2024年中考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)考點(diǎn)背誦大過(guò)關(guān)

2024中考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)考點(diǎn)背誦大過(guò)關(guān)

第一章數(shù)與式

第一節(jié)實(shí)數(shù)及其運(yùn)算

考點(diǎn)一實(shí)數(shù)及其分類

i.實(shí)數(shù):有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù).

2.有理數(shù):整數(shù)和①分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù).

3.無(wú)理數(shù):無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù).

易錯(cuò)警示

無(wú)理數(shù)的識(shí)別誤區(qū)

識(shí)別正誤（正確的畫“J”，錯(cuò)誤的畫“X”）.

1.四和我都是無(wú)理數(shù).（X）

2.sin60°和cos45°都是無(wú)理數(shù).（V）

3.n,0-1）°和3.1415926都是無(wú)理數(shù).（X）

41和3都是無(wú)理數(shù).（X）

5.0.01001000100001和0.02002000200002…（相鄰兩個(gè)2之間依次多一個(gè)0）都是

無(wú)理數(shù).（X）

1/46

Q名師點(diǎn)撥識(shí)別一個(gè)數(shù)是不是無(wú)理數(shù)的關(guān)鍵在于這個(gè)數(shù)用不同形式表示的最終結(jié)果是不

是無(wú)限不循環(huán)小數(shù).

A溫馨提示(1)常見(jiàn)的幾種無(wú)理數(shù)類型：

(i)開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù),如VX通等(注意痣、4等是有理數(shù))；

(ii)大多數(shù)三角函數(shù)，如sin45°,tan30°等(注意cos60°,tan45°等是有理數(shù));

(iii)化至最簡(jiǎn)后含有n的數(shù),如今2n+1等；

(iv)有規(guī)律但不循環(huán)的無(wú)限小數(shù)，如0.3030030003…(相鄰兩個(gè)3之間依次多一個(gè)0).

(2)所有的分?jǐn)?shù)都是有理數(shù).

4.正負(fù)數(shù)

(1)正負(fù)數(shù)的概念：

(i)大于0的數(shù)叫做正數(shù)；

(ii)在正數(shù)前加上符號(hào)“-”(負(fù)號(hào))的數(shù)叫做負(fù)數(shù).

A溫馨提示0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù).

(2)正負(fù)數(shù)的意義:正負(fù)數(shù)可用來(lái)表示具有相反意義的量.

一般地，常用來(lái)表示具有相反意義的量的詞有:收入與支出、升高與降低、前進(jìn)與后退、海

平面以上與海平面以下等.

5.實(shí)數(shù)的分類

(1)按定義分:

2/46

'正整數(shù)

整數(shù)零i-1-f

有理數(shù)＜、負(fù)整數(shù)

實(shí)

數(shù)，正分?jǐn)?shù)）有限小數(shù)或

分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù)j②

無(wú)限循環(huán)小數(shù)

‘正無(wú)理數(shù)

無(wú)理數(shù)’③負(fù)無(wú)理數(shù)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)

（2）按性質(zhì)分：

正實(shí)數(shù)卜二

（正無(wú)理數(shù)

⑤0

（名右鈿將f負(fù)整數(shù)

負(fù)實(shí)數(shù)卜里數(shù)I負(fù)分?jǐn)?shù)

（負(fù)無(wú)理數(shù)

考點(diǎn)二實(shí)數(shù)的相關(guān)概念

1.數(shù)軸:規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和⑥單位長(zhǎng)度的直線.⑦實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)

應(yīng)的.

2.相反數(shù):如果兩個(gè)數(shù)只有符號(hào)不同,那么我們稱其中的一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的相反數(shù),也稱

這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù).0的相反數(shù)為0.若實(shí)數(shù)a,b互為相反數(shù),則a+b=⑧0.

A溫馨提示相反數(shù)的幾何意義:在數(shù)軸上分別位于原點(diǎn)的兩旁,且到原點(diǎn)的距離相等的兩

個(gè)點(diǎn)所表示的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù).

3.倒數(shù):乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù).若實(shí)數(shù)a,b互為倒數(shù),則ab^（9）1.

3/46

A溫馨提示(1)非零實(shí)數(shù)a的倒數(shù)是'0沒(méi)有倒數(shù).

a

(2)倒數(shù)等于它本身的數(shù)是±1.

4.絕對(duì)值

(1)定義:在數(shù)軸上,表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,叫做數(shù)a的絕對(duì)值,記作|a|.

(2)性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身,一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的⑩相反數(shù)，0的絕對(duì)值

是0.

a,a>0;

|a|=■0,a=0;

-d,Q,<0.

A溫馨提示因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)的絕對(duì)值是數(shù)軸上表示該數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,所以一個(gè)數(shù)的絕

對(duì)值不可能為負(fù)數(shù)，即1a|N0.

5.平方根、算術(shù)平方根、立方根

名稱定義性質(zhì)

如果x2=a(a^0),那么

平方正數(shù)的平方根有兩個(gè),它們互為?相反數(shù)；?負(fù)數(shù)沒(méi)有

x就叫做a的平方根，

根平方根;0的平方根是?0

記作士“

如果

算術(shù)

x-a(x^O,aNO),那么

平0的算術(shù)平方根是0

x就叫做a的算術(shù)平方

方根

根,記作“

4/46

立方若x3=a,則x就叫做a正數(shù)有一個(gè)?正的立方根:0的立方根是0;負(fù)數(shù)有一個(gè)

根的立方根,記作,?負(fù)的立方根

易錯(cuò)警示

平方根與算術(shù)平方根的概念混淆

填空：

1.4的算術(shù)平方根是2.

2.2的平方根是土好.

3.(-3)-的平方根是±3.

dg師點(diǎn)撥(1)一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè),且互為相反數(shù),其中正的平方根就是這個(gè)正數(shù)

的算術(shù)平方根；

(2)只有非負(fù)數(shù)才有平方根和算術(shù)平方根；

(3)注意第3題中包含了兩次運(yùn)算.

A溫馨提示(1)在應(yīng)用x2=a(aNO)時(shí),一定不要忘記a=0的情況；

(2)正數(shù)的立方根是正數(shù),負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù),0的立方根是0:

(3)平方根等于它本身的數(shù)是0,算術(shù)平方根等于它本身的數(shù)是0和1,立方根等于它本身的

數(shù)是。和±1.

6.非負(fù)數(shù)

⑴常見(jiàn)的非負(fù)數(shù)(三種類型):

5/46

(i)任意一實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值是非負(fù)數(shù),即|a|20;

(ii)任意一實(shí)數(shù)a的平方是非負(fù)數(shù),即a2^0;

(iii)若a是非負(fù)數(shù),則日也是非負(fù)數(shù)，即8與0520).

(2)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：

(i)非負(fù)數(shù)有最小值,最小值是0；

(ii)若干個(gè)非負(fù)數(shù)之和仍是非負(fù)數(shù)；

(iii)幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于0,則每個(gè)非負(fù)數(shù)都等于0.

考點(diǎn)三實(shí)數(shù)大小的比較

1.數(shù)軸比較法:數(shù)軸上右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)?大.

2.類別比較法:正數(shù)大于0和一切負(fù)數(shù),0大于一切負(fù)數(shù).

3.絕對(duì)值比較法:兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小,絕對(duì)值大的反而?小.

4.差值比較法:設(shè)a,b是任意兩個(gè)實(shí)數(shù),則a-b>0<?a?>b;a-b<0<^a<b;a-b-O^a?=

b.

5.根式比較法：a〉b〉00、歷?〉VF.

6.平方數(shù)比較法:a2〉b?且a>0,b>0Ca〉b〉0.

7.商值比較法：設(shè)a〉0,b〉0,61=a〉b;0〈2〈lCa<b;JlQa=b.

bbb

考點(diǎn)四實(shí)數(shù)的運(yùn)算

6/46

1.運(yùn)算法則

(1)加法：

(i)同號(hào)兩數(shù)相加,取相同的符號(hào),并把?絕對(duì)值相加;

(ii)絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加,取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào),并用較大的數(shù)的絕對(duì)值?一

減去較小的數(shù)的絕對(duì)侑,互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0;

(iii)一個(gè)數(shù)同0相加,仍得這個(gè)數(shù).

(2)減法:減去一個(gè)數(shù)等于?加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù).

(3)乘法:兩數(shù)相乘，同號(hào)得正,異號(hào)得負(fù),再將兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相乘.任何數(shù)與0相乘仍為0.

(4)除法:除以一個(gè)不為0的數(shù)等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)，即a+b=a?4(bWO).

b

(5)乘方:求幾個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算.

2.運(yùn)算律

有理數(shù)的運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)都適用，其中常用的運(yùn)算律有加法交換律、?加法結(jié)合

律、乘法交換律、乘法結(jié)合律、?乘法分配律.

3.混合運(yùn)算順序

先算?乘方、開(kāi)方，再算乘除,最后算加減;有括號(hào)的,先算括號(hào)里的；同一級(jí)運(yùn)算要

?從左到右依次進(jìn)行.

4.幕運(yùn)算

(1)零次幕:任何非零實(shí)數(shù)的零次幕都為?1,即a°=?1次W0).

7/46

(2)負(fù)整數(shù)次幕:a三?—密—心力。,n為正整數(shù)).

(3)-1的奇偶次幕:-1的偶次幕為?11的奇次幕為@-1.

考點(diǎn)五科學(xué)記數(shù)法、近似數(shù)、精確度

1.科學(xué)記數(shù)法

(1)大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法:一個(gè)大于10的數(shù)可以表示成aX10。的形式，其中l(wèi)Wa〈10,n是正整

數(shù),n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減去國(guó)1.

(2)小數(shù)的科學(xué)記數(shù)法:一個(gè)大于0小于1的數(shù)可以用科學(xué)記數(shù)法表示成aX10"的形式,其

中l(wèi)Wa〈10,n為黝負(fù)整數(shù)，n的絕對(duì)值等于原數(shù)左起第一個(gè)非零數(shù)前所有零的個(gè)數(shù)(包括小

數(shù)點(diǎn)前的零).

2.近似數(shù):把一個(gè)數(shù)四舍五入以后得到的數(shù).

3.精確度:近似數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)的接近程度.一個(gè)近似數(shù)四舍五入到哪一位就說(shuō)這個(gè)近似數(shù)精確

到哪一位.

第二節(jié)代數(shù)式與整式

考點(diǎn)一代數(shù)式及其求值

1.代數(shù)式:用基本運(yùn)算符號(hào)(基本運(yùn)算包括加、減、乘、除、乘方和開(kāi)方)把數(shù)和表示數(shù)的

字母連接起來(lái)的式子叫做代數(shù)式,代數(shù)式不含等號(hào)和不等號(hào),單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母①一鼠

(填“是”或“不是”)代數(shù)式.

2.列代數(shù)式:把問(wèn)題中與數(shù)量有關(guān)的詞語(yǔ),用含有②字母和運(yùn)算符號(hào)的式子表示出來(lái),

這就是列代數(shù)式.

8/46

A溫馨提示(1)列代數(shù)式的關(guān)鍵是正確分析數(shù)量關(guān)系，掌握文字語(yǔ)言和、差、積、商、倍、

分、大、小、多、少等在數(shù)學(xué)語(yǔ)言中的含義；

(2)注意書寫規(guī)則:aXb通常寫作a?b或ab;l^a(a^O)通常寫作工(aWO);數(shù)字通常寫在

a

字母前面,如a義3通常寫作3a;帶分?jǐn)?shù)一般寫成假分?jǐn)?shù),如由通常寫作家

3.代數(shù)式的值:一般地,用數(shù)值代替③代數(shù)式里的字母，按照代數(shù)式中的運(yùn)算關(guān)系計(jì)算

得出的結(jié)果,叫做代數(shù)式的值.

考點(diǎn)二整式及其相關(guān)概念

1.單項(xiàng)式：用數(shù)或字母的⑷積表示的式子叫做單項(xiàng)式.單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單

項(xiàng)式.

⑴單項(xiàng)式中的⑤數(shù)字因式叫做這個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù).

(2)一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的⑥指數(shù)和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù).

2.多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的⑦和叫做多項(xiàng)式.其中,每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng),不含字母

的項(xiàng)叫做⑧常數(shù)項(xiàng).多項(xiàng)式里,次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù),叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù).

3.整式:單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式.

考點(diǎn)三整式的運(yùn)算

1.整式的加減法運(yùn)算

⑴同類項(xiàng)：所含字母相同，并且相同字母的⑨指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng).常數(shù)項(xiàng)也是

同類項(xiàng).

9/46

(2)合并同類項(xiàng):把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng),叫做合并同類項(xiàng).合并同類項(xiàng)后,所得項(xiàng)

的系數(shù)是合并前各同類項(xiàng)的系數(shù)的⑩和，字母連同它的指數(shù)?不變.

(3)去括號(hào)法則：a+(b-c)=?a+b-c:a-(b-c)=?a-b+c.(口訣:“+”不變，

變)

(4)整式加減運(yùn)算法則：整式加減運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是?合并同類項(xiàng).

2.嘉的運(yùn)算

同底數(shù)幕相乘am?a*a-（m.n為整數(shù)，aWO）

同底數(shù)塞相除a.^an=?（m,n為整數(shù),aWO）

幕的乘方（a>/a-（m,n為整數(shù),aWO）

積的乘方（ab），?a"b"（n為整數(shù),abWO）

商的乘方（-）=?_鼻_（n為整數(shù),abWO）

\a/a

零指數(shù)幕a°=?1（aW0）

負(fù)指數(shù)幕a"4=GYgwo,n為正整數(shù)）

an\a/

易錯(cuò)警示

運(yùn)用幕的運(yùn)算法則時(shí)常見(jiàn)的錯(cuò)誤

1.“同底數(shù)幕相乘”和“幕的乘方”運(yùn)算法則混淆:

/-t\a2.a3-_a2+3_—a5.

(2)(a2)3=a2X3=a6.

10/46

2.忽略“同底數(shù)幕相乘”法則的運(yùn)用條件:

(1)a2,(-a)3,a4=a2+3+4=a9.(X)

(2)a2?(-a)3-a4=-a2+3+4=-a9.(V)

3.計(jì)算積的乘方時(shí),漏掉積(底數(shù))中的某一因式的乘方:

(-3a2b)J(-3)—(a?)Lb，=-27ab.

3.整式的乘法運(yùn)算

單項(xiàng)式乘把系數(shù)、同底數(shù)幕分別相乘,作為積的因式,對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里出現(xiàn)的字母,則

單項(xiàng)式連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式

單項(xiàng)式乘用單項(xiàng)式分別去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng),再把所得的積相加,如

多項(xiàng)式m(a+b+c)=?ma+mb+mc

多項(xiàng)式乘用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng),再把所得的積相加,如

多項(xiàng)式(m+n)(a+b)二?Ria+mb+na+nb

乘法公式：

(1)平方差公式：(a+b)色力「?公一b，.

(2)完全平方公式：(a士9三?a2±2ab+b2.

4.整式的除法運(yùn)算

把系數(shù)、同底數(shù)幕分別相除,作為商的因式,對(duì)于只在被除式中出現(xiàn)的字母,則連同

單項(xiàng)式除

它的指數(shù)作為商的因式,對(duì)于只在除式中出現(xiàn)的字母,取其倒數(shù),作為商的因式

11/46

以單項(xiàng)式

多項(xiàng)式除

用多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式,再把所得的商相加

以單項(xiàng)式

5.整式的混合運(yùn)算:先乘方,后乘除,最后算加減,如果有括號(hào),那么要先算括號(hào)內(nèi)的.

考點(diǎn)四因式分解

1.因式分解的概念

把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的?積的形式,叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解(或者分解因

式).

2.因式分解的基本方法

(1)提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c).

。名師點(diǎn)撥提公因式法的關(guān)鍵是確定公因式.

(系數(shù):取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù).

公因式的確定1字母:取各項(xiàng)相同的字母.

(指數(shù):取各相同字母的最低次幕.

它們的積即為這個(gè)多項(xiàng)式的公因式.

(2)公式法：

a2-b2=(a+b)(a-b);a2+2ab+b2=?(a+b)2.

3.分解因式的一般步驟

12/46

分解因式時(shí),首先考慮是否有公因式,如果有公因式,那么?先提公因式，然后考慮?—

公式法(當(dāng)多項(xiàng)式為兩項(xiàng)時(shí),考慮用平方差公式;當(dāng)多項(xiàng)式為三項(xiàng)時(shí),考慮用完全平方公式).分

解因式要分解到每個(gè)因式?不能再分解為止.以上步驟可總結(jié)為“一提二套三檢查”.

A溫馨提示因式分解與整式的乘法是兩個(gè)互逆的過(guò)程,是互為相反方向的變形.如：

整式乘法.

(a+b)(a-b)因式分解a2-b2.

一般地，用整式的乘法可以檢驗(yàn)分解因式是不是正確.

易錯(cuò)警示

因式分解時(shí)的易忽略點(diǎn)

1.用提公因式法分解因式時(shí),易漏掉幕為“1”的項(xiàng)：

分解因式：12a?b-24ab、6ab=6ab(2a-4b+l).

2.運(yùn)用完全平方公式時(shí)漏解：

若y2+ay+4是完全平方式,則a=±4.

第三節(jié)分式

考點(diǎn)一分式的概念

1.分式的概念:如果A,B表示兩個(gè)整式,且B中含有①字母，那么式子搭叫做分式.在分

D

式捺中,A叫做分子,B叫做分母.

2.分式有意義、無(wú)意義、值為0的條件

13/46

⑴當(dāng)BWO時(shí)有意義.

⑵當(dāng)B=0時(shí),3無(wú)意義.

D

⑶當(dāng)A=0,且B②W0時(shí),耕.

考點(diǎn)二分式的基本性質(zhì)

1.基本性質(zhì)：分式的分子、分母都乘（或除以）③同一個(gè)不等于零的整式,分式的值不變.

用符號(hào)表示為［=頭/=^（M為不等于0的整式）.

BB?MB

2.分式的基本性質(zhì)的應(yīng)用

（1）分式的約分:根據(jù)分式的基本性質(zhì),把一個(gè)分式的分子與分母的⑷公因式約去,叫做

約分.

（2）分式的通分:根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個(gè)異分母的分式分別化為與原來(lái)的分式相等的

同分母的分式.

⑶分式的符號(hào)規(guī)則:分式的分子、分母及分式本身的符號(hào)中，改變其中任意兩個(gè)，分式的值

⑤不變.用式子表示為g=令=Y，—《=一3T=久BWO）.

D-DDD-D-DD

3.最簡(jiǎn)分式:一個(gè)分式的分子與分母沒(méi)有公因式時(shí)，這個(gè)分式叫做最簡(jiǎn)分式.

考點(diǎn)三分式的運(yùn)算（高頻考點(diǎn)）

1.分式的加減

a.bzrxa+ba.cad,bead+bc

-+-=（6J——,-+-=—+—=（7）^^.

c-cJ-c-b-dbd-bdbd—

14/46

2.分式的乘除

士?￡=⑥竺一?！?38=⑨”,

bdJ-bd-bdbcbe——

A溫馨提示對(duì)于分式的乘除混合運(yùn)算,應(yīng)先將除法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算.

3.分式的乘方

(獷=⑩—今_(n為正整數(shù)).

A溫馨提示運(yùn)算法則中，“分子、分母各自乘方”指的是分子、分母的整體分別乘方.

4.分式的混合運(yùn)算

(1)先乘方,再乘除,最后加減,有括號(hào)時(shí),先算括號(hào)內(nèi)的.

(2)同級(jí)運(yùn)算,按從左到右的順序進(jìn)行.

⑶運(yùn)算過(guò)程中，要靈活運(yùn)用交換律、結(jié)合律、分配律.

⑷運(yùn)算的結(jié)果化為?最簡(jiǎn)分式或整式.

第四節(jié)二次根式

考點(diǎn)一二次根式的有關(guān)概念

1.二次根式:一般地，我們把形如口(aNO)的式子叫做二次根式，“廠”叫做二次根號(hào),a

叫做被開(kāi)方數(shù).

2.二次根式有意義的條件:被開(kāi)方數(shù)①大于或等于零.

15/46

3.最簡(jiǎn)二次根式:同時(shí)滿足兩個(gè)條件：(1)被開(kāi)方數(shù)不含②分母；(2)被開(kāi)方數(shù)中不含能

開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式.

4.同類二次根式:把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式以后,它們的③被開(kāi)方數(shù)相同.

考點(diǎn)二二次根式的性質(zhì)

1.口5>0)是一個(gè)非負(fù)數(shù).

2.(V^)2=@a(a0).

⑤a(a>0),

0(a=0),

{@-a(a<0).

4.Vab=(7)\[a?VF(a0,b20).

5.1_(aN0,b〉0).

考點(diǎn)三二次根式的運(yùn)算

1.二次根式的乘除

(1)若a20,b>0,則有日,VF=(9)y[ab;

(2)若a20,b>0,則有*=⑩—E.

A溫馨提示逆用公式?=V^(aN0,bN0)和塔=Jj(aN0,b〉0),可以進(jìn)行二次根

式的化簡(jiǎn).

2.二次根式的加減運(yùn)算

16/46

一般地,在進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算時(shí),可以先將二次根式分別化成?最簡(jiǎn)二次根式，

再將被開(kāi)方數(shù)?相同的二次根式進(jìn)行合并.

3.二次根式的混合運(yùn)算

二次根式的混合運(yùn)算順序與實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算順序相同,有理數(shù)的加法交換律、加法結(jié)合律、

乘法交換律、乘法結(jié)合律、乘法分配律，以及多項(xiàng)式的乘法公式,都適用于二次根式的運(yùn)算.

A溫馨提示二次根式的化簡(jiǎn)或運(yùn)算的最終結(jié)果都要求化成最簡(jiǎn)二次根式或整式.

考點(diǎn)四二次根式的估值

二次根式的估算，一般采用“夾逼法”確定其值所在范圍.具體地說(shuō)，先對(duì)二次根式平方，找

出與平方后所得的數(shù)字?相鄰的兩個(gè)能開(kāi)得盡方的整數(shù),對(duì)其進(jìn)行?開(kāi)方，即可確定這

個(gè)二次根式在哪兩個(gè)整數(shù)之間.例如，估算位在哪兩個(gè)整數(shù)之間,一般步驟：

(1)先對(duì)根式平方；

(2)找出與平方后所得數(shù)字相鄰的兩個(gè)能開(kāi)得盡方的整數(shù)；

(3)對(duì)以上兩個(gè)整數(shù)開(kāi)方；

(4)確定這個(gè)根式的值在這兩個(gè)整數(shù)之間.

RV7p7

確定4和9

17/46

V4P21V9g

因v麴

A溫馨提示要熟記常見(jiàn)的二次根式的估計(jì)值,如魚心1.414,73^1.732,75^2.236.

第二章方程（組）與不等式（組）

第一節(jié)一次方程（組）

考點(diǎn)一方程的相關(guān)概念及等式的性質(zhì)

1.含有未知數(shù)的①等式叫做方程;使方程左右兩邊的值相等的②未知數(shù)的值叫做

方程的解；求方程的解的過(guò)程叫做解方程；只含有一個(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做方程的③—

根.

2.等式的基本性質(zhì)

基本性質(zhì)1：等式兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)（或式子），所得結(jié)果仍是等式.

基本性質(zhì)2:等式兩邊同時(shí)乘同一個(gè)數(shù)（或除以同一個(gè)不為零的數(shù)），所得結(jié)果仍是等式.

注意:等式的基本性質(zhì)是解方程的依據(jù).

考點(diǎn)二一元一次方程及其解法

18/46

1.一元一次方程：只含有⑷一個(gè)未知數(shù)（元），并且未知數(shù)的次數(shù)都是⑸1,等號(hào)兩邊

都是整式,這樣的方程叫做一元一次方程.任何一個(gè)一元一次方程都可以化成ax+b=O（a,b是常

數(shù)，且aWO）的形式.

A溫馨提示形如ax+b=O（其中a,b為常數(shù),且aWO）的方程為一元一次方程,判斷時(shí)應(yīng)抓

住以下兩點(diǎn)：（1）原方程必是整式方程；（2）化成一般形式后只含有一個(gè)未知數(shù),且未知數(shù)的次數(shù)

為L(zhǎng)

2.一元一次方程的解題步驟

具體做法

方程中未知數(shù)的系數(shù)有分母時(shí),方程兩邊都乘各分母的⑥最小公倍數(shù)（注意不要

去分母

漏乘不含分母的項(xiàng)）

去括號(hào)方程中有括號(hào)時(shí),先去括號(hào)（若括號(hào)外的符號(hào)是負(fù)號(hào),則要注意變號(hào)）

把含有未知數(shù)的項(xiàng)都移到方程的一邊,其他項(xiàng)都移到方程的另一邊（記住移項(xiàng)要⑦—

移項(xiàng)

改變符號(hào)）

合并同類

把方程化成ax=b（aWO）的形式

項(xiàng)

系數(shù)化為

方程兩邊都除以未知數(shù)的⑧系數(shù)，得到方程的解

1

考點(diǎn)三二元一次方程（組）及其解法

1.二元一次方程:含有⑨兩個(gè)未知數(shù),并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程叫做二

元一次方程.

19/46

2.二元一次方程組:把具有相同未知數(shù)的兩個(gè)二元一次方程合在一起就組成了一個(gè)二元一

次方程組.

3.二元一次方程的解:使二元一次方程兩邊的值⑩相等的兩個(gè)未知數(shù)的侑叫做二元一

次方程的解.

4.二元一次方程組的解:一般地,二元一次方程組的兩個(gè)方程的?公共解叫做二元一次

方程組的解.

5.二元一次方程組的解法

解二元一次方程組的基本思想是?消元，即將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程來(lái)

求解.

⑴?代入消元法:將一個(gè)方程中的一個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來(lái),

并代入另一個(gè)方程中，消去一個(gè)未知數(shù),化二元一次方程組為一元一次方程.

(2)?加減消元法:兩個(gè)二元一次方程中同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相反或相等(或通過(guò)適當(dāng)

變形后可以使同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相反或相等)時(shí)，把這兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減,消去

這個(gè)未知數(shù)，化二元一次方程組為一元一次方程.

A溫馨提示一般地,當(dāng)二元一次方程組中的一個(gè)方程的某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)是1或-1時(shí),選

擇代入消元法較簡(jiǎn)單.

當(dāng)二元一次方程組中兩個(gè)方程的某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值相等或成倍數(shù)關(guān)系時(shí),選擇加

減消元法較簡(jiǎn)單.

考點(diǎn)四*三元一次方程組

20/46

1.三元一次方程組:一個(gè)方程組中含有三個(gè)未知數(shù),每個(gè)方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1,

并且一共有三個(gè)方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組.

2.解三元一次方程組的基本思路

消元（代入或加減）消元（代人或加減）

三元一次方程組二元一次方程組一元一次方程

考點(diǎn)五一次方程（組）的應(yīng)用

1.列方程（組）解應(yīng)用題的一般步驟

①審：審清題意,分清題中的已知量、未知量；

②設(shè):設(shè)關(guān)鍵未知數(shù)；

③列:找出適當(dāng)?shù)攘筷P(guān)系，列方程（組）；

④解:解方程（組）；

⑤驗(yàn):檢驗(yàn)所解答案是否正確或是否符合題意;

⑥答:規(guī)范作答，注意單位名稱.

2.幾種常見(jiàn)的應(yīng)用題型

常見(jiàn)題型重要的關(guān)系式

打折銷銷售單價(jià)=標(biāo)價(jià)X?折數(shù)；銷售額=?銷售單價(jià)義銷量;利潤(rùn)=售價(jià)-成本；

利潤(rùn)率一X100%

售問(wèn)題成本

儲(chǔ)蓄利利息=本金X利率X期數(shù)；

21/46

息問(wèn)題本息和=本金+利息=本金X（1+利率乂期數(shù)）

工程問(wèn)題工作量=工作效率X工作時(shí)間

相遇問(wèn)題:全路程=甲走的路程+乙走的路程.

追及問(wèn)題：

a.同地不同時(shí)出發(fā)：

前者走的路程=追者走的路程；

行程問(wèn)題

b.同時(shí)不同地出發(fā)：

前者走的路程+兩地間的距離=追者走的路程.

水中航行問(wèn)題:順?biāo)?靜水船速+水速；

逆水船速=靜水船速-水速

兩位數(shù)

表達(dá)式：10a+b

數(shù)字問(wèn)題

三位數(shù)

M

表達(dá)式：100a+10b+c

22/46

第二節(jié)一元二次方程

考點(diǎn)一一元二次方程及一般形式

1.一元二次方程：只含有①一個(gè)未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是②2的整式方程

叫做一元二次方程.

2.一般形式:ax4bx+c=0(a,b,c為常數(shù)且a③W0),其中二次項(xiàng)為ax2,一次項(xiàng)為bx,常

數(shù)項(xiàng)為c,a和b分別稱為二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù).

A溫馨提示(l)aWO是一元二次方程成立的先決條件，但b,c可以為0.(2)任何一個(gè)一元

二次方程經(jīng)整理后都能轉(zhuǎn)化為一般形式.(3)一元二次方程應(yīng)滿足的三個(gè)條件：(i)是整式方

程；(ii)只含有一個(gè)未知數(shù)；(iii)未知數(shù)的最高次數(shù)為2,且該項(xiàng)系數(shù)不能為0.

考點(diǎn)二一元二次方程根的判別式

1.關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(aT^O)的根的判別式為A=b2-4ac.

(l)b°-4ac>0Q一元二次方程有兩個(gè)⑷不相等的實(shí)數(shù)根.

(2)b2-4ac=0。一元二次方程有兩個(gè)⑤相等的實(shí)數(shù)根.

(3)b'TacVOo一元二次方程⑥無(wú)實(shí)數(shù)根.

2.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

2

若關(guān)于x的方程ax+bx+c=0(aT^O)的兩根分別為xnx2,則Xi+x?=?_z

1_,xlx2=

易錯(cuò)警示

23/46

忽視整式方程中字母系數(shù)的取值范圍而致錯(cuò)

(1)若關(guān)于x的一元二次方程ax2-3x+3=o有實(shí)數(shù)根,則a的取侑范圍是.aW：且a二0.

(2)若關(guān)于x的方程ax2-3x+3=0有實(shí)數(shù)根,則a的取值范圍是aW|.

◎名師點(diǎn)撥1.在確定一元二次方程中的二次項(xiàng)系數(shù)a的取值范圍時(shí)，不能忽略“aWO”.

如易錯(cuò)警示⑴中，需同時(shí)滿足“aWO”和“A50”.

2.審題要全面.如易錯(cuò)警示(2)中，“關(guān)于x的方程ax2-3x+3=O有實(shí)數(shù)根”，包含方程是一元

一次方程和一元二次方程兩種情況,應(yīng)分類討論來(lái)確定a的取值范圍.

考點(diǎn)三一元二次方程的解法

一元二次方程的解法主要有四種,其基本思想是⑨降次.解方程時(shí)可根據(jù)方程的特點(diǎn)靈

活地選用.

解法類型適用題型具體方法或步驟

形如1.觀察方程是否符合x2=m(mN0)或(x±m(xù))2=n(nNO)的形式；

直接開(kāi)xJm(m>0)或

2.直接開(kāi)平方,得兩個(gè)一元一次方程；

2

平方法(x±m(xù))-n(n

20)的方程3.解這兩個(gè)一元一次方程,得原方程的兩個(gè)根

形如(1)移項(xiàng),使方程左邊為二次項(xiàng)和一次項(xiàng),右邊為常數(shù)項(xiàng)；

ax2+bx+c=0(a

(2)二次項(xiàng)系數(shù)化為1,即當(dāng)aWl時(shí),方程兩邊同時(shí)除以⑩二次項(xiàng)系

配方法wo)的所有

數(shù)a;

一元二次方

程(3)配方，即方程兩邊都加上?一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方;

(4)化為(x+m)3=n的形式；

(5)若nNO,則用直接開(kāi)平方法求解;若n〈0,則原方程?無(wú)實(shí)數(shù)

__

1.把方程化成ax2+bx+c=O(aWO)的形式；

2.確定a,b,c的值；

2

所有一元二3.計(jì)算b-4ac的值：

公式法

次方程(1)若b2-4ac^0,則把a(bǔ),b,c的值代入一元二次方程

ax2+bx+c=0(aWO)的求根公式?x="Jb2-4ac中求解；

2a

(2)若b2-4ac〈0,則原方程無(wú)實(shí)數(shù)根

可化為兩個(gè)⑴將方程的右邊整理為?0;

一次因式的

因式分(2)將方程的左邊化成兩個(gè)?一次因式的乘積的形式;

乘積等于零

解法

的形式的方(3)令每個(gè)因式都等于0,得到兩個(gè)一元一次方程,解這兩個(gè)一元一次

程方程,它們的解就是原一元二次方程的解

易錯(cuò)警示

解一元二次方程時(shí)的“丟根”現(xiàn)象

方程X(X-1)=2(X-1)2的根為(C)

A.1B.2

C.1和2D.1和-2

25/46

。名師點(diǎn)撥對(duì)于左、右兩邊含有相同未知數(shù)的因式的一元二次方程，應(yīng)將方程化為一般

式后再求解(或?qū)⒎匠套優(yōu)榈忍?hào)一邊為0,另一邊含未知數(shù)的式子,利用因式分解法求解)，切勿因

直接約去含有相同未知數(shù)的項(xiàng)而丟根.

考點(diǎn)四一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用

列一元二次方程解應(yīng)用題的步驟和列一元一次方程解應(yīng)用題的步驟一樣，即審、設(shè)、歹U、

解、驗(yàn)、答六步.

在列一元二次方程解應(yīng)用題時(shí),經(jīng)濟(jì)類和面積類問(wèn)題是常考內(nèi)容.

(1)增長(zhǎng)率：

增長(zhǎng)率瞿舅X100%.

設(shè)a為基礎(chǔ)量,當(dāng)m為平均增長(zhǎng)率,n為增長(zhǎng)次數(shù),b為增長(zhǎng)后的量時(shí),有aQ+m)。(；當(dāng)m為

平均下降率,n為下降次數(shù),b為下降后的量時(shí),有?a(bm”=b.

⑵利潤(rùn)：

利潤(rùn)=售價(jià)-成本；

利潤(rùn)率筆XI00%.

成本

(3)面積類問(wèn)題：

26/46

ADAD

8H--------b---------HC8H--------b---------"C

圖3圖4

如圖1所示的矩形ABCD的長(zhǎng)為b,寬為a,陰影部分的寬均為x,則空白部分的面積為

(a-2x)(b-2x).

如圖2所示的矩形ABCD的長(zhǎng)為b,寬為a,陰影部分的寬均為x,則空白部分的面積為(a-

x)(b-x).

如圖3,圖4所示的矩形ABCD的長(zhǎng)為b,寬為a,陰影部分的寬均為x,則4塊空白部分面積

的和為(a-x)(b-x).

A溫馨提示1.在解決應(yīng)用題時(shí)需驗(yàn)根，即檢查求得的根是否符合實(shí)際意義.

2.對(duì)于帶有單位的應(yīng)用題,在設(shè)未知數(shù)、作答中要帶單位.

第三節(jié)分式方程

考點(diǎn)一分式方程的概念及其解法

1.分式方程的概念

①分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.

2.分式方程的解法

(1)解分式方程的步驟：

27/46

△名師點(diǎn)撥解分式方程的基本思想是將分式方程化成整式方程，具體做法是“去分母”，

即方程兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母.

(2)分式方程的增根:使得原分式方程的分母為⑷零的根.

A溫馨提示分式方程的增根與無(wú)解并非同一個(gè)概念,分式方程無(wú)解,可能是解為增根,也

可能是去分母后的整式方程無(wú)解,分式方程的增根是去分母后的整式方程的根,也是使分式方程

的分母為零的根.

易錯(cuò)警示

解分式方程時(shí)的常見(jiàn)錯(cuò)誤

識(shí)別正誤(正確的畫“，錯(cuò)誤的畫“X”).

1.解方程胃=J--2,去分母得l-x=l-2.(X)

x-22—x

2.解方程上一咨「2,去分母得x+2T-2x=2x(x+2).(X)

3.方程==丁-2的解是x=2.(X)

x-22-x

考點(diǎn)二分式方程的實(shí)際應(yīng)用

1.?？碱愋图瓣P(guān)系式

28/46

(1)行程問(wèn)題:

①基本數(shù)量關(guān)系:需時(shí)間.

②常見(jiàn)應(yīng)用題中的相等關(guān)系:

同一路程同一路程一

時(shí)間差,

甲的速度乙的速度

同一路程同一路程—

時(shí)間差.

慢速快速~

⑵工程問(wèn)題:

①基本數(shù)量關(guān)系:"工作時(shí)間.

②常見(jiàn)應(yīng)用題中的相等關(guān)系：

工作總量______工作總量-時(shí)*間差

工作效率改善后的工作效率JIJ'

甲的工作總量_乙的工作總量_葉間差

甲的工作效率一乙的工作效率叫”4.

特別地，有時(shí)工作總量可以看作整體“1”，這時(shí)，丁磊寸工作效率.

工作時(shí)間

⑶購(gòu)買(盈利)問(wèn)題：

①基本數(shù)量關(guān)系:箸數(shù)量，箸單價(jià).

②常見(jiàn)應(yīng)用題中的相等關(guān)系:

商品總售價(jià)商品總售價(jià).

二數(shù)量差.

變化后商品單價(jià)商品單價(jià)

2.列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟

29/46

與列整式方程解應(yīng)用題類似,有以下六個(gè)步驟:

⑴審；

⑵設(shè)（未知數(shù)）;

（3）歹U（分式方程）；

（4）解（分式方程）；

⑸驗(yàn)（一驗(yàn)所得解是不是所列⑤方程的根,二驗(yàn)是否符合問(wèn)題的⑥實(shí)際意義）;

⑹答.

第四節(jié)一元一次不等式（組）

考點(diǎn)一不等式的概念及其性質(zhì)

定義I用①」連接而成的式子叫做不等式

解及使不等式成立的②未知數(shù)的值叫做不等式的解;

解集一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有的解,組成這個(gè)不等式的③解集

基解不

本

概求不等式的⑷解集的過(guò)程叫做解不等式

念等式

解集X⑤〈a:6a

在數(shù)x⑥〉a:

軸上x⑦Na

30/46

的

表示

x⑧Wa:6a

1.不等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)式子,不等號(hào)的方向不變,如

a>b=>a±c⑨>b±c

基2.不等式的兩邊都乘（或除以）同一個(gè)正數(shù),不等號(hào)的方向不變,如a〉b,c〉Onac⑩〉

本

性

質(zhì)be（或:>3）

3.不等式的兩邊都乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù),不等號(hào)的方向改變,如a>b,c〈Onac?〈

be（或

易錯(cuò)警示

應(yīng)用“不等式的基本性質(zhì)3”時(shí)的常見(jiàn)錯(cuò)誤

不等式兩邊同乘“負(fù)數(shù)”時(shí)，忽視“不等號(hào)方向要改變”.

一元一次不等式-京〈-1的解集是.小明和小亮的答案誰(shuí)正確?正確的畫“，

錯(cuò)誤的畫“X”.

小明：x〈3.（X）小亮：x〉3.（V）

31/46

考點(diǎn)二一元一次不等式(組)及其解法

1.一元一次不等式

⑴一元一次不等式:不等式的左右兩邊都是?整式，只含有一個(gè)未知數(shù),并且未知數(shù)的

次數(shù)是1,這樣的不等式叫做一元一次不等式.

(2)解一元一次不等式的一般步驟:去分母、?去括號(hào)、移項(xiàng)、?合并同類項(xiàng)、系

數(shù)化為1(注意不等號(hào)方向是否改變).

2.一元一次不等式組

(1)定義:類似于方程組,把幾個(gè)含有相同未知數(shù)的?一元一次不等式合起來(lái),就組成了

一個(gè)一元一次不等式組.

⑵解集：幾個(gè)不等式的解集的?公共部分叫做由它們組成的不等式組的解集.

(3)解法:先求出各個(gè)不等式的解集,然后借助數(shù)軸或口訣確定它們的公共部分.

(4)幾種常見(jiàn)的不等式組的解集:設(shè)a〈b,a,b是常數(shù),關(guān)于x的不等式組的解集的四種情況

如下表.

不等式

組圖示解集口訣

(a<b)

32/46

X>a,?_

同大取大

Lx>bxNb

「x<a,

xWa同小取小

Lx<b

?__

大小、小大

「x>a,

ft-aWxWb

Lx<b

中間找

大大、小小

「x<a,

無(wú)解集

Lx>b

找不到

A溫馨提示在數(shù)軸上表示解集時(shí)，要注意“空心圓圈”和“實(shí)心圓點(diǎn)”的區(qū)別.

考點(diǎn)三一元一次不等式的應(yīng)用

1.解題步驟：（1）審清題意，找出不等關(guān)系；（2）設(shè)未知數(shù)；（3）列不等式；（4）解不等式；（5）寫

出答案.

2.常見(jiàn)題型:經(jīng)濟(jì)型;調(diào)運(yùn)貨物型;工程型;采購(gòu)型等.

3.解決不等式的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題時(shí),常見(jiàn)的關(guān)鍵詞與不等號(hào)的對(duì)比表:

常見(jiàn)關(guān)鍵詞不等號(hào)

大于，多于，超過(guò),高于>

小于,少于,不足，低于<

至少,不低于,不小于,不少于?一

33/46

至多,不高于,不大于,不超過(guò)?W

第三章函數(shù)

第一節(jié)平面直角坐標(biāo)系與函數(shù)

考點(diǎn)一有序?qū)崝?shù)對(duì)與平面直角坐標(biāo)系

1.有序?qū)崝?shù)對(duì):有順序的兩個(gè)實(shí)數(shù)a和b組成的實(shí)數(shù)對(duì)叫做①有序?qū)崝?shù)對(duì)，利用有序?qū)?/p>

數(shù)對(duì)可以準(zhǔn)確地表示一個(gè)點(diǎn)的②位置.

A溫馨提示有序?qū)崝?shù)對(duì)和平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的.

2.平面直角坐標(biāo)系:在平面內(nèi)畫兩條互相垂直、原點(diǎn)③重合的數(shù)軸,就組成了平面直角

坐標(biāo)系.水平的數(shù)軸稱為x軸或橫軸,豎直的數(shù)軸稱為y軸或縱軸,兩條坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為平面直

角坐標(biāo)系的原點(diǎn).

考點(diǎn)二平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)特征

1.坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征

（1）各象限中點(diǎn)

的坐標(biāo)的

'點(diǎn)P（K,y）在第一象限o%>0,y>0

點(diǎn)PQ,y）在第二象限。④x<0,y>0

符號(hào)特征4---------------------

點(diǎn)PQ,y）在第三象限ox<0,y<0

點(diǎn)PQ,y）在第四象限=⑤x>0,y<0

k---------------------

如圖所示:

34/46

第二象限第象限

(一,+)(+?+)

0,、x

(-?-)」+,-)

第三象限第四象限

代軸上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為⑥0

⑵坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征｛y軸上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為⑦

(原點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,0)

第一、三象限角平分線上的點(diǎn)

的橫、縱坐標(biāo)相等

(3)象限角平分線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征《

第二、四象限角平分線上的點(diǎn)

的橫、縱坐標(biāo)互為⑧相反數(shù)

2.坐標(biāo)平面內(nèi)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特征

y

0

Pc?―

P_⑨(品-y)

口訣速記:關(guān)于誰(shuí)對(duì)稱誰(shuí)不變,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱全都變.

3.坐標(biāo)平面內(nèi)平移的點(diǎn)的坐標(biāo)特征

P「?(%,y+a)

/

務(wù)

q