初中數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)講義練習(xí)：全等三角形中的經(jīng)典模型【六大題型】

全等三角形中的經(jīng)典模型【六大題型】

【題型1平移模型】............................................................................1

【題型2軸對(duì)稱模型】.........................................................................5

【題型3旋轉(zhuǎn)模型】...........................................................................7

【題型4一線三等角模型】.....................................................................13

【題型5倍長(zhǎng)中線模型】......................................................................19

【題型6截長(zhǎng)補(bǔ)短模型】......................................................................24

【例1】（2022?義馬市期末）如圖，點(diǎn)A,E,F,8在直線/上，AE=BF,AC//BD,且

AC=BD,求證：AACF咨ABDE.

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到/C4P=ZDBE,根據(jù)SAS證明△ACF也即可.

【解答】證明：

：.AE+EF=BF+EF,

即AF=BE；

'：AC//BD,

：.ZCAF=ZDBE,

又；AC=BD,

在△acr與aBDE中，

AC=BD

ACAF=乙DBE,

.AF=BE

：.AACF^ABDE(SAS).

【變式1-1](2022?曾都區(qū)期末)如圖，點(diǎn)B,E,C,尸在一條直線上，AB=DE,AC=

DF.老師說(shuō)：還添加一個(gè)條件就可使△ABCgZXOEF.下面是課堂上三個(gè)同學(xué)的發(fā)言：

甲：添加BE=C尸，乙：添力口AC〃。人丙：添加NA=ND

(1)甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)的說(shuō)法正確的是甲、丙；

(2)請(qǐng)你從正確的說(shuō)法中，選取一種給予證明.

【分析】(1)加上條件BE=CF或的條件即可證明兩個(gè)三角形全等，添加AC

〃D尸不能證明△ABC絲ADEF；

(2)添加BE=CB可得利用SSS判定△ABC之△￡)￡/即可，添加/A=ND可

用SAS證明△ABCZADEF.

【解答】解：(1)說(shuō)法正確的是：甲、丙，

故答案為：甲、丙；

(2)選甲的做法，

證明：；BE=CF,

：.BC=EF,

在△ABC和△￡>田中，

AB=DE

AC=DF,

BC=EF

：.AABC^ADEFCSSS).

選丙的做法，

在△ABC和△￡>￡1/中，

AB=DE

Z-A=乙D,

AC=DF

：.AABC^ADEF(SAS).

【變式1-2](2022春?東坡區(qū)校級(jí)期末)如圖，△A3C中，AB=13cm,BC=llcm,AC=

6cm,點(diǎn)石是8。邊的中點(diǎn)，點(diǎn)。在A3邊上，現(xiàn)將沿著B(niǎo)A方向向左平移至△A0歹

的位置，則四邊形DECF的周長(zhǎng)為_(kāi)_____cm.

C

ADB

【分析】連接ER證明△(?￡尸=△Df'E(ASA),推出DE=CF,可得結(jié)論.

【h解答】解：連接EE

ADB

由平移的性質(zhì)可知，AF=DE.EF=AD,AF//DE,EF//AD,DF//BC,

：?NCEF=/DFE,/CFE=/DEF,

在ACE/和△OFE中，

Z.CEF=乙EFD

EF=FE,

ZCFE=乙DEF

:.ACEF絲ADFE(ASA),

:?DE=CF,

.\AF=CF=DE=3cm

是BC的中點(diǎn)，

EC—EB—DF—5.5cm,

四邊形OECF的周長(zhǎng)=2(3+5.5)=11cm.

故答案為：17.

【變式1-3](2022?富順縣校級(jí)月考)如圖1,A,B,C,。在同一直線上，AB=CD,DE

//AF,1.DE=AF,求證：AAFC^ADEB.如果將沿著AO邊的方向平行移動(dòng)，如

圖2,3時(shí)，其余條件不變，結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)予以證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)

【分析】可以根據(jù)已知利用SAS判定△AFCgADEB.如果將BD沿著A。邊的方向平行

移動(dòng)，如圖(2)、(3)時(shí)，其余條件不變，結(jié)論仍然成立.可以利用全等三角形的常

用的判定方法進(jìn)行驗(yàn)證.

【解答】解：

：.AB+BC=CD+BC,

即AC=BD.

,JDE//AF,

AF=DE

在△ABC和△。仍中，1N4=4。,

AC=DB

：.AAFC^ADEB(SAS).

在(2),(3)中結(jié)論依然成立.

如在(3)中，'：AB=CD,

：.AB-BC=CD-BC,

即AC=BD,

,JAF//DE,

：./A=ND.

AF=DE

在△ACP和△DEB中，1,

.AC=DB

:.△ACF迫叢DEB(SAS).

知識(shí)點(diǎn)2軸對(duì)稱模型】

【模型解讀】將原圖形沿著某一條直線折疊后，直線兩邊的部分能夠完全重合，這兩個(gè)三

角形稱之為軸對(duì)稱型全等三角形，此類圖形中要注意期隱含條件，即公共邊或公共角相等.

【常見(jiàn)模型】

【題型2軸對(duì)稱模型】

【例2】(2022?安丘市期末)如圖，已知△ACP之且點(diǎn)A,B,C,D在同一條直

線上，NA=50°,ZF=40°.

(1)求△OBE各內(nèi)角的度數(shù)；

【分析】(1)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出N。、/E,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出/防。

即可；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AC=BD,求出AB=C。，即可求出答案.

【解答】解：(1);AACF咨ADBE,NA=50°,ZF=40",

.,.-4=50°,NE=NF=40°,

：.ZEBD=1SO°-ZD-ZE=90°；

(2),/AACF^ADBE,

：.AC=BD,

：.AC-BC=DB-BC,

：.AB=CD,

'：AD=16,BC=10,

：.AB=CD^~(AD-BC)=3.

2

【變式2-1](2022?隴縣一模)如圖，在△ABC中，已知CQ_LAB于點(diǎn)。，BE_LAC于點(diǎn)E,

/DCB=/EBC.求證：AD=AE.

A

【分析】由“A4S”可證△AOCgZXAEB,可得A0=AE1.

【解答】證明：VCD±AB,BELAC,NDCB=NEBC,

:?NDBC=NECB,

：.AB=AC,

在△ADC和防中，

乙4=乙4

^ADC=2LAEB=90°,

AC=AB

：.AADC^AAEB(A4S),

：.AD=AE.

【變式2-2](2022?句容市期末)如圖，已知△49。之△30C.求證:AC=BD.

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等式的性質(zhì)解答即可.

【解答】證明：VAAOD^ABOC,

：.AO=BO,CO=DO,ZAOD=ZBOC9

：.ZAOD-ZCOD=ZBOC-/COD,

即NAOC=N8O。，

在△AOC和△30。中，

AO=BO

Z-AOC=乙BOD,

CO=DO

:.△NOgXBOD(SAS),

：.AC=BD.

【變式2-3](2022?海珠區(qū)校級(jí)期中)如圖，PB±ABfPC±AC,PBPC,。是AP上一

點(diǎn).求證：ZBDP=ZCDP.

【分析】求出NABP=NACP=90°,根據(jù)乩推出Rt^ABP咨RtZXACP,根據(jù)全等三角

形的性質(zhì)得出/8PO=/CPD,根據(jù)SAS推出△8P。絲△CPZ),即可得出答案.

【解答】證明：PCLAC,

：.ZABP=ZACP=9Q°,

.?.在RtAABP和RtAACP中

(AP=AP

kPB=PC

.?.RtAABP^RtAACP(HL),

：.ZBPD=ZCPD,

在△BPD和△CPD中

PB=PC

乙BPD=乙CPD

、PD=PD

:ABPD%MPD,

：.ZBDP=ZCDP.

彳知識(shí)點(diǎn)3旋轉(zhuǎn)模型】X

【模型解讀】將三角形繞著公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度后，兩個(gè)三角形能夠完全重合，則稱這

兩個(gè)三角形為旋轉(zhuǎn)型三角形，識(shí)別旋轉(zhuǎn)型三角形時(shí)，涉及對(duì)頂角相等、等角加（減）公共

角的條件.

【常見(jiàn)模型】

【題型3旋轉(zhuǎn)模型】

【例3】（2022?環(huán)江縣期中）如圖，AB=AE,AB//DE,Zl=70°,ZD=110°.

求證：AABC咨AEAD.

證明：：/l=70°,

Z2=110°（鄰補(bǔ)角的性質(zhì)）.

Z2=ZD（等量代換）.

,:AB〃DE,

Z3=ZE(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等).

在△ABC和中，

'()

'()'

=AE

：./\ABC^/\EAD(A45).

【分析】由鄰補(bǔ)角的性質(zhì)求出/2=110。，由平行線的性質(zhì)得出N3=NE,根據(jù)A4s可

證△ABC絲△￡/!￡）.

【解答】證明：：/1=70°,

.-.Z2=110°（鄰補(bǔ)角的性質(zhì)），

：.Z2=ZD（等量代換），

'：AB//DE,

.../3=NE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

在△ABC和△￡?1￡）中，

22=4D

Z3=乙E,

.AB=AE

:./\ABC空AEAD（AAS）.

故答案為：Z2=110°；鄰補(bǔ)角的性質(zhì)；Z2=ZD；等量代換；N3=/E；兩直線平行,

內(nèi)錯(cuò)角相等；/2=ND；/3=/￡

【變式3-1］（2022春?濟(jì)南期末）如圖1,△ABE是等腰三角形，AB^AE,NBAE=45°,

過(guò)點(diǎn)8作8CLAE于點(diǎn)C,在8c上截取CD=CE,連接A。、OE并延長(zhǎng)交BE于點(diǎn)

P;

（1）求證：AD=BE；

（2）試說(shuō)明AO平分NBAE；

（3）如圖2,將△CQE繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一定的角度，那么AO與出?的位置關(guān)系是否發(fā)生

變化，說(shuō)明理由.

B

B

【分析】(1)利用SAS證明ABCE名△AC。，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到AD=

BE.

(2)根據(jù)△3CE四△ACO,得到NE3C=ND4C由NBOP=NA0C,得到N6P0=N

0c4=90°,利用等腰三角形的三線合一，即可得到AO平分N3AE；

(3)AO_L8E不發(fā)生變化.由△3CE四△ACO,得到NEBC=ND4C,由對(duì)頂角相等得

到/8萬(wàn)=乙4/。，根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°,所以NB//=NACT=90°,即ADA.

BE.

【解答】解：(1)VBC1AE,ZBAE=45°,

：.ZCBA=ZCAB,

：.BC=CAf

在△BCE和△AC。中，

BC=AC

乙BCE=^ACD=90°,

CE=CD

:?△BCE^AACD(SAS),

：.AD=BE.

(2)VABCE^AACD,

，NEBC=ADAC,

'：ZBDP=ZADC,

：.ZBPD=ZDCA=90°,

*：AB=AEf

：.AD平分NA4E.

(3)ADLBE不發(fā)生變化.

如圖2,

B

A

(圖2)

VABCE^AACD,

NEBC=ZDAC,

■:/BFP=/AFC,

：.ZBPF=ZACF=90°,

:.ADLBE.

【變式3-2](2022?高港區(qū)校級(jí)月考)已知，如圖，AD,8尸相交于。點(diǎn)，點(diǎn)E、C在8F

上，MBE=FC,AC=DE,AB=DF.求證：

(1)AO=。。；

(2)AC//DE.

【分析】(1)易證△ABCZZ\DBE,可得NB=/尸，可證△AB。絲△DF。，可得AO=

DO；

(2)易證可得NDEF=NACB,可得AC〃。匹

【解答】解：(1),:BE=CF,

:.BC=FE,

在△ABC和△￡)F￡中，

AB=DF

AC=DE,

BC=FE

:.AABC絲ADFE(.SSS),

；./B=/F,

:在△ABO和△。/。中，

Z.DOF=Z.AOB

，NB=NF,

AB=DF

:.△ABOdDFO(AAS),

.\AO=DO；

(2):△ABCZADFE,

：.ZDEF=ZACB,

J.AC//DE.

【變式3-3］（2022?錦州模擬）如圖，將兩個(gè)全等的直角三角形△AB。、△ACE拼在一起

（圖1）,△A3。不動(dòng).

（1）若將△ACE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接。E,M是。E的中點(diǎn)，連接M3、MC（圖2）,

證明：MB=MC.

（2）若將圖1中的CE向上平移，NCAE不變，連接。E,M是。E的中點(diǎn)，連接M8、

MC（圖3）,判斷并直接寫出MB、MC的數(shù)量關(guān)系.

（3）在（2）中，若NCAE的大小改變（圖4）,其他條件不變，貝I（2）中的MB、MC

的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？說(shuō)明理由.

【分析】（1）連接AM,根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得AD=AE,AB^AC,全等三

角形對(duì)應(yīng)角相等可得再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到NM4D=

NMAE,然后利用“邊角邊”證明△ABM和△ACM全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即

可得證；

（2）延長(zhǎng)。8、AE相交于E',延長(zhǎng)EC交4。于尸，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)

得到BD=BE',然后求出MB//AE',再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出

ZCAE,同理求出MC//AD,根據(jù)兩直線平行，同位角相等求出/8CM=NBAZ）,然后

求出再根據(jù)等角對(duì)等邊即可得證；

（3）延長(zhǎng)&W交CE于尸，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得ZMBD

=ZMFE,然后利用“角角邊”證明AML啰和全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相

等可得然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半證明即可.

【解答】證明：（1）如圖2,連接AM,由已知得△ABOg/kACE,

：.AD=AE,AB=AC,NBAD=/CAE,

；MD=ME,

：.ZMAD=NMAE,

：.AMAD-ZBAD=ZMAE-ZCAE,

即NR4M=NCAM,

AB=AC

在△ABM和△ACM中，=NC4M,

AM=AM

：.AABM^AACM(SAS),

：.MB=MC；

(2)MB=MC.

理由如下：如圖3,延長(zhǎng)。5、AE相交于E'延長(zhǎng)EC交A。于巴

：.BD=BE',CE=CF,

???M是中的中點(diǎn)，B是DE，的中點(diǎn)，

J.MB//AE',

J/MBC=/CAE,

同理：MC//AD,

：.NBCM=NBAD,

?:/BAD=/CAE,

:?NMBC=/BCM,

：.MB=MC；

解法二：如圖3中，延長(zhǎng)CM交3。于點(diǎn)T.

圖3

■:EC//DT,

；?/CEM=/TDM,

在△ECM和中，

2CEM=2TDM

EM=DM,

"MC=乙DMT

：./\ECM^/\DTM(ASA),

???CM=MT,

9：ZCBT=90°,

:?BM=CM=MT.

(3)還成立.

如圖4,延長(zhǎng)交CE于產(chǎn),

■:CE//BD,

：?NMDB=/MEF,NMBD=/MFE,

又是的中點(diǎn)，

：.MD=ME,

在和中，

Z.MDB=Z-MEF

乙MBD=乙MFE,

.MD=ME

：.AMDB^AMEF(AAS),

VZACE=90°,

：.ZBCF=90°,

：.MB=MC.

【題型4一線三等角模型】

【例4】(2022春?香坊區(qū)期末)已知，在△A3C中，AB=AC,D,A,石三點(diǎn)都在直線機(jī)

上，且DE=9cm,ZBDA=ZAEC=ABAC

(1)如圖①，ABLAC,則3。與AE的數(shù)量關(guān)系為BD=AE,CE與的數(shù)量

關(guān)系為CE=AD；

(2)如圖②，判斷并說(shuō)明線段3D,CE與DE的數(shù)量關(guān)系；

(3)如圖③，若只保持/BD4=NAEC,BO=EF=7c機(jī)，點(diǎn)A在線段OE上以2c7Ms的

速度由點(diǎn)。向點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)C在線段環(huán)上以無(wú)aw/s的速度由點(diǎn)E向點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)，

它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為f(s).是否存在x,使得△ABO與△EAC全等？若存在，求出相應(yīng)

的r的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

D—?AEm

AErnAEm

圖①圖②圖③

【分析】(1)利用平角的定義和三角形內(nèi)角和定理得NC4E=/ABD,再利用44S證明

AABD^/XCAE,得BD=AE,CE=AD；

(2)由(1)同理可得△ABDZZ\CAE,得BZ)=A￡,CE=AD,可得答案；

(3)分注或△ZMB咨AEAC兩種情形，分別根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可解決

問(wèn)題.

【解答】解：(1),.,NB￡>A=NAEC=N2AC,

ZBAD+ZCAE=ZBAD+ZABD,

：.NCAE=AABD,

'：ZBDA=ZAEC,BA=CA,

：./\ABD^/\CAE(AAS),

：.BD=AE,CE=AD,

故答案為：BD=AE,CE^AD；

(2)DE=BD+CE,

由(1)同理可得△ABO四△CAE(AAS),

：.BD=AE,CE=AD,

：.DE=BD+CE；

(3)存在，當(dāng)△D48也△EC4時(shí)，

AD=CE=2cm,BD=AE=7cm,

.,.Z=l,此時(shí)x=2；

當(dāng)△口13g△E4C時(shí)，

z

.\AD=AE=4.5cmfDB=EC=7cm,

綜上：t=l九=2或/=?,x=—.

949

【變式4-1]（2022?東至縣期末）如圖，在△ABC中，AB=AC,D、A、E三點(diǎn)都在直線機(jī)

上，并且有NBZM=NAEC=/&lC=a,若。石=10,BD=3,求CE的長(zhǎng).

C

【分析】由NAEC=NBAC=a,推出NEC4=NBA。，再根據(jù)AAS證明△BA￡）0z\ACE

得CE=A。，AE=BD=3,即可得出結(jié)果.

【解答】解：VZAEC=ZBAC=a,

：.Z￡CA+ZCA￡=180°-a,

ZBAD+ZCAE=180°-a,

：.ZECA=ZBAD,

在△BA。與△&（?￡1中，

^BDA=AAEC

Z.BAD=Z-ACE,

AB=AC

ABAD^AACE（AAS）,

：.CE=ADfAE=BD=3,

9

\DE=AD+AE=10f

：.AD=DE-AE=DE-50=10-3=7.

:?CE=Q.

【變式4-2]（2022春?歷下區(qū)期中）CD是經(jīng)過(guò)NBCA定點(diǎn)C的一條直線，CA=CB,E、

廠分別是直線CD上兩點(diǎn)，且/8EC=NCEl=/[3.

（1）若直線C￡）經(jīng)過(guò)NBCA內(nèi)部，且￡、/在射線C。上，

①若/BCA=90°,Np=90°,例如圖1,貝!CF,EF|2E-4F|.（填“〉”，

“<”，“=”）；

②若0°<NBCA<180°,且/B+/8CA=180°,例如圖2,①中的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？

并說(shuō)明理由；

（2）如圖3,若直線CD經(jīng)過(guò)/BCA外部，且Np=NBCA,請(qǐng)直接寫出線段EF、BE、

AP的數(shù)量關(guān)系（不需要證明）.

CAF,推出BE=CRCE=A/即可；②求出NBEC=NABC,NCBE=NACF,根據(jù)AAS

證△BCEZzXCA凡推出8石=(?凡CE=4尸即可；

(2)求出NBEC=NAf'C,ZCBE=ZACF,AASiiEABCE^ACAF,推出BE=CR

CE=AF即可.

E點(diǎn)在歹點(diǎn)的左側(cè)，

'：BE±CD,AFLCD,NAC2=90°,

：.ZBEC=ZAFC=90°,

AZBCE+ZACF=90°,ZCBE+ZBCE=90°,

：.ZCBE=ZACF,

在△BCE和△CA尸中，

ZEBC=AACF

/.BEC=/.AFC,

BC=AC

:.4BCE烏LCAF(A4S),

：.BE=CF,CE=AF,

；.EF=CF-CE=BE-AF,

當(dāng)E在尸的右側(cè)時(shí)，同理可證Eb=AF-BE,

：.EF=\BE-AF\-,

故答案為=,=.

②：①中兩個(gè)結(jié)論仍然成立；

證明：如圖2,

圖2

*：ZBEC=ZCFA=Za9Za+ZACB=180°,

，/CBE=ZACFf

在△BCE和△CA/中，

2EBC=乙4CF

(BEC=Z.AFC,

BC=AC

：.ABCE^ACAF(A4S),

；?BE=CF,CE=AF,

：.EF=CF-CE=BE-AF,

當(dāng)E在尸的右側(cè)時(shí)，如圖3,

同理可證EF=AF-BE,

：.EF=\BE-AF\；

(2)EF=BE+AF.

理由是：如圖4,

VZBEC=ZCFA=Za,Za=ZBCA,

又?；NEBC+/BCE+NBEC=18。。,ZBCE+ZACF+ZACB=180°,

???ZEBC+ZBCE=ZBCE+ZACF,

：.ZEBC=ZACF,

在△BEC和△C7;A中，

NEBC=Z.ACF

乙BEC=/.AFC,

BC=AC

：./\BEC^/^CFA(AAS),

：.AF=CE,BE=CF,

"：EF=CE+CF,

：.EF=BE+AF.

【變式4-3](2022?余杭區(qū)月考)如圖①，點(diǎn)、B、C在NMAN的邊AM、AN上，點(diǎn)E,F

在/MAN內(nèi)部的射線上，ZKN2分別是△ABE、尸的外角.已知A8=AC,

Z1=Z2=ZBAC.求證：AABE名ACAF.

應(yīng)用：如圖②，在△ABC中，AB^AC,AB>BC,點(diǎn)。在邊BC上，且C￡)=2B。，點(diǎn)、E,

E在線段上.Z1=Z2=ZBAC,若△ABC的面積為15,求△ABE與△CAF的面積

之和.

【分析】(1)由"ASA”可證△ABEZ/XCAF；

(2)由“ASA”可證由全等三角形的性質(zhì)可得SAABE=SMAF，由三角形

的面積關(guān)系可求解.

【解答】證明：(1),.?/1=N2=N2AC,S.Z1=ZBAE+ZABE,Z2=ZFAC+ZFCA,

NBAC=ZBAE+ZFAC,

：.ZBAE=ZFCA,ZABE=ZFAC,S.AB=AC,

.?.△ABE慫△CAP(ASA)

(2)VZ1=Z2=ZBAC,且N1=NBAE+/ABE,Z2=ZFAC+ZFCA,ZBAC=Z

BAE+ZFAC,

：.ZBAE=ZFCA,ZABE=ZFAC,且AB=AC,

.?.△ABE絲△CAF(ASA)

SAABE—SACAFJ

\'CD=2BD,ZVIBC的面積為15,

S^ACD—10—S^ABE^~S^CDF-

〃知識(shí)點(diǎn)5倍長(zhǎng)中線模型模型】

【模型解讀】中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問(wèn)題時(shí)，常常采用“倍

長(zhǎng)中線法”添加輔助線.所謂倍長(zhǎng)中線法，就是將三角形的中線延長(zhǎng)一倍，以便構(gòu)造出全

等三角形，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題的方法.

【常見(jiàn)模型】

AA

E*E

【題型5倍長(zhǎng)中線模型】

【例5】(2022秋?博興縣期末)如圖，2。是△ABC的中線，AB=6,BC=4,求中線BO

的取值范圍.

【分析】延長(zhǎng)2。到E,使DE=BD,證明兩邊之和大于兩邊之差小于BE=

2BD,證明三角形全等，得到線段相等，等量代換得

【解答】解：如圖所示，延長(zhǎng)BD到￡,使。連接AE,

：8。是△ABC的中線，

：.AD=CD,

在△ADE和△CD8中，

AD=CD

Z.ADE=乙CDB,

BD=ED

???△ADEmLCDB(SAS),

：.AE=BC,

在△A5E中，AB-AE<BE<AB+AE,

即2V2BDC10,

：.1<BD<5.

【變式5-1］（2022?涪城區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，。是3。邊的中點(diǎn)，E是AD上

一點(diǎn)，BE=AC,BE的延長(zhǎng)線交AC于R求證：ZAEF=ZEAF.

【分析】延長(zhǎng)A0到G使。G=A0,連接BG,通過(guò)△ACO名△GB。，根據(jù)全等三角形的

性質(zhì)得到NCAD=NG,AC=BG,等量代換得到3E=BG,由等腰三角形的性質(zhì)得到N

G=ZBEG,即可得到結(jié)論.

【解答】解：如圖，延長(zhǎng)AO到G使。G=A。，連接8G,

在△ACO與△G5O中，

CD=BD

Z-ADC=Z.BDG,

AD=DG

：.AACD^AGBD,

：.ZCAD=ZG,AC=BG,

*：BE=AC,

：,BE=BG,

:?/G=/BEG,

,/NBEG=NAEF,

：.ZAEF=ZEAF.

、'；G

【變式5-2](2022?潘水縣校級(jí)模擬)(1)在△ABC中，4。為△ABC的中線，42=6,

AC=4,則AD的取值范圍是1<AD<5；

(2)如圖，在△ABC4J,為△ABC的中線，點(diǎn)E在中線AD上，且BE=AC,連接

并延長(zhǎng)BE交AC于點(diǎn)?求證：AF=FE.

【分析】(1)延長(zhǎng)到E,?DE=AD,連接BE,利用“邊角邊”證明△人⑦和4

EBD全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BE=AC,再利用三角形的任意兩邊之和大

于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊求出AE的取值范圍，然后求解即可.

(2)延長(zhǎng)AO到點(diǎn)G,使DG=DE,連接CG.證明(SAS).由全等三

角形的性質(zhì)可得出BE=CG,ZBED=ZG.得出NG=NG4C,ZAEF=ZGAC,則可

得出結(jié)論.

【解答】(1)解：如圖，延長(zhǎng)到E,使D￡=A￡>,連接BE,

為△ABC的中線，

：.BD=CD,

在△AC。和△E8。中，

DE=AD

Z-ADC=乙EDB,

BD=CD

:?△ACD/XEBD(SAS),

：.BE=AC,

由三角形三邊關(guān)系得，6-4VAEV6+4,

即2VA石<10,

A1<A￡><5,

故答案為：1<AO<5.

(2)證明，延長(zhǎng)A。到點(diǎn)G,使DG=DE,連接CG.

〈AO是中線，

:?BD=DC.

在△5DE和△COG中，

BD=CD

Z.BDE=乙CDG,

DE=DG

:?ABDE/ACDG(SAS).

：.BE=CG,ZBED=ZG.

'：ZAEF=ZBFD,

：.ZAEF=ZG.

VBE=AC,

：.AC=CG9

:?/G=/GAC,

：.ZAFE=ZGAC,

：.AE=EF.

、?

、:E

【變式5-3](2022?丹陽(yáng)市期中)八年級(jí)一班數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動(dòng)中進(jìn)行了探究試驗(yàn)

活動(dòng)，請(qǐng)你和他們一起活動(dòng)吧.

【探究與發(fā)現(xiàn)】

(1)如圖1,是△ABC的中線，延長(zhǎng)至點(diǎn)E,使ED=A。，連接BE,寫出圖中

全等的兩個(gè)三角形

【理解與應(yīng)用】

(2)填空：如圖2,EP是△￡)跖的中線，若EF=5,DE=3,設(shè)則x的取值范

圍是?

(3)已知：如圖3,是△ABC的中線，NBAC=/ACB,點(diǎn)。在BC的延長(zhǎng)線上，

QC=BC,求證：AQ=2AD.

【分析】(1)根據(jù)全等三角形的判定即可得到結(jié)論；

(2)延長(zhǎng)EP至點(diǎn)。，使PQ=PE,連接產(chǎn)。，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到尸。=OE=3,

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得到結(jié)論；

(3)延長(zhǎng)AD到M,使MD=AD,連接BM,于是得到AM=2AD由已知條件得到BD=

CD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BM=CA,ZM=ZCAD,于是得到/BAC=

ZCAD=ZBAM+ZM,推出根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】(1)證明：在△ADC與△￡758中，

AD=DE

Z.ADC=/.BDE,

CD=BD

：.4ADC*AEDB；

故答案為：AADC冬4EDB；

(2)解：如圖2,延長(zhǎng)EP至點(diǎn)。，使PQ=PE,連接PQ,

在△P￡>￡■與尸中，

PE=PQ

Z.EPD=乙QPF,

.PD=PF

.?.△PEP四△。尸尸，

：.FQ=DE=3,

在△EFQ中，所-FQ<QE<EF+FQ,

即5-3<2x<5+3,

二尤的取值范圍是l<x<4；

故答案為：l<x<4；

(3)證明：如圖3,延長(zhǎng)A。到M,MD=AD,連接

：.AM=2AD,

是△ABC的中線，

:?BD=CD,

在△3MZ)與△CA。中，

MD=AD

Z.BDA=Z.CDAJ

BD=CD

：.4BMDQ4CAD,

：.BM=CA,ZM=ZCAD,

：.ZBAC=ZBAM+ZCAD=ZBAM+ZM.

VZACB=ZQ+ZCAQfAB=BC,

VZACQ=180°-(NQ+NCA。),ZMBA=180°-(ZBAM+ZM),

???ZACQ=ZMBAf

'：QC=BC,

：.QC=AB,

在△ACQ與△ME4中，

(BM=CA

^.ACQ=^MBA,

QC=AB

：.AACQ^AMBA,

.'.AQ=AM=2AD.

圖2

（【知識(shí)點(diǎn)6截長(zhǎng)補(bǔ)短模型】

【模型解讀】截長(zhǎng)補(bǔ)短的方法適用于求證線段的和差倍分關(guān)系.截長(zhǎng)，指在長(zhǎng)線段中截取一

段等于已知線段;補(bǔ)短，指將短線段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分等于已知線段.該類題目中常出現(xiàn)等腰三

角形、角平分線等關(guān)鍵詞句，可以采用截長(zhǎng)補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形來(lái)完成證明過(guò)程

［【題型6截長(zhǎng)補(bǔ)短模型】

【例6】（2022秋?西崗區(qū)期末）閱讀下面材料：

小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：

如圖1,在△ABC中，4。平分NA4C,ZABC=2ZC.求證：AC=AB+BD；

小明通過(guò)思考發(fā)現(xiàn)，可以通過(guò)“截長(zhǎng)、補(bǔ)短”兩種方法解決問(wèn)題：

方法一：如圖2,在AC上截取AE,使得AE=AB,連接。E,可以得到全等三角形，進(jìn)

而解決問(wèn)題.

方法二：如圖3,延長(zhǎng)A8到點(diǎn)E,使得連接。E,可以得到等腰三角形，進(jìn)而

解決問(wèn)題.

(1)根據(jù)閱讀材料，任選一種方法證明AC=A8+8。，根據(jù)自己的解題經(jīng)驗(yàn)或參考小明

的方法，解決下面的問(wèn)題；

(2)如圖4,四邊形A8CD中，E是8c上一點(diǎn)，EA=ED,ZDCB=2ZB,ZDAE+Z

8=90°,探究。C、CE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【分析】(1)根據(jù)全等三角形的判定求出△ABOgZXAEZ),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出

BD=ED,NAED=NB=2NC,求出ED=EC,BD=EC,即可得出答案；

(2)在上截取斯，4吏得EF=DC,連接AR求出NAEB=NCOE,根據(jù)全等三角

形的判定得出尸絲△EOC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EC=AF/AFE=/C=2/B,

求出NAB尸JttBBF=AF,即可得出答案.

【解答】(1)證明：方法一：平分/BAC,

：.ZBAD=ZCAD,

在△54。和△E4。中

AD=AD

/.BAD=LEAD

.AB=AE

:.AABD%AAED(SAS)

:.BD=ED,ZAED=ZB=2ZC,

,：NAED=ZC+ZEDC,

：.ZEDC=ZC,

：.ED=EC,

：.BD=EC,

：.AC=AB+BD；

(2)DC、CE、BE之間的數(shù)量關(guān)系是8E=OC+CE,

D

A

B

圖4

證明：在上截取EF,使得EF=DC,連接AR

*：EA=ED,

:?/EAD=/EDA,

：.2ZDAE=180°-NAED,

VZDAE+ZB=90°,

：.2ZDAE+2ZB=180°,

???/AED=2/B=NC,

'：ZBED=ZCDE+ZDAE,

：.ZAEB=ZCDE,

在△AEF和△&)(7中

EF=DC

^AEF=乙EDC

AE=DE

：.AAEF^AEDC(SAS),

???EC=AFZAFE=NC=2NB,

'：ZAFE=ZB+ZBAF,

：.ZABF=NBAF,

：.BF=AF,

：.BF=CE,

；.BE=DC+CE.

【變式6-1]（2022?新春縣期中）已知：如圖，在△ABC中，ZABC=60°,△ABC的角

平分線AO、CE交于點(diǎn)O.

求證：AC=AE+CD.

【分析】在AC上取Ab=AE,連接OR即可證得△AE1。2Z\A尸O,^ZAOE=ZAOF；

再證得NCOF=/C。。，則根據(jù)全等三角形的判定方法AS4即可證△n?(?0△DOC,可

得DC=FC,即可得結(jié)論.

【解答】證明：在AC上取AF=AE,連接。尸，

平分NBAC、

：.ZEAO=ZFAO,

在△AEO與△Af'O中，

AE=AF

/.EAO=Z.FAO,

.AO=A0

：.AAEO^AAFO(SAS),

ZAOE=ZAOF；

\'AD.CE分別平分NBAC、ZACB,

11-11

AZECA+ZDAC=-2ZACB+-2ZBAC=-2(Z2ACB+ZBAC)=-(180°-ZB)=60°,

則/AOC=180°-ZECA-ZDAC=120°；

AZAOC=ZDOE=120°,Z