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文檔簡介
銳角三角函數(shù)(第5課時)人教版九年級數(shù)學(xué)下冊
1.如圖,在Rt△ABC
中,∠C=90°.
sinA=____________=____;
cosA=____________=____;
tanA=____________=____.ACB斜邊c對邊a鄰邊
b
2.將30°,45°,60°角的正弦值、余弦值和正切值填入下表:
銳角A銳角三角函數(shù)30°45°60°sinAcosAtanA1類型一、非特殊角的三角函數(shù)值在生活中的應(yīng)用ABODCE
1.下圖是一個半圓形橋洞截面的示意圖,圓心為
O,直徑
AB是河底線,弦
CD是水位線,CD∥AB,且
CD=24
m,OE⊥CD于點
E.已測得
sin∠DOE=
.(1)求
AB的長;(2)根據(jù)需要,水面要以
0.5
m/h的速度下降,則經(jīng)過多長時間才能將水排干?ABODCE
解:(1)∵OE⊥CD于點
E,CD=24
m,
∴ED=
CD=12(m).在
Rt△DOE中,∵sin∠DOE=
=
,
∴OD=
=13(m),
∴AB=26(m).(2)在Rt△DOE中,OE=
=
=5,
∴將水排干需5÷0.5=10(h).答:經(jīng)過10
h才能將水排干.ABDCEFα
2.CD是掛在墻上的一幅畫,高為
1.5
m.畫的下端與地面之間的距離
DE為
2.5
m,一個高
1.6
m的人在距離墻
1.2
m處看畫,求此人的視角
α的正切值.
解:由題意,得
AF=1.2
m,DF=2.5-1.6=0.9(m),∴AD=
=1.5(m),∴CD=AD,∴α=∠C,在
Rt△AFC中,tan
C=
=
=
,∴視角
α的正切值為
.
3.如圖,在離地面
5
m的點
C處引拉線固定電線桿,拉線與地面成
60°角,求拉線
AC的長以及拉線下端點
A與桿底
D的距離
AD(結(jié)果保留根號).類型二、特殊角的三角函數(shù)值在生活中的應(yīng)用
解:在
Rt△ADC中,∵sin∠CAD=
,tan∠CAD=
,
∴AC=
=
=
(m),
AD=
=
=
(m).答:拉線
AC的長是
m,拉線下端點
A與桿底
D的距離
AD是
m.類型二、特殊角的三角函數(shù)值在生活中的應(yīng)用
4.在數(shù)學(xué)拓展課程《玩轉(zhuǎn)學(xué)具》課堂中,小陸同學(xué)發(fā)現(xiàn):一副三角板中,含
45°的三角板的斜邊與含
30°的三角板的長直角邊相等.于是,小陸同學(xué)提出一個問題:如圖,將一副三角板直角頂點重合拼放在一起,點
B,C,E在同一直線上,若
BC=2,求
AF(結(jié)果保留根號).
解:在Rt△ABC中,BC=2,∠A=30°,tan
A=
,
∴AC=
=2,
∴EF=AC=2.在Rt△CEF中,∠E=45°,sin
E=
,
∴FC=EF·sin45°=
,
∴AF=AC-FC=2-
.類型三、構(gòu)造直角三角形解決實際問題
5.如圖,△ABC表示某中學(xué)的一塊三角形空地,為美化校園環(huán)境,準(zhǔn)備在空地內(nèi)種植草皮,已知某種草皮的售價為
a元/m2,則購買這種草皮至少花費多少元?
解:如圖,作
BA邊的高
CD,與
BA的延長線交于點
D.
∵∠BAC=150°,∴∠DAC=30°.
∵在
Rt△ADC中,AC=30
m,sin∠DAC=
,
∴CD=AC·sin∠DAC=15(m),
∵AB=20
m,
∴S△ABC=
AB·CD=×20×15=150(m2).
∵這種草皮的售價為
a元/m2,
∴購買這種草皮至少需要
150a元.D
6.如圖,在相距
100
m的
A,B兩處觀測工廠
C,測得∠BAC=60°,∠ABC=45°,求
A,B兩處到工廠
C的距離.
解:如圖,過點C作
CD⊥AB于點
D.在
Rt△ACD中,∠A=60°,tan
A=
,∴CD=AD·tan
60°=
AD.在
Rt△BCD中,∠B=45°,∴BD=CD=
AD.又
AB=100
m,
∴AD+BD=AD+
AD=100,D解得
AD=50(-1)m,∴BD=CD=50(3-
)m.在Rt△ACD中,∠A=60°,cos
A=
,∴AC=100(-1)m.在Rt△BCD中,∠B=45°,cos
B=
,∴BC=50(3-
)m.故
A,B兩處到工廠
C的距離分別為
100(-1)m,50(3-
)m.歸納(1)在作垂線構(gòu)造直角三角形時,不要破壞特殊角(30°,45°,60°)的完整性,即盡量不要過這些特殊角的頂點作垂線.(2)當(dāng)題目中出現(xiàn)150°,120°,105°,75°等角度時,要通過“割補”法,把這些角度轉(zhuǎn)化為30°,45°,60°,再利用這些角的三角函數(shù)值解決問題.ABCD
7.如圖,一塊三角形的草地,其中
BC=10
m,tan
B=2,tan
C=
,試求這塊草地的面積.
解:如圖,過點
A作
AD⊥BC于點
D.
∵tan
B=2,∴
=2.
∵tan
C=
,∴
=
.則設(shè)
AD=x,則
BD=
x,DC=2x,故
x+2
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