考研數(shù)學(xué)二（微分方程）模擬試卷1（共111題）

考研數(shù)學(xué)二（微分方程）模擬試卷1（共4套）（共111題）考研數(shù)學(xué)二（微分方程）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、設(shè)y(x)是微分方程y"+(x-1)y’+x2=ex，滿足初始條件y(0)=0,y’(0)=1的解，則().A、等于1B、等于2C、等于0D、不存在標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：微分方程y"+(x-1)y’+x2y=ex,令x=0,則y"(0)=2,于是,選A。2、設(shè)Φ1(x),Φ2(x),Φ3(x)為二階非齊次線性方程y"+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的三個線性無關(guān)解，則該方程的通解為（）。A、C1[Φ1(x)+Φ2(x)]+C2Φ3(x)B、C1[Φ1(x)-Φ2(x)]+C2Φ3(x)C、C1[Φ1(x)+Φ2(x)]+C2[Φ1(x)-Φ3(x)]D、C1Φ1(x)+C2Φ2(x)+C3Φ3(x),其中C1+C2+C3=1標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：因?yàn)棣?(x),Φ2(x),Φ3(x)為方程y"+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的三個線性無關(guān)解，所以Φ1(x)-Φ3(x)，Φ2(x)-Φ3(x)為方程y"+a1(x)y’+a2(x)y=0的兩個線性無關(guān)解，于是方程y"+a1(x)y’+a2(x)y=f(x）的通解為C1[Φ1(x)-Φ3(x)]+C2[Φ2(x)-Φ3(x)]+Φ3(x),即C1Φ1(x)+C2Φ2(x)+C3Φ3(x)，其中C3=1-C1-C2或C1+C2+C3=1，選D.二、填空題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)3、設(shè)y=y(x)滿足,且有y(1)=1,則=________.標(biāo)準(zhǔn)答案：π/2知識點(diǎn)解析：[*]4、微分方程yy"-2y(y’)2=0的通解為________.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：5、以y=C1ex+ex(C2cosx+C3sinx)為通解的三階常系數(shù)齊次線性微分方程為________.標(biāo)準(zhǔn)答案：y"’-3y"+4y’-2y=0知識點(diǎn)解析：特征值為λ1=1,λ2,3=1±i,特征方程為（λ-1）（λ-1+i）（λ-1-i）=0，即λ3-3λ2+4λ-2=0，所求方程為y"’-3y"+4y’-2y=0。三、解答題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)6、設(shè)有微分方程y’-2y=Φ(x),其中,求在（-∞，+∞）內(nèi)連續(xù)的函數(shù)y(x)，使其在（-∞，1）及（1，+∞）內(nèi)都滿足所給的方程，且滿足條件y(0)=0.標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x＜1時，y’-2y=2的通解為y=C1e2x-1,由y(0)=0得C1=1,y=e2x-1；當(dāng)x＞1時，y’-2y=0的通解為y=C2e2x,根據(jù)給定的條件，y(1+0)=C2e2=y(1-0)=e2-1,解得C1=1-e-2,y=(1-e-2)e2x,補(bǔ)充定義y(1)=e2-1,則得在（-∞,+∞)內(nèi)連續(xù)且滿足微分方程的函數(shù)為知識點(diǎn)解析：暫無解析7、設(shè)f(x)為偶函數(shù)，且滿足f’(x)+2f(x)-=-3x+2,求f（x).標(biāo)準(zhǔn)答案：則有f’(x)+2f(x)-3=-3x+2,因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以f’(x)是奇函數(shù)，于是f’(0)=0,帶入上式得f(0)=1.將f’(x)+2f(x)-3=-3x+2兩邊對x求導(dǎo)得f"(x)+2f’(x)-3f(x)=-3,其通解為f(x)=C1ex+C2e-3x+1,將初始條件帶入得f(x)=1.知識點(diǎn)解析：暫無解析8、設(shè)且二階連續(xù)可導(dǎo)，又,求f(x).標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)y=y(x)二階可導(dǎo)，且y'≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函數(shù)。9、將x=x(y)所滿足的微分方程變換為y=y(x)所滿足的微分方程。標(biāo)準(zhǔn)答案：代入原方程得y"-y=sinx.知識點(diǎn)解析：暫無解析10、求變換后的微分方程滿足初始條件y(0)=0,y’(0)=的解。標(biāo)準(zhǔn)答案：特征方程為r2-1=0,特征根為r1,2=±1,因?yàn)閕不是特征值，所以設(shè)特解為y*=acosx+bsinx,代入方程得a=0,b=-1/2,故y*=,于是方程的通解為,由初始條件得，C1=1,C1=-1,滿足初始條件的特解為.知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)函數(shù)f(x)（x≥0)可微，且f(x)﹥0,將曲線y=f(x),x=1,x=a(a﹥1)及x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)體體積為.若f(1)=.11、求f(x).標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析12、求f(x)的極值。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析13、位于上半平面的上凹曲線y=y(x)過點(diǎn)（0,2）,在該點(diǎn)處的切線水平，曲線上任一點(diǎn)（x,y)處的曲率與及1+y’2之積成反比，比例系數(shù)為,求y=y(x).標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閜(0)=0,所以C1=0,故y’=p=,進(jìn)一步解得,因?yàn)閥(0)=2,所以C2=0,故曲線方程為.知識點(diǎn)解析：暫無解析14、設(shè)曲線L1、L2皆過點(diǎn)（1,1），曲線L1在點(diǎn)（x,y）處縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)之商的變化率為2，曲線L2在點(diǎn)（x,y)處縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)之積的變化率為2，求兩曲線所圍成區(qū)域的面積。標(biāo)準(zhǔn)答案：對曲線L1,由題意得,解得y=x(2x+C1),因?yàn)長1過點(diǎn)（1,1），所以C1=-1，故L1：y=2x2-x.對曲線L2，由題意得,因?yàn)榍€L2過點(diǎn)（1,1）,所以C2=-1，故L2：y=2-,知識點(diǎn)解析：暫無解析15、用變量代換x=lnt將方程化為y關(guān)于t的方程，并求原方程的通解。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析飛機(jī)以勻速v沿y軸正向飛行，當(dāng)飛機(jī)行至O時被發(fā)現(xiàn)，隨即從x軸上點(diǎn)（x0,0)處發(fā)射一枚導(dǎo)彈向飛機(jī)飛去（x0﹥0），若導(dǎo)彈方向始終指向飛機(jī)，且速度大小為2v.16、求導(dǎo)彈運(yùn)行的軌跡滿足的微分方程及初始條件。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)t時刻導(dǎo)彈的位置為M（x,y)，根據(jù)題意得知識點(diǎn)解析：暫無解析17、導(dǎo)彈運(yùn)行方程。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析18、某湖泊水量為V,每年排入湖泊中內(nèi)含污染物A的污水量為,流入湖泊內(nèi)不含A的水量為,流出湖的水量為.設(shè)1999年底湖中A的含量為5m0,超過國家規(guī)定指標(biāo)，為了治理污染，從2000年初開始，限定排入湖中含A污水的濃度不超過,問至多經(jīng)過多少年，湖中污染物A的含量降到m0以內(nèi)（設(shè)湖中A的濃度是均勻的）？標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)從2000年初開始，第t年湖中污染物A的總量為m,則濃度為,任取時間元素[t,t+dt],排入湖中污染物A的含量為,流出湖的污染物A的含量為,則在此時間元素內(nèi)污染物A的改變量為,令m=m0,得t=6ln3,即至多經(jīng)過7年，湖中污染物A的含量不超過m0.知識點(diǎn)解析：暫無解析19、某人的食量是2500卡/天（1卡=4.1868焦），其中1200卡/天用于基本的新陳代謝，在健身運(yùn)動中，他所消耗的為16卡/千克/天乘以他的體重。假設(shè)以脂肪形式存儲的熱量百分之百有效，而一千克脂肪含熱量10000卡，求該人體重怎么隨時間變化。標(biāo)準(zhǔn)答案：輸入率為2500卡/天，輸出率為（1200+16w)，其中w為體重，根據(jù)題意得,w(0)=w0,知識點(diǎn)解析：暫無解析20、質(zhì)量為1g的質(zhì)點(diǎn)受外力作用作直線運(yùn)動，外力和時間成正比，和質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動速度成反比，在t=10s時，速度等于50cm/s,外力為39.2cm/s2,問運(yùn)動開始1min后的速度是多少？標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)函數(shù)f（x)二階連續(xù)可導(dǎo)，f(0)=1,且有,求f(x).標(biāo)準(zhǔn)答案：兩邊對x求導(dǎo)得f"(x)+3f’(x)+2f(x)=e-x,由λ2+3λ+2=0得到λ1=-1,λ2=-2,則方程f"(x)+3f’(x)+2f(x)=0的通解為C1e-x+C2e-2x.令f"(x)+3f’(x)+2f(x)=e-x的一個特解為y0=axe-x,代入得a=1,則原方程的通解為f(x)=C1e-x+C2e-2x+xe-x.由f(0)=1,f’(0)=-1得C1=0，C2=1，故原方程的解為f(x)=e-2x+xe-x.知識點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)A從原點(diǎn)出發(fā)，以固定速度v0沿y軸正向行駛，B從（x0,0)出發(fā)（x0<0),以始終指向A的固定速度v1朝A追去，求B的軌跡方程。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（微分方程）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設(shè)y＝y(tǒng)(χ)為微分方程2χydχ＋(χ2－1)dy＝0滿足初始條件y(0)＝1的解，則y(χ)dχ為()．A、－ln3B、ln3C、－ln3D、ln3標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：由2χydχ＋(χ2－1)dy＝0得＝0，積分得ln｜χ2－1｜＋lny－lnC，從而y＝，由y(0)＝1得C＝－1，于是y＝故，因此選D．2、微分方程y〞－y′－6y＝(χ＋1)e－2χ的特解形式為()．A、(aχ＋b)e－2χB、aχ2e－2χC、(aχ2＋bχ)e－2χD、χ2(aχ＋b)e－2χ標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：因?yàn)樵匠痰奶卣鞣匠痰膬筛謩e為λ1＝－2，λ2＝3，而－2為其中一個特征值，所以原方程的特解形式為χ(aχ＋b)e－2χ，選C．3、微分方程y〞－4y＝χ＋2的通解為()．A、(C1＋C2χ)e2χ－B、(C1＋C2)e－2χ－C、C1e－2χ＋C2e2χ－χD、C1e－2χ＋C2e2χ－標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：微分方程y〞－4y＝0的特征方程為λ2－4＝0，特征值為－2，2，則方程y〞－4y＝0的通解為C1e－2χ＋C2e2χ，顯然方程y〞－4y＝χ＋2有特解，選D．二、填空題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)4、設(shè)連續(xù)函數(shù)f(χ)滿足f(χ)＝∫02χf()dt＋eχ，則f(χ)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2e2χ－eχ知識點(diǎn)解析：∫02χf()dt＝2∫0χf(t)dt，則f(χ)＝∫02χf()dt＋eχ可化為f(χ)＝2∫0χf(t)dt＋eχ，兩邊求導(dǎo)得f′(χ)－2f(χ)＝eχ，解得f(χ)＝[∫eχ.e∫－2dχdχ＋C]e－∫－2dχ＝(－e－χ＋C)e2χ＝Ce2χ－eχ，因?yàn)閒(0)＝1，所以f(0)＝C－1＝1，C＝2，于是f(χ)＝2e2χ－eχ．5、微分方程(2＋3)y〞－4y′的通解為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y＝C1χ3＋6C1χ2＋9C1χ＋C2(C1，C2為任意常數(shù))知識點(diǎn)解析：令y′－p，則，兩邊積分得lnp＝ln(2χ＋3)2＋lnC1，或y′＝C1(2χ＋3)2，于是y＝C1χ3＋6C1χ2＋9C1χ＋C2(C1，C2為任意常數(shù))．6、微分方程yy〞＝1＋y′2化滿足初始條件y(0)＝1，y′(0)＝0的解為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：ln｜y＋｜＝±χ知識點(diǎn)解析：令y′＝p，則yp＝1＋p2，即，解得ln(1＋p2)＝lny2＋lnC1，則1＋p2＝C1y2，由y(0)＝1，y′(0)＝0得y′＝±，ln｜y＋｜＋C2＝±χ，由y(0)＝1得C2＝0，所以特解為ln｜y＋｜＝±χ．7、微分方程y〞＋4y＝4χ－8的通解為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y＝C1cos2χ＋C2sin2χ＋χ－2知識點(diǎn)解析：微分方程兩個特征值為λ1＝－2i，λ2＝2i，則微分方程的通解為y＝C1cos2χ＋C2sin2χ＋χ－2．8、設(shè)y＝y(tǒng)(χ)過原點(diǎn)，在原點(diǎn)處的切線平行于直線y＝2χ＋1，又y＝y(tǒng)(χ)滿足微分方程y〞－6y′＋9y＝e3χ，則y(χ)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2χe3χ＋χ2e3χ知識點(diǎn)解析：由題意得y(0)＝0，y′(0)＝2，y〞－6y′＋9y＝e3χ的特征方程為λ2－6λ＋9＝0，特征值為λ1＝λ2＝3，令y〞－6y′＋9y＝e3χ的特解為y0(χ)＝aχ2e3χ，代入得a＝，故通解為y＝(C1＋C2χ)e3χ＋χ2e3χ．由y(0)＝0，y′(0)＝2得C1＝0，C2＝2，則y(χ)＝2χe3χ＋χ2e3χ．9、微分方程2y〞＝3y2滿足初始條件y(－2)＝1，y′(－2)＝1的特解為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：χ＝－知識點(diǎn)解析：令y〞＝p，則y〞＝p，則原方程化為2p＝3y2，解得p2＝y(tǒng)3＋C1，由y(－2)＝1，y′(－2)＝1，得C1＝0，所以y′＝，從而有－2＝χ＋C2，再由y(－2)＝1，得C2＝0，所求特解為χ＝－．10、微分方程χy′＝＋y(χ＞>0)的通解為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：arcsin＝lnχ＋C(C為任意常數(shù))知識點(diǎn)解析：由χy′＝＋y，得y′＝，令＝u，則u＋，解得arcsinu＝lnχ＋C，則原方程通解為arcsin＝lnχ＋C(C為任意常數(shù))．11、設(shè)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y〞＋y′＋qy＝Q(χ)有特解y＝3e－4χ＋χ2＋3χ＋2，則Q(χ)＝_______，該微分方程的通解為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：－12χ2－34χ－19；y＝C1e－4χ＋C2e3χ＋χ2＋3χ＋2(其中C1，C2為任意常數(shù))知識點(diǎn)解析：顯然λ＝－4是特征方程λ2＋λ＋q＝0的解，故q＝－12，即特征方程為λ2＋λ－12＝0，特征值為λ1＝－4，λ2＝3．因?yàn)棣?＋3χ＋2為特征方程y〞＋y′－12y＝Q(χ)的一個特解，所以Q(χ)＝2＋2χ＋3－12(χ2＋3χ＋2)＝12χ2－34χ－19，且通解為y＝C1e－4χ＋C2e3χ＋χ2＋3χ＋2(其中C1，C2為任意常數(shù))．12、以y＝C1e－2χ＋C2eχ＋cosχ為通解的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y〞＋y′－2y＝sinχ－3cosχ知識點(diǎn)解析：特征值為λ1＝－2，λ2＝1，特征方程為λ2＋λ－2＝0，設(shè)所求的微分方程為y〞＋y′－2y＝Q(χ)，把y－cosχ代入原方程，得Q(χ)＝－sinχ－3cosχ，所求微分方程為y〞＋y′－2y＝sinχ－3cosχ．13、設(shè)微分方程y〞－3y′＋ay＝－5e－χ的特解形式為Aχe－χ，則其通解為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y＝C1e－χ＋C2e4χ＋χe－χ(C1，C2為任意常數(shù))知識點(diǎn)解析：因?yàn)榉匠逃刑亟釧χe－χ，所以－1為特征值，即(－1)2－3×(－1)＋a＝0a＝－4，所以特征方程為λ2－3λ－4＝0λ1＝－1，λ2＝4，齊次方程y〞－3y′＋ay＝0的通解為y＝C1e－χ＋C2e4χ，再把Aχe－χ代入原方程得A＝1，原方程的通解為y＝C1e－χ＋C2e4χ＋χe－χ(C1，C2為任意常數(shù))．14、設(shè)f(χ)可導(dǎo)，且∫01[f(χ)＋χf(χt)]dt＝1，則f(χ)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：e－χ知識點(diǎn)解析：由∫01[f(χ)＋χf(χt)]dt＝1得∫01f(χ)dt＋∫01f(χt)d(χt)＝1，整理得f(χ)＋∫0χf(u)du＝1，兩邊對χ求導(dǎo)得f′(χ)＋f(χ)＝0，解得f(χ)＝Ce－χ，因?yàn)閒(0)＝1，所以C＝1，故f(χ)＝e－χ．三、解答題(本題共19題，每題1.0分，共19分。)15、求微分方程y〞＋4y′＋4y＝0的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：特征方程為λ2＋4λ＋4＝0，特征值為λ1＝λ2＝－2，則原方程的通解為y＝(C1＋C2χ)e－2χ(C1，C2為任意常數(shù))．知識點(diǎn)解析：暫無解析16、求微分方程y〞－y′＋2y＝0的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：特征方程為λ2－λ＋2＝0，特征值為λ1,2＝，則原方程的通解為y＝(C1，C2為任意常數(shù))．知識點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)二階常系數(shù)齊次線性微分方程以y1＝e2χ，y2＝2e－χ－3e2χ為特解，求該微分方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閥1＝e2χ，y2＝2e－χ一3e2χ為特解，所以e2χ，e－χ也是該微分方程的特解，故其特征方程的特征值為λ1＝－1，λ2＝2，特征方程為(λ＋1)(λ－2)＝即λ2－λ－2＝0，所求的微分方程為y〞－y′－2y＝0．知識點(diǎn)解析：暫無解析18、求微分方程y〞＋2y′－3y＝(2χ＋1)eχ的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：特征方程為λ2＋2λ－3＝0，特征值為λ1＝1，λ2＝－3，則y〞＋2y′－3y＝0的通解為y＝C1eχ＋C2e－3χ．令原方程的特解為y0＝χ(aχ＋b)eχ，代入原方程得a＝，b＝，所以原方程的通解為y＝C1eχ＋C2e－3χ＋(2χ2＋χ)eχ(C1，C2為任意常數(shù))．知識點(diǎn)解析：暫無解析19、求微分方程y〞－2y′－e2χ＝0滿足初始條件y(0)＝1，y′(0)＝1的特解．標(biāo)準(zhǔn)答案：原方程化為y〞－2y′＝e2χ．特征方程為λ2－2λ＝0，特征值為λ1＝0，λ2＝2，y〞－2y′＝0的通解為y＝C1＋C2e2χ．設(shè)方程y〞－2y′＝e2χ的特解為y0＝Aχe2χ，代入原方程得A＝，原方程的通解為y＝C1＋C2e2χ＋χe2χ．由y(0)＝1，y′(0)＝1得解得C1＝，C2＝，故所求的特解為y＝．知識點(diǎn)解析：暫無解析20、求微分方程y〞＋4y′＋4y＝eaχ的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：特征方程為λ2＋4λ＋4＝0，特征值為λ1＝λ2＝－2，原方程對應(yīng)的齊次線性微分方程的通解為y＝(C1＋C2χ)e－2χ．(1)當(dāng)a≠－2時，因?yàn)閍不是特征值，所以設(shè)原方程的特解為y0(χ)＝Aeaχ，代入原方程得A＝，則原方程的通解為y＝(C1＋C2χ)e－2χ＋e－2χ(C1，C2為任意常數(shù))；(2)當(dāng)a＝－2時，因?yàn)閍＝－2為二重特征值，所以設(shè)原方程的特解為y0(χ)＝Aχ2e－2χ，代入原方程得A＝，則原方程的通解為y＝(C1＋C2χ)e－2χ＋χ2e－2χ．知識點(diǎn)解析：暫無解析21、求微分方程y〞＋y＝χ2＋3＋cosχ的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：特征方程為λ2＋1＝0，特征值為λ1＝－i，λ2＝i，方程y〞＋y＝0的通解為y＝C1cosχ＋C2sinχ．對方程Y〞＋y＝χ2＋3，特解為y＝χ2＋1；對方程y〞＋y－cosχ，特解為χsinχ，原方程的特解為χ2＋1＋χsinχ，則原方程的通解為y＝C1cosχ＋C2sinχ＋χ2＋1＋χsinχ(C1，C2為任意常數(shù))．知識點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)單位質(zhì)點(diǎn)在水平面內(nèi)作直線運(yùn)動，初速度v｜t＝0＝v0．已知阻力與速度成正比(比例系數(shù)為1)，問t為多少時此質(zhì)點(diǎn)的速度為?并求到此時刻該質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過的路程．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)t時刻質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的速度為v(t)，阻力F＝ma＝，則有解此微分方程得v(t)＝v0e－t．由v0e－t＝得t＝ln3，從開始到t－ln3的時間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過的路程為S＝∫0ln3v0e－tdt＝v0．知識點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)f(χ)在[0，＋∞)上連續(xù)，且f(0)＞0，設(shè)f(χ)在[0，χ]上的平均值等于f(0)與f(χ)的幾何平均數(shù)，求f(χ)．標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)題意得，令a＝，則有∫0χf(t)dt＝aχ，兩邊求導(dǎo)得f(χ)＝，即f′(χ)＋，令z＝，則有，解得f(χ)＝(C≥0)．知識點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)曲線L位于χOy平面的第一象限內(nèi)，L上任意一點(diǎn)M處的切線與y軸總相交，交點(diǎn)為A，已知｜MA｜＝｜OA｜，且L經(jīng)過點(diǎn)()，求L的方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(χ，y)，則切線MA：Y－y＝y(tǒng)′(X－χ)．令X＝0，則Y＝y(tǒng)－χy′，故A點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，y－χy′)．由｜MA｜＝｜OA｜，得｜y－χy′｜＝即2yy′－y2＝－χ，或者＝－χ，則y2＝＝χ(－χ＋C)，因?yàn)榍€經(jīng)過點(diǎn)()，所以C＝3，再由曲線經(jīng)過第一象限得曲線方程為y＝(0＜χ＜3)．知識點(diǎn)解析：暫無解析25、在上半平面上求一條上凹曲線，其上任一點(diǎn)P(z，Y)處的曲率等于此曲線在該點(diǎn)的法線段PQ的長度的倒數(shù)(Q為法線與χ軸的交點(diǎn))，且曲線在點(diǎn)(1，1)處的切線與χ軸平行．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)所求曲線為y＝y(tǒng)(χ)，該曲線在點(diǎn)P(χ，y)的法線方程為Y－y＝－(X－χ)(y′≠0)，令Y＝0，得X＝χ＋yy′，該點(diǎn)到χ軸法線段PQ的長度為，由題意得，即yy〞＝1＋y′2．令y′＝p，則y＝p，則有yp＝1＋p2，或者，兩邊積分得y＝C1，由y(1)＝1，y′(1)＝0得C1＝1，所以y′＝±，變量分離得＝±dχ，兩邊積分得ln(y＋)＝±χ＋C1，由y(1)＝1得C2＝1，所以ln(y＋)＝±(χ－1)，即y＋，又y＋，所以y－兩式相加得y＝＝ch(χ－1)．知識點(diǎn)解析：暫無解析26、一半球形雪堆融化速度與半球的表面積成正比，比例系數(shù)為k＞0，設(shè)融化過程中形狀不變，設(shè)半徑為r0的雪堆融化3小時后體積為原來的，求全部融化需要的時間．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)t時刻雪堆的半徑為r，則有＝－2kπr2，V(t)＝πr3，則，于是有－kr＝－kt＋C0，由r(0)＝r0，r(3)＝，得C0＝r0，k＝，于是r＝－t＋r0，令r＝0得t＝6，即6小時雪堆可以全部融化．知識點(diǎn)解析：暫無解析27、設(shè)f(χ)在[0，1]上連續(xù)且滿足f(0)＝1，f′(χ)－f(χ)＝a(χ－1)．y＝f(χ)，χ＝0，χ＝1，y＝0圍成的平面區(qū)域繞χ軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積最小，求f(χ)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由f′(χ)＝f(χ)＝a(χ－1)得f(χ)＝[a∫(χ－1)e∫－1dχdχ＋C]e－∫－dχ＝Ceχaχ，由f(0)＝1得C＝1，故f(χ)＝eχ－aχ．V(a)＝π∫01f2(χ)dχ＝，由V′(a)＝π(－2＋)＝0得a＝3，因?yàn)閂〞(a)＝＞0，所以當(dāng)a＝3時，旋轉(zhuǎn)體的體積最小，故f(χ)＝eχ－3χ．知識點(diǎn)解析：暫無解析28、設(shè)f(χ)在(－1，＋∞)內(nèi)連續(xù)且f(χ)－tf(t)dt＝1(χ＞－1)，求f(χ)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由f(χ)＝－∫0χtf(t)dt＝1得(χ＋1)f(χ)－∫0χtf(t)dt＝χ＋1，兩邊求導(dǎo)得f(χ)＋(χ＋1)f′(χ)－χf(χ)＝1，整理得f′(χ)＋，解得f(χ)＝，由f(0)＝1得C＝3，故f(χ)＝．知識點(diǎn)解析：暫無解析29、求微分方程y′－2χy＝。的滿足初始條件y(0)＝1的特解．標(biāo)準(zhǔn)答案：由一階非齊線性微分通解公式得y＝，由Y(0)＝1得C＝1，故y＝(χ＋1)．知識點(diǎn)解析：暫無解析30、設(shè)位于第一象限的曲線y＝f(χ)上任一點(diǎn)P(χ，y)的切線在χ軸上的截距等于該點(diǎn)法線在y軸上截距的相反數(shù)，且曲線經(jīng)過點(diǎn)(1，0)，求該曲線．標(biāo)準(zhǔn)答案：切線為Y－y＝y(tǒng)′(X－χ)，令Y＝0得X＝χ－；法線為Y－y＝－(X－χ)，令X＝0得Y＝y(tǒng)＋，由題意得，解得令u＝，代入得u＋，變量分離得，即積分得ln(u2＋1)＋arctanu－lnχ＋C，初始條件代入得C＝0，所求曲線為知識點(diǎn)解析：暫無解析31、求微分方程y〞＋y′2＝1滿足y(0)＝y(tǒng)′(0)＝0的特解．標(biāo)準(zhǔn)答案：令y′＝p，則y〞＝p，代入得p＋p2＝1，整理得＝－2dy，積分得ln｜p2－1｜＝－2y＋lnC1，即p2－1＝Ce－2y，由初始條件得C＝－1，即，變量分離得＝±dχ，＝±dχ，積分得ln(ey＋)＝±χ＋C2，由初始條件得C2＝0，從而ey＋＝e±χ，解得y＝ln．知識點(diǎn)解析：暫無解析32、求微分方程y〞＋y′－2y＝(2χ＋1)eχ－2的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：特征方程為λ2＋λ－2＝0，特征值為λ1＝1，λ2＝－2，令y〞＋y′－2y＝(2χ＋1)eχ(1)y〞＋y′－2y＝－2(2)令(1)的特解為y1＝(aχ2＋bχ)eχ，代入(1)得a＝，b＝；顯然(2)的一個特解為y2＝1，故原方程通解為y＝C1eχ＋C2e－2χ＋()eχ＋1(C1，C2為任意常數(shù))．知識點(diǎn)解析：暫無解析33、設(shè)f(χ)二階連續(xù)可導(dǎo)，且f(χ)－4∫0χtf(χ－t)dt＝eχ，求f(χ)．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫0χtf(χ－t)dtχ∫0χf(u)du－∫0χf(u)du，原方程兩邊求導(dǎo)得f′(χ)－4∫0χf(u)du＝eχ，再求導(dǎo)得f〞(χ)－4f(χ)＝eχ，解方程得f(χ)＝C1e－2χ＋C2e2χ－eχ，由f(0)＝1，f′(0)＝1得C1＝，C2＝1，故f(χ)＝e－2χ＋e2χ－eχ．知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（微分方程）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)1、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y"-2y’-3y=(2x+1)e-x的特解形式為（）。A、（ax+b)e-xB、x2e-xC、x2(ax+b)e-xD、x(ax+b)e-x標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：方程y"-2y’-3y=(2x+1)e-x的特征方程為λ2-2λ-3=0,特征值為λ1=-1,λ2=3,故方程y"-2y’-3y=(2x+1)e-x的特解形式為x(ax+b)e-x,選D。二、填空題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)2、微分方程y’-xe-y+=0的通解為________.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：3、微分方程的通解為__________.標(biāo)準(zhǔn)答案：lnx+C(C為任意常數(shù)）知識點(diǎn)解析：4、設(shè)y(x)為微分方程y"-4y’+4y=0滿足初始條件y(0)=1,y’(0)=2的特解，則=_________.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：三、解答題(本題共18題，每題1.0分，共18分。)設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)。5、求初值問題的解，其中a>0.標(biāo)準(zhǔn)答案：y’+ay=f(x)的通解為,由y(0)=0得C=0，所以.知識點(diǎn)解析：暫無解析6、若|f(x)|≤k,證明：當(dāng)x﹥0時，有|y(x)|≤.標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x≥0時，知識點(diǎn)解析：暫無解析7、利用變換x=arctant將方程化為y關(guān)于t的方程，并求原方程的通解。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析8、設(shè)二階常系數(shù)線性微分方程y"+ay’+by=cex有特解y=e2x+(1+x)ex,確定常數(shù)a,b,c，并求該方程的通解。標(biāo)準(zhǔn)答案：將y=e2x+(1+x)ex代入原方程得（4+2a+b)e2x+(3+2a+b)ex+(1+a+b)xex=cex,則有原方程為y"-3y’+2y=-ex.原方程的特征方程為λ2-3λ+2=0,特征值為λ1=1,λ2=2,則y"-3y’+2y=0的通解為y=C1ex+C2e2x,于是原方程的通解為y=C1ex+C2e2x+e2x(1+x)ex(C1,C1為任意常數(shù)）。知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)函數(shù)f(x)在[0,+∞)內(nèi)可導(dǎo)，f(0)=1,且f'(x)+f(x)-=0.9、求f’(x).標(biāo)準(zhǔn)答案：(x+1)f’(x)+(x+1)f(x)-=0,兩邊求導(dǎo)數(shù)，得（x+1)f"(x)=-(x+2)f’(x)得出,再由f(0)=1,f’(0)+f(0)=0,得f’(0)=-1,所以C=-1，于是.知識點(diǎn)解析：暫無解析10、證明：當(dāng)x≥0時，e-x≤f(x)≤1.標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x≥0時，因?yàn)閒’(x)＜0且f(0)=1,所以f(x)≤f(0)=1,令g(x)=f(x)-e-x,g(0)=0,g’(0)=f’(x)+e-x=,由.知識點(diǎn)解析：暫無解析11、設(shè)函數(shù)f(x,y)可微，,求f(x,y).標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)函數(shù)f(x)滿足xf'（x)-2f(x)=-x,且由曲線y=f(x),x=1及x軸（x≥0)所圍成的平面圖形為D。若D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積最小，求：12、曲線y=f(x).標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析13、曲線在原點(diǎn)處的切線與曲線及直線x=1所圍成的平面圖形的面積。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析14、一條曲線經(jīng)過點(diǎn)（2,0）,且在切點(diǎn)與y軸之間的切線長為2，求該曲線方程。標(biāo)準(zhǔn)答案：曲線在點(diǎn)（x,y)處的切線方程為Y-y=y’(X-x),令X=0，則Y=y-xy’,切線與y軸的交點(diǎn)為（0，y-xy’),由題意得x2+x2y’2=4,解得,變量分離得,積分得,因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)（2,0）,所以C=0，故曲線方程為知識點(diǎn)解析：暫無解析15、用變量代換x=sint將方程化為y關(guān)于t的方程，并求微分方程的通解。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)y=y(x)是一向上凸的連續(xù)曲線，其上任意一點(diǎn)（x,y)處的曲率為,又此曲線上的點(diǎn)（0,1）處的切線方程為y=x+1,求該曲線方程，并求出函數(shù)y(x)的極值。標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)榍€是上凸的，所以y"＜0,由題意得知識點(diǎn)解析：暫無解析17、細(xì)菌的增長率與總數(shù)成正比，如果培養(yǎng)的細(xì)菌總數(shù)在24h內(nèi)由100增長到400，求前12h后的細(xì)菌總數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析18、在t=0時，兩只桶內(nèi)各裝10L的鹽水，鹽的濃度為15g/L,用管子以2L/min的速度將凈水輸入到第一只桶內(nèi)，攪拌均勻后的混合液又由管子以2L/min的速度被輸送到第二只桶內(nèi)，再將混合液攪拌均勻，然后用1L/min的速度輸出，求在任意時刻t>0,從第二只桶內(nèi)流出的水中含鹽所滿足的微分方程。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)在任意時刻t＞0,第一只桶和第二只桶內(nèi)含鹽分別為m1(t),m2(t),在時間[t,t+dt]內(nèi)有,且滿足初始條件m1(0)=150,解得,在時間[t,t+dt]內(nèi)有,且滿足初始條件m2(0)=150.知識點(diǎn)解析：暫無解析19、一條均勻鏈條掛在一個無摩擦的釘子上，鏈條長18m,運(yùn)動開始時鏈條一遍下垂8m，另外一遍下垂10m,問整個鏈條滑過釘子需要多長時間？標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)鏈條的密度為ρ，取x軸正向?yàn)榇怪毕蛳?，設(shè)t時刻鏈條下垂x(t)m,則下垂那段的長度為（10+x)m,另一段長度為（8-x)m,此時鏈條受到的重力為（10+x)ρg-(8-x)ρg=2(x+1)ρg.鏈條的總重量為18ρ,由牛頓第二定律F=ma,得到知識點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)非負(fù)函數(shù)f（x)當(dāng)x≥0時連續(xù)可微，且f(0)=1，由y=f(x)，x軸，y軸，及過點(diǎn)（x,0)且垂直于x軸的直線圍成的圖形的面積與y=f(x)在[0,x]上弧的長度相等，求f（x).標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析21、早晨開始下雪整天不停，中午一輛掃雪車開始掃雪，每小時掃雪體積為常數(shù)，到下午2點(diǎn)掃雪2km,到下午4點(diǎn)又掃雪1km,問降雪是什么時候開始的？標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)單位面積在單位時間內(nèi)降雪量為a,路寬為b,掃雪速度為c,路面上雪層厚度為H(t),掃雪車前進(jìn)路程為S(t),降雪開始時間為T，則知識點(diǎn)解析：暫無解析22、飛機(jī)在機(jī)場開始滑行著陸，在著陸時刻已是去垂直速度，水平速度為v0(m/s)，飛機(jī)與地面摩擦系數(shù)為μ，且飛機(jī)運(yùn)動時所受空氣的阻力與速度的平方成正比，在水平方向的比例系數(shù)為kx(kg·s2/m2),在垂直方向的比例系數(shù)ky(kg·s2/m2).設(shè)飛機(jī)的質(zhì)量為m(kg),求飛機(jī)從著陸到停止所需要的時間。標(biāo)準(zhǔn)答案：水平方向空氣阻力Rx=kxv2,垂直方向的空氣阻力Ry=kyv2,摩擦力為W=μ(mg-Ry),由牛頓第二定律，由,知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（微分方程）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、微分方程y〞－4y＝e2χ＋χ的特解形式為()．A、ae2χ＋bχ＋cB、aχ2e2χ＋bχ＋cC、aχe2χ＋bχ2＋cχD、aχe2χ＋bχ＋b標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：y〞－4y＝0的特征方程為λ2－4＝0，特征值為λ1＝－2，λ2＝2．y〞－4y＝e2χ的特解形式為y1＝aχe2χ，y〞－4y＝χ的特解形式為y2＝bχ＋c，故原方程特解形式為aχe2χ＋bχ＋c，選D．2、設(shè)三階常系數(shù)齊次線性微分方程有特解y1＝eχ，y2＝2χeχ，y3＝3e－χ，則該微分方程為()．A、y″′－y〞－y′＋y＝0B、y″′＋y〞－y′－y＝0C、y″′＋2y〞－y′－2y＝0D、y″′－2y〞－y′＋2y＝0標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：由y1＝eχ，y2＝2χeχ，y3＝3e－χ為三階常系數(shù)齊次線性微分方程的特解可得其特征值為λ1＝λ2＝1，λ3＝－1，其特征方程為(λ－1)2(λ＋1)＝0，即λ3－λ2＋1＝0，所求的微分方程為y″′－y〞－y′＋y＝0，選A．3、設(shè)φ1(χ)，φ2(χ)為一階非齊次線性微分方程y′＋P(χ)y＝Q(χ)的兩個線性無關(guān)的特解，則該方程的通解為()．A、C[φ1(χ)＋φ2(χ)]B、C[φ1(χ)－φ2(χ)]C、C[φ1(χ)－φ2(χ)]＋φ2(χ)D、[φ1(χ)－φ2(χ)]＋Cφ2(χ)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：因?yàn)棣?(χ)，φ2(χ)為方程y′＋P(χ)y＝Q(χ)的兩個線性無關(guān)解，所以φ1(χ)－φ2(χ)為方程y′＋P(χ)y＝0的一個解，于是方程y′＋P(χ)y＝Q(χ)的通解為C[φ1(χ)－φ2(χ)]＋φ2(χ)，故選C．二、填空題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)4、設(shè)y＝y(tǒng)(χ)滿足△y＝y(tǒng)△χ＋o(△χ)且y(0)＝1，則y(χ)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：eχ知識點(diǎn)解析：由△y＝y(tǒng)△χ＋o(△χ)得＝y(tǒng)或－y＝0，解得y＝Ce－∫(－1)dχ＝Ceχ，再由y(0)＝1得C＝1，故y(χ)＝eχ．5、設(shè)y1(χ)，y2(χ)為y′＋P(χ)y＝Q(χ)的特解，又py1(χ)＋2qy2(χ)為y′＋P(χ)y＝0的解，py1(χ)－qy2(χ)為y′＋P(χ)y＝Q(χ)的解，則p＝_______，q＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：由一階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)性質(zhì)得解得p＝，q＝－．6、設(shè)y＝y(tǒng)(χ)滿足(1＋χ2)y′＝χy且y(0)＝1，則y(χ)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：將原方程變量分離得，積分得ln｜y｜＝ln＋lnC1，即y＝C，再由y(0)＝1得y＝．7、設(shè)y＝2e－χ＋eχsinχ為y″′＋py〞＋qy′＋ry＝0的特解，則該方程為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y″′－y〞＋2y＝0知識點(diǎn)解析：三階常系數(shù)齊次線性微分方程的特征值為λ1＝－1，λ2,3＝1±i，特征方程為(λ＋1)(λ－1－i)(λ－1＋i)＝0，整理得λ3－λ2＋2＝0，所求方程為y″′－y〞＋2y＝0．8、設(shè)f(χ)連續(xù)，且f(χ)－2∫0χf(χ－t)dt＝eχ，則f(χ)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2e2χ－eχ知識點(diǎn)解析：由∫0χf(χ－t)dt∫χ0f(u)(－du)＝∫0χf(u)du得f(χ)－2∫0χf(u)du＝eχ，求導(dǎo)得f′(χ)－2f(χ)＝eχ，解得f(χ)＝[∫eχ.e∫－2dχdχ＋C]e－∫－2dχ＝(－e－χ＋C)e2χ＝Ce2χ－eχ，由f(0)＝1得C＝2，故f(χ)＝2e2χ－eχ．9、微分方程y′＋ytanχ＝cosχ的通解為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y＝(χ＋C)cosχ知識點(diǎn)解析：通解為y＝(∫cosχe∫tanχdχdχ＋C)e－∫tanχdχ＝(χ＋C)cosχ10、設(shè)f(χ)在[0，＋∞)上非負(fù)連續(xù)，且f(χ)∫0χf(χ－t)dt＝2χ3，則f(χ)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2χ知識點(diǎn)解析：∫0χf(χ－t)dt∫χ0f(u)(－du)＝∫0χf(u)du，令F(χ)＝∫0χf(u)du，由f(χ)∫0χf(χ－t)dt＝2χ3，得f(χ)∫0χf(u)du＝2χ3，即＝2χ3，則F2(χ)＝χ4＋C0．因?yàn)镕(0)＝0，所以C0＝0，又由F(χ)≥0，得F(χ)＝χ2，故f(χ)＝2χ．11、連續(xù)函數(shù)f(χ)滿足f(χ)＝3∫0χf(χ－t)dt＋2，則f(χ)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2e3χ知識點(diǎn)解析：由∫0χf(χ－t)dt∫χ0f(u)(－du)＝∫0χfu(du)得f(χ)＝3∫0χf(u)du＋2，兩邊對χ求導(dǎo)得f′(χ)－3f(χ)＝0，解得f(χ)＝ce－∫－3dχ＝Ce3χ，取χ＝0得f(0)＝2，則C＝2，故f(χ)＝2e3χ．12、設(shè)y＝y(tǒng)(χ)可導(dǎo)，y(0)＝2，令△y＝y(tǒng)(χ＋△χ)－y(χ)，且△y＝△χ＋α，其中α是當(dāng)△χ→0時的高階無窮小量，則y(χ)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識點(diǎn)解析：由△y＝△χ＋α，得y′＝，或者y′－＝0，解得y＝，再由y(0)＝2，得C＝2，所以y＝2．13、微分方程的通解為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：χ＝－＋Ce2y(C為任意常數(shù))知識點(diǎn)解析：由得－2χ＝y(tǒng)2，則χ＝(∫y2.e∫－2dydy＋C)e－∫－2dy＝(∫y2.e－2ydy＋C)e2y＝－＋Ce2y(C為任意常數(shù))．14、微分方程χy′－y[ln(χy)－1]＝0的通解為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：ln(χy)＝Cχ知識點(diǎn)解析：令χy＝u，y＋χy′＝，代入原方程得＝0，分離變量得，積分得lnlnu＝lnχ＋lnC，即lnu＝Cχ，原方程的通解為ln(χy)＝Cχ．15、微分方程y2dχ＋(χ2－χy)dy＝0的通解為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y＝C(C為任意常數(shù))知識點(diǎn)解析：令＝u，則，代入原方程得，兩邊積分得u－lnu－lnχ－lnC＝0，解得y＝C(C為任意常數(shù))．三、解答題(本題共19題，每題1.0分，共19分。)16、求微分方程＝1＋χ＋y＋χy的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：由＝1＋χ＋y＋χy得＝(1＋χ)(1＋y)，分離變量得＝(1＋χ)dχ，兩邊積分得ln｜1＋y｜＝χ＋＋C(C為任意常數(shù))．知識點(diǎn)解析：暫無解析17、求微分方程χy′＝y(tǒng)ln的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：χy′＝y(tǒng)ln可寫為，令u＝，原方程化為u＋χ＝ulnu，變量分離得，積分得ln(lnu－1)＝lnχ＋lnC，即lnu－1＝Cχ，或u＝eCχ＋1，故原方程的通解為y＝χeCχ＋1(C為任意常數(shù))．知識點(diǎn)解析：暫無解析18、求微分方程χy〞＋2y′＝eχ的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：令y′＝p，則原方程化為，解得p＝，故y＝＋C2(C1，C2為任意常數(shù))．知識點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)χ＞0時，f(χ)可導(dǎo)，且滿足f(χ)＝1＋∫1χf(t)dt，求f(χ)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由f(χ)＝1＋f(t)dt得χf(χ)＝χ＋∫1χf(t)dt，兩邊對χ求導(dǎo)得f(χ)＋χf′(χ)＝1＋f(χ)，解得f′(χ)＝，f(χ)＝lnχ＋C，因?yàn)閒(1)＝1，所以C＝1，故f(χ)＝lnχ＋1．知識點(diǎn)解析：暫無解析20、求微分方程(y＋)dχ－χdy＝0的滿足初始條件y(1)＝0的解．標(biāo)準(zhǔn)答案：由(y＋)dχ－χdy＝0，得．令u＝，則原方程化為，積分得ln(u＋)＝lnχ＋lnC，即u＋＝Cχ，將初始條件y(1)＝0代入得C＝1．由得u＝，即滿足初始條件的特解為y＝．知識點(diǎn)解析：暫無解析21、求微分方程(y－χ3)dχ－2χdy＝0的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：由(y－χ3)dχ－2χdy＝0，得，則y＝即原方程的通解為y＝(其中C為任意常數(shù))．知識點(diǎn)解析：暫無解析22、求微分方程y2dχ＋(2χy＋y2)dy＝0的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：由y2dχ＋(2χy＋y2)dy＝0得令u＝，則，解得u2(u＋3)＝，所以原方程的通解為y2(y＋3χ)＝C(C為任意常數(shù))．知識點(diǎn)解析：暫無解析23、求微分方程c