i

9

所以kAB,左=e—叁=9.

%-x2

對于選項A：可得左=1,左AB=9,則A3：y=9x—8,

\=9%-8

聯(lián)立方程<2y2_，消去y得72f—2X72X+73=0，

I9

止匕時△=（—2x72）2—4x72x73=—288<0,

所以直線AB與雙曲線沒有交點，故A錯誤；

995

對于選項B：可得左=-2,&B=-2，則AB:y=—QX—Q,

95

y=——x——

■22

聯(lián)立方程<2，消去丫得45/+2X45X+61=0，

X

[-9---------1

止匕時△=（2x45）2—4x45x61=—4x45xl6<0,

所以直線AB與雙曲線沒有交點，故B錯誤；

對于選項C：可得左=3,左油=3,則AB:y=3x

由雙曲線方程可得a=12=3,則A3：y=3%為雙曲線的漸近線，

所以直線AB與雙曲線沒有交點，故C錯誤；

.997

對于選項D：k=k.?=一,則AB:y=—x—,

444

[97

y=-x——

?44

聯(lián)立方程<2，消去>得63x?+126x—193=0，

d一二=1

[9

此時八=1262+4X63><193>0，故直線AB與雙曲線有交兩個交點，故D正確;

故選：D.

二、填空題

13.已知點A0,若）在拋物線C：y2=2px±.,則A到C的準線的距離為.

9

【答案】一

4

【解析】由題意可得：（、6）2=2°xl,則2P=5,拋物線的方程為y=5%，

準線方程為戶1,點A到。的準線的距離為1-

9

故答案為：一.

4

14.若=e,則sin?！猚os6=

【答案】一好

5

JI

【解析】因為。e0,-,則sin8>0,cose>0,

I

又因為tan〃=嗎=1,貝Ucos6=2sin。，

COS02

JLcos23+sin2=4sin20+sin20=5sin28=1，解得sin。=——或sin。=----（舍去）,

55

所以sing—cos6=sing—2sin6=-sing=一

5

故答案為：一逝.

5

x-3y<-1

15.若x,y滿足約束條件｛x+2y<9,則z=2x—y的最大值為.

3x+y>7

【答案】8

【解析】作出可行域如下圖所示:

z=2x-y,移項得y=2x-z,聯(lián)立x-3y有=-1'解叱%==52

設(shè)4(5,2),顯然平移直線y=2%使其經(jīng)過點A,此時截距-z最小，貝”最大,

代入得z=8,故答案為：8.

16.已知點S,A3,。均在半徑為2的球面上，是邊長為3的等邊三角形，&4,平面

ABC,則S4=.

【答案】2

【解析】如圖，將三棱錐S-ABC轉(zhuǎn)化為直三棱柱SAW-ABC,

2〃=A萬—J—2^/3

設(shè)，ABC的外接圓圓心為。1，半徑為,，則一sinNAC§—3一，可得廠=g\

2

設(shè)三棱錐S-ABC的外接球球心為0,連接OA,OO.,則OA=2,OOi=^SA,

因為。A?=OO；+aA2,即4=3+:必2,解得S4=2.

故答案為：2.

三、解答題

17.某廠為比較甲乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應，進行10次配對試驗，每次配

對試驗選用材質(zhì)相同的兩個橡膠產(chǎn)品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝

處理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率.甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別

記為玉，=1,2,…,10).試驗結(jié)果如下：

試驗序號i12345678910

伸縮率￡545533551522575544541568596548

伸縮率%536527543530560533522550576536

記4=%—%?=1,2,…,10),記Z”Z2,%的樣本平均數(shù)為1樣本方差為$2.

(1)求三，一;

(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯

著提高(如果，22］：，則認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡

no

膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否則不認為有顯著提高)

【答案】(1)Z=11,？=61；

(2)認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提

rWj.

，皿r_545+533+551+522+575+544+541+568+596+548.

［解析］(1)x=--------------------------------------------------------------------=552.3,

10

_536+527+543+530+560+533+522+550+576+536?「

y=---------------------------------------------------------------------=541.3,

10

5=元-5=552.3—541.3=11,馬=%一%的值分別為:

9,6,8,-8,15,11,19,18,20,12,

故

2(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+0+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-11)2

s=-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

10

(2)由(1)知：z=ll,2g=2瘋1=衣4，故有彳N2年,

所以認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提

高.

18.記S“為等差數(shù)列｛4｝的前〃項和，己知外=11,號0=40.

(1)求｛%｝的通項公式；(2)求數(shù)列｛寓|｝的前幾項和1.

14n-n2,n<7

【答案】(1)=15—2"；⑵T"=<

n2-14n+98,n>8

【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,

a=q+d=ll

2a.+d=11%=13

由題意可得《即<解得《

inxQ

Si。=10qH-------d=402q+9d=8d=—2

所以q=13_2(〃_l)=15_2〃；

(2)因為S="。3+15二2嘰］4—“2,令4=15—2〃>0,解得〃<"，且〃eN*，

22

當/47時,則4>0,可得<=同+|々2卜---2T卜=14〃—;

當"28時，貝I<0,可得1=M+?|----------------------------F%)—(“8"1----

22298；

=S7-(Sn-57)=2S7-5n=2(14x7-7)-(14n-n)=Az-14^+

14〃一〃2,〃《7

綜上所述：T=\

nn2-14n+98,n>8

19.如圖，在三棱錐尸―ABC中，AB±BC,AB=2，BC=2叵，PB=PC=?

的中點分別為RE,。，點廠在AC上，BFLAO.

(1)求證：政//平面ADO；(2)若NPO尸=120。，求三棱錐P—ABC的體

積.

【答案】(1)證明見解析；(2)巫.

3

【解析】(1)連接尸，

..1

設(shè)AF=ZAC,則3/=BA+A/=(1—f)3A+/3C,AO=-BA+-BC,

BFVAO,

121X

則BFAO=[(l-t)BA+tBC]-(-BA+-BC)=(t-1)BA+-tBC2=4(t—1)+4/=0,

解得/=,，則R為AC的中點，由D,E,O,歹分別為尸3,PA3cAe的中點，

2

于是DE//AB,DE==AB,OF//AB,OF==AB,郎DE//OF,DE=OF,

22

則四邊形ODEF為平行四邊形，EF//DO,EF=DO,

又所仁平面ADO,。。u平面A。。，所以所//平面A￡>0.

(2)過P作尸M垂直尸。的延長線交于點Af,

因為P3=PC,O是中點，所以PO15C,

在中，PB=?BO=；BC=所以PO=《PB2—OB2=7^=2,

因為45,5。,0尸//43,所以O(shè)F_L6C,又POcOF=O,PO,OFu平面

POF,

所以1平面POP,又PMu平面POE,

所以BC1.PM,又BCFM=O,平面ABC,

所以9,平面ABC,即三棱錐P—ABC的高為PM，

因為NFO產(chǎn)=120。，所以NPON=60。，所以PM=POsin60。=2x走=6，

2

又S/=.BC=；x2x2近=2日所以

x^3=

VpABC=—SAABCPM=—X2A/22娓.

r-/iDL3/\/Ar>(,3''3

(1)當a=-l時，求曲線y=/(x)在點(l,/(x))處的切線方程.

(2)若函數(shù)/(九)在(0,+。)單調(diào)遞增，求a的取值范圍.

【答案】(1)(ln2)x+y-ln2=0；(2)

【解析】⑴當a=T時，f(x)=Q-l^ln(x+l)(x>-l),則

r(x)=--^xln(x+l)+Q-ll-lI，

-

人、人/4I1

據(jù)此可得/(1)=0,/(1)=—In2,所以函數(shù)在(1,7(1))處的切線方程為

y-0=-ln2(x-l),即(ln2)x+y-ln2=0.

(2)由函數(shù)的解析式可得尸(x)=(--y|ln(x+l)+[-+?|x^—(x>-l),

y-XyyXJXiL

滿足題意時/'(X)20在區(qū)間(0,+8)上恒成立.

令(—Y)ln(%+l)+1—Fu)-------20,貝°一(x+l)ln(x+1)+(x+ax2)N0,

x.XJ\XJX+1

^g(x)=ar2+x-(x+l)ln(x+l),原問題等價于g(%)20在區(qū)間(0,+8)上恒成立,

貝?。輌'(x)=2ot-ln(x+l),

當aWO時，由于2taW0,ln(x+l)>0,故g'(%)<0,g(x)在區(qū)間(0,+co)上單調(diào)遞

減，

此時g(x)<g(O)=O,不合題意；

令/z(x)=g'(x)=2at-ln(x+l),則/(x)=2a---彳,

當2a21時，由于$<1，所以〃(x)>0，Mx)在區(qū)間(0,+。)上單調(diào)遞增，

即g'(九)在區(qū)間(0,+e)上單調(diào)遞增，

所以g'(x)>g'(O)=O,g(x)在區(qū)間(0,+功上單調(diào)遞增,g(x)>g(O)=O,滿足題

產(chǎn).

當0<〃<—時，由x)-2。------=0可得x=----1,

2x+12a

當—1］時，”(l)<0,/7(力在區(qū)間—1］上單調(diào)遞減，即g'(x)單調(diào)遞

減，

注意到g'(0)=0,故當—1］時，g'(x)<g'(O)=O,g(x)單調(diào)遞減，

由于g(0)=0，故當—1］時，g(x)<g(°)=。，不合題意.

綜上可知：實數(shù).得取值范圍是

21.已知橢圓C:馬+==l(a〉6〉0)的離心率是無，點4(—2,0)在。上.

ab3

(1)求。的方程；

(2)過點(—2,3)的直線交。于P,。兩點，直線AP,AQ與y軸的交點分別為M,N,證

明：線段肱V的中點為定點.

22

【答案】(1)2L+L=i；(2)證明見詳解.

94

b-2a=3

22

【解析】（1）由題意可得《a1=b2+c2,解得《b=2,所以橢圓方程為2L+土=1.

94

c_小C=小

a3

（2）由題意可知：直線PQ的斜率存在,設(shè)尸Q：y=M%+2）+3,尸（苗,乂）,。（巧,%），

y=攵（％+2）+3

聯(lián)立方程y2X2，消去＞得:（4左2+9卜2+8左（29+3）x+16（92+3k）=0,

—+—=1

［94

貝U△=64左2（2左+3）2—64（4/+9）（產(chǎn)+3k）=—1728左＞0,解得左＜0,

8左（2次+3）16儼+3左）

可得玉+無2=-

4父+9

因為4（—2,0）,則直線AP:y=」^（x+2）,

?X1~T"乙

令x=0,解得》=用、，即

同理可得

I%2+2J

2M?2%

貝ij再+2%+2_［左（玉+2）+3］+［%（%2+2）+3］

2%+2%+2

［米［+（2%+3）］（%2+2）+［依2+（2攵+3）］（再+2）2癡I%+（4左+3）（演+%）+4（2左+3）

（石+2）（々+2）玉/+2（西+々）+4

32#+弘）_8M4可國+3）

=4尸+94S+9'）=1。8=3

16（Z?+3H16M2k+3）36'

4/+94/+9+

所以線段PQ中點是定點（0,3）.

【選修4-4】（10分）

22.在直角坐標系中，以坐標原點。為極點，無軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線

.八（兀八兀、-x=2cos。

G的極坐標方程為夕=2sm6工工6?7,曲線G：八.（。為參數(shù)，

＜42）[y=2sma

兀、

—＜。＜兀）.

2

（1）寫出G的直角坐標方程