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北京三十一中重點達標名校2025年初三四校聯(lián)考數(shù)學試題注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(每小題只有一個正確答案,每小題3分,滿分30分)1.拋物線經(jīng)過第一、三、四象限,則拋物線的頂點必在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.計算的結(jié)果為()A.2 B.1 C.0 D.﹣13.不等式2x﹣1<1的解集在數(shù)軸上表示正確的是()A. B.C. D.4.如圖,在下列條件中,不能判定直線a與b平行的是()A.∠1=∠2 B.∠2=∠3 C.∠3=∠5 D.∠3+∠4=180°5.如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,給出以下四個結(jié)論:①abc=0,②a+b+c>0,③a>b,④4ac﹣b2<0;其中正確的結(jié)論有()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個6.觀察下列圖中所示的一系列圖形,它們是按一定規(guī)律排列的,依照此規(guī)律,第2019個圖形共有()個〇.A.6055 B.6056 C.6057 D.60587.一元二次方程x2+kx﹣3=0的一個根是x=1,則另一個根是()A.3 B.﹣1 C.﹣3 D.﹣28.如圖,△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,以點C為圓心的圓與AB相切,則⊙C的半徑為()A.2.3 B.2.4 C.2.5 D.2.69.下列運算正確的是()A. B. C. D.10.如圖,BD是∠ABC的角平分線,DC∥AB,下列說法正確的是()A.BC=CD B.AD∥BCC.AD=BC D.點A與點C關(guān)于BD對稱二、填空題(共7小題,每小題3分,滿分21分)11.如圖,在直角坐標系中,點A(2,0),點B(0,1),過點A的直線l垂直于線段AB,點P是直線l上一動點,過點P作PC⊥x軸,垂足為C,把△ACP沿AP翻折,使點C落在點D處,若以A,D,P為頂點的三角形與△ABP相似,則所有滿足此條件的點P的坐標為___________________________.12.“五一”期間,一批九年級同學包租一輛面包車前去竹海游覽,面包車的租金為300元,出發(fā)時,又增加了4名同學,且租金不變,這樣每個同學比原來少分攤了20元車費.若設(shè)參加游覽的同學一共有x人,為求x,可列方程_____.13.有四張質(zhì)地、大小、反面完全相同的不透明卡片,正面分別寫著數(shù)字1,2,3,4,現(xiàn)把它們的正面向下,隨機擺放在桌面上,從中任意抽出一張,則抽出的數(shù)字是奇數(shù)的概率是.14.計算:-=________.15.如果當a≠0,b≠0,且a≠b時,將直線y=ax+b和直線y=bx+a稱為一對“對偶直線”,把它們的公共點稱為該對“對偶直線”的“對偶點”,那么請寫出“對偶點”為(1,4)的一對“對偶直線”:______.16.輪船沿江從A港順流行駛到B港,比從B港返回A港少用3h,若靜水時船速為26km/h,水速為2km/h,則A港和B港相距_____km.17.如圖,矩形中,,,將矩形沿折疊,點落在點處.則重疊部分的面積為______.三、解答題(共7小題,滿分69分)18.(10分)在等邊三角形ABC中,點P在△ABC內(nèi),點Q在△ABC外,且∠ABP=∠ACQ,BP=CQ.求證:△ABP≌△CAQ;請判斷△APQ是什么形狀的三角形?試說明你的結(jié)論.19.(5分)某工廠生產(chǎn)部門為了解本部門工人的生產(chǎn)能力情況,進行了抽樣調(diào)查.該部門隨機抽取了30名工人某天每人加工零件的個數(shù),數(shù)據(jù)如下:202119162718312921222520192235331917182918352215181831311922整理上面數(shù)據(jù),得到條形統(tǒng)計圖:樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)如下表所示:統(tǒng)計量平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)數(shù)值23m21根據(jù)以上信息,解答下列問題:上表中眾數(shù)m的值為;為調(diào)動工人的積極性,該部門根據(jù)工人每天加工零件的個數(shù)制定了獎勵標準,凡達到或超過這個標準的工人將獲得獎勵.如果想讓一半左右的工人能獲獎,應根據(jù)來確定獎勵標準比較合適.(填“平均數(shù)”、“眾數(shù)”或“中位數(shù)”)該部門規(guī)定:每天加工零件的個數(shù)達到或超過25個的工人為生產(chǎn)能手.若該部門有300名工人,試估計該部門生產(chǎn)能手的人數(shù).20.(8分)嘉興市2010~2014年社會消費品零售總額及增速統(tǒng)計圖如下:請根據(jù)圖中信息,解答下列問題:(1)求嘉興市2010~2014年社會消費品零售總額增速這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).(2)求嘉興市近三年(2012~2014年)的社會消費品零售總額這組數(shù)據(jù)的平均數(shù).(3)用適當?shù)姆椒A測嘉興市2015年社會消費品零售總額(只要求列出算式,不必計算出結(jié)果).21.(10分)我國古代數(shù)學著作《增刪算法統(tǒng)宗》記載“官兵分布”問題:“一千官軍一千布,一官四疋無零數(shù),四軍才分布一疋,請問官軍多少數(shù).”其大意為:今有1000官兵分1000匹布,1官分4匹,4兵分1匹.問官和兵各幾人?22.(10分)如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,O是邊AC上一點,以O(shè)為圓心,以O(shè)A為半徑的圓分別交AB、AC于點E、D,在BC的延長線上取點F,使得BF=EF.(1)判斷直線EF與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;(2)若∠A=30°,求證:DG=DA;(3)若∠A=30°,且圖中陰影部分的面積等于2,求⊙O的半徑的長.23.(12分)我市某企業(yè)接到一批產(chǎn)品的生產(chǎn)任務,按要求必須在14天內(nèi)完成.已知每件產(chǎn)品的出廠價為60元.工人甲第x天生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量為y件,y與x滿足如下關(guān)系:工人甲第幾天生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量為70件?設(shè)第x天生產(chǎn)的產(chǎn)品成本為P元/件,P與的函數(shù)圖象如圖.工人甲第x天創(chuàng)造的利潤為W元,求W與x的函數(shù)關(guān)系式,并求出第幾天時利潤最大,最大利潤是多少?24.(14分)一個不透明的袋子中裝有3個標號分別為1、2、3的完全相同的小球,隨機地摸出一個小球不放回,再隨機地摸出一個小球.采用樹狀圖或列表法列出兩次摸出小球出現(xiàn)的所有可能結(jié)果;求摸出的兩個小球號碼之和等于4的概率.
參考答案一、選擇題(每小題只有一個正確答案,每小題3分,滿分30分)1、A【解析】
根據(jù)二次函數(shù)圖象所在的象限大致畫出圖形,由此即可得出結(jié)論.【詳解】∵二次函數(shù)圖象只經(jīng)過第一、三、四象限,∴拋物線的頂點在第一象限.故選A.本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)的圖象,大致畫出函數(shù)圖象,利用數(shù)形結(jié)合解決問題是解題的關(guān)鍵.2、B【解析】
按照分式運算規(guī)則運算即可,注意結(jié)果的化簡.【詳解】解:原式=,故選擇B.本題考查了分式的運算規(guī)則.3、D【解析】
先求出不等式的解集,再在數(shù)軸上表示出來即可.【詳解】移項得,2x<1+1,合并同類項得,2x<2,x的系數(shù)化為1得,x<1.在數(shù)軸上表示為:.故選D.本題考查了解一元一次不等式,熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵.4、C【解析】
解:A.∵∠1與∠2是直線a,b被c所截的一組同位角,∴∠1=∠2,可以得到a∥b,∴不符合題意B.∵∠2與∠3是直線a,b被c所截的一組內(nèi)錯角,∴∠2=∠3,可以得到a∥b,∴不符合題意,C.∵∠3與∠5既不是直線a,b被任何一條直線所截的一組同位角,內(nèi)錯角,∴∠3=∠5,不能得到a∥b,∴符合題意,D.∵∠3與∠4是直線a,b被c所截的一組同旁內(nèi)角,∴∠3+∠4=180°,可以得到a∥b,∴不符合題意,故選C.本題考查平行線的判定,難度不大.5、C【解析】
根據(jù)圖像可得:a<0,b<0,c=0,即abc=0,則①正確;當x=1時,y<0,即a+b+c<0,則②錯誤;根據(jù)對稱軸可得:-b2a=-3根據(jù)函數(shù)與x軸有兩個交點可得:b2故選C.本題考查二次函數(shù)的性質(zhì).能通過圖象分析a,b,c的正負,以及通過一些特殊點的位置得出a,b,c之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵.6、D【解析】
設(shè)第n個圖形有a個O(n為正整數(shù)),觀察圖形,根據(jù)各圖形中O的個數(shù)的變化可找出"a=1+3n(n為正整數(shù))",再代入a=2019即可得出結(jié)論【詳解】設(shè)第n個圖形有an個〇(n為正整數(shù)),觀察圖形,可知:a1=1+3×1,a2=1+3×2,a3=1+3×3,a4=1+3×4,…,∴an=1+3n(n為正整數(shù)),∴a2019=1+3×2019=1.故選:D.此題考查規(guī)律型:圖形的變化,解題關(guān)鍵在于找到規(guī)律7、C【解析】試題分析:根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出兩根的積,即可求得方程的另一根.設(shè)m、n是方程x2+kx﹣3=0的兩個實數(shù)根,且m=x=1;則有:mn=﹣3,即n=﹣3;故選C.【考點】根與系數(shù)的關(guān)系;一元二次方程的解.8、B【解析】試題分析:在△ABC中,∵AB=5,BC=3,AC=4,∴AC2+BC2=32+42=52=AB2,∴∠C=90°,如圖:設(shè)切點為D,連接CD,∵AB是⊙C的切線,∴CD⊥AB,∵S△ABC=AC×BC=AB×CD,∴AC×BC=AB×CD,即CD===,∴⊙C的半徑為,故選B.考點:圓的切線的性質(zhì);勾股定理.9、D【解析】
根據(jù)冪的乘方:底數(shù)不變,指數(shù)相乘.合并同類項即可解答.【詳解】解:A、B兩項不是同類項,所以不能合并,故A、B錯誤,C、D考查冪的乘方運算,底數(shù)不變,指數(shù)相乘.,故D正確;本題考查冪的乘方和合并同類項,熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵.10、A【解析】
由BD是∠ABC的角平分線,根據(jù)角平分線定義得到一對角∠ABD與∠CBD相等,然后由DC∥AB,根據(jù)兩直線平行,得到一對內(nèi)錯角∠ABD與∠CDB相等,利用等量代換得到∠DBC=∠CDB,再根據(jù)等角對等邊得到BC=CD,從而得到正確的選項.【詳解】∵BD是∠ABC的角平分線,∴∠ABD=∠CBD,又∵DC∥AB,∴∠ABD=∠CDB,∴∠CBD=∠CDB,∴BC=CD.故選A.此題考查了等腰三角形的判定,以及平行線的性質(zhì).學生在做題時,若遇到兩直線平行,往往要想到用兩直線平行得同位角或內(nèi)錯角相等,借助轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想解決問題.這是一道較易的證明題,鍛煉了學生的邏輯思維能力.二、填空題(共7小題,每小題3分,滿分21分)11、【解析】∵點A(2,0),點B(0,1),∴OA=2,OB=1,.∵l⊥AB,∴∠PAC+OAB=90°.∵∠OBA+∠OAB=90°,∴∠OBA=∠PAC.∵∠AOB=∠ACP,∴△ABO∽△PAC,.設(shè)AC=m,PC=2m,.當點P在x軸的上方時,由得,,,,PC=1,,由得,,∴m=2,∴AC=2,PC=4,∴OC=2+2=4,∴P(4,4).當點P在x軸的下方時,由得,,,,PC=1,,由得,,∴m=2,∴AC=2,PC=4,∴OC=2-2=0,∴P(0,4).所以P點坐標為或(4,4)或或(0,4)【點睛】本題考察了相似三角形的判定,相似三角形的性質(zhì),平面直角坐標系點的坐標及分類討論的思想.在利用相似三角形的性質(zhì)列比例式時,要找好對應邊,如果對應邊不確定,要分類討論.因點P在x軸上方和下方得到的結(jié)果也不一樣,所以要分兩種情況求解.請在此填寫本題解析!12、﹣=1.【解析】原有的同學每人分擔的車費應該為,而實際每人分擔的車費為,方程應該表示為:﹣=1.故答案是:﹣=1.13、【解析】試題分析:這四個數(shù)中,奇數(shù)為1和3,則P(抽出的數(shù)字是奇數(shù))=2÷4=.考點:概率的計算.14、2【解析】試題解析:原式故答案為15、【解析】
把(1,4)代入兩函數(shù)表達式可得:a+b=4,再根據(jù)“對偶直線”的定義,即可確定a、b的值.【詳解】把(1,4)代入得:a+b=4又因為,,且,所以當a=1是b=3所以“對偶點”為(1,4)的一對“對偶直線”可以是:故答案為此題為新定義題型,關(guān)鍵是理解新定義,并按照新定義的要求解答.16、1.【解析】
根據(jù)逆流速度=靜水速度-水流速度,順流速度=靜水速度+水流速度,表示出逆流速度與順流速度,根據(jù)題意列出方程,求出方程的解問題可解.【詳解】解:設(shè)A港與B港相距xkm,
根據(jù)題意得:,
解得:x=1,
則A港與B港相距1km.
故答案為:1.此題考查了分式方程的應用題,解答關(guān)鍵是在順流、逆流過程中找出等量關(guān)系構(gòu)造方程.17、10【解析】
根據(jù)翻折的特點得到,.設(shè),則.在中,,即,解出x,再根據(jù)三角形的面積進行求解.【詳解】∵翻折,∴,,又∵,∴,∴.設(shè),則.在中,,即,解得,∴,∴.此題主要考查勾股定理,解題的關(guān)鍵是熟知翻折的性質(zhì)及勾股定理的應用.三、解答題(共7小題,滿分69分)18、(1)證明見解析;(2)△APQ是等邊三角形.【解析】
(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=AC,再根據(jù)SAS證明△ABP≌△ACQ;(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AP=AQ,再證∠PAQ=60°,從而得出△APQ是等邊三角形.【詳解】證明:(1)∵△ABC為等邊三角形,∴AB=AC,∠BAC=60°,在△ABP和△ACQ中,∴△ABP≌△ACQ(SAS),(2)∵△ABP≌△ACQ,∴∠BAP=∠CAQ,AP=AQ,∵∠BAP+∠CAP=60°,∴∠PAQ=∠CAQ+∠CAP=60°,∴△APQ是等邊三角形.本題考查了全等三角形的判定,考查了全等三角形對應邊相等的性質(zhì),考查了正三角形的判定,本題中求證,△ABP≌△ACQ是解題的關(guān)鍵.19、(1)18;(2)中位數(shù);(3)100名.【解析】【分析】(1)根據(jù)條形統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)可以得到m的值;(2)根據(jù)題意可知應選擇中位數(shù)比較合適;(3)根據(jù)統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)可以計該部門生產(chǎn)能手的人數(shù).【詳解】(1)由圖可得,眾數(shù)m的值為18,故答案為:18;(2)由題意可得,如果想讓一半左右的工人能獲獎,應根據(jù)中位數(shù)來確定獎勵標準比較合適,故答案為:中位數(shù);(3)300×=100(名),答:該部門生產(chǎn)能手有100名工人.【點睛】本題考查了條形統(tǒng)計圖、用樣本估計總體、加權(quán)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù),解答本題的關(guān)鍵是明確題意,利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.20、(115)這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為15.116%;(116)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是11511609.116億元;(15)116016年社會消費品零售總額為11515167×(115+15.116%)億元.【解析】試題分析:(115)根據(jù)中位數(shù)的定義把這組數(shù)據(jù)從小到大排列,找出最中間的數(shù)即可得出答案;(116)根據(jù)平均數(shù)的定義,求解即可;(15)根據(jù)增長率的中位數(shù),可得116016年的銷售額.試題解析:解:(115)數(shù)據(jù)從小到大排列115.16%,116.5%,15.116%,16.115%,5.7%,則嘉興市1160115~116015年社會消費品零售總額增速這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是15.116%;(116)嘉興市近三年(1160116~116015年)的社會消費品零售總額這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是:(6.16+7.6+515.7+9.9+1150.0)÷5=11575.116(億元);(15)從增速中位數(shù)分析,嘉興市116016年社會消費品零售總額為1150×(115+15.116%)=16158.116716(億元).考點:115.折線統(tǒng)計圖;116.條形統(tǒng)計圖;15.算術(shù)平均數(shù);16.中位數(shù)..21、官有200人,兵有800人【解析】
設(shè)官有x人,兵有y人,根據(jù)1000官兵正好分1000匹布,即可得出關(guān)于x,y的二元一次方程組,解之即可得出結(jié)論.【詳解】解:設(shè)官有x人,兵有y人,依題意,得:,解得:.答:官有200人,兵有800人.本題主要考查二元一次方程組的應用,根據(jù)題意列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵.22、(1)EF是⊙O的切線,理由詳見解析;(1)詳見解析;(3)⊙O的半徑的長為1.【解析】
(1)連接OE,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠A=∠AEO,∠B=∠BEF,于是得到∠OEG=90°,即可得到結(jié)論;(1)根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)證明即可;(3)由AD是⊙O的直徑,得到∠AED=90°,根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠EOD=60°,求得∠EGO=30°,根據(jù)三角形和扇形的面積公式即可得到結(jié)論.【詳解】解:(1)連接OE,∵OA=OE,∴∠A=∠AEO,∵BF=EF,∴∠B=∠BEF,∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°,∴∠AEO+∠BEF=90°,∴∠OEG=90°,∴EF是⊙O的切線;(1)∵∠AED=90°,∠A=30°,∴ED=AD,∵∠A+∠B=90°,∴∠B=∠BEF=60°,∵∠BEF+∠DEG=90°,∴∠DEG=30°,∵∠ADE+∠A=90°,∴∠ADE=60°,∵∠ADE=∠EGD+∠DEG,∴∠DGE=30°,∴∠DEG=∠DGE,∴DG=DE,∴DG=DA;(3)∵AD是⊙O的直徑,∴∠AED=90°,∵∠A=30°,∴∠EOD=60°,∴∠EGO=30°,∵陰影部分的面積解得:r1
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