2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章平面向量初步測評新人教B版必修第二冊

PAGEPAGE1第六章測評(時(shí)間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分)1.(多選)若四邊形ABCD是矩形,則下列命題中正確的是()A.AB與CDB.AC與C.AD與CBD.AB與答案ACD解析∵四邊形ABCD是矩形,∴AB=DC,故A,D正確;AC=BD但AC與BD的方向不同,故B不正確;AD=CB且AD∥CB2.在五邊形ABCDE中(如圖),AB+BC-DCA.AC B.ADC.BD D.BE答案B解析∵AB+3.(多選)已知兩點(diǎn)A(2,-1),B(3,1),與AB平行且方向相反的向量a可能是()A.a=(-1,-2) B.a=(9,3)C.a=(-1,2) D.a=(-4,-8)答案AD解析∵AB=(1,2),∴a=(-1,-2)=-(1,2)=-AB,∴A正確.a=(-4,-8)=-4(1,2)=-4AB,∴D正確.4.已知A(x,2),B(5,y-2),若AB=(4,6),則x,y的值分別為()A.x=-1,y=0 B.x=1,y=10C.x=1,y=-10 D.x=-1,y=-10答案B解析∵A(x,2),B(5,y-2),∴AB=(5-x,y-4)=(4,6),∴5-x故選B.5.已知向量a,b不共線,實(shí)數(shù)x,y滿足(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b,則x-y的值為()A.3 B.-3 C.0 D.2答案A解析由原式可得3x-∴x-y=3.6.已知三個(gè)力f1=(-2,-1),f2=(-3,2),f3=(4,-3)同時(shí)作用于某物體上一點(diǎn),為使物體保持平衡,現(xiàn)加上一個(gè)力f4,則f4等于()A.(-1,-2) B.(1,-2)C.(-1,2) D.(1,2)答案D解析為使物體平衡,即合外力為零,即4個(gè)向量相加等于零向量,∴f4=(0-(-2)-(-3)-4,0-(-1)-2-(-3))=(1,2).7.已知向量a=(-1,2),b=(3,m),m∈R,則“m=-6”是“a∥(a+b)”的()A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件答案A解析充分性:若m=-6,a+b=(-1,2)+(3,-6)=(2,-4),則-12=2-4=-12,a=-12(a+b),可推出a∥(a+b),故充分性成立;必要性:若a∥(a+b),則a+b=ka,2+m=2k,2=-k,解得m=-6,故必要性成立;綜上所述,8.關(guān)于船從兩河岸平行的一岸駛向另一岸所用的時(shí)間,正確的是()A.船垂直到達(dá)對岸所用時(shí)間最少B.當(dāng)船速v的方向與河垂直時(shí)用時(shí)最少C.沿任意直線運(yùn)動(dòng)到達(dá)對岸的時(shí)間都一樣D.以上說法都不正確答案B解析根據(jù)向量將船速v分解,當(dāng)v垂直河岸時(shí),用時(shí)最少.9.若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),則用a,b表示c為()A.c=12a-32b B.c=-12aC.c=32a-12b D.c=-32a答案A解析設(shè)c=x1a+x2b,因?yàn)橄蛄縜=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),所以(-1,2)=(x1+x2,x1-x2),x解得x所以c=12a-32b10.已知AD,BE分別為△ABC的邊BC,AC上的中線,設(shè)AD=a,BE=b,則BC等于()A.43a+23B.23a+43C.23a-43D.-23a+4答案B解析由題意得BE=所以2BE=BA同理得2AD=AB+AC=-BA=-2BA+即2AD=-2BA+BC①×2+②得4BE+2AD=3BC,即4b+2a=3BC,所以BC=23a+4311.如圖所示,設(shè)P為△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),并且AP=14AB+12AC,則A.25 B.3C.34 D.答案D解析延長AP交BC于點(diǎn)D,因?yàn)锳,P,D三點(diǎn)共線,所以CP=mCA+nCD(m+n=1),設(shè)CD=kCB,代入可得CP=mCA+nkCB,即AP-AC=-mAC+nk(AB-AC)?AP=(1-m-nk)又因?yàn)锳P=14AB+12AC,即解得m=14,n=3所以CP=14CA+3因?yàn)椤鰾PC與△ABC有相同的底邊,所以面積之比就等于|DP|與|AD|之比,所以△BPC與△ABC的面積之比為14,故選D12.如圖,在同一個(gè)平面內(nèi),三個(gè)單位向量OA,OB,OC滿足條件:OA與OC的夾角為α,且tanα=7,OB與OC的夾角為45°.若OC=mOA+nOB(m,n∈A.3 B.32C.32 D.2答案B解析建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,由tanα=7知α為銳角,且sinα=7210,cosα=210,故cos(α+45°)=-35,sin(α+∴點(diǎn)B,C的坐標(biāo)為-3∴OB=又OC=mOA+nOB,∴210,7210∴m-3∴m+n=528+二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中橫線上)13.已知向量a=(2x+3,2-x),b=(-3-x,2x)(x∈R).則|a+b|的取值范圍為.

答案[2,+∞)解析因?yàn)閍+b=(x,x+2),所以|a+b|=x=2(所以|a+b|∈[2,+∞).14.設(shè)e1,e2為兩個(gè)不共線的向量,若a=e1+λe2與b=-(2e1-3e2)共線,則實(shí)數(shù)λ等于,此時(shí)a,b方向.(填“相同”或“相反”)

答案-32解析因?yàn)閍,b共線,所以由向量共線定理知,存在實(shí)數(shù)k,使得a=kb,即e1+λe2=-k(2e1-3e2)=-2ke1+3ke2.又因?yàn)閑1,e2不共線,所以1=-2k,λ=3k,解得λ=-32,k=-15.在△ABC中,點(diǎn)O在線段BC的延長線上,且|BO|=3|CO|,當(dāng)AO=xAB+yAC時(shí),x-y=.

答案-2解析由|BO|=3|CO|,得BO=3CO,則BO=所以AO==-12所以x=-12,y=3所以x-y=-12-316.如圖,正六邊形ABCDEF中,若AD=λAC+μAE(λ,μ∈R),則λ+μ的值為.

答案4解析連接EC交AD于點(diǎn)M,連接FC交AD于點(diǎn)O,如下圖:由題可得:O為AD的中點(diǎn),M為AD的一個(gè)四等分點(diǎn),且MD=14AD,M為EC所以AD=43AM=43×所以λ所以λ+μ=43三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)若OA=(sinθ,-1),OB=(2sinθ,2cosθ),其中θ∈0,π2,求|AB|的最大值.解∵AB=OB-OA=(sinθ|AB|=si=3co=3(cosθ∴當(dāng)cosθ=1,即θ=0時(shí),|AB|取得最大值3.18.(12分)設(shè)e1,e2是兩個(gè)不共線的向量,已知AB=2e1-8e2,CB=e1+3e2,CD=2e1-e2.(1)求證:A,B,D三點(diǎn)共線;(2)若BF=3e1-ke2,且B,D,F三點(diǎn)共線,求k的值.解(1)由已知得BD=CD-CB=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-∵AB=2e1-8e2,∴AB=2BD.又∵AB與BD有公共點(diǎn)∴A,B,D三點(diǎn)共線.(2)由(1)可知BD=e1-4e2,∵BF=3e1-ke2,且B,D,F三點(diǎn)共線,∴BF=λBD(λ∈R),即3e1-ke2=λe1-4λe2,即λ=3,-k19.(12分)在平行四邊形ABCD中,E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn),設(shè)AB=a,AD=b.(1)用a和b表示向量AE,(2)若AC=λAE+μAF,其中λ,μ∈R,求λ+μ的值.解(1)在平行四邊形ABCD中,AE=因?yàn)镋和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn),AB=a,AD=b,所以AE=12a+b,AF=a+(2)由(1)得AE+AF=32又∵AC=a+b,∴AC=又∵AC=λAE+μAF,∴λ=μ=23,∴λ+μ=420.(12分)已知三點(diǎn)A(a,0),B(0,b),C(2,2),其中a>0,b>0.(1)若O是坐標(biāo)原點(diǎn),且四邊形OACB是平行四邊形,試求a,b的值.(2)若A,B,C三點(diǎn)共線,試求a+b的最小值.解(1)因?yàn)樗倪呅蜲ACB是平行四邊形,所以O(shè)A=BC,即(a,0)=(2,2a=2,2-b=0,解得(2)因?yàn)锳B=(-a,b),BC=(2,2-b),由A,B,C三點(diǎn)共線,得AB∥所以-a(2-b)-2b=0,即2(a+b)=ab,因?yàn)閍>0,b>0,所以2(a+b)=ab≤a+即(a+b)2-8(a+b)≥0,解得a+b≥8或a+b≤0.因?yàn)閍>0,b>0,所以a+b≥8,即a+b的最小值是8.當(dāng)且僅當(dāng)a=b=4時(shí),“=”成立.21.(12分)在△ABC中,AM=(1)求△ABM與△ABC的面積之比;(2)若N為AB中點(diǎn),AM與CN交于點(diǎn)P,且AP=xAB+yAC(x,y∈R),求x+y解(1)在△ABC中,AM=4AM=3AB+AC,3(AM-AB即3BM=MC,即點(diǎn)M是線段BC靠近B故△ABM與△ABC的面積之比為14(2)因?yàn)锳M=AP=xAB+yAC(x,y∈R),所以x=3y,因?yàn)镹為AB的中點(diǎn),所以NP=AP-AN=x-12AB+yACCP=AP-AC=xAB+(y-1)AC,因?yàn)镹P∥CP,所以x-12(y-1)=xy即2x+y=1,又x=3y,所以x=37,y=17,所以x+y=22.(12分)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,向量m=(a,b),n=(cosA,cosB),p=(22sinB+C2,2sinA),若m∥n,|p(1)求角A,B,C的值;(2)若x∈0,π2,求函數(shù)f(x)=sinAsinx+cosBcosx的最大值與最小值.解(1)∵m∥n,∴acosB=bcosA,由正弦定理,得sinAcosB=sinBcosA,∴sin(A-B)=0,又-π<A-B<π,∴A=B,