二次函數(shù)動軸與動區(qū)間問題

二次函數(shù)在閉區(qū)間上得最值知識要點(diǎn)：一元二次函數(shù)得區(qū)間最值問題，核心就是函數(shù)對稱軸與給定區(qū)間得相對位置關(guān)系得討論。一般分為：對稱軸在區(qū)間得左邊，中間，右邊三種情況、設(shè)，求在上得最大值與最小值。分析：將配方，得頂點(diǎn)為、對稱軸為當(dāng)時(shí)，它得圖象就是開口向上得拋物線，數(shù)形結(jié)合可得在[m，n]上得最值：（1）當(dāng)時(shí)，得最小值就是得最大值就是中得較大者。（2）當(dāng)時(shí)若，由在上就是增函數(shù)則得最小值就是，最大值就是若，由在上就是減函數(shù)則得最大值就是，最小值就是當(dāng)時(shí)，可類比得結(jié)論。二、例題分析歸類：（一）、正向型就是指已知二次函數(shù)與定義域區(qū)間，求其最值。對稱軸與定義域區(qū)間得相互位置關(guān)系得討論往往成為解決這類問題得關(guān)鍵。此類問題包括以下四種情形：（1）軸定，區(qū)間定；（2）軸定，區(qū)間變；（3）軸變，區(qū)間定；（4）軸變，區(qū)間變。1、軸定區(qū)間定二次函數(shù)就是給定得，給出得定義域區(qū)間也就是固定得，我們稱這種情況就是“定二次函數(shù)在定區(qū)間上得最值”。例1、函數(shù)在區(qū)間[0，3]上得最大值就是_________，最小值就是_______。解：函數(shù)就是定義在區(qū)間[0，3]上得二次函數(shù)，其對稱軸方程就是，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），且其圖象開口向下，顯然其頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在［0，3］上，如圖1所示。函數(shù)得最大值為，最小值為。圖1練習(xí)、已知，求函數(shù)得最值。解：由已知，可得，即函數(shù)就是定義在區(qū)間上得二次函數(shù)。將二次函數(shù)配方得，其對稱軸方程，頂點(diǎn)坐標(biāo)，且圖象開口向上。顯然其頂點(diǎn)橫坐標(biāo)不在區(qū)間內(nèi)，如圖2所示。函數(shù)得最小值為，最大值為。圖22、軸定區(qū)間變二次函數(shù)就是確定得，但它得定義域區(qū)間就是隨參數(shù)而變化得，我們稱這種情況就是“定函數(shù)在動區(qū)間上得最值”。例2、如果函數(shù)定義在區(qū)間上，求得最小值。解：函數(shù)，其對稱軸方程為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），圖象開口向上。圖1圖2圖3如圖1所示，若頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間左側(cè)時(shí)，有，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值。如圖2所示，若頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間上時(shí)，有，即。當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值。如圖3所示，若頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間右側(cè)時(shí)，有，即。當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值綜上討論，例3、已知，當(dāng)時(shí)，求得最大值．解：由已知可求對稱軸為．（1）當(dāng)時(shí)，．（2）當(dāng)，即時(shí)，．根據(jù)對稱性若即時(shí)，．若即時(shí)，．（3）當(dāng)即時(shí)，．綜上，觀察前兩題得解法，為什么最值有時(shí)候分兩種情況討論，而有時(shí)候又分三種情況討論呢？這些問題其實(shí)仔細(xì)思考就很容易解決。不難觀察：二次函數(shù)在閉區(qū)間上得得最值總就是在閉區(qū)間得端點(diǎn)或二次函數(shù)得頂點(diǎn)取到。第一個(gè)例題中，這個(gè)二次函數(shù)就是開口向上得，在閉區(qū)間上，它得最小值在區(qū)間得兩個(gè)端點(diǎn)或二次函數(shù)得頂點(diǎn)都有可能取到，有三種可能，所以分三種情況討論；而它得最大值不可能就是二次函數(shù)得頂點(diǎn)，只可能就是閉區(qū)間得兩個(gè)端點(diǎn)，哪個(gè)端點(diǎn)距離對稱軸遠(yuǎn)就在哪個(gè)端點(diǎn)取到，當(dāng)然也就根據(jù)區(qū)間中點(diǎn)與左右端點(diǎn)得遠(yuǎn)近分兩種情況討論。根據(jù)這個(gè)理解，不難解釋第二個(gè)例題為什么這樣討論。對二次函數(shù)得區(qū)間最值結(jié)合函數(shù)圖象總結(jié)如下：當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)3、軸變區(qū)間定二次函數(shù)隨著參數(shù)得變化而變化，即其圖象就是運(yùn)動得，但定義域區(qū)間就是固定得，我們稱這種情況就是“動二次函數(shù)在定區(qū)間上得最值”。例4、已知，且，求函數(shù)得最值。解：由已知有，于就是函數(shù)就是定義在區(qū)間上得二次函數(shù)，將配方得：二次函數(shù)得對稱軸方程就是頂點(diǎn)坐標(biāo)為，圖象開口向上由可得，顯然其頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間得左側(cè)或左端點(diǎn)上。函數(shù)得最小值就是，最大值就是。圖3例5、(1)求在區(qū)間[-1,2]上得最大值。(2)求函數(shù)在上得最大值。解：(1)二次函數(shù)得對稱軸方程為，當(dāng)即時(shí)，；當(dāng)即時(shí)，。綜上所述：。(2)函數(shù)圖象得對稱軸方程為，應(yīng)分，，即，與這三種情形討論，下列三圖分別為（1）；由圖可知（2）；由圖可知（3）時(shí)；由圖可知；即4、軸變區(qū)間變二次函數(shù)就是含參數(shù)得函數(shù)，而定義域區(qū)間也就是變化得，我們稱這種情況就是“動二次函數(shù)在動區(qū)間上得最值”。例6、已知，求得最小值。解：將代入u中，得①，即時(shí)，②，即時(shí)，∴（二）、逆向型就是指已知二次函數(shù)在某區(qū)間上得最值，求函數(shù)或區(qū)間中參數(shù)得取值。例7、已知函數(shù)在區(qū)間上得最大值為4，求實(shí)數(shù)a得值。解：（1）若，不符合題意。（2）若則，由，得（3）若時(shí)，則，由，得綜上知或例8、已知函數(shù)在區(qū)間上得最小值就是3最大值就是3，求，得值。解法1：討論對稱軸中1與得位置關(guān)系。①若，則，解得②若，則，無解③若，則，無解④若，則，無解綜上，解析2：由，知，則，又∵在上當(dāng)增大時(shí)也增大所以，解得評注：解法2利用閉區(qū)間上得最值不超過整個(gè)定義域上得最值，縮小了，得取值范圍，避開了繁難得分類討論，解題過程簡潔、明了。例9、已知二次函數(shù)在區(qū)間上得最大值為3，求實(shí)數(shù)a得值。這就是一個(gè)逆向最值問題，若從求最值入手，需分與兩大類五種情形討論，過程繁瑣不堪。若注意到最大值總就是在閉區(qū)間得端點(diǎn)或拋物線得頂點(diǎn)處取到，因此先計(jì)算這些點(diǎn)得函數(shù)值，再檢驗(yàn)其真假，過程就簡明多了。具體解法為：（1）令，得此時(shí)拋物線開口向下，對稱軸方程為，且，故不合題意；（2）令，得此時(shí)拋物線開口向上，閉區(qū)間得右端點(diǎn)距離對稱軸較遠(yuǎn)，故符合題意；（3）若，得此時(shí)拋物線開口向下，閉區(qū)間得右端點(diǎn)距離對稱軸較遠(yuǎn)，故符合題意。綜上，或解后反思：若函數(shù)圖象得開口方向、對稱軸均不確定，且動區(qū)間所含參數(shù)與確定函數(shù)得參數(shù)一致，可采用先斬后奏得方法，利用二次函數(shù)在閉區(qū)間上得最值只可能在區(qū)間端點(diǎn)、頂點(diǎn)處取得，不妨令之為最值，驗(yàn)證參數(shù)得資格，進(jìn)行取舍，從而避開繁難得分類討論，使解題過程簡潔、明了。三、鞏固訓(xùn)練1．函數(shù)在上得最小值與最大值分別就是（）1,3,3（C）,3（D）,32．函數(shù)在區(qū)間上得最小值就是（）23．函數(shù)得最值為（）最大值為8，最小值為0不存在最小值，最大值為8（C）最小值為0,不存在最大值不存在最小值，也不存在最大值4．若函數(shù)得取值范圍就是______________________5．已知函數(shù)上得最大值就是1，則實(shí)數(shù)a得值為6．如果實(shí)數(shù)滿足，那么有（）(A)最大值為1,最小值為(B)無最大值，最小值為（C）)最大值為1,無最小值(D)最大值為1，最小值為7．已知函數(shù)在閉區(qū)間上有最大值3，最小值2，則得取值范圍就是（）(A)(B)(C)(D)8．若，那么得最小值為__________________9．設(shè)就是方程得兩個(gè)實(shí)根，則得最小值______10．設(shè)求函數(shù)得最小值得解析式。11．已知，在區(qū)間上得最大值為，求得最小值。12、（2009江蘇卷）設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)、(1)若，求得取值范圍；(2)求得最小值；(3)設(shè)函數(shù)