人教版初中八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步講義-角平分線的性質(zhì)（解析版）

第03講角平分線的性質(zhì)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.掌握角平分的定義以及基本性質(zhì)。

①角平分線的定義

2,掌握角平分線的性質(zhì)并能夠證明。

②角平分線的性質(zhì)

3.掌握角平分線尺規(guī)作圖的基本原理，并能夠利用直

③角平分線的尺規(guī)作圖

尺和圓規(guī)進(jìn)行角平分線作圖。

思維導(dǎo)圖

平分角

角平分線的定義與性廉［角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離

知識(shí)點(diǎn)01角平分線的定義及其性質(zhì)

1.角平分線的定義：

角的內(nèi)部把角分成兩個(gè)相等的角的射線這是個(gè)角的角平分線。

2.角平分線的性質(zhì)：

(1)性質(zhì)1：平分角。

即若OC是/AOB的平分線，則/AOC=/BOC。且他們都等于/A0B的一半

(2)性質(zhì)2：角平分線上任意一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。

即若0C是NAOB的平分線，P是0C上一點(diǎn)，且PDXOB于點(diǎn)D,PEXOA于點(diǎn)E,則有PD=PE

題型考點(diǎn)：①利用角平分線的性質(zhì)求線段長(zhǎng)度或距離。②利用角平分線的性質(zhì)求面積。

【即學(xué)即練11

1.如圖，在△43C中，NC=90°,BC=9,DC^-BC-4D平分/BAC,則點(diǎn)。到48的距離為（）

3

【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作垂足為H

,-BC=9,DC[BC，

o

DCfC=3,

平分/8/C,NC=90°,DHLAB,

:.CD=DH=3,

...點(diǎn)。到的距離等于3,

故選：C.

【即學(xué)即練2】

2.如圖，AB//CD,8P和C尸平分。和/DC8,過(guò)點(diǎn)尸且與直線N5垂直.若/。=8,則點(diǎn)P到

的距離是（）

【解答】解：過(guò)尸作尸于￡,

BA_______

E[\

C

D

,:AB〃CD,ADLAB,

：.AD.LCD,

?:PE工BC,BP和CP平分N45。和NOC5,

：.PA=PE,PE=PD,

即P4=PD=PE,

9

：AD=PA+PD=Sf

：?PA=PD=PE=4,

即點(diǎn)。到5C的距離是4,

故選：C.

【即學(xué)即練3】

3.如圖，40是△ZBC中NA4C的平分線，DE1AB,交AB于點(diǎn)、E,DFLAC,交4c于點(diǎn)尸，若DE=2,

【解答】解：?.7。是NA4C的平分線，DELAB,DFL4C,

:,DF=DE,

■:DE=2,

：.DF=2,

A5A^C=-1-^CXDF=AX4X2=4,

故選：A.

【即學(xué)即練4】

4.如圖，中，ZC=90°,AD平分NBAC,交BC于點(diǎn)、D,45=10,CD=3,則△45。的面積為

()

A.60B.30C.15D.10

【解答】解：過(guò)點(diǎn)。作。45,垂足為E,

A

平分/2/C,DELAB,DCLAC,

：.DE=DC=3,,

?.”=10,

.'.△ABD的面積=

2

=JLX10X3

2

=15,

故選：C.

知識(shí)點(diǎn)02角平分線的尺規(guī)作圖

1.作已知角的角平分線:

步驟一：以角的頂點(diǎn)為圓心,一定長(zhǎng)度為半徑畫(huà)圓弧，交角的兩邊與點(diǎn)M和點(diǎn)N。

步驟二：以點(diǎn)M和點(diǎn)N為圓心，大于一MN的長(zhǎng)度為半徑畫(huà)圓弧,兩弧交于點(diǎn)P。

2

步驟三：連接OP即為角平分線

步驟一

2.證明上圖中的0P是角平分線:

連接MP,NP

由作圖過(guò)程可知，OM.ON,MPNP-

在△OMP與△ONP中

OM=ON

MP=NP

OP=OP

/.△OMP^AONP

/.ZMOP=ZNOP

/.OP是NAOB的角平分線。

題型考點(diǎn)：①尺規(guī)作圖為角平分線的依據(jù)。

②尺規(guī)作圖后的有關(guān)計(jì)算。

③作圖及其實(shí)際應(yīng)用。

【即學(xué)即練1】

5.數(shù)學(xué)課上陳老師要求學(xué)生利用尺規(guī)作圖，作一個(gè)已知角的角平分線，并保留作圖痕跡.學(xué)生小敏的作法

是：如圖，是已知角，以。為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，與04、。2分別交于N、M；再分別以

為圓心，大于上VN的長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)C；作射線OC；則射線。。是的角平分線.小

2

敏作圖的依據(jù)是（）

A.SASB.ASAC.AASD.SSS

【解答】解：在△。M。與△ONC中，

rOM=ON

'oc=oc-

,CM=CN

：./\OMC^^ONC（SSS）,

/COM=ACON,

，射線。。是的角平分線.

故選：D.

【即學(xué)即練2】

6.如圖，在中，ZC=90°,以點(diǎn)N為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交NC于點(diǎn)D,E,

再分別以點(diǎn)。，E,為圓心，以大于的長(zhǎng)度為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)足作射線/尸交3c于點(diǎn)G,

2

若/8=12,CG=3,則A/BG的面積是（）

A.12B.18C.24D.36

【解答】解：過(guò)點(diǎn)G作GHLAB于點(diǎn)H,

根據(jù)題意得，Zb是NC45的角平分線，

VZC=90°,

C.ACLCG,

?；GH1AB,

:?CG=GH,

VCG=3,

SAABG=yXABXGH蔣X12X3=18，

故選：B.

【即學(xué)即練3】

7.如圖，k、/2交于/點(diǎn)，請(qǐng)確定M點(diǎn)，使它到/1、/2的距離相等.（用直尺和圓規(guī)）

【解答】解：如圖，用直尺和圓規(guī)作/9C的平分線/E,并延長(zhǎng)；同理做出的平分線4P,并延

長(zhǎng)，

點(diǎn)河在直線NE或直線PQ上即可.

0

【即學(xué)即練4】

8.如圖，三條公路兩兩相交，現(xiàn)計(jì)劃修建一個(gè)油庫(kù).

（1）如果要求油庫(kù)到兩條公路N3,/C的距離都相等，那么如何選擇油庫(kù)的位置？

（2）如果要求油庫(kù)到這三條公路的距離都相等，那么如何選擇油庫(kù)的位置？

【解答】解：（1）如圖，加油站的位置在直線VN或直線所上.

（2）如圖，點(diǎn)尸1,尸2,尸3,尸4即為所求.

知識(shí)點(diǎn)03角平分線的判定

1.角平分線的判定的內(nèi)容:

角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)一定在角平分線上。

2.數(shù)學(xué)語(yǔ)言：

點(diǎn)P在/AOB的內(nèi)部，PE_LOA于E,PD_LOB于D,且PE=PD,則點(diǎn)P在

ZAOB的平分線上。

即：：PE_LOA于E,PD_LOB于D,且PE=PD

.\ZAOC=ZBOC

題型考點(diǎn)：角平分線的判定證明。

【即學(xué)即練11

9.如圖，在四邊形中，/B=NC=90°,點(diǎn)￡為的中點(diǎn)，且4E1平分求證：DE是/

40c的平分線.

【解答】證明：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EFLAD于F,

VZB=90°,/E平分N3/D,

：.BE=EF,

是BC的中點(diǎn)，

：.BE=CE,

：.CE=EF,

又；NC=90°,EFLAD,

【即學(xué)即練2】

10.如圖，DELABE,DFLACF,若BD=CD,BE=CF

：.NE=NDFC=90°,

在和Rt/XCDF中,

[BD=CD,

IBE=CF'

:.RtABDE2RtACDF(HL),

：.DE=DF,

'：AD=AD,

RtZXADEgRtzXAD尸(HL),

ZDAE=ZDAF,

；.4D平分/A4c.

5

知識(shí)點(diǎn)04三角形的角平分線性質(zhì)

1.三角形角平分線的性質(zhì)：

三角形一個(gè)角的角平分線分得的兩個(gè)三角形的面積比等于這個(gè)角的兩邊

的比，也等于這個(gè)角對(duì)邊分得的兩條線段的比。

即如圖：AD是^ABC的平分線。

貝ISMBD?SACD=4B:ZC=BD:CD。

特別提示：分別以AB和AC為底、BD和CD為底表示出兩個(gè)三角形的面積，然后比即可得出。

題型考點(diǎn)：利用三角形角平分線的性質(zhì)進(jìn)行面積有關(guān)的計(jì)算。

【即學(xué)即練1】

11.如圖，在△48。中，ZA=90°,AB=2,BC=5,3。是//8C的平分線，設(shè)和△3DC的面積

分別是Sl，S2,則Si：S2的值為（）

A.5：2B.2：5C.1：2D.1：5

【解答】解：過(guò)。點(diǎn)作于E,如圖,

是N48C的平分線，DELBC,DALAB,

：.DE=DA,

故選：B.

【即學(xué)即練21

12.如圖，△45。的三邊4C、BC、45的長(zhǎng)分別是8、12、16,點(diǎn)。是△ZBC三條角平分線的交點(diǎn)，則S

△OAB：S/^OBC-SziCUC的值為（）

C.2：3：4D.3：4：5

【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)Z),OELBC于點(diǎn)、E,。/，4C于點(diǎn)R

???點(diǎn)。是“BC三條角平分線的交點(diǎn)，

：.OD=OE=OF,

???$△0AB得研3二9160D=80D^

SAOBC=fBC'°E=lX12OD=6OE，

SAOAC=fAC,OF=lX80F=4OF，

=

?'?S^OAB：S^OBC：SAOAC^OD：6OE：4。b=4：3：2.

題型精講

題型01角平分線的性質(zhì)

【典例1】

如圖，△/BC的外角/NCD的平分線CP與內(nèi)角//8C的平分線8尸交于點(diǎn)尸，若/5PC=40°,則/C4尸

=()

【解答】解：延長(zhǎng)84,作尸ALL8D,PFLBA,PMLAC,

設(shè)/PCD=x°,

：C尸平分N/C￡>,

?.ZACP=ZPCD=x°,PM=PN,

；BP平分/4BC,

：.ZABP=ZPBC,PF=PN,

：.PF=PM,

,：ZBPC=40°,

：.ZABP=ZPBC=ZPCD-ZBPC=(x-40)°,

:.NBAC=NACD-/ABC=2x°-(x°-40°)-(x°-40°)=80°,

：.ZCAF=W0°,

在RtAPE4和RtAPMA中，

(PA=PA,

IPM=PF，

；.RtAPE4gRtAm4(HL),

：.ZFAP^ZPAC^5Q0.

【典例2】

如圖，在△48C中，ZC=90°,平分/8NC,過(guò)點(diǎn)。作若BC=1,BD=4,則?！甑拈L(zhǎng)為

()

A.5B.4C.3D.2

【解答】解：VZC=90°,AD平分NBAC,DELABE,

：.DE=DC,

U：BC=1,BD=4,

???。。=7-4=3,

：.DE=3,

故選：C.

【典例3】

如圖，在△45C中，ZC=90°,Z1=Z2,5C=16c加，點(diǎn)。到45的距離為6c加，則她的長(zhǎng)為（）

A.7cmB.8cmC.9cmD.10cm

【解答】解：過(guò)點(diǎn)。作。于點(diǎn)區(qū)

U：DELAB,

；?DE=6cm,

VZ1=Z2,

：.AD是/CAB的角平分線,

VZC=90°,DE工AB,

DE=CD=6cm,

VBC=\6cm,

:?BD=T0cm.

故選：D.

【典例4】

如圖，點(diǎn)尸是△48C的三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，若△48C的周長(zhǎng)為24cm,面積為36c/,則點(diǎn)尸到邊3c

的距離是()

【解答】解：過(guò)點(diǎn)P作尸于D,PE_LBC于■E,PFLACF,如圖,

...點(diǎn)尸是△/BC的內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，

：.PE=PF=PD,

又△48C的周長(zhǎng)為24CTM,面積為36cm2,

SAABC=^-AB-PD-HyBC-PE^1-AC-PF=yPE(AB+BC+AC)，

?*X24XPE=36，

o

:?PE=3cm.

故選：B.

【典例5】

如圖，△/2C的周長(zhǎng)為12c%,/ABC、N/CB的平分線交于點(diǎn)0,OD_LBC于點(diǎn)。，且O￡>=2cw,則4

ABC的面積為cm2.

【解答】解：過(guò)。點(diǎn)作0ELA8于E,OFLACF,連接04,如圖,

NABC、ZACB的平分線交于點(diǎn)0,

：.0E=0D=2,0F=0D=2,

S”BC=S“OB+SABOLS"oc

=Lx48X2+工X2CX2+lx/CX2

222

=AB+BC+AC

=12(cm2').

故答案為12.

【典例6】

如圖，AD是△48C的角平分線，48=8,BC=4,且&UBC=36,則△03C的面積是

【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作。ELN5于￡,DFLBCF,

:BD是的一條角平分線，

：.DE=DF,

：/8=8,BC=4,

，S“BC=—AB?DE+—BC-DF=—X8?DF+—X4?。尸=36,

2222

解得DF=6,

SADBC=—BC-DF=AX4X6=12.

22

故答案為：12.

題型02角平分線的作圖

【典例1】

觀察圖中尺規(guī)作圖痕跡，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.0E是的平分線

B.OC=OD

C.點(diǎn)C、。到。E的距離不相等

D.NAOE=/BOE

【解答】解：根據(jù)尺規(guī)作圖的畫(huà)法可知：0E是的角平分線.

/、OE是/4。8的平分線，/正確；

B、OC=OD,8正確；

C、點(diǎn)C、D到OE的距離相等，。不正確；

D、ZAOE=ZBOE,。正確.

故選：C.

【典例2】

如圖，已知按照以下步驟作圖：①以點(diǎn)。為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)分別交04,于點(diǎn)C,D；

②分別以點(diǎn)C,。為圓心，以大于寺⑦的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)E；③連接。￡,CE,DE,CD.下

列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.ZOCE=ZODEB.ZECD=ZOCDC.ZAOE=ZBOED.CDLOE

【解答】解：由作圖步驟可得：OE是/的角平分線，則NCO￡=/DOE,故C選項(xiàng)正確,

又OC=OD,0E=0E,

:.△OCE"AODE(&4S),

：.N0CE=N0DE,故/正確;

,：0C=0D,EC=ED,

/.OE垂直平分CD,則OE_LCD,故。選項(xiàng)正確，

沒(méi)有條件能得出/OCD=NECD,

故選：B.

【典例3】

如圖，在△/SC中，AB=AC,按如下步驟作圖：以點(diǎn)4為圓心、適當(dāng)長(zhǎng)度為半徑作弧，分別交NC于

點(diǎn)、M、N；分別以點(diǎn)M、N為圓心、大于Lw的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)R連接N尸并延長(zhǎng)，交

2

3c于點(diǎn)￡.下列結(jié)論不一定成立的是（）

A.NABC=/ACBB.BE=CEC.AELBCD.NBAE=L/B

2

【解答】解：由作法得NE平分/8/C,

NBAE=L/BAC,

2

；4B=AC,

：.NABC=/ACB,BE=CE,AE±BC.

故選：D.

【典例4】

如圖，在△NBC中，ZC=90°,按以下步驟作圖：①以點(diǎn)N為圓心、適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作圓弧，分別交邊/C、

4B于點(diǎn)、M、N；②分別以點(diǎn)M和點(diǎn)N為圓心、大于/MN的長(zhǎng)為半徑作圓弧，在NA4。內(nèi)，兩弧交于點(diǎn)

P；③作射線/尸交邊8C于點(diǎn)。，若CD=4,/2=15,則△N3D的面積是（）

由基本作圖可知，N尸平分NC/8

尸平分/C43,ZC=90°,DELAB,

：.DE=DC=4,

:.4ABD的面積=LX/BXZ）E=30,

2

故選：B.

題型03角平分線的性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用

【典例1】

為促進(jìn)旅游發(fā)展，某地要在三條公路圍成的一塊平地上修建一個(gè)度假村，如圖所示，若要使度假村到三條

公路的距離相等，則這個(gè)度假村應(yīng)修建在（）

A.△/BC三條高線的交點(diǎn)處

B.△/BC三條中線的交點(diǎn)處

C.△/BC三條角平分線的交點(diǎn)處

D.△/BC三邊垂直平分線的交點(diǎn)處

【解答】解：???度假村到三條公路的距離相等,

這個(gè)度假村為△N8C的角平分線的交點(diǎn).

故選：C.

【典例2】

三條公路將/、8、C三個(gè)村莊連成一個(gè)如圖的三角形區(qū)域，如果要在三角形區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，要

使集貿(mào)市場(chǎng)到三條公路的距離相等，那么這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)可選的位置有（）

一

A.1處B.2處C.3處D.4處

【解答】解：三條公路將4、2、C三個(gè)村莊連成一個(gè)如圖的三角形區(qū)域，如果要在三角形區(qū)域內(nèi)修建一

個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，要使集貿(mào)市場(chǎng)到三條公路的距離相等，那么這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)可選的位置應(yīng)該在△ZBC三個(gè)角

的角平分線的交點(diǎn)處，可選的位置有1處，

故選：A.

強(qiáng)化訓(xùn)練

1.到三角形的三條邊距離相等的點(diǎn)（）

A.是三條角平分線的交點(diǎn)B.是三條中線的交點(diǎn)

C.是三條高的交點(diǎn)D.以上答案都不對(duì)

【解答】解：???三角形三條角平分線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到三角形的三邊的距離相等.

...到三角形的三條邊距離相等的點(diǎn)是三條角平分線的交點(diǎn)，

故選：A.

2.如圖，即是△4SC的角平分線，DELAB,垂足為E.若△N3C的面積為26,AB=8,BC=5,貝UDE

的長(zhǎng)為（）

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：作。于尸，如圖，

是△4BC的角平分線，DELAB,DFLBC,

:.DE=DF,

S"BC=SAABD+SACBD,

/.JLX5XDF+—X8XZ)E=26,

22

：.UDE=26,

2

：.DE=4.

故選：D.

3.如圖，在△/8C中，NC=90°,4B=10,40是△43C的一條角平分線.若CD=3,則△43。的面積

為（）

A.15B.30C.12D.10

【解答】解：過(guò)。點(diǎn)作。于應(yīng)如圖,

「力。平分N5ZC,DEL4B,DCLAC,

:,DE=DC=3,

.,.S^D=—X10X3=15.

A2

故選：A.

4.如圖，OP平分NMON,B4LON于點(diǎn)/，點(diǎn)0是射線。河上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).若刃=2,則P。的長(zhǎng)不可能

【解答】解：:。尸平分NMON,PALON,

/.點(diǎn)P到OM的距離等于E4,即點(diǎn)P到OM的距離為2,

.?.尸022.

故選：D.

5.如圖，在△4SC中，ZACB=90°,BE平分NABC,CFLAB,交4B于點(diǎn)、F,交8E于點(diǎn)。，若BC=

8cm,DF=3cm,則△CD8的面積為（）

A.\2cnrB.8cm2C.6cm2D.4cm2

【解答】解：作。X，8c于點(diǎn)X,如圖:

E

a

c*s

fBE平分N4BC,CFLAB,DH±BC,

：.DH=DF.

?:DF=3cm.

:?DH=3cm.

9：BC=Scm.

...△CD3的面積為：yBCDH=12^2.

故選：A.

6.如圖，ZAOB=10°，點(diǎn)C是內(nèi)一點(diǎn)，CD_LON于點(diǎn)。，CELOB于點(diǎn)、E,且CD=CE,則NDOC

的度數(shù)是（）

【解答】解：'：CDVOA,CEVOB,且CD=C￡,

；.。。平分/403,

:NA0B=7Q°,

ZDOC=^-ZAOB=35°,

2

故選：B.

7.如圖，AD//BC,//2C的平分線3P與NB4D的平分線4P相交于點(diǎn)尸，作尸E_L4B于點(diǎn)E,若PE=4,

則點(diǎn)P到40與3c的距離之和為（）

AA--------D

E/A

'P

BC

A.4B.6C.8D.10

【解答】解：過(guò)點(diǎn)尸作尸尸_L5C,垂足為R延長(zhǎng)尸尸交4。于點(diǎn)M,

YAD〃BC,

：.ZBFP=ZDMP=90°,

〈BP平分N4BC,PELAB,PFLBC,

：?PE=PF=4,

?；4P平分/B4D,PELAB,PMLAD,

：?PE=PM=4,

：.MF=PM+PF=S,

???點(diǎn)P到AD與BC的距離之和為8,

故選：C.

8.如圖，△ABC中，4D_L5C交BC于點(diǎn)Q,AE平分/BAC交BC于點(diǎn)、E.過(guò)點(diǎn)。作4E的垂線交的

延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，交4。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接5G,下列結(jié)論：

?ZBAD=ZBCG；

②NECF《（/4BD-ZACE\

③ZAGC=ZBAE+ZACB；

@S/^ABD*S^CDG=S^BDG*S^ACD，

其中止確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：①?.?/O_L8C,AFLCG,

：.ZBCG+ZCGA=90°,ZGAF+ZCGA=90°,

???NBCG=NGAF,

根據(jù)已知條件無(wú)法判定NB/。與NGN尸相等，

，無(wú)法判定NBAD與ZBCG相等，

故結(jié)論①不正確；

②設(shè)NECF=a,即N8CG=a,

由①可知：ZGAF=ZBCG=a,即/D4E=a

設(shè)N8/C=2B，

平分入B/C,

NBAE=NCAE=*/B4C=B，

：.ZBAD=/BAE-ZGAF=^-a,NAED=NACB+NCAE=ZACB+^,

'JADLBC,

：.ZBAD+ZABD=90°,ZDAE+ZAED=90°,

/.p-a+ZABD=90°,a+N/CB+B=90°,

P-a+N/5￡)=a+N4C5+B，

.?.a=A(AABD-/ACE),

2

:./ECF=L(.ZABD-NACE),

2

故結(jié)論②正確；

③平分N8/C,

ZBAE=ZCAE,

：.NAED=NCAE+NACB=ZBAE+ZACB,

'：AD±AB,AFLCG,

：.ZAGC+ZGAF=90°,ZAED+ZGAF=90°,

ZAGC=ZAED=ZBAE+ZACB,

故結(jié)論③正確；

@"：ADLBC,

S^ABD=—BD*AD,S^CDG=—CD,DG,S^BDG=—BD,DG,S^ACD=CD'AD,

222

S&ABD,CDG=-BD-AD-CD-DG,S^BDG'S^ACD=—BD-DG'CD-AD,

44

S/^ABD?COG=SABDG?S"CD，

故結(jié)論④正確.

綜上所述：結(jié)論②③④正確，共3個(gè).

故選：C.

9.隨著人們生活水平的不斷提高，汽車逐步進(jìn)入到千家萬(wàn)戶，小紅的爸爸想在本鎮(zhèn)的三條相互交叉的公路

（如圖所示），建一個(gè)加油站，要求它到三條公路的距離相等，這樣可供選擇的地址有處.

【解答】解：如圖所示，加油站站的地址有四處,

故答案為：4.

2

10.如圖，BD是/ABC的平分線，DELAB于點(diǎn)E,SAABC=15cm,AB=8cm,BC=12cm,則DE=cm.

【解答】解：過(guò)點(diǎn)。作。尸，5C于點(diǎn)R

,.?3。是NZ5C的平分線，DELAB,

：.DE=DF,

AB=Scm,BC=12cm,

:.S"BC=s"BD+S&BCD=LB?DE+LBC?DF=LDE?(AB+BC)=15cm2,

222

；,DE=1.5cm.

故答案為：1.5.

11.如圖，。是3c內(nèi)一點(diǎn)，且。到三邊/8、BC、G4的距離。戶=O￡）=OE,若/B/C=70°，ZBOC

4

B

D

【解答】解：尸=OO=OE,

：.OB、。。分另1J平分/A8C和N/C3,

■:NBAC=1Q°，

ZABC+ZACB=180°-70°=110°,

：.ZOBC+ZOCB=^-(NABC+NACB)=AxilO°=55°,

22

；./8OC=180°-(NOBC+NOCB)=180°-55°=125°.

故答案為：125°.

12.如圖所示，已知△/2C的周長(zhǎng)是20,OB,OC分別平分。和00_LBC于。，且OD=3,

則△A8C的面積是

【解答】解：如圖，連接。4,

'JOB,OC分別平分/48C和NZC3,

二點(diǎn)。到AB、AC.BC的距離都相等,

:ZUBC的周長(zhǎng)是20,0D_L8C于。，且。。=3,

.,.SZUBC=4X20X3=30.

2

故答案為：30.

13.已知：如圖，8。平分//8C,點(diǎn)尸在上，點(diǎn)G在NC上，連接尸G、FC,PC與8。相交于點(diǎn)H,

/GFH+NBHC=180°.

A

(1)證明：N1=N2；

(2)若N/=55°,NA8C=80°,求/尸GC.

【解答】(1)證明：■:NGFH+NBHC=l80°,/BHC=/FHD,

：.ZFHD+ZGFH=1SQ°,

：.FG//BD,

B