流體力學(xué)習(xí)題解答(解答)

PAGEPAGE16習(xí)題一場(chǎng)論和張量代數(shù)(習(xí)題一中黑體符號(hào)代表矢量)1．(一)用哈密頓符號(hào)法證明：因?yàn)闉閱挝幌蛄浚?，故，于是.注意：將寫(xiě)成是不正確的。右端表示矢量.直接寫(xiě)盡管也能給出證明，但由第二步(反用混合積公式)到第三步卻是錯(cuò)誤的，一定要引入輔助矢量才能進(jìn)行正確的推導(dǎo)。(二)張量表示法證明：2．(一)哈密頓符號(hào)法：；.于是(二)張量表示法：其中(進(jìn)行指標(biāo)互換)，證畢。3．(一)哈密頓符號(hào)法：注意到哈密頓算子對(duì)它右端所有的矢量都起作用，有根據(jù)矢量混合積的公式，上式右邊第一項(xiàng)上式右邊第二項(xiàng)兩項(xiàng)相加即證。(二)張量表示法：左端可用張量記號(hào)表示和整理同理，右端可用張量記號(hào)表示和整理====4．證明：根據(jù)張量運(yùn)算規(guī)則，，定義為。，另外，顯然以上兩等式右端相等，得證。附：5．必要性：設(shè)是反對(duì)稱(chēng)張量，則因此。充分性：由可知，對(duì)任意矢量，現(xiàn)在，令，代入上式得到；同理，令和，又可得到，。再分別令、、并利用已得到的又可推出，，。綜合這些結(jié)果就有，這說(shuō)明是反對(duì)稱(chēng)張量。習(xí)題二（流體運(yùn)動(dòng)描述）參考答案1．1）歐拉表述下的速度場(chǎng)。2）拉格拉朗日表述下，建立極坐標(biāo)系，初始時(shí)刻（）則3）流線為繞oz軸的同心圓，軌跡為繞oz軸的圓。4）歐拉變量下。2．1）加速度。2）積分得對(duì)x二次求導(dǎo)則3．不一定，，定常即，但不一定為0。4．對(duì)方程積分（t為常數(shù)），得即為流線。即為軌跡方程。加速度。拉格朗日下軌跡方程求導(dǎo)，再對(duì)方程求導(dǎo)得。5．解：流線，t為常數(shù)。積分得。又t=0時(shí)流線經(jīng)過(guò)（）。軌跡：。又過(guò)t=0時(shí)質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)（）6．解：流線滿足，可見(jiàn)是直線。軌跡滿足可見(jiàn)是拋物線。7．解：流線：，軌跡：8．解：極坐標(biāo)下流線和軌跡為繞oz軸的圓。加速度：9．由坐標(biāo)變換反解之可以得到另一組表達(dá)式。10．由題得，速度的方向矢量為（1，），則速度兩分量為（，）11．，又流線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，3），則。12．定常又由于變化均勻則，，所以起點(diǎn)處，終點(diǎn)處。13．極坐標(biāo)下，流線方程為，軌跡方程為柱坐標(biāo)下，流線方程為，軌跡方程為球坐標(biāo)下，流線方程為，軌跡方程為14．由題意，斜率為0.25。15．由題意則。習(xí)題三（質(zhì)量連續(xù)性方程）參考答案1．不可壓即，定常即所以，速度必沿等密度面方向，反之亦然。2．不可壓縮即則3．4．拉格朗日變量下，初始時(shí)刻選定流體微元的位置為,選定拉格朗日變數(shù)為，則連續(xù)方程：歐拉變量下，連續(xù)方程為：5．選取寬b(x)，水深為h(x,t).取長(zhǎng)為的微團(tuán)為研究對(duì)象，有6．不可壓即，據(jù)上題結(jié)論可得7．選取長(zhǎng)為的微元為研究對(duì)象，則8．選取一層薄球殼為研究對(duì)象，則單位時(shí)間內(nèi)流入的流體質(zhì)量等于因密度變化引起的質(zhì)量變化，則：。進(jìn)一步變形可得，即。若流體不可壓縮，，則，此式表示各同心球面上的流體質(zhì)量和體積通量相等。9．選取柱坐標(biāo)系，則由題意知，則。10．選取柱坐標(biāo)系，則由題意知，則又所以。11．選取柱坐標(biāo)系，則由題意知，則。12．不可壓縮流體平面運(yùn)動(dòng)速度大小為13．選取球坐標(biāo)系（），則則又，代入得14．選取球坐標(biāo)系則由題意知，于是。15．由連續(xù)方程又x=0時(shí)，。16．由題意，所以為可壓縮流動(dòng)。當(dāng)為不可壓時(shí)，。習(xí)題四（速度分析有旋運(yùn)動(dòng)和無(wú)旋運(yùn)動(dòng)）參考答案1．膨脹速度為0，轉(zhuǎn)動(dòng)角速度。2．因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)無(wú)旋，所以只有變形張量。假設(shè)某流體質(zhì)點(diǎn)時(shí)刻相對(duì)于球心坐標(biāo)為（），t時(shí)刻其坐標(biāo)為（）,則，解線性方程組將其代入小球方程即得。3．勻變形運(yùn)動(dòng)，即變形張量是常矩陣，不隨空間位置變化，假設(shè)t時(shí)刻的某一物質(zhì)平面，以平面上某質(zhì)點(diǎn)M為參照點(diǎn)，考慮該質(zhì)點(diǎn)附近的流體質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于它的運(yùn)動(dòng)。在固定于質(zhì)點(diǎn)M上的坐標(biāo)系中（M為原點(diǎn)），設(shè)某流體質(zhì)點(diǎn)時(shí)刻位于（），時(shí)刻其坐標(biāo)為（），則，解線性方程組將其代入平面方程即得。4．不妨以x-y坐標(biāo)面上的為例，則變形張量為，設(shè)初始時(shí)刻正方形對(duì)角線的端點(diǎn)坐標(biāo)為M（），則dt時(shí)間以后M點(diǎn)移動(dòng)到，則正方形對(duì)角線的相對(duì)伸長(zhǎng)速度為。5．選取柱坐標(biāo)系，設(shè)，則：則：自轉(zhuǎn)角速度為6．a(chǎn))，不可壓；，無(wú)旋；速度勢(shì)。b)，可壓；，無(wú)旋，速度勢(shì)。c)，不可壓；，無(wú)旋；速度勢(shì)。d)，可壓；，無(wú)旋；速度勢(shì)。7．，不可壓。，無(wú)旋。。8．a(chǎn))。b)。c)。9．a(chǎn))，則流線為。b)10．流體不可壓縮并且流動(dòng)空間單連通，取體積微元，則11．假設(shè)速度勢(shì)可以取得極值，無(wú)論是極大值還是極小值點(diǎn)M，我們總可以在M周?chē)〉桨鼑鶰的體積微元是的在這個(gè)體積微元的表面上僅大于0或僅小于0，從而使得與上題中的結(jié)論相矛盾，故在內(nèi)點(diǎn)速度勢(shì)不可能取得極值習(xí)題五（量綱分析和相似理論）參考答案1．解：。先確定與、、的關(guān)系。設(shè)，將，，，代入上式，比較兩邊的基本量綱可得，解得。于是。。另解：按題意，共有5個(gè)物理量，由定理可知，上式可簡(jiǎn)化為5－3＝2個(gè)無(wú)量綱量之間的函數(shù)關(guān)系。取為基本物理量，將、與這3個(gè)量組合成無(wú)量綱量。設(shè)由于，，，代入上式可得，解得，，.即，因此構(gòu)成一個(gè)無(wú)量綱量。顯然是另外一個(gè)無(wú)量綱量，于是.現(xiàn)在，本題前半部分條件與無(wú)關(guān)還沒(méi)有利用。為此，將體積流量關(guān)系改寫(xiě)為，注意到由于管子無(wú)限長(zhǎng)，不應(yīng)與有關(guān)?，F(xiàn)在已知與無(wú)關(guān)，則必有(常數(shù))，故2．解：按題意，，且與大氣壓無(wú)關(guān)（如設(shè)，則將不在問(wèn)題中出現(xiàn)；只影響靜壓分布）。設(shè)，其中是重力加速度。取為基本量，由定理，無(wú)量綱流量是5－3＝2個(gè)無(wú)量綱量的函數(shù)。列出；；；；。不難知道的無(wú)量綱量是；的無(wú)量綱量是，因此其中；。上式也可改寫(xiě)為下列形式(*)其中，分別是雷諾數(shù)、弗勞德數(shù)。由于，由(*)得(**)當(dāng)然，已知時(shí)，(**)也可以通過(guò)設(shè)用量綱分析法得到.具體過(guò)程此處從略.或：選為基本物理量，可以得到3．解：從Stokes方程組和邊界條件可知，繞流物體的速度場(chǎng)只與物體形狀、和有關(guān)，由此可知阻力。由量綱分析，總物理量個(gè)數(shù)，量綱獨(dú)立物理量(基本物理量)個(gè)數(shù)。其中為基本物理量，易知無(wú)量綱阻力為，故，其中是只與物體形狀有關(guān)的常數(shù)。因此，在很低的雷諾數(shù)下，物體所受阻力與其特征尺寸的1次方成正比。4．研究摩阻時(shí)，相似準(zhǔn)則為數(shù)：故參見(jiàn)吳望一：定常繞流數(shù)消失，不計(jì)重力數(shù)消失，潛艇在水下，不考慮自由表面，數(shù)消失，只剩下數(shù)。5．重力波，要求相等，故模型內(nèi)波速為模型內(nèi)波浪尺寸：考慮重力起作用的表面波（重力波）：特征量周期T，；波高H，；波速c，及無(wú)量綱化方程：Strouhal數(shù)：自然滿足；Froude數(shù)：。習(xí)題六（理想流體動(dòng)力學(xué)方程組和邊界條件）參考答案邊界面上任一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度滿足：，故邊界面上任一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的法向速度為：橢圓柱方程為+=1建立固壁上所對(duì)應(yīng)的邊界條件：流體在固壁上滿足的分離條件，i.e.或者為固壁表面方程為故有——柱面上流點(diǎn)所必須滿足的邊界條件.水下爆炸問(wèn)題解法一：可利用Bernoulli方程求解。速度沿徑向，且只是r和t的函數(shù)，故為無(wú)旋流動(dòng)，有：（略重力） （6-4-1）如果半徑為R的球形空腔（R=R（t））包含壓力為的氣體并且在周?chē)鸁o(wú)界液體中開(kāi)始迅速膨脹。這樣可以相當(dāng)精確的模擬水下爆炸效應(yīng)。根據(jù)質(zhì)量連續(xù)方程有： （6-4-2） （6-4-3）（6-4-2）和（6-4-3）代入（6-4-1）得：時(shí)，（略大氣壓）。當(dāng)r較大時(shí)，略項(xiàng)可得：解法二，可直接用Lagrangian方程將帶入得：解法一：用Lagrangian方程。開(kāi)啟瞬間，管中流體速度為零，但加速度不為零（很大），有：i.e.取任意點(diǎn)3，高度為Z，在1和3之間重復(fù)上面計(jì)算得證。同理，在點(diǎn)4和2之間有：。解法二：用動(dòng)量方程。對(duì)豎直段，設(shè)接頭處壓強(qiáng)為，管截面積取1個(gè)單位，在豎直方向有，（代表圖中管豎直段內(nèi)虛線邊界包圍的控制體），i.e.。同理，對(duì)水平段在水平方向有。兩式相加得：。位置3處的流體質(zhì)點(diǎn)滿足：位置4處的流體質(zhì)點(diǎn)滿足：解法三：用微分形式動(dòng)量方程。任意時(shí)刻設(shè)兩邊水柱長(zhǎng)。豎直段：；水平段：。x=0，z=0時(shí)，開(kāi)啟瞬間：7．，，。流體質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)，向心加速度為。動(dòng)量方程為：，i.e.，則有i.e.8．設(shè)t時(shí)刻液柱在處，坐標(biāo)為，液柱內(nèi)任意質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)為x，設(shè)截面積為一個(gè)單位。另取固定在液柱上的坐標(biāo)系，在此坐標(biāo)系下液柱內(nèi)任意質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)F=-kx，。液柱此刻受到的合力為：XO。XO

考慮液柱內(nèi)處流體微元，由動(dòng)量方程得：，其中是的函數(shù)，與無(wú)關(guān)。積分得：在處，，帶入上式得：。解法二：亦可在靜系下求p。對(duì)微元x~x+dx，有積分得：為利用邊界條件改寫(xiě)上式：。9．用LagrangianEq.求解。流線長(zhǎng)。在1與2之間建立LagrangianEq..：11．合外力=0。設(shè)X、Y為單位質(zhì)量流點(diǎn)受力，設(shè)z方向長(zhǎng)為一個(gè)單位。合外力矩*附積分公式：（a<0）(a<0)動(dòng)量方程：，i.e.：12．t時(shí)刻空穴半徑R（t）表面收縮速度。由質(zhì)量連續(xù)性條件知：在之間建立BernoulliEq.：,i.e.作代換，積分得：由t=0時(shí)，，得。14.考慮t時(shí)刻在x處的流點(diǎn)，i.e.，i.e.15．解：取一柱形微元體為歐拉控制體，其體積為。A點(diǎn)處速度為，密度為，質(zhì)量力為，表面力為、、.先計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)量變化率。由于流動(dòng)是定常的平面輻射流動(dòng)，系統(tǒng)的動(dòng)量變化率完全由流經(jīng)徑向控制面和與之相對(duì)的面元的動(dòng)量遷移而產(chǎn)生。在面上，單位時(shí)間流入的動(dòng)量是VVROD'C'B'A'DCBA在面元上，單位時(shí)間流出的動(dòng)量是于是單位時(shí)間內(nèi)由控制體凈流出的動(dòng)量，即系統(tǒng)總動(dòng)量的變化率為方向總動(dòng)量的變化率為(6-15-1)作用于微元控制體上的質(zhì)量力在方向的分量為(6-15-2)作用于微元控制體六個(gè)面元上的應(yīng)力分別計(jì)算如下：作用在面元上的面力為作用在與之相對(duì)的面元上的面力為因此作用在和面元上的面力合力為這里利用了關(guān)系.同理，作用在和上的面力合力為作用在和上的面力合力為于是作用在全部控制面上的表面力合力為面力合力在方向上的分量為(6-15-3)式亦可這樣得到：直接計(jì)算作用在微元體各個(gè)面上的表面力的方向分量之和。參照右下圖，除了之外，作用在方向的兩個(gè)相對(duì)面和上的分應(yīng)力和的合應(yīng)力也產(chǎn)生方向的合力，用幾何方法不難算出此合力為(計(jì)算時(shí)忽略了高階小量)，因此作用在微元上方向的總面力為(6-15-3).根據(jù)動(dòng)量定理和(1)、(2)、(3)式就得到平面輻射流動(dòng)方向的運(yùn)動(dòng)方程(6-15-4)注意到單位時(shí)間內(nèi)流入、流出面元和的流體質(zhì)量應(yīng)相等(定常流動(dòng))，可得因此(6-15-4這樣方向的運(yùn)動(dòng)方程的最終應(yīng)力形式為16．解：取直角坐標(biāo)系下固定不動(dòng)的平行六面體作為小微元體，其六個(gè)面分別與、、軸垂直。微元控制體上能量守恒定律的形式為單位時(shí)間小微元內(nèi)流體內(nèi)能和動(dòng)能的增加單位時(shí)間穿過(guò)小微元表面的凈內(nèi)能和動(dòng)能作用在小微元上的體力功率作用在小微元上的面力功率穿過(guò)小微元表面的熱流IIIIIIIVV上式已考慮到了流場(chǎng)內(nèi)無(wú)其它熱源的條件?，F(xiàn)在逐項(xiàng)分析:因?yàn)榱鲃?dòng)定常，I=0；根據(jù)題意，流體只有方向的速度，并且，，因此單位時(shí)間內(nèi)流入小微元的流體所攜帶的動(dòng)能和內(nèi)能剛好等于流出小微元的流體所攜帶的動(dòng)能和內(nèi)能，因此；(不論對(duì)于動(dòng)能或是內(nèi)能，隨體導(dǎo)數(shù))作用在微元上的體力只有重力，于是；面力的功率為作用在小微元各個(gè)面上的應(yīng)力的功率之和:利用不可壓縮條件和速度場(chǎng)表達(dá)式，本構(gòu)關(guān)系成為代入上式，可將IV化簡(jiǎn)為由傅立葉熱傳導(dǎo)定律，從I、II、III、IV和V各項(xiàng)中消去，由能量守恒關(guān)系框圖可得能量方程為。注意到如果列出方向的動(dòng)量方程，可得即，這樣能量方程的最簡(jiǎn)形式為17． u(y,t)OD'C'B'A'DCBBAUyzxu(y,t)OD'C'B'A'DCBBAUyzx解：(1)令直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)平面在平板上，軸方向沿平板的滑動(dòng)方向(即的方向)，軸垂直于平板(如圖所示)(2)由于流體不可壓縮，應(yīng)力張量為.根據(jù)假設(shè)，流動(dòng)速度場(chǎng)為，變形速度張量為，所以應(yīng)力張量為.(3)取如圖所示固定不動(dòng)的微平行六面體，其六個(gè)面分別與、、軸垂直。由于流場(chǎng)只有方向的速度分量，我們只考慮方向的運(yùn)動(dòng)方程.設(shè)流體密度為，點(diǎn)處的速度為。對(duì)于小微元系統(tǒng)，由于不計(jì)質(zhì)量力，方向的動(dòng)量平衡關(guān)系為微元系統(tǒng)微元系統(tǒng)方向動(dòng)量變化率=微元系統(tǒng)所受方向的面力合力面力合力動(dòng)量變化率包含兩部分，一部分為控制體內(nèi)的動(dòng)量變化率，另一部分為經(jīng)控制體的表面流入、流出的動(dòng)量造成的動(dòng)量變化率。在本題中，只有控制體的面元和有流體流入和流出，并且單位時(shí)間內(nèi)流入和流出的凈質(zhì)量為，根據(jù)質(zhì)量守恒，，由于是均質(zhì)流體，可得。由此可知單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)控制面流入流出小微元控制體的動(dòng)量相等，因而流入流出的凈動(dòng)量變化率為0(即)，這樣微元系統(tǒng)總的動(dòng)量變化率為控制體內(nèi)的動(dòng)量變化率，方向的動(dòng)量變化率為(為常數(shù)).微元系統(tǒng)所受方向的面力可分和、和以及和三對(duì)面元來(lái)計(jì)算.各對(duì)的方向面力凈合力分別為,,，方向總面力合力為.根據(jù)(2)中得到的結(jié)果，；；，合力可化為(利用壓強(qiáng)均勻和處處為常數(shù)的條件)。將上面得到的微元控制體方向動(dòng)量變化率和面力合力代入動(dòng)量平衡關(guān)系就得到方向的流體運(yùn)動(dòng)方程為定解條件：初始條件：b.邊界條件：，，.其中習(xí)題七（理想流體動(dòng)力學(xué)方程的積分）參考答案定常流動(dòng)，由連續(xù)性方程有：=，因?yàn)?，所?,即，. （7-1-1）又由BernoulliEq.對(duì)X微分得：,于是得：，代入（7-1-1）式得：再由BernoulliEq.知結(jié)論。2．在出口處內(nèi)、外建立BernoulliEq.，出口內(nèi)流體速度遠(yuǎn)小于出口外，可近似認(rèn)為是0，于是有：。注意到：，即可得到結(jié)論。3．設(shè)渠寬D，，有，微分BernoulliEq.：，可得，聯(lián)立后有結(jié)論。4．取流管上的一微元段，此段總可以看成直管，軸向沿方向，截面。此段內(nèi)流體動(dòng)能：，其中，，其中（流量）。。syh（1）.（2syh（1）.（2）.（1）.。其中，（代表大氣壓），（水箱截面很大），，由上式可得，。當(dāng)?shù)扔诖藭r(shí)的流體溫度對(duì)應(yīng)的飽和蒸汽壓時(shí)，s處將產(chǎn)生氣穴，導(dǎo)致虹吸管吸不出水，故此時(shí)y滿足：。6．本題不考慮重力。取一柱面包圍該物體，柱面上任一點(diǎn)距物體都足夠遠(yuǎn)，以至柱面上的流動(dòng)仍是原來(lái)的均勻流動(dòng)，即物體對(duì)柱面處流場(chǎng)的擾動(dòng)可略。使柱體的兩底面垂直于流速方向，對(duì)于以該柱面和物體表面為邊界的控制體，應(yīng)用積分形式的動(dòng)量定理。由于流動(dòng)定常，控制體內(nèi)動(dòng)量不變，控制體外表面動(dòng)量通量總和為零（柱面兩底面上動(dòng)量通量相抵消）控制體內(nèi)表面沒(méi)有流體通過(guò)，于是控制體所對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)所受合外力為零，即系統(tǒng)不受阻力。CABOYX7．時(shí)刻，AB段內(nèi)和CA段壓強(qiáng)分布CABOYX開(kāi)關(guān)開(kāi)啟以后（），若假設(shè)水柱總長(zhǎng)度，水平管很長(zhǎng)，在所研究的時(shí)間段內(nèi)水柱始終在管內(nèi)，設(shè)時(shí)刻斜管內(nèi)水柱長(zhǎng)，流體柱加速度大小為，故對(duì)整個(gè)水柱有：。考慮到定解條件：并設(shè)時(shí)流體全部流出斜管，即，解得：。再利用流速和可解得。取如圖沿斜管和沿水平管的坐標(biāo)系，在斜管內(nèi)任一點(diǎn)和斜管內(nèi)水柱上端之間建立LagrangianEq.：。在水平管內(nèi)任一點(diǎn)和水平管內(nèi)水柱末端之間建立LagrangianEq.：。當(dāng)時(shí)，水平管內(nèi)壓強(qiáng)為。8．設(shè)盆中水面高度為H，則小孔出流速度為，欲使盆中水面高度保持不變，應(yīng)有：，由此可得H。9．解法一：用能量方程。氣體初始?jí)簭?qiáng)和體積分別為：（代表水的密度，Ｓ為截面積）。等溫壓縮：。設(shè)水理想、不可壓縮。氣體經(jīng)歷等溫壓縮過(guò)程，內(nèi)能不變。設(shè)水溫亦不變，水無(wú)內(nèi)能變化，故有能量方程：，其中和分別為水的總動(dòng)能和總勢(shì)能。由上式得：的形式：重心位置，。利用初始條件，CxO1CxO1.4.2.3.Z水上升達(dá)到最大高度時(shí)，滿足的方程：。解法二：利用LagrangianEq.。設(shè)連通細(xì)管長(zhǎng)，截面積，在間建立LagrangianEq.：i.e.,帶入上式，積分得：ｔ=0時(shí)，,V=0，再令V=0。習(xí)題八（理想流體平面無(wú)旋運(yùn)動(dòng)）參考答案1．a(chǎn))b)2．解：3．證明：4．證明：5．偶的復(fù)勢(shì)為，取直線方向?yàn)閤軸，則其相對(duì)于x軸的像為。6．像到圓中心的距離為，令則像的復(fù)勢(shì)為，其中可見(jiàn)偶的像的強(qiáng)度與其自身強(qiáng)度之比為。7．將復(fù)勢(shì)函數(shù)改寫(xiě)為可知此流動(dòng)由三個(gè)基本流動(dòng)：位于處的強(qiáng)度均為的兩個(gè)點(diǎn)源(或匯)和位于處強(qiáng)度為的一個(gè)點(diǎn)匯(或源)組成。流函數(shù)為故流線為即;速度勢(shì)為單位時(shí)間通過(guò)和兩點(diǎn)連線的流體體積即為體積流量8．復(fù)勢(shì)為求流線方程，將復(fù)勢(shì)分解成實(shí)部和虛部之和，其中，則流線方程為=const。當(dāng)z=1時(shí)。9．a(chǎn))以平面邊界為x軸，經(jīng)過(guò)點(diǎn)源的x軸的垂線為y軸，設(shè)點(diǎn)源坐標(biāo)為（0，b），則共軛復(fù)速度在邊界上速度大小為時(shí)有。b)由伯努力定理c)。11．設(shè)一圓柱半徑為，在距圓柱中心為處放置強(qiáng)度為的偶極子，取通過(guò)圓柱中心和偶極子連線的直線為軸。由圓定理，流場(chǎng)復(fù)位勢(shì)為由恰普雷金公式(勃拉休斯(Blasius)公式)，圓柱所受的合力為由留數(shù)定理，代入合力公式，12．。13．14．其中15．圓流線。軸：（除原點(diǎn)外），；軸：（除原點(diǎn)外），其中。16．根據(jù)圓定理，圓內(nèi)的偏心渦可以看成圓外的某個(gè)點(diǎn)渦載圓邊界內(nèi)的像之一，該點(diǎn)渦的另一個(gè)像在圓心。此點(diǎn)渦與其像——偏心渦形成的流動(dòng)滿足圓邊界是流線的條件，其復(fù)勢(shì)等于從圓外之渦與其兩個(gè)像點(diǎn)形成的流動(dòng)中減去位于圓心的點(diǎn)渦形成的流動(dòng)的復(fù)勢(shì)：流線仍通過(guò)取復(fù)勢(shì)的虛部獲得。17．解：該問(wèn)題流體速度場(chǎng)的邊界條件是：時(shí)，；。由于是雙連通域，還應(yīng)提速度環(huán)量或流量條件。利用，的已知關(guān)系和，可得瞬時(shí)該問(wèn)題的三種提法如下：(a)速度勢(shì)提法:(b)流函數(shù)提法：注意到流函數(shù)的環(huán)量是由邊界上的法向速度決定的.(c)復(fù)位勢(shì)提法：求上的解析函數(shù)，使得其中(a),(b)中的拉普拉斯算子18．解：取參照系為靜止坐標(biāo)系，且在某一取定的時(shí)刻坐標(biāo)原點(diǎn)在圓柱的中心。流動(dòng)勢(shì)函數(shù)滿足注意到此時(shí)流動(dòng)速度場(chǎng)相當(dāng)于固定在圓柱上的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系中無(wú)窮遠(yuǎn)處來(lái)流為的圓柱無(wú)環(huán)量繞流在靜止坐標(biāo)系下的變換形式，于是可直接寫(xiě)出上面方程的解為于是速度；流體動(dòng)能表達(dá)式為或：由吳書(shū)(7.2.9)，流體動(dòng)能求出流體動(dòng)能表達(dá)式后，設(shè)圓柱受到的阻力為，則圓柱對(duì)流體的作用力為(均指沿軸方向的外力)。由能量關(guān)系因此或：由吳書(shū)(7.25.16)直接得到圓柱受到的阻力為圓柱方向運(yùn)動(dòng)微分方程為其中是單位長(zhǎng)度圓柱的質(zhì)量，是圓柱所受的方向的外力。若圓柱繞自己的軸轉(zhuǎn)動(dòng)，由于旋轉(zhuǎn)不影響勢(shì)流問(wèn)題的邊界條件，因此流場(chǎng)相當(dāng)于靜止圓柱的繞流問(wèn)題，這時(shí)它所受的慣性阻力為0。19．解：若取固定在球殼上的坐標(biāo)系，則殼內(nèi)理想流體的運(yùn)動(dòng)為慣性力(有勢(shì))作用下從靜止?fàn)顟B(tài)開(kāi)始的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，因此是無(wú)旋流動(dòng)?，F(xiàn)恒取慣性參照系(此慣性系中球殼速度為U=U0sin5t)，并且在時(shí)刻取坐標(biāo)原點(diǎn)與球殼中心重合，極軸與方向重合的球坐標(biāo)系。由于流動(dòng)關(guān)于極軸對(duì)稱(chēng)，可設(shè)速度勢(shì)函數(shù)為。列出方程和邊界條件：用分離變量法求解。設(shè)，由邊界條件可知，代入方程得。這是歐拉方程，解是。由邊界條件可知，因此勢(shì)函數(shù)。速度場(chǎng)是顯然，速率在球內(nèi)處處為，因此流體動(dòng)能為注意到速度分布與動(dòng)能都與球殼的旋轉(zhuǎn)無(wú)關(guān)。由能量關(guān)系，維持球殼平動(dòng)所需的外力是當(dāng)然，維持球殼轉(zhuǎn)動(dòng)需要力矩，其中是球殼繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。另解：取固定在球殼上的非慣性系為參照系，坐標(biāo)系任取。此時(shí)球面上流體的法向速度為0，球內(nèi)為單連通域(沒(méi)有源、匯、偶極子等奇點(diǎn))，故由位勢(shì)流的動(dòng)能表達(dá)式可知球殼內(nèi)部的位勢(shì)流只可能是靜止?fàn)顟B(tài)，從而可知球殼內(nèi)流體跟隨殼體一起運(yùn)動(dòng)，完全類(lèi)似于剛體。因此附加質(zhì)量等于球殼內(nèi)流體的質(zhì)量。習(xí)題九（粘性流體的運(yùn)動(dòng)）參考答案（1）證明：以管中心軸線為軸建立柱坐標(biāo)系。流動(dòng)具有對(duì)稱(chēng)性：，由連續(xù)方程，由柱坐標(biāo)中方程：得證。（2）積分上式得：由邊界條件：，；，有限，，于是有。體積流量2．證明：以共軸為軸建立柱坐標(biāo)系流動(dòng)具有對(duì)稱(chēng)性，，流動(dòng)滿足運(yùn)動(dòng)方程，，邊界條件：，；，；，3．解：如圖建立坐標(biāo)系，假設(shè)板距為，上板運(yùn)動(dòng)，由連續(xù)方程，方程：與無(wú)關(guān)，僅是、的函數(shù)，邊界條件：，；，，，于是有，；上板應(yīng)力：，下板應(yīng)力：。在壓強(qiáng)梯度和上板運(yùn)動(dòng)共同作用，假設(shè)，即高壓向低壓方向與同向，此時(shí)流速面仍是拋物線，只不過(guò)其最大流速不象Poiseuille流在板中間，而是靠近上板，其值最大也超過(guò)了上板運(yùn)動(dòng)速度。4．解：如圖建立坐標(biāo)系依題意：，，僅為、的函數(shù)，故可得，和。且邊界條件：，；，，，仍為拋物線其中，若，則。下板，若，則；若，則，，。（上板沿軸移動(dòng)速度。若，則較無(wú)壓差時(shí)要大）5．解：如圖建立坐標(biāo)系則邊界條件為依題意，，流體不可壓縮，方程：，由邊界條件得，，于是流量。6解：如圖建立坐標(biāo)系邊界條件，，，，（2）方程：上層，下層；由邊界條件得：；；；7．解：（1）內(nèi)管固定：如圖建立坐標(biāo)系。速度分析：，由連續(xù)方程：，方程：邊界條件：，；，。解二次微分方程可得。利用邊界條件得；應(yīng)力（對(duì)o點(diǎn)的力矩）。（2）外管固定：邊界條件：，；，利用邊界條件，，