初中數(shù)學(xué)++直線與圓的位置關(guān)系（第2課時）+九年級數(shù)學(xué)上冊（青島版）

3.4直線與圓的位置關(guān)系第2課時青島版九年級上冊第3章——對圓的進(jìn)一步認(rèn)識學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.判定一條直線是否是圓的切線并會過圓上一點作圓的切線.2.理解并掌握圓的切線的判定定理及性質(zhì)定理.3.能運(yùn)用圓的切線的判定定理和性質(zhì)定理解決問題.重點：理解并掌握圓的切線的判定定理及性質(zhì)定理.難點：利能運(yùn)用圓的切線的判定定理和性質(zhì)定理解決問題.轉(zhuǎn)動雨傘時飛出的雨滴，用砂輪磨刀時擦出的火花，都是沿著什么方向飛出的？生活中?？吹角芯€的實例，如何判斷一條直線是否為切線呢？學(xué)完這節(jié)課，你就都會明白.一、課堂導(dǎo)入切線切點回顧直線與圓相切：.O直線與圓相切.判斷直線和圓相切有哪兩種辦法？1.

和圓有且只有一個公共點的直線是圓的切線.定義法：2.圓心到直線的距離等于半徑的直線是圓的切線.數(shù)量法（d=r

）：直線與圓的位置關(guān)系定義判定方法相離相交相切形數(shù)公共點的個數(shù)圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系常添加的輔助線：作圓心到直線的距離0個相離1個相切2個相交d＞r相離d＝r相切d＜r相交直線何時變?yōu)榍芯€

如圖,AB是⊙O的直徑,直線CD經(jīng)過點A,CD與AB的夾角為∠α,當(dāng)CD繞點A旋轉(zhuǎn)時,你能寫出一個命題來表述這個事實嗎?1.隨著∠α的變化,點O到CD的距離如何變化?直線CD與⊙O的位置關(guān)系如何變化?2.當(dāng)∠α等于多少度時,點O到CD的距離等于半徑?此時,直線CD與⊙O有怎樣的位置關(guān)系?

為什么?CD二、探究新知1.直線AB經(jīng)過半徑OA的外端點A.2.直線AB垂直于半徑OA.切線的判定定理經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.ABCＯ應(yīng)用格式：∵OA⊥AB∴直線AB是⊙O的切線.OA是半徑，于A注意：∵OA為⊙O的半徑OA⊥l于A∴l(xiāng)為⊙O的切線◆經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.切線的判定定理OlA◆使用格式：P97？你能證明這一定理嗎？1.判斷下列命題是否正確.

⑴經(jīng)過半徑外端的直線是圓的切線.()⑵垂直于半徑的直線是圓的切線.()

⑶過半徑的端點與半徑垂直的直線是圓的切線.()⑷和圓只有一個公共點的直線是圓的切線.()⑸過直徑一端點且垂直于直徑的直線是圓的切線.()×××利用判定定理時，要注意直線須具備以下兩個條件，缺一不可:(1)直線經(jīng)過半徑的外端;(2)直線與這半徑垂直.√√已知一個圓和圓上的一點，如何過這個點畫出圓的切線？l.O.A第一步：連接OA;第二步：過A點作OA的垂線l.【判斷】下列各直線是不是圓的切線?如果不是,請說明為什么?AO(3)OA(1)OAB(2)(1)不是,因為沒有垂直.(2)(3)不是,因為沒有經(jīng)過半徑的外端點A.1.定義法：直線和圓只有一個公共點時，我們說這條直線是圓的切線;2.數(shù)量關(guān)系法：圓心到這條直線的距離等于半徑(即d=r)時，直線與圓相切；3.判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。lAlOlrd歸納：判斷一條直線是一個圓的切線有三種方法：例1、如圖，點D在⊙O的直徑AB的延長線上，點C在⊙O上，AC=CD,∠D=300求證：CD是⊙O的切線OABCD對學(xué)討論：分析題目，結(jié)合切線關(guān)鍵詞，寫下證明過程?？谠E：有公共點，連半徑，證垂直證明：連接OC.∵AC=CD，∠D=300∴∠CAB=∠D=300.∵OA=OC，∴∠OCA=∠CAB=300.∴∠COD=600.∴在△OCD中，∴∠OCD=1800-600-300=900.∴OC⊥CD.∵OC為⊙O半徑，且OC⊥CD.

∴CD為⊙O的切線.OABCD例2：如圖，以點D為圓心，DB長為半徑作⊙D．∠ABC=90°，∠BAC的平分線交BC于點D，求證：AC是⊙D的切線．群學(xué)討論：1、結(jié)合切線關(guān)鍵詞，分析題目，并寫下證明過程。2、合理分工，上臺板書并展示口訣：無公共點，作垂直，證半徑證明：過點D作DE⊥AC于E∵∠ABC=90°，∴DB⊥AB∵AD平分∠BAC,DB⊥AB，DE⊥AC，∴DB=DE∴DE為⊙D的半徑，且DE⊥AC∴

AC是⊙D的切線E(1)有交點，連半徑,證垂直;(2)無交點，作垂直,證半徑.證切線時輔助線的添加方法例1例2有切線時常用輔助線添加方法

見切點，連半徑，得垂直.常見輔助線的添加方法

改變切線判定定理的題設(shè)與結(jié)論：

如果直線l是⊙O的切線，切點為A,那么半徑OA與直線l是不是一定垂直呢？切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點的半徑.∵直線l切⊙O于點Ａ，∴OA⊥l幾何符號表達(dá)：l.O.A反證法思考證明：（1）假設(shè)AB與CD不垂直,過點O作一條直線垂直于CD,垂足為M；（2）則OM<OA,即圓心到直線CD的距離小于⊙O的半徑,因此,CD與⊙O相交.這與已知條件“直線與⊙O相切”相矛盾；CDBOA（3）所以⊙O的半徑OA與直線CD垂直.M如圖，直線CD與⊙O相切，求證：⊙O的半徑OA與直線CD垂直.反證法證明切線的性質(zhì)1.圓的切線和圓只有一個公共點.2.圓心到切線的距離等于半徑.3.圓的切線垂直于過切點的半徑.切線的性質(zhì)歸納

如圖，△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點，腰AB與⊙O相切于點D.求證：AC是⊙O的切線.

例3.OADBCE證明：連接OD,作OE⊥AC

于E.∴∠OEC=90°.∵AB是⊙O的切線,∴OD⊥AB.∴∠ODB=90°=∠OEC.∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵O是BC的中點，∴OB=OC.∴△OBD≌△OCE(AAS),∴OD=OE.

∴AC與⊙O相切.證明：如圖，過O作OE⊥AC,垂足為E,連接OD，OA,∵⊙O與AB相切于E

，∴OD⊥AB.又∵△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點．∴AO平分∠BAC，EBOCDA∴OE＝OD，

即OE是⊙O半徑.∴AC是⊙O的切線．方法二：(1)有交點，連半徑,證垂直;(2)無交點，作垂直,證半徑.證切線時輔助線的添加方法有切線時常用輔助線添加方法見切點，連半徑，得垂直.切線的其他重要結(jié)論(1)經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點;(2)經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.要點歸納◆判定定理◆性質(zhì)定理知切線，得垂直證垂直，得切線l為⊙O的切線找可能切點連半徑證垂直找切點連半徑得垂直1.如圖，以O(shè)為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB是小圓的切線，點P為切點，求證：AP＝BP.

證明：連接OP.∵AB切⊙O于點P，∴OP⊥AB.∴AP=BP(垂徑定理).三、課堂練習(xí)2.如圖,∠ABC=45°，AB是☉O上的直徑，直線AC交☉O點A,且AB=AC.求證：AC是☉O的切線.解析：直線AC經(jīng)過半徑的一端，因此只要證OA垂直于AB即可.證明：∵AB=AC，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝∠ABC＝45°.∴∠BAC=180°-∠ABC-ACB=90°.∵AB是☉O的直徑，∴AC是☉O的切線.AOCB3.如圖，AB是⊙O的直徑,∠B=∠CAD.求證：AC是⊙O的切線.證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠BDA=90°.∴∠B+∠BAD=90°.又∵∠B=∠CAD.∴∠CAD+∠BAD=∠BAC=90°.∵AC過點A,∴AC是⊙O的切線.4.已知：直線AB經(jīng)過⊙O上的點C，并且OA=OB，CA=CB.求證：直線AB是⊙O的切線.OBAC證明：連接OC.

∵OA＝OB,CA＝CB,

∴OC是等腰三角形OAB底邊AB上的中線.∴AB⊥OC.

∵OC是⊙O的半徑,∴AB是⊙O的切線.OABCEP證明：連接OP.∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，∴∠OPB=∠C.∴OP∥AC.∵PE⊥AC，∴PE⊥OP.∴PE為⊙O的切線.5.如圖,△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交邊BC于P，PE⊥AC于E.求證:PE是⊙O的切線.6.如圖,AB=AC,AB是⊙O的直徑,⊙O交BC于D,DM⊥AC于M.求證:DM與⊙O相切OCDMBA∴DM與⊙O相切．證法一：連接OD.∵AB=AC,∵OB=OD,∴∠BDO=∠C,∵DM⊥AC,∴∠B=∠C.∴∠BDO=∠B.∴OD∥AC.∴DM⊥OD.證法二：連接OD,AD.∴DM是⊙O的切線.∵AB是⊙O的直徑,∵AB=AC,∵OB=OA,∵DM⊥AC,∴AD⊥BC.∴BD=CD.∴OD∥AC.∴OD⊥DM.7.如圖，AB是⊙O的直徑,AC是弦,∠BAC的平分線AD交⊙O于點D，DE是⊙O的切線,交AC的延長線于點E.求證：DE⊥AC.

證明：連接OD.∵AD是∠BAC的平分線,∴∠EAD=∠DAO.又∵OA=OD.∴∠DAO=∠ODA.∴∠ODA=∠EAD.∴OD∥AC.又∵DE是⊙O的切線,∴∠ODE=90°.∴∠E=90°.即DE⊥AC.切線的判定方法定義法數(shù)量關(guān)系法判定定理1個公共點，則相切d=r，則相切經(jīng)過圓的半