考研數學三（一元函數微分學）模擬試卷1（共153題）

考研數學三（一元函數微分學）模擬試卷1（共5套）（共153題）考研數學三（一元函數微分學）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設f(x)在x=0的某個鄰域內有定義，則f(x)在x=a處可導的一個充分條件是()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：對于(A)選項，由于h→+∞，因此只能保證右導數f+′(a)存在．又例如則f(x)在x=a處不連續(xù)，故也不可導，但顯然滿足(B)、(C)，因此(B)、(C)不正確，只有(D)選項是正確的．2、設函數f(x)對任意x均滿足等式f(1+x)=af(x)，且有f′(0)=b，其中a，b為非零常數，則()A、f(x)在x=1處不可導．B、f(x)在x=1處可導，且f′(1)=a．C、f(x)在x=1處可導，且f′(1)=b．D、f(x)在x=1處可導，且f′(1)=ab．標準答案：D知識點解析：由已知條件，令x=0，得f(1)=af(0)，從而故應選D．3、設f(x)在x=0處連續(xù)，下列命題錯誤的是()A、如果存在，則f(0)=0．B、如果存在，則f′(0)存在．C、如果存在，則f(0)=0．D、如果存在，則f′(0)存在．標準答案：D知識點解析：由于f(x)在x=0處連續(xù)，故如果存在，則于是從而(A)、(B)選項都是正確的命題．又如果存在，則因此選項(C)的命題也是正確的．如果令f(x)=|x|，則但f′(0)顯然不存在，綜上，應選(D)．4、已知f′(x0)=－1，則A、1．B、－1．C、3．D、－3．標準答案：A知識點解析：故應選A．5、設函數則f(x)在x=0處的左、右導數()A、都存在且相等．B、都不存在．C、都存在但不相等．D、僅有一個存在．標準答案：C知識點解析：故應選(C)．6、設g(x)在x=0處二階可導，且g(0)=g′(0)=0，并設則f(x)在x=0處()A、不連續(xù)．B、連續(xù)，但不可導．C、可導，導函數不連續(xù)．D、可導，導函數連續(xù)．標準答案：D知識點解析：7、設f(x)=φ(x)|x3－1|，其中φ(x)在x=1處連續(xù)，則φ(1)=0是f(x)在x=1處可導的()A、充分必要條件．B、必要但非充分條件．C、充分但非必要條件．D、既非必要也非充分條件．標準答案：A知識點解析：如果f(x)在x=1處可導，則需－3φ(1)=3φ(1)，即φ(1)=0，從而應選A．8、函數f(x)=(x2－x－2)|x3－x|不可導點的個數是()A、3．B、2．C、1．D、0．標準答案：B知識點解析：f(x)=(x+1)(x－2)|x||lx+1||x－1|，從而f(x)的不可導點只可能為x=－1，x=0，x=1．設f(x)=g(x)|x||x+1||x－1|，由于g(－1)=0，g(0)=－2≠0，g(1)=－2≠0，由上題結果，故f(x)在x=－1處可導，而在x=0和x=1處不可導，故應選(B)．二、填空題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)9、設y=(1+sinx)x，則dy|x=π=___________；標準答案：－πdx．知識點解析：因為所以dy|x=π=－πdx．10、設y=y(x)由方程2xy=x+y確定，則dy|x=0=_________．標準答案：(ln2－1)dx．知識點解析：方程兩邊求微分得2xyln2(ydx+xdy)=dx+dy．以x=0代入原方程得y=1；以x=0，y=1代入上式得ln2dx=dx+dy，解得dy|x=0=(ln2-1)dx．三、解答題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)設f(x)在x=0的某個鄰域內連續(xù)，且f(0)=0，求：11、f′(0)；標準答案：知識點解析：暫無解析12、標準答案：知識點解析：暫無解析13、設y=f(x)是由方程sin(xy)+ln(y－x)=x所確定的隱函數，求標準答案：由已知條件，當x=0時，y=1，從而將方程兩端對x求導，有將x=0代入，得y′(0)=f′(0)=1，故知識點解析：暫無解析14、求下列函數的導數：標準答案：(2)由于所以(3)因為所以y′=e2x+2xe2x=(1+2x)e2x．(4)令x－t=u，則故y′=f(x)．知識點解析：暫無解析15、設函數y=y(x)由方程ln(x2+y)=x3y+sinx確定，求標準答案：當x=0時，y=1，對方程兩邊關于x求導，得故y′|x=0=cos0=1．知識點解析：暫無解析16、設函數其中f(x)是連續(xù)函數，且f(0)=2，求φ′(x)．標準答案：令tx2=u則從而當x=0時，φ(0)=0，從而綜上，知識點解析：暫無解析17、設f(x)=x(x-1)(x－2)…(x-100)，求f′(50)．標準答案：令φ(x)=x(x－1)…(x－49)(x－51)…(x－100)，則f(x)=(x-50)φ(x)，因此f′(x)=φ(x)+(x-50)φ′(x)，于是f′(50)=φ(50)=50!(－1)5050!=(50!)2．知識點解析：暫無解析18、設y=x+lnx，求標準答案：由反函數求導法則，知識點解析：暫無解析19、設函數y=y(x)是由方程xy+ey=x+1確定的隱函數，求標準答案：方程兩端對x求導，得兩端再對x求導，得又當x=0時，y=0，從而代入上式，有知識點解析：暫無解析20、設求f(n)(0)(n＞1)．標準答案：【解法1】因為故于是【解法2】因為故當n＞1時，從而知識點解析：暫無解析21、設y=sin4+cos4x，求y(n)．標準答案：先將y的表達式化簡，得由公式得知識點解析：暫無解析22、設f(x)=x2sinxcosx，求f(2007)(0)．標準答案：f(x)=x2sin2x，根據萊布尼茨公式，有f(2007)=[x2(sin2x)(2007)+2C20071x(sin2x)(2006))+2C20072(sin2x)(2005)]，由于故f(2007)(0)=2007×2006×22004．知識點解析：暫無解析23、設函數如果f"(0)存在，求常數a，b．標準答案：由于f′(0)存在，從而b=1．于是由于f"(0)存在，故2a=－1，即綜上，知識點解析：暫無解析24、如果函數在x=0處有連續(xù)導數，求A的取值范圍．標準答案：由于f(x)在x=0處可導，所以f(x)在x=0處連續(xù)，從而因此λ＞0．又存在，故λ－1＞0，即λ＞1，由題意，f(x)在x=0處有連續(xù)的導數，所以即因此λ－2＞0，綜上λ的取值范圍為λ＞2．知識點解析：暫無解析25、設f(x)連續(xù)，且求φ′(x)并討論φ′(x)在x=0處的連續(xù)性．標準答案：由題設條件知，f(0)=0，φ(0)=0，令u=xt，得于是當x=0時，由導數定義有從而由于故φ′(x)在x=0處連續(xù)．知識點解析：暫無解析26、已知函數在x=1處可導，求曲線y=f(x)在點(1，f(1))處的切線方程和法線方程．標準答案：因為f(x)在x=1處可導，所以f(x)在x=1處連續(xù)，于是有即a+b-e．又從而2a=－e，即于是此時切點為(1，e)，f′(1)=－e，故所求切線方程為y－e=－e(x－1)，即ex+y－2e=0．法線方程為即x－ey+e2－1=0．知識點解析：暫無解析27、設函數y=f(x)由方程e2x+ycos(xy)=e－1確定，求曲線y=f(x)在點(0，1)處的法線方程．標準答案：方程兩端對x求導，有e2x+y(2+y′)+(y+xy′)sin(xy)=0，將x=0，y=1代入得切線斜率為y′(0)=－2，于是法線斜率為故所求法線方程為即x-2y+2=0．知識點解析：暫無解析考研數學三（一元函數微分學）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設函數f(x)在｜x｜＜δ內有定義且｜f(x)｜≤x2，則f(x)在x=0處()．A、不連續(xù)B、連續(xù)但不可微C、可微且f’(0)=0D、可微但f’(0)≠0標準答案：C知識點解析：顯然f(0)=0，且f(x)=0，所以f(x)在x=0處連續(xù)．又由｜f(x)｜≤x2得，根據夾逼定理得即f’(0)=0，選C．2、設y=y(x)由x-∫1x+ye-t2dt=0確定，則y’’(0)等于()．A、2e2B、2e-2C、e2-1D、e-2-1標準答案：A知識點解析：當x=0時，由-∫1ye-t2dt=0得y=1，x-∫1x+ye-t2dt=0兩邊對x求導得1-e-(x+y)2.=0，解得=e(x+y)2-1，且=e-1．由=e(x+y)2.2(x+y).得y’’(0)==2e2，選A．3、設則f(x)在x=1處()．A、不連續(xù)B、連續(xù)但不可導C、可導但不是連續(xù)可導D、連續(xù)可導標準答案：D知識點解析：因為(x2+x+1)=3=f(1)，所以f(x)在x=1處連續(xù)．因為，所以f(x)在x=1處可導．當x≠1時，f’(x)=2x+1，因為=3=f’(1)，所以f(x)在x=1處連續(xù)可導，選D．4、設f(x)=｜x3-1｜g(x)，其中g(x)連續(xù)，則g(1)=0是f(x)在x=1處可導的()．A、充分條件B、必要條件C、充分必要條件D、非充分非必要條件標準答案：C知識點解析：設g(1)=0，f’-(1)=.(x2+x+1)g(x)=0，f’+(1)=(x2+x+1)g(x)=0，因為f’-(1)=f’+(1)=0，所以f(x)在x=1處可導．設f(x)在x=1處可導，f’-(1)=.(x2+x+1)g(x)=-3g(1)，f’+(1)=(x2+x+1)g(x)-3g(1)，因為f’-(1)=f’+(1)=0，所以g(1)=0，故g(1)=0為f(x)在x=1處可導，選C．5、設f(x)在[0，+∞)上連續(xù)，在(0，+∞)內可導，則()．A、若f(x)=0，則f’(x)=0B、若f’(x)=0，則f(x)=0C、若f(x)=+∞，則f’(x)=+∞D、若f’(x)=A＞0，則f(x)=+∞標準答案：D知識點解析：取f(x)=f(x)=0，但=+∞，A不對；取f(x)=cosx，顯然f’(x)=(-sinx)=0，但f(x)=1≠0，B不對；取f(x)=x，顯然f(x)=+∞，但f’(x)=1，C不對，選D．事實上，取ε=＞0，因為f’(x)=A，所以存在X＞0，當x＞X時，｜f’(x)-A｜＜，從而f’(x)＞當x＞X時，f(x)-f(x)=f’(ξ)(x-X)＞(x-X)(X＜ξ＜x)，從而f(x)＞f(X)+(x-X)，兩邊取極限得f(x)=+∞，選D．二、填空題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)6、設y=arctan2=_______.標準答案：知識點解析：7、設f(x)=，則f’(x)=________．標準答案：(2x+x2)ex知識點解析：=x2ex，則f’(x)=2xex+x2ex=(2x+x2)ex．8、設函數y=y(x)滿足△y=+o(△x)，且y(0)=4，則y(x)=______．標準答案：arctanx+4知識點解析：由△y=+o(△x)得y=y(x)可微，從而y=y(x)可導，且于是y(x)=arctanx+C，再由y(0)=4得C=4，故y(x)=arctanx+4．9、設=______.標準答案：知識點解析：10、設，則y(n)(0)=________．標準答案：知識點解析：y(2x+3)-1，y’=(-1)(2x+3)-2.2，y’’=(-1)(-2)(2x+3)-3.22，由歸納法得y(n)=(-1)(-2)…(-n)(2x+3)-(n+1).2n=所以y(n)(0)=11、設，則y’=________．標準答案：知識點解析：12、設f’(a)≠0，則=______.標準答案：知識點解析：由得13、設f(x)為奇函數，且f’(1)=2，則f(x3)｜x=-1=__________．標準答案：6知識點解析：因為f(x)為奇函數，所以f’(x)為偶函數，由f(x3)=3x2f’(x3)得f(x3)｜x=-1=3f’(-1)=3f’(1)=6．14、設f(x)為偶函數，且f’(-1)=2，則=________.標準答案：-8知識點解析：因為f(x)為偶函數，所以f’(x)為奇函數，于是f’(1)=-2，故=4f’(1)=-8．15、設f(u)可導，y=f(x2)在x0=-1處取得增量△x=0．05時，函數增量△y的線性部分為0．15，則f’(1)=_______．標準答案：知識點解析：由dy=2xf’(x2)△x得dy｜x=-1=-2f’(1)×0．05=-0．1f’(1)，因為△y的線性部分為dy，由-0．1f’(1)=0．15得f’(1)=16、設，則f(n)(x)=________．標準答案：知識點解析：令，解得A=3，B=-2，即17、設φ(x)=∫0x2(x2-t)f(t)dt，其中f連續(xù)，則φ’’(x)=_______．標準答案：2∫0x2f(t)dt+4x2f(x2)知識點解析：φ(x)=x2∫0x2f(t)dt-∫0x2tf(t)dt，φ’(x)=2x∫0x2f(t)dt+2x3f(x2)-2x3f(x2)=2x∫0x2f(t)dt，φ’’(x)=2∫0x2f(t)dt+4x2f(x2).三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)18、求下列導數：(1)設(2)設y=(1+x2)tanx，求標準答案：(1)(2)y=etanx.ln(1+x2)，則=(1+x2)tanx.[sec2x.ln(1+x2)+tanx.]知識點解析：暫無解析19、設且f’(0)存在，求a，b．標準答案：f(0-0)=6，f(0)=f(0+0)=0，由f(x)在x=0處連續(xù)得b=0；f’-(0)==a，f’+(0)==2．因為f’(0)存在，所以f’-(0)=f’+(0)，故a=2．知識點解析：暫無解析20、設y=ln(4x+1)，求y(n)．標準答案：y’==4(4x+1)-1，y’’=42.(-1)(4x+1)-2，y’’=43.(-1)(-2)(4x+1)-3，由歸納法得y(n)=知識點解析：暫無解析21、(1)設f(x)=｜x-a｜g(x)，其中g(x)連續(xù)，討論f’(a)的存在性．(2)討論在x=0處的可導性．(3)設討論f(x)在x=0處的可導性．標準答案：由=-g(a)得f’-(a)=-g(a)；由=g(a)得f’+(a)=g(a)，當g(a)=0時，由f’-(a)=f’+(a)=0得f(x)在x=a處可導且f’(a)=0；當g(a)≠0時，由f’-(a)≠f’+(a)得f(x)在x=a處不可導．(2)因為所以f(x)在x=0處連續(xù)．則f’(0)=，即f(x)在x=0處可導．(3)f(0)=f(0-0)=0，f(0+0)=由f(0-0)=f(0+0)=f(0)得f(x)在x=0處連續(xù)；由得f’-(0)=0，得f’+(0)=0，因為f’-(0)=f’+(0)=0，所以f(x)在x=0處可導．知識點解析：暫無解析22、設，求y’．標準答案：知識點解析：暫無解析23、設y=ln(2+3-x)，求dy｜x=0．標準答案：由故dy｜x=0=ln3dx．知識點解析：暫無解析24、(1)由方程sinxy+ln(y-x)=x確定函數y=y(x)，求｜x=0.(2)設函數y=y(x)由2xy=x+y確定，求dy｜x=0．(3)設由e-y+x(y-x)=1+x確定y=y(x)，求y’’(0)．(4)設y=y(x)由x-∫0x+ye-t2dt=0確定，求｜x=0.標準答案：(1)將x=0代入sinxy+ln(y-x)=x得y=1，對sinxy+ln(y-x)=x兩邊關于x求導得將x=0，y=1代入上式得=1．(2)當x=0時，y=1，對2xy=x+y兩邊關于x求導，得2xyln2將x=0，y=1代入得=ln2-1，故dy｜x=0=(ln2-1)dx．(3)x=0時，y=0．對e-y+x(y-x)=1+x兩邊關于x求導得-e-yy’+y-x+x(y’-1)=1，將x=0，y=0代入得y’(0)=-1；對-e-yy’+y-x+x(y’-1)=1兩邊關于x求導，得e-y(y’)2-e-yy’’+2(y’-1)+xy’’=0，將x=0，y=0，y’(0)=-1代入，得y’’(0)=-3.(4)x=0時，y=1．對x-∫1x+ye-t2dt=0兩邊關于x求導得1-e-(x+y)2.=0，將x=0，y=1，代入得=e-1．知識點解析：暫無解析25、設y=x2lnx，求y(n)(n≥3)．標準答案：y(n)=Cn0x2(lnx)(n)+Cn12x.(lnx)(n-1)+Cn22.(lnx)(n-2)，由(lnx)(n)=得知識點解析：暫無解析26、設f(x)=∫01｜x-y｜sindy(0＜x＜1)，求f’’(x)．標準答案：f(x)=∫01｜x-y｜sin=∫0x(x-y)sin+∫x1(y-x)sin=x∫0xsin-∫0xysin+x∫1xsin-∫1xysin則f’(x)=∫0xsin+∫1xsin，f’’(x)=2sin知識點解析：暫無解析27、設討論函數f(x)在x=0處的可導性．標準答案：因為0≤｜f(x)｜=｜x｜.=0=f(0)，故f(x)在x=0處連續(xù)．由得f’-(0)=1，再由得f’+(0)=0，因為f’-(0)≠f’+(0)，所以f(x)在x=0處不可導．知識點解析：暫無解析28、設f(x)連續(xù)，f(0)=0，f’(0)=1，求[∫-aaf(x+a)dx-∫-aaf(x-a)dx]．標準答案：∫-aaf(x+a)dx-∫-aaf(x-a)dx=∫-aaf(x+a)d(x+a)-∫-aaf(x-a)d(x-a)=∫02af(x)dx-∫-2a0f(x)dx=∫02af(x)dx+∫0-2af(x)dx，又由ln(1+a)=a-+o(a2)得a-ln(1+a)～，于是知識點解析：暫無解析29、舉例說明函數可導不一定連續(xù)可導．標準答案：令當x≠0時，f’(x)=2xsin，當x=0時，f’(0)==0．即因為不存在，而f’(0)=0，所以f(x)在x=0處可導，但f’(x)在x=0處不連續(xù)．知識點解析：暫無解析30、設處處可導，確定常數a，b，并求f’(x)．標準答案：由f(x)在x=0處連續(xù)，得b=0．f’+(0)==a，f’-(0)==2，由f(x)在x=0處可導，得a=2，所以知識點解析：暫無解析31、設求f’(x)并討論其連續(xù)性．標準答案：當x＞0時，f’(x)=，當x＜0時，f’(x)=cosx，由f’-(0)==1．f’+(0)=，得f’(0)=1，則容易驗證f’(x)=1=f’(0)，所以f’(x)連續(xù)．知識點解析：暫無解析32、設f(x)二階可導，f(0)=0，令(1)求g’(x)；(2)討論g’(x)在x=0處的連續(xù)性．標準答案：(1)因為=f’(0)=g(0)，所以g(x)在x=0處連續(xù)．當x≠0時，當x=0時，由得(2)因為所以g’(x)在x=0處連續(xù)．知識點解析：暫無解析33、求常數a，b，使得在x=0處可導．標準答案：因為f(x)在x=0處可導，所以f(x)在x=0處連續(xù)，從而有f(0+0)=2a=f(0)=f(0-0)=3b，f’+(0)==3+2a，f’-(0)==10+6b，由f(x)在x=0處可導，則3+2a=10+6b，解得a=知識點解析：暫無解析考研數學三（一元函數微分學）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設f(x)可導，F(x)=f(x)(1+|sinx|)，則f(0)=0是F(x)在x=0處可導的()A、充分必要條件．B、充分條件但非必要條件．C、必要條件但非充分條件．D、既非充分條件又非必要條件．標準答案：A知識點解析：充分性．因為f(0)=0，所以F(x)在x=0處可導．必要性．設F(x)在x=0處可導，則f(x)|sinx|在x=0處可導，由此可知即f(0)=f(0)，故f(0)=0．2、設f(x)=3x3+x2|x|，則使f(n)(0)存在的最高階數n為()A、0．B、1．C、2．D、3．標準答案：C知識點解析：在x=0處f′"(0)不存在，故應選(C)．注：一般地，xn|x|在x=0處存在的最高階導數為n(n＞1)階．3、設y=x+sinx，dy是y在x=0點的微分，則當△x→時，()A、dy與△x相比是等價無窮小量．B、dy與△x相比是同階無窮小量．C、dy是比△x高階的無窮小量．D、dy是比△x低階的無窮小量．標準答案：B知識點解析：因為dy=(1+cosx)△x，所以dy|x=0=2△x，于是故dy與△x相比是同階無窮小量，應選(B)．4、已知y=y(x)在任意點x處的增量其中α是比△(△x→0)高階的無窮小，且y(0)=π，則y(1)=()A、B、2πC、π．D、標準答案：A知識點解析：由已知條件和微分的定義，知兩端積分得ln|y|=arctanx+C1，故y=Cearctanx，令x=0，得C=π，從而y=πearctanx，即應選A．5、設f(x)二階可導，且f′(x)＞0，f"(x)＞0，△x為自變量x在點x0處的增量，△y與dy分別為f(x)在點x0處對應的增量與微分，若△x＞0，則()A、0＜dy＜△y．B、0＜△y＜dy．C、△y＜dy＜0．D、dy＜△y＜0．標準答案：A知識點解析：由于f′(x)＞0，故f′(x0)＞0，而dy=f′(x0)△x，又△x＞0，從而dy＞0．又f"(x)＞0，從而f′(x)單調遞增，而△y=f(x0+△x)-f(x0)=f′(ξ)△x，x0＜ξ＜x0+△x，于是△y=f′(ξ)△xf′(x0)△x=dy，所以應選(A)．6、設f(x)處處可導，則()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：如果令f(x)=x，則選項(A)、(C)顯然不正確．如果令f(x)=x2，則選項(B)不正確．事實上，如果則對任意正數M，存在x0，當x＞x0時，f′(x)＞Mf(x)在區(qū)間[x0，x]上滿足拉格朗日中值定理，從而存在ξ∈(x0，x)，使f(x)=f(x0)+f′(ξ)(x－x0)＞f(x0)+M(x－x0)，當x→+∞時，f(x)→+∞，故應選(D)．7、設兩函數f(x)及g(x)都在x=a處取得極大值，則函數r(x)=f(x)g(x)在x=a處()A、必取極大值．B、必取極小值．C、不可能取極值．D、是否取極值不能確定．標準答案：D知識點解析：如果f(x)=g(x)=－x2，在x=0處取極大值，但F(x)=x4在x=0處取極小值，故選項A、C不正確．如果f(x)=－x2，g(x)=1－x2，兩函數都在x=0處取極大值，但F(x)=－x2(1－x2)在x=0處仍取極大值，事實上F′(x)=－2x+4x3，F"(x)=－2+12x2，F′(0)=0，F"(0)＜0，即F(x)在x=0處取極大值，因此(B)不正確，綜上，應選D．二、解答題(本題共23題，每題1.0分，共23分。)8、設曲線f(x)=xn(n為正整數)在點(1，1)處的切線與x軸相交于點(ξn，0)，求標準答案：y′=nxn-1，y′(1)=n，所以曲線y=xn在點(1，1)處的切線方程為y-1=n(x－1)，該切線與x軸的交點為故知識點解析：暫無解析9、已知f(x)是周期為5的連續(xù)函數，它在x=0的某個鄰域內滿足關系式f(1+sinx)－3f(1-sinx)=8x+α(x)，其中α(x)是當x→0時比x高階的無窮小量，且f(x)在x=1處可導，求曲線y=f(x)在點(6，f(6))處的切線方程．標準答案：由f(1+sinx)－3f(1－sinx)=8x+a(x)，令x→0，得f(1)－3f(1)0，故f(1)=0．又所以f′(1)=2．由于f(x+5)=f(x)，所以f(6)=f(1)=0，f′(6)=f′(1)=2．故所求的切線方程為y=2(x－6)，即2x－y－12=0．知識點解析：暫無解析10、設函數f(x)在[0，2]上連續(xù)，在(0，2)內可導，且f(0)=1，f(1)=0，f(2)=3，證明至少存在一點ξ，使得f′(ξ)=0．標準答案：因為f(x)在[0，2]上連續(xù)，且f(1)＜f(0)＜f(2)，由介值定理，存在一點x0∈(1，2)，使f(x)=f(0)=1，在[0，x0]上，由羅爾定理，至少存在一點ξ∈(0，x0)(0，2)，使f′(ξ)=0．知識點解析：暫無解析11、設函數f(x)在區(qū)間[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內可導，試證在(0，1)內至少存在一點ξ，使標準答案：【證法1】設從而F(x)在[0，1]上滿足羅爾定理條件，故至少存在一點ξ∈(0，1)，使F′(ξ)=0，即(1+ξ2)f′(ξ)=[f(1)－f(0)]．【證法2】設g(x)=arctanx，在[0，1]上，f(x)和g(x)滿足柯西中值定理條件，故至少存在一點ξ∈(0，1)，使即知識點解析：暫無解析12、設f(x)在區(qū)間[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內可導，且f(1)=0．證明：至少存在一點ξ∈(0，1)，使(1+ξ2)(arctanξ)f′(ξ)=－1．標準答案：令F(x)=ef(x)arctanx，x∈[0，1]則由定積分中值定理，存在使即F(x0)=F(1)．顯然F(x)在[x0，1]上滿足羅爾定理條件，故至少存在一點ξ∈(x0，1)(0，1)，使F′(ξ)=0，即(1+ξ)(arctanξ)f′(ξ)=－1．知識點解析：暫無解析設函數f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內可導，且f(0)=0，f(1)=1，證明：13、至少存在一點ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=1－ξ；標準答案：令r(x)=f(x)+x－1，x∈[0，1]，則由已知F(x)在[0，1]上連續(xù)，且F(0)=－1，F(1)=1．根據介值定理，至少存在一點ξ∈(0，1)，使得，(ξ)=0，即f(ξ)=1－ξ.知識點解析：暫無解析14、存在兩個不同的點η，ζ∈(0，1)，使得f′(η)f′(ζ)=1．標準答案：根據已知條件，對f(x)在[0，ξ]，[ξ，1]上分別用拉格朗日中值定理，有將上題的結論代入，得知識點解析：暫無解析15、設f(x)在[a，b](a＞0)上連續(xù)，在(a，b)內可導，且f(a)=f(b)=1，證明存在ξ，η∈(a，b)使標準答案：令F(x)=xnf(x)，在[a，b]上應用拉格朗日中值定理，則ξ∈(a,b)，使再對G(x)=xn在[a，b]上應用拉格朗日中值定理，則η∈(a，b)，使從而nηn-1=nξ－f(ξ)+ξnf′(ξ)，即知識點解析：暫無解析設函數f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內可導，且f′(x)＞0，如果存在，證明：16、f(x)＞0，x∈(a，b)；標準答案：由于f(x)在[a，b]上連續(xù)，所以又f′(x)＞0，故f(x)單調遞增，對x∈(a，b)，有f(x)＞f(a)=0．知識點解析：暫無解析17、存在ξ∈(a，b)，使得標準答案：對函數g(x)=x2和在[a，b]上利用柯西中值定理，存在ξ∈(a，b)，使知識點解析：暫無解析18、存在與上題中ξ不同的η∈(a，b)，使得標準答案：在[a，ξ]上由拉格朗日中值定理，存在η∈(a，ξ)，使得f(ξ)=f′(η)(ξ－a)，再由上題的結論可得知識點解析：暫無解析19、設f(x)，g(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內可導，且g(a)=g(b)=1，f′(x)≠0．證明存在ξ，η∈(a，b)，使標準答案：對φ(x)=exg(x)和f(x)在[a，b]上應用柯西中值定理，則ξ∈(a，b)，使再對ψ(x)=ex和f(x)在[a，b]上應用柯西中值定理，則η∈(a，b)，使于是即知識點解析：暫無解析20、設函數f(x)在區(qū)間[－1，1]上有三階連續(xù)導數，且f(－1)=0，f(1)=1，f′(0)=0，證明：在(－1，1)內至少存在一點ξ，使得f′"(ξ)=3．標準答案：將f(x)在x=0處展成泰勒公式，當x=±1時，有上面兩式相減得f′"(η1)+f′"(η2)=6．由f′"(x)的連續(xù)性知，f′"(x)在[η2，η1]上有最大值M和值小值m，則再由連續(xù)函數的介值定理知，至少存在ξ∈[η2，η1](－1，1)，使知識點解析：暫無解析設y=f(x)在(－1，1)內具有二階連續(xù)導數，且f"(x)≠0，試證：21、對(－1，1)內的任一x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使f(x)=f(0)+xf′(θ(x)x)成立；標準答案：對(－1，1)內任一x≠0，由拉格朗日中值定理知，θ(x)∈(0，1)，使f(x)=f(0)+xf′[θ(x)x]．因為f"(x)在(－1，1)內連續(xù)且f"(x)≠0，所以f"(x)在(－1，1)內不變號，即f′(x)單調，故θ(x)是唯一的．知識點解析：暫無解析22、標準答案：再由泰勒公式知，存在介于0與x之間的ξ，使從而知識點解析：暫無解析23、討論方程的實根個數．標準答案：設f′(x)=e－x(1－x)．令f′(x)=0，得x=1．因此，x=1是f(x)在(－∞，+∞)上唯一極大值點，極大值是又且x＜1時，f′(x)＞0，x＞1時f′(x)＜0，所以f(x)在(－∞，1)與(1，+∞)上各有一個零點．綜上所述，方程有且僅有兩個實根．知識點解析：暫無解析24、已知f(x)在(－∞，+∞)內可導，且求c的值．標準答案：若c=0，則若c≠0，則由拉格朗日中值定理，有f(x)－f(x－1)=f′(ξ)·1，ξ介于x－1與x之間．當ξ→+∞時，ξ→∞，故于是，由題設條件可得e2c=e，故知識點解析：暫無解析25、設a＞1，n為正整數，證明：標準答案：對f(x)=ax在上用拉格朗日中值定理，有其中因為所以知識點解析：暫無解析26、設f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內可導，且f(a)=f(b)，f(x)不恒為常數，證明：在(a，b)內至少存在一點ξ，使得f′(ξ)＞0．標準答案：因f(a)=f(b)，且f(x)不恒為常數，所以至少存在一點c∈(a，b)，使f(c)≠f(a)=f(b)．不妨設f(c)＞f(a)，則在[a，c]上由拉格朗日中值定理，至少存在一點ξ∈(a，c)(a，b)，使得知識點解析：暫無解析27、設f(x)在(－∞，+∞)內二階可導，且f"(x)＞0，f(0)=0，證明：在(－∞，0)和(0，+∞)都是單調增加的．標準答案：x≠0．令g(x)=xf′(x)－f(x)，g(0)=－f(0)=0，g′(x)=f′(x)+xf"(x)－f′(x)=xf"(x)，g′(0)=0，當x＜0時g′(x)＜0；當x＞0時g′(x)＞0．故g(0)=0是g(x)的最小值，所以當x≠0時，g(x)＞g(0)=0，從而φ′(x)＞0，即φ(x)在(－∞，0)和(0，+∞)都是單調增加的．知識點解析：暫無解析28、設函數f(x)在區(qū)間[0，+∞)上連續(xù)且單調增加，證明在[0，+∞)上也單調增加．標準答案：即g(x)在x=0處是右連續(xù)的．當x＞0時，又f(x)在[0，+∞)上單調增加，所以f(x)＞f(ξ)，從而g′(x)＞0，故g(x)在[0，+∞)上單調增加．知識點解析：暫無解析29、判斷函數的單調性．標準答案：函數f(x)的定義域為[．∞，－1)∪(0，+∞)．又令當x＜－1時，φ′(x)＞0，從而φ(x)單調增加．當x＞0時，φ′(x)＜0，從而φ(x)單調減少．\知識點解析：暫無解析30、求函數的極值．標準答案：令y′=0，得駐點x=0和x=－1，列表有即函數的極大值為極小值為知識點解析：暫無解析考研數學三（一元函數微分學）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設，其中g(x)為有界函數，則f(x)在x=0處()．A、極限不存在B、極限存在，但不連續(xù)C、連續(xù)，但不可導D、可導標準答案：D知識點解析：因為f(0+0)==0，f(0)=f(0-0)=x2g(x)=0，所以f(x)在x=0處連續(xù)；即f’+(0)=0，即f’-(0)=0，因為f’+(0)-=f’-(0)=0，所以f(x)在x=0處可導，應選D．2、設函數則f(x)在點x=0處()．A、不連續(xù)B、連續(xù)但不可導C、可導但導數不連續(xù)D、導數連續(xù)標準答案：D知識點解析：因為f(x)=0，f(x)=f(0)=0，所以f(x)在x=0處連續(xù)；由得f(x)在x=0處可導，且f’(0)=0；當x＞0時，f’(x)=3x2sin；當x＜0時，f’(x)=2x，因為f’(x)=f’(0)，所以f(x)在x=0處導數連續(xù)，選D．3、若f(-x)=-f(x)，且在(0，+∞)內f’(x)＞0，f’’(x)＞0，則在(-∞)，0)內()．A、f’(x)＜0，f’’(x)＜0B、f’(x)＜0，f’’(x)＞0C、f’(x)＞0，f’’(x)＜0D、f’(x)>0，f’’(x)＞0標準答案：C知識點解析：因為f(x)為奇函數，所以f’(x)為偶函數，故在(-∞，0)內有f’(x)＞0．因為f’’(x)為奇函數，所以在(-∞，0)內f’’(x)＜0，選C．4、設f(x)連續(xù)，且F(x)=f(t)dt，則F’(x)=()．A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：F’(x)=f(lnx).(lnx)’-，選A．二、填空題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)5、設y=(1+2x)sin2x，則=______.標準答案：(1+2x)sin2x.[sin2x.ln(1+2x)+]知識點解析：由y=esin2xln(1+2x)得=esin2xln(1+2x).[2sinx.cosx.ln(1+2x)+sin2x.]=(1+2x)sin2x.[sin2x.ln(1+2x)+]6、設f(x)連續(xù)，且=_____.標準答案：-3π知識點解析：由得f(1)=2，則于是f’(1)=-π，故=3f’(1)=-3π．7、設函數y=y(x)由方程exy=x2+y2+1確定，則=______.標準答案：知識點解析：exy=x2+y2+1兩邊對x求導得exy.(y+)=2x+2y.解得8、曲線ex+y-sin(xy)=e在點(0，1)處的切線方程為______．標準答案：知識點解析：ex+y-sin(xy)=e兩邊對x求導得ex+y.(1+y’)-cos(xy).(y+xy’)=0，將x=0，y=1代入得y’(0)=故所求的切線方程為9、設，則y(n)=______．標準答案：知識點解析：則y(n)=10、設，則y’’=_______．標準答案：知識點解析：11、設函數y=y(x)由arctan=_______.標準答案：知識點解析：兩邊對x求導得解得12、設f(x)連續(xù)且=________.標準答案：36知識點解析：由得f(a)=2，f’(a)=3，于是=2f(a).3f’(a)=6f(a)f’(a)=36．13、設且f’(0)存在，則a=________，b=_______，c=_______．標準答案：2；2；-2知識點解析：f(0+0)=f(x)=a，f(0)=2，f(0-0)=c，因為f(x)在x=0處連續(xù)，所以f(0+0)=f(0)=f(0-0)，從而a=2，c=2，即f’+(0)f’-(0)==b，因為f(x)在x=0處可導，即f’+(0)=f’-(0)，故b=-2．14、設f(x)連續(xù)，則∫0xf(2x-t)dt=______．標準答案：2f(2x)-f(x)知識點解析：由∫0xf(2x-t)dt∫2xxf(u)(-du)=∫x2xf(u)du得∫0xf(2x-t)dt=∫x2xf(u)du=2f(2x)-f(x)．15、設f(x)連續(xù)，且f(0)=f’(0)=1，則=______.標準答案：2知識點解析：16、設f(x)=ln(2x2-x-1)，則f(n)(x)=________．標準答案：知識點解析：f(x)=ln[(2x+1)(x-1)]=ln(2x+1)+ln(x-1)，f’(x)=f(n)(x)17、=_______.標準答案：知識點解析：由得三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)18、求下列導數：(1)設xy=yx，求(2)設標準答案：(1)由xy=yx得ylnx=xlny，兩邊對x求導得(2)兩邊對x求導得知識點解析：暫無解析19、設，討論f(x)在x=0處的可導性．標準答案：則f’-(0)=1，f’+(0)=0，因為f’-(0)≠f’+(0)，所以f(x)在x=0處不可導．知識點解析：暫無解析20、設f(x)=g(s+bx)-g(a-bx)，其中g’(a)存在，求f’(0)．標準答案：知識點解析：暫無解析21、設，求y’．標準答案：知識點解析：暫無解析22、設f(x)=x(x-1)(x+2)(x-3)…(x+100)，求f’(0)．標準答案：由f’(x)=(x-1)(x+2)…(x+100)+x(x+2)…(x+100)+…x(x-1)…(x-99)得f’(0)=(-1)×2×(-3)×…×100-100!．知識點解析：暫無解析23、(1)設y=y(x)由方程ey+6xy+x2-1=0確定，求y’’(0)．(2)設y=y(x)是由exy-x+y-2=0確定的隱函數，求y’’(0)．標準答案：(1)將x=0代入已知方程得y=0，ey+6xy+x2-1=0兩邊對x求導得將x=0，y=0代入上式得y’(0)=0．兩邊再對x求導得將x=0，y=0，y’(0)=0代入上式得y’’(0)=-2．(2)當x=0時，y=1，exy-x+y-2=0兩邊對x求導得exy(y+xy’)-1+y’=0，解得y’(0)=0；exy(y+xy’)-1+y’=0兩邊對x求導得exy(y+xy’)2+exy(2y’+xy’’)+y’’=0，解得y’’(0)=-1．知識點解析：暫無解析24、(1)求∫0x2xf(x-t)dt．(2)設，求df(x)｜x=1．(3)設F(x)=∫0xdy∫0y2，求F’’(x)．標準答案：(1)由∫0x2xf(x-t)dt=x∫0x2f(x-t)dtx∫0x-x2f(u)(-du)=x∫x-x2xf(u)du得∫0x2xf(x-t)dt=∫x-x2xf(u)du+x[f(x)-(1-2x)f(x-x2)]．(2)由f(x)==xex得f’(x)=(x+1)ex，從而f’(1)=2e，故df(x)｜x=1=2edx．(3)F’(x)=∫0x2dt，F’’(x)=知識點解析：暫無解析25、設，求f(n)(x)．標準答案：令由A(2x+1)+B(x-2)=4x-3得解得A=1，B=2，即知識點解析：暫無解析26、設f(x)連續(xù)，且對任意的x，y∈(-∞，+∞)有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，f’(0)=1，求f(x)．標準答案：當x=y=0時，f(0)=2f(0)，于是f(0)=0．對任意的x∈(-∞，+∞)，則f(x)=x2+x+C，因為f(0)=0，所以C=0，故f(x)=x+x2．知識點解析：暫無解析27、設f(x)在x=a處二階可導，證明：標準答案：知識點解析：暫無解析28、設f(x)連續(xù)，且g(x)=∫0xx2f(x-t)dt，求g’(x)．標準答案：g(x)=-x2∫0xf(x-t)d(x-t)=-x2∫x0f(u)du=x2∫0xf(u)du，g’(x)=2x∫0xf(u)du+x2f(x)．知識點解析：暫無解析29、設f(x)在[a，b]上有定義，M＞0且對任意的x，y∈[a，b]，有｜f(x)-f(y)｜≤M｜x-y｜k.(1)證明：當k＞0時，f(x)在[a，b]上連續(xù)；(2)證明：當k＞1時，f(x)≡常數．標準答案：(1)對任意的x0∈[a，b]，由已知條件得0≤｜f(x)-f(x0)｜≤M｜x-x0｜k，f(x)=f(x0)，再由x0的任意性得f(x)在[a，b]上連續(xù)．(2)對任意的x0∈[a，b]，因為k＞1，所以0≤≤M｜x-x0｜k-1，由夾逼定理得f’(x0)=0，因為x0是任意一點，所以f’(x)≡0，故f(x)≡常數．知識點解析：暫無解析30、設對一切的x，有f(x+1)=2f(x)，且當x∈[0，1]時f(x)=x(x2-1)，討論函數f(x)在x=0處的可導性．標準答案：當x∈[-1，0]時，f(x)=f(x+1)=(x+1)(x2+2x)，f’-(0)==1，f’+(0)==-1．因為f’-(0)≠f’+(0)，所以f(x)在x=0處不可導.知識點解析：暫無解析31、設∫1y-x2et2dt=∫0xcos(x-t)2dt確定y為x的函數，求標準答案：∫0xcos(x-t)2dt∫x0cosu2(-du)=∫0xcost2dt，等式∫1y-x2et2dt=∫0xcost2dt兩邊對x求導，得e(y-x2)2.=cosx2，于是=2x+e-(y-x2)2cosx2．知識點解析：暫無解析32、設求f’(x)．標準答案：當｜x｜＜1時，f’(x)=當x＜-1時，f’(x)=-1；當x＞1時，f’(x)=1；又，則f(x)在x=-1處不連續(xù)，故也不可導．由f(1+0)=f(1-0)=f(1)=0得f(x)在x=1處連續(xù)．因為所以f(x)在x=1處也不可導，故知識點解析：暫無解析33、設f(x)在(-∞，+∞)上連續(xù)，f’(0)=1，且對任意的x，y∈(-∞，+∞)有f(x+y)=f(x)f(y)，求f(x)．標準答案：由f(0)=f2(0)得f(0)=0或f(0)=1，若f(0)=0，則對任意的x∈(-∞，+∞)，有f(x)=f(x)f(0)=0，則f’(x)≡0，與f’(0)=1矛盾，從而f(0)=1，于是f’(x)=f(x)=f(x)f’(0)=f(x)，即f’(x)-f(x)=0，解得f(x)=Ce-∫-dx=Cex，由f(0)=1得C=1，故f(x)=ex．知識點解析：暫無解析考研數學三（一元函數微分學）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設函數f(x)在x=0的某鄰域內連續(xù)，且則在x=0處f(x)()A、不可導．B、可導，且f′(0)≠0．C、取極大值．D、取極小值.標準答案：C知識點解析：因為f(x)在x=0處連續(xù)，所以又故存在x=0的某個鄰域U(0，δ)，對任意x∈U(0，δ)，由極限保號性即f(x)＜0=f(0)．由極值定義，應選C．2、設函數f(x)在點x0的某鄰域內具有一階連續(xù)導數，則()A、f(x0)是f(x)的極小值．B、f(x0)是f(x)的極大值．C、(x0，f(x0))是曲線y=f(x)的拐點．D、f(x0)不是f(x)的極值，(x0，f(x0))也不是曲線y=f(x)的拐點．標準答案：A知識點解析：由于由極限的保號性，存在x0的某個鄰域(x0-δ，x0+δ)(δ＞0)，當x∈(x0－δ，x0+δ)，有當x0－δ＜x＜x0時，f′(x)＜0，當x0＜x＜x0+δ時，f′(x)＞0，故f(x)在x=x0處取極小值，從而應選A．3、設y=f(x)是滿足微分方程y"－y′－esinx=0的解，且f′(x0)=0，則f(x)在()A、x0的某個鄰域內單調增加．B、x0的某個鄰域內單調減少．C、x0處取得極小值．D、x0處取得極大值．標準答案：C知識點解析：由已知條件知f"(x)-f′(x)=esinx，從而f"(x0)-f’(x0)=esinx0．又f′(x0)=0，從而f"(x0)=esinx0＞0，由極值的第二充分條件，f(x)在x0處取極小值，因此應選C．4、設函數f(x)具有連續(xù)的二階導數，且點(0，f(0))是函數y=f(x)對應曲線的拐點，則A、0．B、2．C、f′(0)．D、2f′(0)．標準答案：A知識點解析：又f(x)有連續(xù)的二階導數，故原極限==f"(0)=0，從而應選A．5、已知函數f(x)二階可導，曲線y=f"(x)的圖形如圖2—3所示，則曲線y=f(x)()A、在(－∞，0)內是凹的，在(0，+∞)內是凸的，有一個拐點．B、在(－1，0)，(1，2)內是凹的，在其他區(qū)間是凸的，有三個拐點．C、在(－1，0)，(0，1)，(2，+∞)內是凸的，在其他區(qū)間是凹的，有三個拐點．D、在(－1，0)，(1，2)內是凹的，在其他區(qū)間是凸的，有四個拐點．標準答案：D知識點解析：由圖形得表格如下由表格知，y=f(x)在(－1，0)和(1，2)內是凹的，在(－∞，－1)，(0，1)和(2，+∞)內是凸的，共有四個拐點，故應選D．6、設函數f(x)滿足關系式f"(x)+[f′(x)]2=x，且f′(0)=0，則()A、f(0)是f(x)的極大值．B、f(0)是f(x)的極小值．C、(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點．D、f(0)不是f(x)的極值，點(0，f(0))也不是曲線y=f(x)的拐點．標準答案：C知識點解析：將x=0代入已知方程，得f"(0)=0．由于故在x=0的充分小的鄰域U(0，δ)內，有且－δ＜x＜0時，f"(x)＜0，0＜x＜δ時f"(x)＞0，從而(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點，應選C．7、曲線的漸近線條數為()A、0．B、1．C、2．D、3．標準答案：C知識點解析：因為故曲線有水平漸近線y=1．又故x=－1為鉛直漸近線，即曲線有兩條漸近線，應選C．8、設f(x)=ln|(x－)(x－2)(x－3)|，則方程f′(x)=0的根的個數為()A、0．B、1．C、2．D、3．標準答案：C知識點解析：因為當u(x)＞0時，函數u(x)與lnu(x)有相同的駐點，而y=|(x－1)(x－2)(x－3)|有兩個駐點，所以f(x)也有兩個駐點，故應選C．二、解答題(本題共22題，每題1.0分，共22分。)9、設求f(x)的極值．標準答案：不存在．令f′(x))=0，得當時，f′(x)＜0，當時，f′(x)＞0，所以為極小值．由極限的保號性知，當x∈(0，δ)時，f(x)＜f(0)=2；而x＜0時，f(x)單調增加，f(x)＜f(0)=2．從而f(0)=2為極大值．知識點解析：暫無解析10、設y=y(x)是由方程2y3－2y2+2xy－x2=1所確定的函數，求y=y(x)的極值．標準答案：在方程兩端對x求導數，得6y2y′－4yy"+2xy′+2y-2x=0，①令y′=0，得x=y，代入原方程得x=1，y=1．在式①兩邊再對x求導數，得12yy′2+6y2y"-4y′2－4yy"+2xy+4y′一2=0，以x=1，y=1，y==0代入，得知x=1時y=y(x)有極小值y=1．知識點解析：暫無解析設y=f(x)有二階連續(xù)導數，且滿足xy"+3xy′2=1－e－x．11、若f(x)在x=c(c≠0)處取得極值，證明f(c)是極小值．標準答案：因f(c)是極值，故y/(c)=0，代入方程，得從而f(c)是極小值．知識點解析：暫無解析12、若f(x)在x=0處取得極值，問f(0)是極小值還是極大值?標準答案：當x≠0時，由y′，y"連續(xù)及y′(0)=0，有從而f(0)是極小值．知識點解析：暫無解析13、若f(0)=f′(0)=0，證明x＞0時，標準答案：當x＞0時，下面證明即x＞1－e-x．令φ(x)=x－1+e－x，有φ′(x)=1－e－x＞0(x＞0)，而φ(0)=0，所以φ(x)＞φ(0)=0，即從幣f"(x)＜1．由泰勒公式，ξ∈(0，x)，使知識點解析：暫無解析14、設a＞1，f(t)=at--at在(一∞，+∞)內的駐點為t(a)．問a為何值時，t(a)最小?并求出最小值．標準答案：由f′(t)=atlna－a=0，得唯一駐點又得唯一駐點a=ee．當a＞ee時，t′(a)＞0；當a＜ee時，t′(a)＜0，因此為極小值，從而也是最小值．知識點解析：暫無解析15、設直線y=ax與拋物線y=x2所圍成的圖形的面積為S1，它們與直線x=1所圍成的圖形面積為S2，并且a＜1．試確定a的值，使S=S1+S1達到最小，并求出最小值．標準答案：當0＜a＜1時，如圖2—1所示，令S′=0，得則是極小值，也是最小值，此時當a≤0時，如圖2—2所示，故S單調減少，a=0時，S取最小值，此時綜上所述，當時，S取最小值，此時知識點解析：暫無解析16、作函數的圖形．標準答案：(1)函數的定義域為(－∞，1)∪(1，+∞)．(2)令f′(x)=0，得駐點x=－1，x=3．因f"(x)=0無解，故沒有拐點．(3)因為所以x=1是f(x)的鉛直漸近線．又所以是f(x)的斜漸近線．(5)極大值點(－1，－2)，極小值點(3，0)，而(6)作圖2—4．知識點解析：暫無解析17、證明：當時，標準答案：【證法1】令則當時，f"(x)＜0，即曲線y=f(x)在上為凸的．又f(0)=0，故當時，曲線y=f(x)在連接兩點(0，0)和的弦的上方，從而f(x)＞0，即【證法2】令則f′(x)的符號由分子決定．因為所以xcosx－sinx單調減少，有xcosx－sinx＜0·cos0－sin0=0．即故f(x)在上單調減少，即知識點解析：暫無解析18、設x≥0，證明標準答案：設f(x)