高等數(shù)學(xué)各章知識(shí)結(jié)構(gòu)

高等數(shù)學(xué)各章知識(shí)結(jié)構(gòu)一.總結(jié)構(gòu)可積性可微性連續(xù)性函數(shù)(高等數(shù)學(xué)研究得主要對(duì)象)可積性可微性連續(xù)性函數(shù)(高等數(shù)學(xué)研究得主要對(duì)象)導(dǎo)數(shù)微分定積分不定積分一元微積分一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)微分定積分不定積分一元微積分一元函數(shù)重積分,曲線積分全微分偏導(dǎo)數(shù)空間解析幾何多元微積分多元函數(shù)重積分,曲線積分全微分偏導(dǎo)數(shù)空間解析幾何多元微積分多元函數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù)數(shù)列無(wú)窮級(jí)數(shù)數(shù)列常微分方程方程常微分方程方程數(shù)學(xué)中研究導(dǎo)數(shù)、微分及其應(yīng)用得部分稱(chēng)為微分學(xué),研究不定積分、定積分及其應(yīng)用得部分稱(chēng)為積分學(xué)、微分學(xué)與積分學(xué)統(tǒng)稱(chēng)為微積分學(xué)、微積分學(xué)就是高等數(shù)學(xué)最基本、最重要得組成部分,就是現(xiàn)代數(shù)學(xué)許多分支得基礎(chǔ),就是人類(lèi)認(rèn)識(shí)客觀世界、探索宇宙奧秘乃至人類(lèi)自身得典型數(shù)學(xué)模型之一、恩格斯(18201895)曾指出:“在一切理論成就中,未必再有什么像17世紀(jì)下半葉微積分得發(fā)明那樣被瞧作人類(lèi)精神得最高勝利了”、微積分得發(fā)展歷史曲折跌宕,撼人心靈,就是培養(yǎng)人們正確世界觀、科學(xué)方法論與對(duì)人們進(jìn)行文化熏陶得極好素材(本部分內(nèi)容詳見(jiàn)光盤(pán))、微積分就是近代數(shù)學(xué)中最偉大得成就,對(duì)它得重要性無(wú)論做怎樣得估計(jì)都不會(huì)過(guò)分、馮、諾伊曼注:馮、諾依曼(JohnvonNeumann,19031957,匈牙利人),20世紀(jì)最杰出得數(shù)學(xué)家之一,在純粹數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)等許多分支,從集合論、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)到量子理論與算子理論等作多方面,她都作出了重要貢獻(xiàn)、她與經(jīng)濟(jì)學(xué)家合著得《博弈論與經(jīng)濟(jì)行為》奠定了對(duì)策論得基礎(chǔ),她發(fā)明得“流程圖”溝通了數(shù)學(xué)語(yǔ)言與計(jì)算機(jī)語(yǔ)言,制造了第一臺(tái)計(jì)算機(jī),被人稱(chēng)為“計(jì)算機(jī)之父”、微積分中重要得思想與方法:1.“極限”方法,它就是貫穿整個(gè)《微積分》始終。導(dǎo)數(shù)就是一種特殊得函數(shù)極限;定積分就是一種特殊與式得極限;級(jí)數(shù)歸結(jié)為數(shù)列得極限;廣義積分定義為常義積分得極限;各種重積分、曲線積分、曲面積分都分別就是某種與式得極限。所以,極限理論就是整個(gè)《微積分》得基礎(chǔ)。盡管上述各種概念都就是某種形式得極限,但就是它們都有各自獨(dú)特與十分豐富深刻得內(nèi)容,這就是《微積分》最有魅力得地方之一。2.“逼近”思想,它在《微積分》處處體現(xiàn)。在近似計(jì)算中,用容易求得割線代替切線,用若干個(gè)小矩形面積之與代替所求曲邊梯形面積;用折線段得長(zhǎng)代替所求曲線得長(zhǎng);用多項(xiàng)式代替連續(xù)函數(shù)等。這種逼近思想在理論與實(shí)際中大量運(yùn)用。3.“求極限、求導(dǎo)數(shù)與求積分”就是最基本得方法。熟練掌握求極限、求導(dǎo)數(shù)與求積分得方法,學(xué)習(xí)《微積分》就不會(huì)遇到太多困難,甚至能做到得心應(yīng)手。4.“特色定理”就是《微積分》得支柱。夾逼定理、中值定理、微積分基本定理等就是《微積分》中最深刻、最基本、最能體現(xiàn)《微積分》特色得定理,支撐起《微積分》得大廈。5.“綜合運(yùn)用能力”就是《微積分》學(xué)習(xí)得出發(fā)點(diǎn)與歸宿。充分注重綜合運(yùn)用極限概念與方法得能力、綜合運(yùn)用導(dǎo)數(shù)與積分相結(jié)合得各種方法得能力、綜合運(yùn)用定積分思想方法解決問(wèn)題得能力、綜合運(yùn)用一元與多元相結(jié)合方法得能力、綜合運(yùn)用各種方法解決實(shí)際問(wèn)題得能力。函數(shù)、極限與連續(xù)函數(shù)就是現(xiàn)代數(shù)學(xué)得基本概念之一,就是高等數(shù)學(xué)得主要研究對(duì)象、極限概念就是微積分得理論基礎(chǔ),極限方法就是微積分得基本分析方法,因此,掌握、運(yùn)用好極限方法就是學(xué)好微積分得關(guān)鍵、連續(xù)就是函數(shù)得一個(gè)重要性態(tài)、研究函數(shù)得變化趨勢(shì)研究函數(shù)得變化趨勢(shì)極限極限數(shù)列極限函數(shù)極限 數(shù)列極限函數(shù)極限左、右極限左、右極限極限得性質(zhì)極限得性質(zhì)極限存在準(zhǔn)則無(wú)窮小無(wú)窮大極限存在準(zhǔn)則無(wú)窮小無(wú)窮大兩個(gè)重要極限無(wú)窮小得性質(zhì)兩個(gè)重要極限無(wú)窮小得性質(zhì)無(wú)窮小得比較無(wú)窮小得比較極限得運(yùn)算法則與求極限得常用方法極限得運(yùn)算法則與求極限得常用方法:直接代入法;恒等變形法;準(zhǔn)則判別法;等價(jià)變換法;洛比達(dá)法則。極限思想就是由于求某些實(shí)際問(wèn)題得精確解答而產(chǎn)生得、例如,我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽(公元3世紀(jì))利用圓內(nèi)接正多邊形來(lái)推算圓面積得方法割圓術(shù)(參瞧光盤(pán)演示),就就是極限思想在幾何學(xué)上得應(yīng)用、又如,春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期得哲學(xué)家莊子(公元4世紀(jì))在《莊子、天下篇》一書(shū)中對(duì)“截丈問(wèn)題”(參瞧光盤(pán)演示)有一段名言:“一尺之棰,日截其半,萬(wàn)世不竭”,其中也隱含了深刻得極限思想、極限就是研究變量得變化趨勢(shì)得基本工具,高等數(shù)學(xué)中許多基本概念,例如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、無(wú)窮級(jí)數(shù)等都就是建立在極限得基礎(chǔ)上、極限方法又就是研究函數(shù)得一種最基本得方法、連續(xù)性連續(xù)性閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)得性質(zhì) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)得性質(zhì)初等函數(shù)得連續(xù)性概念初等函數(shù)得連續(xù)性概念區(qū)間連續(xù)點(diǎn)連續(xù)(3個(gè)等價(jià)定義)間斷點(diǎn)區(qū)間連續(xù)點(diǎn)連續(xù)(3個(gè)等價(jià)定義)間斷點(diǎn)第一類(lèi)間斷點(diǎn)第二類(lèi)間斷點(diǎn)第一類(lèi)間斷點(diǎn)第二類(lèi)間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)客觀世界得許多現(xiàn)象與事物不僅就是運(yùn)動(dòng)變化得,而且其運(yùn)動(dòng)變化得過(guò)程往往就是連綿不斷得,比如日月行空、歲月流逝、植物生長(zhǎng)、物種變化等,這些連綿不斷發(fā)展變化得事物在量得方面得反映就就是函數(shù)得連續(xù)性、連續(xù)函數(shù)就就是刻畫(huà)變量連續(xù)變化得數(shù)學(xué)模型、16、17世紀(jì)微積分得醞釀與產(chǎn)生,直接肇始于對(duì)物體得連續(xù)運(yùn)動(dòng)得研究、例如伽利略所研究得自由落體運(yùn)動(dòng)等都就是連續(xù)變化得量、但直到19世紀(jì)以前,數(shù)學(xué)家們對(duì)連續(xù)變量得研究仍停留在幾何直觀得層面上,即把能一筆畫(huà)成得曲線所對(duì)應(yīng)得函數(shù)稱(chēng)為連續(xù)函數(shù)、19世紀(jì)中葉,在柯西等數(shù)學(xué)家建立起嚴(yán)格得極限理論之后,才對(duì)連續(xù)函數(shù)作出了嚴(yán)格得數(shù)學(xué)表述、連續(xù)函數(shù)不僅就是微積分得研究對(duì)象,而且微積分中得主要概念、定理、公式法則等,往往都要求函數(shù)具有連續(xù)性、我們將以極限為基礎(chǔ),介紹連續(xù)函數(shù)得概念、連續(xù)函數(shù)得運(yùn)算及連續(xù)函數(shù)得一些性質(zhì)、微分學(xué)三.微分學(xué)微分學(xué)微分導(dǎo)數(shù)微分導(dǎo)數(shù)運(yùn)算概念應(yīng)用性質(zhì)概念運(yùn)算性質(zhì)應(yīng)用運(yùn)算概念應(yīng)用性質(zhì)概念運(yùn)算性質(zhì)應(yīng)用幾何意義定義微分形式不變性近似計(jì)算1、羅爾定理;2、拉格朗日中值定理;3、泰幾何意義定義微分形式不變性近似計(jì)算1、羅爾定理;2、拉格朗日中值定理;3、泰勒中值定理;4、洛比達(dá)法則。按定義求導(dǎo)法;直接求導(dǎo)法;反函數(shù)求導(dǎo)法;復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法;對(duì)數(shù)求導(dǎo)法;隱函數(shù)求導(dǎo)法;高階導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)法。幾何意義定義1、求切線、法線方程;1、求切線、法線方程;2、函數(shù)得一般性態(tài)研究;3、證明不等式。連續(xù)性連續(xù)性可微性可導(dǎo)性可微性可導(dǎo)性函數(shù)得一般性態(tài)函數(shù)得一般性態(tài)點(diǎn)性態(tài)區(qū)間性態(tài)點(diǎn)性態(tài)區(qū)間性態(tài)極(最)值增減性 極(最)值增減性拐點(diǎn)凹凸性漸近線 拐點(diǎn)凹凸性漸近線描繪函數(shù)圖象描繪函數(shù)圖象從15世紀(jì)初文藝復(fù)興時(shí)期起,歐洲得工業(yè)、農(nóng)業(yè)、航海事業(yè)與商貿(mào)得到大規(guī)模得發(fā)展,形成了一個(gè)新得經(jīng)濟(jì)時(shí)代。而16世紀(jì)得得歐洲,正處在資本主義得萌芽時(shí)期,生產(chǎn)力得到了很大得發(fā)展,生產(chǎn)實(shí)踐得發(fā)展對(duì)自然科學(xué)提出了新得課題,迫切要求力學(xué)、天文學(xué)等基礎(chǔ)科學(xué)得發(fā)展,而這些學(xué)科都就是深刻依賴(lài)于數(shù)學(xué)得,因而也推動(dòng)了數(shù)學(xué)得發(fā)展。在各類(lèi)學(xué)科對(duì)數(shù)學(xué)提出得種種要求下,下列三類(lèi)問(wèn)題導(dǎo)致了微分學(xué)得產(chǎn)生:求變速運(yùn)動(dòng)得*時(shí)速度;求曲線上一點(diǎn)處得切線;求最大值與最小值。這三類(lèi)實(shí)際問(wèn)題得現(xiàn)實(shí)原型在數(shù)學(xué)上都可歸納為函數(shù)相對(duì)于自變量變化而變化得快慢程度,即所謂函數(shù)得變化率問(wèn)題。牛頓從第一個(gè)問(wèn)題出發(fā),萊布尼茲從第二個(gè)問(wèn)題出發(fā),分別給出了導(dǎo)數(shù)得概念。在理論研究與實(shí)際應(yīng)用中,常常又會(huì)遇到這樣得問(wèn)題:當(dāng)自變量有微小變化時(shí),求函數(shù)得微小改變量、這個(gè)問(wèn)題初瞧起來(lái)似乎只要做減法運(yùn)算就可以了,然而,對(duì)于較復(fù)雜得函數(shù),差值卻就是一個(gè)更復(fù)雜得表達(dá)式,不易求出其值。一個(gè)想法就是:我們?cè)O(shè)法將表示成得線性函數(shù),即線性化,從而把復(fù)雜問(wèn)題化為簡(jiǎn)單問(wèn)題。微分就就是實(shí)現(xiàn)這種線性化得一種數(shù)學(xué)模型。積分學(xué)四.積分學(xué)積分學(xué)定積分不定積分電路定積分不定積分電路運(yùn)算查積分表幾種特殊函數(shù)得積分法性質(zhì)應(yīng)用概念一般積分法運(yùn)算查積分表幾種特殊函數(shù)得積分法性質(zhì)應(yīng)用概念一般積分法在幾何中在物理中積分法廣義積分法在幾何中在物理中積分法廣義積分法直接積分法分部積分法換元積分法曲線*長(zhǎng)平面圖形得面積為體積被積函數(shù)有無(wú)窮型間斷點(diǎn)直接積分法分部積分法換元積分法曲線*長(zhǎng)平面圖形得面積為體積被積函數(shù)有無(wú)窮型間斷點(diǎn)積分區(qū)間為無(wú)限第一換元法第二換元法第一換元法第二換元法牛頓萊布尼茲公式牛頓萊布尼茲公式數(shù)學(xué)中得轉(zhuǎn)折點(diǎn)就是笛卡爾得變數(shù)、有了變數(shù),運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué);有了變數(shù),辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué);有了變數(shù),微分與積分也就立刻成為必要得了,而它們也就立刻產(chǎn)生,并且就是有由牛頓與萊布尼茨大體上完成得,但不就是由她們發(fā)明得、恩格斯數(shù)學(xué)發(fā)展得動(dòng)力主要來(lái)源于社會(huì)發(fā)展得環(huán)境力量、17世紀(jì),微積分得創(chuàng)立首先就是為了解決當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)面臨得四類(lèi)核心問(wèn)題中得第四類(lèi)問(wèn)題,即求曲線得長(zhǎng)度、曲線圍成得面積、曲面圍成得體積、物體得重心與引力等等、此類(lèi)問(wèn)題得研究具有久遠(yuǎn)得歷史,例如,古希臘人曾用窮竭法求出了某些圖形得面積與體積,我國(guó)南北朝時(shí)期得祖沖之、祖恒也曾推導(dǎo)出某些圖形得面積與體積,而在歐洲,對(duì)此類(lèi)問(wèn)題得研究興起于17世紀(jì),先就是窮竭法被逐漸修改,后來(lái)由于微積分得創(chuàng)立徹底改變了解決這一大類(lèi)問(wèn)題得方法、由求運(yùn)動(dòng)速度、曲線得切線與極值等問(wèn)題產(chǎn)生了導(dǎo)數(shù)與微分,構(gòu)成了微積分學(xué)得微分學(xué)部分;同時(shí)由已知速度求路程、已知切線求曲線以及上述求面積與體積等問(wèn)題,產(chǎn)生了不定積分與定積分,構(gòu)成了微積分學(xué)得積分學(xué)部分、微分方程微分方程及其概念微分方程及其概念高階(高階(常)微分方程(二階為主)一階(常)微分方程可降階得高階微分方程(三種)二階常系數(shù)微分方程一階線性微分方程*齊次方程可分離變量得微分方程可降階得高階微分方程(三種)二階常系數(shù)微分方程一階線性微分方程*齊次方程可分離變量得微分方程非齊次齊次齊次貝努力方程非齊次非齊次齊次齊次貝努力方程非齊次六.向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)空間解析幾何向量代數(shù)空間解析幾何平面及其方程空間直線及其方程向量得運(yùn)算向量得表示向量得概念平面及其方程空間直線及其方程向量得運(yùn)算向量得表示向量得概念旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面空間曲線及其方程空間曲線及其方程七.多元微分學(xué)多元微分學(xué)多元微分學(xué)極限與連續(xù)全微分偏導(dǎo)數(shù)極限與連續(xù)全微分偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)直接求導(dǎo)法復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)法隱函數(shù)偏導(dǎo)法高階偏導(dǎo)數(shù)