2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第二章等式與不等式2.2.1不等式及其性質(zhì)練習(xí)含解析新人教B版必修第一冊(cè)

PAGE1-2.2.1最新課程標(biāo)準(zhǔn)：理解不等式的概念，掌握不等式的性質(zhì).知識(shí)點(diǎn)一實(shí)數(shù)大小比較1．文字?jǐn)⑹鋈绻鸻－b是正數(shù)，那么a>b；如果a－b等于0，那么a＝b；如果a－b是負(fù)數(shù)，那么a<b，反之也成立．2．符號(hào)表示a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a<b.eq\x(狀元隨筆)比較兩實(shí)數(shù)a，b的大小，只需確定它們的差a－b與0的大小關(guān)系，與差的具體數(shù)值無關(guān)．因此，比較兩實(shí)數(shù)a，b的大小，其關(guān)鍵在于經(jīng)過適當(dāng)變形，能夠確認(rèn)差a－b的符號(hào)，變形的常用方法有配方、分解因式等．知識(shí)點(diǎn)二不等式的性質(zhì)性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意1對(duì)稱性a>b?b<a可逆2傳遞性a>b，b>c?a>c3可加性a>b?a＋c>b＋c可逆4可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))?ac>bcc的符號(hào)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c<0))?ac<bc5同向可加性eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))?a＋c>b＋d同向6同向同正可乘性eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))?ac>bd同向7可乘方性a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)同正8可開方a>b>0?eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)同正eq\x(狀元隨筆)(1)性質(zhì)3是移項(xiàng)的依據(jù)．不等式中任何一項(xiàng)改變符號(hào)后，可以把它從一邊移到另一邊．即a＋b>c?a>c－b.性質(zhì)3是可逆性的，即a>b?a＋c>b＋c.(2)注意不等式的單向性和雙向性．性質(zhì)1和3是雙向的，其余的在一般情況下是不可逆的．(3)在應(yīng)用不等式時(shí)，一定要搞清它們成立的前提條件.不可強(qiáng)化或弱化成立的條件．要克服“想當(dāng)然”“顯然成立”的思維定勢(shì)．[基礎(chǔ)自測(cè)]1．大橋橋頭豎立的“限重40噸”的警示牌，是提示司機(jī)要安全通過該橋，應(yīng)使車和貨物的總質(zhì)量T滿足關(guān)系()A．T<40B．T>40C．T≤40D．T≥40解析：“限重40噸”是不超過40噸的意思．答案：C2．設(shè)M＝x2，N＝－x－1，則M與N的大小關(guān)系是()A．M>NB．M＝NC．M<ND．與x有關(guān)解析：因?yàn)镸－N＝x2＋x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0，所以M>N.答案：A3．已知x<a<0，則一定成立的不等式是()A．x2<a2<0B．x2>ax>a2C．x2<ax<0D．x2>a2>ax解析：因?yàn)閤<a<0，不等號(hào)兩邊同時(shí)乘a，則ax>a2；不等號(hào)兩邊同時(shí)乘x，則x2>ax，故x2>ax>a2.答案：B4．不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1>0,\f(1,2)x－3≤0))的解集為________．解析：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>－\f(1,2),x≤6))，∴－eq\f(1,2)<x≤6.答案：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，6))題型一比較大小[教材P61例2]例1比較x2－x和x－2的大?。窘馕觥恳?yàn)?x2－x)－(x－2)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，又因?yàn)?x－1)2≥0，所以(x－1)2＋1≥1>0，從而(x2－x)－(x－2)>0，因此x2－x>x－2.eq\x(狀元隨筆)通過考察這兩個(gè)多項(xiàng)式的差與0的大小關(guān)系，可以得出它們的大小關(guān)系.教材反思用作差法比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的四步曲跟蹤訓(xùn)練1若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，則f(x)與g(x)的大小關(guān)系是()A．f(x)<g(x)B．f(x)＝g(x)C．f(x)>g(x)D．隨x值變化而變化解析：f(x)－g(x)＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，所以f(x)>g(x)．故選C.答案：Ceq\x(作差)→eq\x(變形)→eq\x(判斷差的符號(hào))→eq\x(結(jié)合差的符號(hào)判定大小)題型二不等式的性質(zhì)[經(jīng)典例題]例2對(duì)于實(shí)數(shù)a、b、c，有下列說法：①若a>b，則ac<bc；②若ac2>bc2，則a>b；③若a<b<0，則a2>ab>b2；④若c>a>b>0，則eq\f(a,c－a)>eq\f(b,c－b)；⑤若a>b，eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，則a>0，b<0.其中正確的個(gè)數(shù)是()A．2B．3C．4D．5【解析】對(duì)于①，令c＝0，則有ac＝bc.①錯(cuò)．對(duì)于②，由ac2>bc2，知c≠0，∴c2>0?a>b.②對(duì)．對(duì)于③，由a<b<0，兩邊同乘以a得a2>ab，兩邊同乘以b得ab>b2，∴a2>ab>b2.③對(duì)．對(duì)于④，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(c>a>b>0?c－a>0，c－b>0,a>b?－a<－b?c－a<c－b))?0<c－a<c－b?eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,c－a)>\f(1,c－b)>0,a>b>0))?eq\f(a,c－a)>eq\f(b,c－b).④對(duì)．對(duì)于⑤，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b?a－b>0,\f(1,a)>\f(1,b)?\f(b－a,ab)>0))?eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(ab<0,a>b))?a>0，b<0.⑤對(duì)．故選C.【答案】Ceq\x(分析條件)→eq\x(利用不等式性質(zhì)逐一判斷)方法歸納(1)首先要注意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其是不憑想當(dāng)然隨意捏造性質(zhì)．(2)解決有關(guān)不等式選擇題時(shí)，也可采用特值法進(jìn)行排除，注意取值一定要遵循以下原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡(jiǎn)單，便于驗(yàn)證計(jì)算．跟蹤訓(xùn)練2(1)已知a<b，那么下列式子中，錯(cuò)誤的是()A.4a<4bB．－4a<－4C．a(chǎn)＋4<b＋4D．a(chǎn)－4<b－4(2)對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，c，d，下列命題中正確的是()A．若a>b，c≠0，則ac>bcB．若a>b，則ac2>bc2C．若ac2>bc2，則a>bD．若a>b，則eq\f(1,a)<eq\f(1,b)解析：(1)根據(jù)不等式的性質(zhì)，a<b,4>0?4a<4b，A項(xiàng)正確；a<b，－4<0?－4a>－4b，B項(xiàng)錯(cuò)誤；a<b?a＋4<b＋4，C項(xiàng)正確；a<b?a－4<(2)對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)c<0時(shí)，不正確；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)c＝0時(shí)，不正確；對(duì)于選項(xiàng)C，∵ac2>bc2，∴c≠0，∴c2>0，∴一定有a>b.故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)a>0，b<0時(shí)，不正確．答案：(1)B(2)C利用不等式的性質(zhì)，解題關(guān)鍵找準(zhǔn)使不等式成立的條件．題型三利用不等式性質(zhì)求范圍[經(jīng)典例題]例3已知－2<a≤3,1≤b<2，試求下列代數(shù)式的取值范圍：(1)|a|；(2)a＋b；(3)a－b；(4)2a－3b【解析】(1)|a|∈[0,3]；(2)－1<a＋b<5；(3)依題意得－2<a≤3，－2<－b≤－1，相加得－4<a－b≤2；(4)由－2<a≤3得－4<2a由1≤b<2得－6<－3b≤－3，②由①②得，－10<2a－3beq\x(狀元隨筆)運(yùn)用不等式性質(zhì)研究代數(shù)式的取值范圍，關(guān)鍵是把握不等號(hào)的方向．方法歸納利用不等式性質(zhì)求范圍的一般思路(1)借助性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同向不等式相加進(jìn)行解答；(2)借助所給條件整體使用，切不可隨意拆分所給條件；(3)結(jié)合不等式的傳遞性進(jìn)行求解．跟蹤訓(xùn)練3已知實(shí)數(shù)x，y滿足：1<x<2<y<3，(1)求xy的取值范圍；(2)求x－2y的取值范圍．解析：(1)∵1<x<2<y<3，∴1<x<2,2<y<3，則2<xy<6，則xy的取值范圍是(2,6)．(2)由(1)知1<x<2,2<y<3，從而－6<－2y<－4，則－5<x－2y<－2，即x－2y的取值范圍是(－5，－2)．eq\x(狀元隨筆)(1)根據(jù)不等式的性質(zhì)6可直接求解；(2)求出－2y的取值范圍后，利用不等式的性質(zhì)5即可求x－2y的取值范圍．課時(shí)作業(yè)10一、選擇題1．若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，則A、B的大小關(guān)系是()A．A≤BB．A≥BC．A<B或A>BD．A>B解析：因?yàn)锳－B＝a2＋3ab－(4ab－b2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(b,2)))2＋eq\f(3,4)b2≥0，所以A≥B.答案：B2．已知：a，b，c，d∈R，則下列命題中必成立的是()A．若a>b，c>b，則a>cB．若a>－b，則c－a<c＋bC．若a>b，c<d，則eq\f(a,c)>eq\f(b,d)D．若a2>b2，則－a<－b解析：選項(xiàng)A，若a＝4，b＝2，c＝5，顯然不成立；選項(xiàng)C不滿足倒數(shù)不等式的條件，如a>b>0，c<0<d時(shí)，不成立；選項(xiàng)D只有a>b>0時(shí)才可以．否則如a＝－1，b＝0時(shí)不成立．答案：B3．若－1<α<β<1，則下列各式中恒成立的是()A．－2<α－β<0B．－2<α－β<－1C．－1<α－β<0D．－1<α－β<1解析：∵－1<β<1，∴－1<－β<1.又－1<α<1，∴－2<α＋(－β)<2，又α<β，∴α－β<0，即－2<α－β<0.故選A.答案：A4．有四個(gè)不等式：①|(zhì)a|>|b|；②a<b；③a＋b<ab；④a3>b3.若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，則不正確的不等式的個(gè)數(shù)是()A．0B．1C．2D．3解析：由eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0可得b<a<0，從而|a|<|b|，①不正確；a>b，②不正確；a＋b<0，ab>0，則a＋b<ab成立，③正確；a3>b3，④正確．故不正確的不等式的個(gè)數(shù)為2.答案：C二、填空題5．已知a，b均為實(shí)數(shù)，則(a＋3)(a－5)________(a＋2)(a－4)(填“>”“<”或“＝”)．解析：因?yàn)?a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0，所以(a＋3)(a－5)<(a＋2)(答案：<6．如果a>b，那么c－2a與c－2b解析：c－2a－(c－2b)＝2b－2a＝2(b－答案：c－2b7．給定下列命題：①a>b?a2>b2；②a2>b2?a>b；③a>b?eq\f(b,a)<1；④a>b，c>d?ac>bd；⑤a>b，c>d?a－c>b－d.其中錯(cuò)誤的命題是________(填寫相應(yīng)序號(hào))．解析：由性質(zhì)7可知，只有當(dāng)a>b>0時(shí)，a2>b2才成立，故①②都錯(cuò)誤；對(duì)于③，只有當(dāng)a>0且a>b時(shí)，eq\f(b,a)<1才成立，故③錯(cuò)誤；由性質(zhì)6可知，只有當(dāng)a>b>0，c>d>0時(shí)，ac>bd才成立，故④錯(cuò)誤；對(duì)于⑤，由c>d得－d>－c，從而a－d>b－c，故⑤錯(cuò)誤．答案：①②③④⑤三、解答題8．已知x<1，比較x3－1與2x2－2x的大?。馕觯簒3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋\f(3,4)))，因?yàn)閤<1，所以x－1<0，又因?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0，所以(x－1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋\f(3,4)))<0，所以x3－1<2x2－2x.9．若bc－ad≥0，bd>0.求證：eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d).證明：因?yàn)閎c－ad≥0，所以ad≤bc，因?yàn)閎d>0，所以eq\f(a,b)≤eq\f(c,d)，所以eq\f(a,b)＋1≤eq\f(c,d)＋1，所以eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d).[尖子生題庫(kù)]10．設(shè)f(x)＝ax2＋bx,1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范圍．解析：方法一設(shè)f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n為待定系數(shù))，則4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a＋(n－m)b于是得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝4,n－m＝－2))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a