橢圓-2025年高考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)

第八章平面解析幾何

第5講橢圓

課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測(cè)

2023全國(guó)卷甲T7；2023全國(guó)

橢圓的

卷甲T12；2021新高考卷

定義及

IT5；2021全國(guó)卷甲T15；該講是高考命題的熱

其應(yīng)用

2020新高考卷IT9點(diǎn)，主要體現(xiàn)：（1）

2023全國(guó)卷乙T20；2022全以定義作為命題思路求

1.掌握橢圓的定國(guó)卷甲T11；2022全國(guó)卷乙解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、離

義、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)T20；2021新高考卷IIT20；心率等；（2）以特殊

橢圓的

單幾何性質(zhì).2020新高考卷IT22；2020新的幾何圖形為命題背

標(biāo)準(zhǔn)方

2.了解橢圓的簡(jiǎn)單高考卷HT21；2020全國(guó)卷景，求解三角形的面

程

應(yīng)用.IT20；2020全國(guó)卷HT19；積，弦長(zhǎng)等.題型既有小

3.體會(huì)數(shù)形結(jié)合的2020全國(guó)卷HIT20；2019全國(guó)題也有大題，難度中等

思想.卷mo；2019全國(guó)卷IIT21偏上.在2025年高考的

2023新高考卷IT5；2022新高備考中，應(yīng)關(guān)注橢圓的

橢圓的考卷IT16；2022全國(guó)卷乙定義和幾何性質(zhì)在解題

幾何性T20；2022全國(guó)卷甲T10；中的應(yīng)用.

質(zhì)2021全國(guó)卷乙T11；2020全

國(guó)卷IIT19；2019全國(guó)卷nm5

。學(xué)生用書(shū)P181

1.橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程

（1）定義

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)尸1,4的距離的和等于①常數(shù)（大于IFgI）的點(diǎn)的軌跡叫做橢

圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的②焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的③焦距.

集合語(yǔ)言：P={M\\MFi\+\MF2\=2a,2a>IFIF2I）,IFgI=2c,其中a>c

>0,且a,c為常數(shù).

注意若2a=1外/21,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線(xiàn)段EB;若2a<|RF2l,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡不

存在.

（2）標(biāo)準(zhǔn)方程

a.中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為④—馬土愛(ài)三二（a>b>0）；

a-D-

b.中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為⑤土蕓三J（a>6>0）.

-------------------------------）---------------------------------------------

日思維拓展

橢圓的第二定義、第三定義

橢圓的第二定義：Q*=e，0<e<l,其中尸為定點(diǎn)，/為定直線(xiàn)，e為離心率,

Fel,d表示點(diǎn)尸到直線(xiàn)/的距離｝.

橢圓的第三定義：｛尸I//爐B=e2—1,0<e<l,其中心/,屈B分別表示點(diǎn)尸與兩定點(diǎn)4

3連線(xiàn)的斜率，e為離心率｝.

注意橢圓的第三定義中的兩個(gè)定點(diǎn)（橢圓的頂點(diǎn)）在x軸上，且利用橢圓第三定義得出

的軌跡方程不包括這兩個(gè)定點(diǎn).

2.橢圓的幾何性質(zhì)

說(shuō)明離心率表示橢圓的扁平程度，當(dāng)e越接近于1時(shí)，。越接近于0,從而6=Ja2—02

越小，因此橢圓越扁平；當(dāng)e越接近于0時(shí)，c越接近于0,從而6=Ja2—c2越大，因此

橢圓越接近于圓.

常用結(jié)論

1.橢圓的焦點(diǎn)三角形

以橢圓上的點(diǎn)PGo,yo)與兩焦點(diǎn)凡為頂點(diǎn)的△PEA叫做焦點(diǎn)三『

角形,席、

如圖所示，設(shè)NFIPF2=0.

(1)當(dāng)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，。最大.(2)5APF1F2=11PBi?IPF2I-sin0=62=

Z?2tan|=cIjoI,當(dāng)IyoI=b,即尸為短軸端點(diǎn)時(shí)，S/^Fz取最大值，最大值為6c.

(3)IPFiImax=a+c,IPFiImin=a-c.(4)焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為2(a+c).

22

2.設(shè)橢圓a+與=1(a>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為B(-c,0),F2(c,0),則當(dāng)點(diǎn)

P(與,yo)在橢圓上時(shí)，1PBi=a+exo,I尸入I=。-exo(e為橢圓的離心率).

1.(1)的推導(dǎo)過(guò)程：在焦點(diǎn)三角形PRB中，由余弦定理可得II2=IPEI2+1

2

PF2I-2IPFiIIPF1Icose,

(|尸尸1I+I尸尸2I)-2IPF1IIPF2I-IFl92I

2IPF1\\PF2I

(2a)—4。2—2IPFi||P尸2I

2IPF1\\PF2I

IPP1WPP2I

IPF,IIPF2I<(*1PF1'11)2=/，當(dāng)且僅當(dāng)IPEI=I尸尸2I,即點(diǎn)P是短軸

端點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，

又函數(shù)>=COSX在(0,71)上單調(diào)遞減，.,?當(dāng)尸為短軸的端點(diǎn)時(shí)，。最大.

1.(2)的推導(dǎo)過(guò)程：由上條結(jié)論的推導(dǎo)過(guò)程得cos吉=“;：：一1,/.|PFiIIPF2I=

IPF1IIP產(chǎn)2I

l+cos0

PFiPFisin3=--

*,-5APF1F2=-IIIIl+cos0l+cos0

IG黑正咽

1.設(shè)尸是橢圓C：9+9=1上的動(dòng)點(diǎn)，則P到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為(C)

A.2V2B.2V3C.2V5D.4V2

解析根據(jù)橢圓的定義，可知點(diǎn)尸到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為24.故選C

2..21

2.已知橢v圓會(huì)+方=1(。>6>0)的離心率為。貝>1(B)

A.a2=2b2B.3a2=4b2C.a=2bD.3a=4b

解析由題意得，.*.^2=-,又°2=62+C2,,\AFC=1,.?3=3,.*.462=302.故選

a2az4a"4az4

B.

3.［多選］下列說(shuō)法正確的是(CD)

A.平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)尸2的距離的和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓

B.橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓

C.關(guān)于x,y的方程(加>0,〃>0,mW")表示的曲線(xiàn)是橢圓

D.J+^=1(a>b>0)與真+1=1(。>6>0)的焦距相同

4.［易錯(cuò)題］平面內(nèi)一點(diǎn)M到兩定點(diǎn)招(一6,0),尸2(6,0)的距離之和等于12,則點(diǎn)M

的軌跡是線(xiàn)段下小.

解析由題意知IMFiI+IMF2I=12,但I(xiàn)FIF2I=12,即IMFiI+IMF2I=I

F1F2I,所以點(diǎn)M的軌跡是線(xiàn)段尸1F2.

5.［易錯(cuò)題］橢圓上+邑=1的焦距為4,則m=4或8.

10—mm-2

解析當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，10—m>m—2>0,10—m—(m—2)=4,???冽=4.當(dāng)焦點(diǎn)在歹

軸上時(shí)，m—2>10—加>0,m—2—(10—m)=4,m=8.

6.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為尸(6,0),且囪，&是短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，△用i以是等邊三角

形，則這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是,+J=l.

22

解析由已知得橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)方程為企+a=1(4Q0).由一個(gè)焦點(diǎn)為方

(6,0),知c=6,又△必由2為等邊三角形，得6=2百，所以層=62+。2=48,故橢圓

的標(biāo)準(zhǔn)方程為二十匕=1.

4812

6學(xué)生用書(shū)P183

命題點(diǎn)1橢圓的定義及其應(yīng)用

例1(1)［2023全國(guó)卷甲］設(shè)尸1,尸2為橢圓C：9+產(chǎn)=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，若

耐?配=0,則1PBl?I尸尸2I=(B)

A.lB.2C.4D.5

解析解法一因?yàn)槟?訊=0,所以PFJPF2,則5^^為丘=2\PFI\'\PF2\

〃tan"y,得］IPFiI-IPF2I=lXta吟，所以IPBI-IPF2I=2,故選B.

解法二因?yàn)槟?耐=0,所以尸尸i_L尸「2,所以(PF1)2+(PF2)2=(%F2)2=(2c)2=16.

222

因?yàn)镮PRI+I尸尸2I=2a=2近,所以(|PF1I+IPF2|)=20,即IPFXI+II

+2IPFiI-IPF2I=20,所以I尸尸iI?IPF2I=2,故選B.

(2)［2021新高考卷I］已知尸i，尸2是橢圓C：9+9=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)"在。上，則?

MFx\'\MFi\的最大值為(C)

A.13B.12C.9D.6

解析由楠圓C:1+手=1,得I〃為I+IMF2I=6,

則I"Fil?IMFiI<(1MF11+1MF21)2=32=9,當(dāng)且僅當(dāng)|"Fi|=|MF2I=3時(shí)等

號(hào)成立.

(3)動(dòng)圓M與圓跖：(x+1)2+產(chǎn)=1外切，與圓〃2：(X—1)2+爐=25內(nèi)切，則動(dòng)圓

圓心M的軌跡是橢圓.

解析設(shè)圓M的半徑為R因?yàn)閳AM與圓M外切，與圓跖內(nèi)切，所以(MMJ=1+R,I

MM2I=5-7?,所以IMMiI+IMM2I=\+R+5~R=6>IM1M2\=2,所以M的軌

跡是橢圓.

方法技巧

1.橢圓定義的主要應(yīng)用

(1)確認(rèn)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)軌跡是否為橢圓；(2)解決與焦點(diǎn)有關(guān)的距離或范

圍問(wèn)題.

2.解決焦點(diǎn)三角形問(wèn)題常利用橢圓的定義以及余弦定理.

訓(xùn)練1(1)[2023全國(guó)卷甲]設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)i,尸2為橢圓C：9+總=1的兩個(gè)焦點(diǎn),

OP\={B

點(diǎn)尸在。上，COSZF1PF2=1,

13n頻D”

AA.—5B.——252

解析解法一依題意4=3,b—^6,c—Ja2—b2=V^.如圖,不妨令

Fi(-V3,0),F(V3,0)

2.設(shè)IPFiI=m,IPF2I=〃，在△/1Pp2

中，cosNF"=上層一12=三①，由橢圓的定義可得爪+九=2。=6

2mn5

②.由①②，解得〃程設(shè)|。尸|=x.在△尸10P和△尸2?！钢校琙F1OP+ZF2OP=TI,由

2222

人24曰12+3—zu2x+3-n/矽7n+n—6(m+n)—2mn—615,,,?八八IV30

9OP[

余弦無(wú)理行”丈二一仔x----------2---------------=》，所以?r

(也可由而=[(河+配)，兩邊同時(shí)平方求I。尸I)

解法二依題意q=3,b=y/6,c=JQ2—浜=舊.如圖(圖同解法一)，設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為

(xo,/)，利用焦點(diǎn)三角形面積公式知S△尸.因?yàn)镃OSNEP7?2=>|,所以

6x，2

sinZFiPF2=1,故S△尸ip尸2=-1=3?又S△尸iPF2=gx2c|次I=V3I次I,故濟(jì)=3,又自+

1+5

晅=1,所以焉=[,故|。尸|2=襦+羽甘，得10尸|=嗎

OZLL

(2)已知橢圓。+學(xué)=1,歹是橢圓的左焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，若點(diǎn)/的坐標(biāo)為(1,

40

1),貝M尸/I+I尸川的最小值為(A)

A.3B.V10C.V5+1D.V5+1

解析設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為反(1,0),貝WN尸21=1,(P4)+(PF)=(P力)+4—(PF2)=

4+(PA)-(PF?)?又II尸/I-IPBIIWINgI=1,所以一1<(PA)-(PF2)<1,

所以IP/I+I尸川的最小值為3(此時(shí)點(diǎn)尸是射線(xiàn)廠叢與橢圓的交點(diǎn)).

(3)已知△/8C的周長(zhǎng)為20,且頂點(diǎn)8(0,-4),C(0,4),則頂點(diǎn)/的軌跡方程是

卷土5=1(xW0)一L

解析因?yàn)椤?8C的周長(zhǎng)為20,頂點(diǎn)3(0,-4),C(0,4),所以IBCI=8,I

AB\+\AC\=20—8=12,因?yàn)?2>8,所以點(diǎn)/到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定值，所

22

以點(diǎn)/的軌跡是焦點(diǎn)在〉軸上的橢圓的一部分，設(shè)橢圓方程為云+2=1(Q>6>0),易得

q=6,c=4,所以加=20,所以點(diǎn)4的軌跡方程是三■十三=1GWO).

2036

命題點(diǎn)2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

例2(1)[2023南京模擬]已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為E(0,2),F2(0,一2),P為

橢圓上任意一點(diǎn)，若I川6I是IPEI,IPF2I的等差中項(xiàng)，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

(D)

A￥+廿=1BX+^=1

64606460

cf+叱=lDd+且=1

16121612

解析由題意得IPRI+IPF2I=2IFIF2I=8=2°,故a=4,又c=2,則6=2四，

又焦點(diǎn)在了軸上，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為《+《=1.

(2)[2022全國(guó)卷甲]已知橢圓C：《+r=1(°>6>0)的離心率為%Ai,也分別為C

的左、右頂點(diǎn)，2為C的上頂點(diǎn).若西?瓦石=—1,則C的方程為(B)

A./"】^<+?=1

2.,22

c:Y+匕=1D.-Y+^2=l

解析依題意得(—a,0),Ai(?,0),B(0,b),所以B4i=(-a,—b),BA2

=(a,—b),BAl'BA2=—a2+b2=~c2=—1,故c=l,又。的離心率e=：=g,所以a

22

=3,故居=9,/)2=a2—c2=8,即C的方程為菅+1=1,故選B.

方法技巧

求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種方法

1.定義法

先根據(jù)橢圓的定義確定a,b,c的值，再結(jié)合焦點(diǎn)位置求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

2.待定系數(shù)法

若焦點(diǎn)位置明確，則可設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合已知條件求出a,6的值；若焦點(diǎn)位置不

明確，則需要分焦點(diǎn)在x軸上和y軸上兩種情況討論，也可設(shè)橢圓方程為小好+九產(chǎn)=

l（m>0,n>0,m^n）,用待定系數(shù)法求出機(jī)，"的值.

訓(xùn)練2（1）[2023銀川市質(zhì)檢]已知/是橢圓C：5+/=1（。>6>0）的右頂點(diǎn)，焦距為

4,直線(xiàn)尸for"W0）與C相交于P,。兩點(diǎn)，若直線(xiàn)/P與直線(xiàn)/。的斜率之積為一點(diǎn)

則橢圓。的方程為（B）

A￡+些=1B^+丈=1

6284

cX+^=iD￡+Q=I

953216

解析解法一因?yàn)?是橢圓。的右頂點(diǎn)，所以點(diǎn)力的坐標(biāo)為（Q,0）,因?yàn)橹本€(xiàn)〉="

22

（左W0）過(guò)原點(diǎn)，所以與橢圓a+}=1（〃>6〉0）的交點(diǎn)尸，。關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，因此可設(shè)

P,。兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（X1,>1）,（―X1,一為）,貝寸自一：

x1~a一巧一a打一ax1+a

22222

端國(guó)因?yàn)辄c(diǎn)尸（xi,"）在橢圓宏+方=1（a>b>0）上，所以技+技=1,ityl=b2（1—

》=/『一斕’所以如桃=春=三2#=2/由已知可得一魯弓所以

層=2抉.由焦距2c=4,得c=2,再結(jié)合橢圓中〃2=62+。2,可得層=8,按=4,故橢圓C

22

的方程為二十匕=1,故選B.

84

解法二由二級(jí)結(jié)論可知，直線(xiàn)AP和/。的斜率之積為一《，所以一捺=—（所以層=

2b2,由焦距2c=4,得c=2,再結(jié)合橢圓中層=62+。2,可得層=8,抉=4,故橢圓。的

方程為9+1=1,故選B.（二級(jí)結(jié)論：過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓《+，=1（a>6>0）相交于

P,。兩點(diǎn)，/為橢圓上任意一點(diǎn)，且直線(xiàn)/尸和與坐標(biāo)軸不垂直，則直線(xiàn)4P和N。的

斜率之積為定值一當(dāng)）

⑵若橢圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)（1,爭(zhēng)和（V2,爭(zhēng)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為<+方=1.

22

解析解法一當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在X軸上時(shí)，設(shè)所求橢圓的方程為云十方=1（a>6>0）.V

儀+j_=1,

橢圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)（1,y）和（魚(yú),爭(zhēng)，.*.『q'解得.?.所求楠圓的標(biāo)準(zhǔn)

（葭+言i

222

方程為亍+產(chǎn)=1.當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)所求橢圓的方程為力+a=1（a>6>0）.V

3

工+工=1（

橢圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)（1,y-）和（V2,j）,f‘解得”'與46矛盾，故舍

2_|_2_qlb=2,

葭十記一1'

去.

綜上可知，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為上+爐=1.

4

解法二設(shè)橢圓方程為加，+町2=1（加>0,〃>0,mWn）.

4一’解得產(chǎn)="所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)

2m+]=1,ln=1.

2

方程為二r+f=l.

命題點(diǎn)3橢圓的幾何性質(zhì)

角度1離心率

22

例3⑴[2023新高考卷I]設(shè)橢圓G：2+產(chǎn)=1（。>1），C2：亍+儼=1的離心率分別為

ei,e2,若e2=gei,貝！J。=（A）

A苧B.V2C.V3D.V6

a2~l4~1、叵,_

解析解法一（直接求解法）由已知得-----,e2=^--=—,因?yàn)閑2=gei,所以

a22

—=V3X￡H,得0=辿.故選A.

2a3

解法二（選項(xiàng)代入驗(yàn)證法）若。=等，則?（:=1=3又C2=f,所以。2

3a￡V322

3

=V3ei,所以a=W符合題意，由于是單選題，故選A.

（2）[2022全國(guó)卷甲]橢圓C：/+營(yíng)=1（a>6>0）的左頂點(diǎn)為4點(diǎn)、P,。均在C上，

且關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).若直線(xiàn)/尸，/。的斜率之積為%則C的離心率為（A）

A.—B.—C.-D.i

2223

解析解法一設(shè)尸(m,n)(〃W0),則Q(-m,n),易知4(~a,0),所以

kAP'kAQ=-^----±=2n2=5①.因?yàn)辄c(diǎn)尸在橢圓。上，所以與?+±=1,得層=當(dāng)(層一

m+a—m+aa'-m"4azbLcr

小)，代入①式，得與=：,所以e=或故選A.

a”47az2

解法二設(shè)橢圓。的右頂點(diǎn)為5,則直線(xiàn)5尸與直線(xiàn)4。關(guān)于〉軸對(duì)稱(chēng)，所以kA°=—kBP,

所以kAP'ksp=—kAP'kAQ=-7=e2—1,所以e=”故選A.

⑶[2021全國(guó)卷乙]設(shè)2是橢圓C：捺+5=1(a>b>0)的上頂點(diǎn)，若C上的任意一點(diǎn)

P都滿(mǎn)足I尸2IW26,則。的離心率的取值范圍是(C)

A.Ey,1)B.[1,1)C.(0,爭(zhēng)D.(0,1]

22

解析依題意，得B(0,b),設(shè)橢圓上一點(diǎn)尸(xo,次)，則I次IWb,由偶+患=1,可

得焉=層一則|PB|2=XQ+(次一Z?)2=就十%—20()+節(jié)=一會(huì)%一2勿0+層+

62W4".因?yàn)楫?dāng)次=一6時(shí)，I尸8I2=4按，所以得2c2W°2,所以離心率e=

,故選C.

a2

方法技巧

1.求橢圓離心率的方法

(1)直接利用公式求離心率心=￡=、[1^7^7立

(2)由橢圓的定義求離心率.設(shè)R,尸2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，尸為橢圓上一點(diǎn)，則e=￡=f

a2a

_IFjF2I

IPFjI+IPF2r

(3)構(gòu)造關(guān)于a,c的齊次式求離心率.可以不求出a,c的具體值，而是得出。與c的關(guān)

系，從而求得e.

注意將余弦定理與橢圓的定義結(jié)合列方程，是常見(jiàn)的構(gòu)造關(guān)于a,6,c的齊次式的方法.

2.求橢圓離心率范圍時(shí)，要注意對(duì)幾何圖形的臨界情況的應(yīng)用.

訓(xùn)練3(1)已知橢圓C：《+《=1(a>&>0)的左頂點(diǎn)為4上頂點(diǎn)為3,右焦點(diǎn)為尸，

且尸是等腰三角形，則橢圓C的離心率為(B)

C.V3-1D.V5-1

解析由題意知\AB\>\BF\,>I3”,故IN8I=I,即Ja2+b2=a

+c,所以2a2-02=4+2℃+,2,即2c2+2%—02=0,即2e2+2e—l=0,解得

(負(fù)值舍去)，故選B.

(2)已知招，乃是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，尸是。上的一點(diǎn).若尸尸」尸尸2，且/尸尸2吊=60。,

則C的離心率為(D)

A.l-yB.2-V3C.2^-D.V3-1

解析由題意可得，I尸尸2I：IPF1I：IF1F2I=1：遍：2.因?yàn)镮F1F2I=2c,所以I

PF2I=c,IPFXI=Wc,由橢圓的定義得I尸尸1I+IPF1I=2a,故橢圓。的離心率e

I尸1尸2?=高=8一1.故選D-

IPF1I+IPF2I

角度2與橢圓性質(zhì)有關(guān)的最值(范圍)問(wèn)題

例4(1)[2021全國(guó)卷乙]設(shè)3是橢圓C：9+產(chǎn)=1的上頂點(diǎn)，點(diǎn)尸在C上，則I尸2I的

最大值為(A)

A.|B.V6C.V5D.2

解析設(shè)點(diǎn)尸(x,>),則根據(jù)點(diǎn)P在橢圓9+產(chǎn)=1上可得/=5—5產(chǎn).易知點(diǎn)2(0,

1),所以IPBI2=爐+0—1)2=5-5/+(y-l)2=-4產(chǎn)―2y+6=,—(2y+|)2

(IyIW1).當(dāng)2y+：=0,即N=一：時(shí)，IPBI2取得最大值手，所以IPB|max=1攵選

L442

A.

(2)設(shè)4,5是橢圓C：g=1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).若。上存在點(diǎn)M滿(mǎn)足N4MS=120。，

3m

則正的取值范圍是(A)

A.(0,1]U[9,+8)B.(0,V3]U[9,+°0)

C.(0,1]U[4,+8)D.(0,V3]U[4,+8)

fV3z4MB>tan/AMBrV3

解析依題意得詬Ntan丁，或]遮—2，所以赤2tan60,或

(0Vzn<3m>3,W<m<3

平2tan60。，

遍解得0<%Wl或m^9.

,m>3,

方法技巧

利用橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)求最值或范圍的思路

(1)代數(shù)法，設(shè)坐標(biāo)，利用坐標(biāo)構(gòu)造函數(shù)或不等關(guān)系，利用函數(shù)或基本不等式求最值或范

圍；

(2)幾何法，通過(guò)數(shù)形結(jié)合、幾何意義等結(jié)合橢圓性質(zhì)求解.

訓(xùn)練4(1)[2023貴陽(yáng)摸底]已知橢圓C：9+9=1的左、右焦點(diǎn)分別為尸1，B，點(diǎn)尸在

橢圓上且異于長(zhǎng)軸端點(diǎn).點(diǎn)M,N在△川]6所圍區(qū)域之外，且始終滿(mǎn)足而?麗=0,

而?格=0,貝WAWI的最大值為(A)

A.3B.4C.5D.6

解析設(shè)尸B,P92的中點(diǎn)分別為4,B,因?yàn)辂?麗=0,

麗?稻=0,所以M在以/為圓心，尸尸1為直徑的圓上，N在以5

為圓心，夕尸2為直徑的圓上，所以直線(xiàn)48與兩圓的交點(diǎn)(△PB尸2，‘''

所圍區(qū)域之外)分別為M,N(.M,N的位置如圖所示)時(shí)，I

1

MNI最大，此時(shí)II=I尸/I+IN5I+IP8I=""”尸2I+?AB?.又橢圓

C：3十5=1,所以a=2,Z?=V3,c=Ja2—b2=l,所以IAGVI的最大值為

1PF11+1PF21+IABI=a+c=2+l=3,故選A.

(2)如圖，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓。+*=1(6>0)的離心率e=；,F,.?

4D2

/分別是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，則而?麗的最F一一1.

\、i,7^

大值為4.…

解析由題意知［=2,因?yàn)椤?：=點(diǎn)所以。=1，62=Q2-°2=3.故橢圓方程為?+/=1.設(shè)

尸點(diǎn)坐標(biāo)為Go,次)，一2WxoW2,一遮(yoWg.因?yàn)榇?一1,0),A(2,0),PF=

(―1—%o,一次)，PA=(2—xo,lyo),與+￡=1,所以尸？尸4=就一配一2+羽=：就

-xo+l=7(xo-2)2,則當(dāng)配=一2時(shí)，而?您取得最大值4.

4

■

1.［命題點(diǎn)1,2］已知△/5C中，4為動(dòng)點(diǎn)，B(-2,0),C(2,0)且滿(mǎn)足sinC+sinB

=2sinA,則點(diǎn)/的軌跡方程為，+,=1(vWO).

解析根據(jù)正弦定理，由sinC+sin8=2sinN,^AB+AC=2BC,^AB+AC=S>BC,

所以點(diǎn)N的軌跡是以8(-2,0),C(2,0)為焦點(diǎn)的橢圓，且不包括(4,0),(-

4,0)兩點(diǎn).(易忽略隱含條件：AABC)

22

設(shè)橢圓方程為%+與=1(a>6>0,yWO),則2a=8,2c=4,即。=4,c=2,故6=

Ja2~c2—2V3,所以點(diǎn)/的軌跡方程為看+工=1(yWO).

2.［命題點(diǎn)1,2/多選2024重慶一中階段練習(xí)］已知點(diǎn)/(-1,1),Fi(-1,0),尸2

(1,0),動(dòng)點(diǎn)P(x,y)滿(mǎn)足：yj(x+1)2+y2+J(x—1)2+y2=4,則以下說(shuō)法正

確的是(AD)

A.點(diǎn)P的軌跡方程為9+9=1

B.II+IPF2I<5

C,存在4個(gè)點(diǎn)尸，使得△尸/分的面積為得

D.II+IPFiI>1

解析對(duì)于A,由J(x+1)2+y2+J(x—1)2+y2=4得IPFiI+IPFiI=4>I

F1F2I=2,所以點(diǎn)尸的軌跡是以仍為焦點(diǎn)的橢圓，且焦距2c=2,長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=4,即

c=l,a=2,故短半軸長(zhǎng)b=Ja2—c2=V^,

故點(diǎn)P(x,y)的軌跡方程為9+［=l,A正確.

對(duì)于B,D,將(-1,I)代入橢圓方程，得土+3<1,所以點(diǎn)/(-1,1)在橢圓內(nèi)，所

以IPNI+I尸尸2I=I尸/I+2a~IPFiI=2a+\PA\~\PFX\W2a+IAFxI=4+

1=5,

如圖，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)尸位于點(diǎn)P的位置，即尸1/1與x軸垂直時(shí)等號(hào)成

立.I尸/I+I尸尸M=I尸/I+2a—IPF2I=4+\PA\~\PF2\,-

連接工22,由于II尸/I—IP尸2IIWI/尸2I=小，所以IPA|

-\PF2\。一岔，所以I尸/I+I尸尸1I=4+\PA\-\PF2\24一

V5>1,如圖，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)尸2的位置時(shí)等號(hào)成立，故B錯(cuò)誤，

D正確.

對(duì)于C,S^PAF1^IAFiIA=|xiX/z=p其中〃為點(diǎn)P到直線(xiàn)的距離，若S4p4Fi=

2=則〃=3,由于當(dāng)點(diǎn)P為橢圓的右頂點(diǎn)時(shí)，力取得最大值3,故滿(mǎn)足條件的點(diǎn)尸只有

一個(gè)，C錯(cuò)誤.故選AD.

22

3.［命題點(diǎn)1,3］如圖，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓a+方=1(a>V2)的

左、右焦點(diǎn)分別為尸1,凡，尸是橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，且直

線(xiàn)尸2尸與》軸的正半軸交于'

A點(diǎn)、,△/尸尸1的內(nèi)切圓在邊尸。上的切點(diǎn)為。，若I居。I=4,則該

橢圓的離心率為—巫

4

解析如圖所示，不妨設(shè)△4PB的內(nèi)切圓在邊4P上的切點(diǎn)分別-；》

為M,N,圓心為C,連接CM,CN,則易得ICWI=ICNI,又因一■

為△/耳尸2為等腰三角形，故點(diǎn)C在>軸上，則由題意可知I尸1。|

=IFiMI=IFTNI=IPAM+I尸尸2I=IP。I+I尸6I=4,由橢圓的定義知I

PFiI+IPFiI=2a,即IP。I+IQEI+I尸「2I=2a=8,解得a=4,所以c=

Ja2—2—J16—2=V14,所以橢圓的離心率6=(=半.

22

4.［命題點(diǎn)3角度1］若橢圓a+與=1(a>6>0)上存在一點(diǎn)使得/尸也叫=90。S,

用分別為橢圓的左、右焦點(diǎn))，則橢圓的離心率e的取值范圍為「/,1).

解析解法一設(shè)點(diǎn)〃的坐標(biāo)是(xo,次)，則IxoI<a.

=

VFi(—c,0),尸2(c,0),MFr=(—c—xo,-yo),MF2(c—xo,一次).

■:/FiMFz=9。。,MF[-MF2=—(c+xo)(c—xo)+%=0,即就+光=，.

1.2

又點(diǎn)又在橢圓上,即%=〃一/就，

/.%o+yo=Z72+^2%o^[b2,a2),即[扶，層)，

：.c2^b2=a2~c2,即3》：，

az2

又0<e<l,A—^e<l,

2

故橢圓的離心率e的取值范圍是呼，1).

解法二設(shè)橢圓與y軸的一個(gè)交點(diǎn)為P,

:桶圓上存在一點(diǎn)使NFI〃F2=90°,

AZFIPF2^90°,貝Ic2b,

2

--一r1

c2^b2=a2—c2,即混■N'J，

又0<e<l,A—^e<l,

2

故橢圓的離心率e的取值范圍為庠，1).

22

5.[命題點(diǎn)3]直線(xiàn)y=Ax(左￡R)與橢圓3+5=1相交于/,B兩點(diǎn),若將x軸下方半平面

oL

沿著x軸翻折，使之與x軸上方半平面所成的角為直角，貝UIN8I的取值范圍是

(C)

A.[魚(yú)，V6)B.[2,2他C.(2,2痘D.(2,6]

解析在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)N(xi,yi),B(必>2),則易知xi=-X2,勿=一方.由

y=kx,

仁+4=1,

,62

可得(1+3F)%2—6=0,可得％i%2=一.："，所以好=.

1+3M,1+3H

將X軸下方半平面沿著X軸翻折，使之與X軸上方半平面所成的角為直

角，如圖所示，,'-W；.y

作3C_Lx軸，4D_Lx軸，垂足分別為C,D,則I48I2=?[2+?

2

2

CD\+\AD\2.由對(duì)稱(chēng)性可得18cl2=?AD?『比=利乩|C￡)|2==

4%i，所以I4BI2=2R妊+4好==4°；：事"=4(1+京7).因?yàn)樾。?,所以

31+1N1,所以0<31<5,所以4<IASI2<24,所以2<|/8|<2病，所以I

ABI的取值范圍是(2,2V6],故選C.

(--------------------，練習(xí)幫,練透好題精準(zhǔn)分層---------------------------

色學(xué)生用書(shū)?練習(xí)幫P355

■礎(chǔ)練知識(shí)產(chǎn)關(guān)〕

1.[2024廣西模擬]橢圓;^^十邑=1的焦距為4,則機(jī)=(C)

10—mm~2

A.4B.8C.4或8D.12

解析當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在工軸上時(shí)，10—m^>m—2>0,且10—m—(m—2)=4,?,?加=4.當(dāng)

橢圓的焦點(diǎn)在》軸上時(shí)，m—2>10—m>0,且冽一2一(10—m)=4,???冽=8.???冽=4或

8.

2.[2023成都模擬]設(shè)9為橢圓C：彳+9=1的右焦點(diǎn)，點(diǎn)/(2,0)，點(diǎn)3在C上，若I

2尸I=2I/尸I,貝！|IABI=(C)

A.V5B.2V5C.V7D.2V7

解析由題意可知，層=4,N=3,所以(？=I,所以產(chǎn)(1,0),IAF1=1,所以I

BF\=2\AF\=2.設(shè)/i為左焦點(diǎn)，則II+I5/I=4,得IBFiI=2,故5為橢圓

C短軸的端點(diǎn)，所以8(0,±V3),所以IN3I=J22+(±V3)?=近,故選c.

3.[2024陜西檢測(cè)]已知兩定點(diǎn)E(-1,0),F2(1,0)和一動(dòng)點(diǎn)P,若I乃尸2I是I

PEI與IPF2I的等差中項(xiàng)，則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡方程為(B)

解析由題意得IFgI=2,：IFIF2I是1PBi與I尸尸2I的等差中項(xiàng)，；.2(尸1尸2)=

(PFi)+(PF2),即1PBi+IPF2I=4,且IPBI+IPF2I>2,，點(diǎn)P在以6,F2

為焦點(diǎn)的橢圓上.易知a=2,c—1,b2—3,二橢圓的方程是3+3=1.故選B.

4.[2024廣東七校聯(lián)考]已知尸1,尸2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿(mǎn)足哂?麗=0的點(diǎn)M總在橢圓

內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是(B)

A.(0,B.(0,爭(zhēng)

C.0當(dāng)D,除1)

222

解析因?yàn)辂??拓5=0,所以點(diǎn)M在以原點(diǎn)為圓心，C為半徑的圓上，且該圓在橢圓內(nèi)

部，所以c<6,所以則c2<%2,所以0<e<耳，故選B.

5.[2024江西名校模擬]已知橢圓C：5+《=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F，橢圓上的兩點(diǎn)

P,。關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，若I尸尸I+I。9I=6,且橢圓C的離心率為點(diǎn)則橢圓C的方程為

(A)

A9會(huì)1B守±1

虛+9=1D.f+f=l

解析由橢圓的定義及橢圓的對(duì)稱(chēng)性可得|尸尸|+|QF|=2a=6,所以a=3.由橢圓C

的離心率為提得三E二g,所以〃=8,故橢圓C的方程為。gl,故選A.

6.［2023南京學(xué)情調(diào)研］已知橢圓5+/=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為E,Fi,左頂

點(diǎn)為力,上頂點(diǎn)為3,點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn),且尸尸2，EF2.若/2〃尸尸1,則橢圓的離心率為

(A)

Vs「V3D.f

AA-TB1CT

解析由題意，知