人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)銳角三角函數(shù)《解直角三角形及其應(yīng)用（第1課時(shí)）》示范教學(xué)課件

解直角三角形及其應(yīng)用

（第1課時(shí)）人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)sinA＝____________＝____．如圖，在Rt△ABC

中，∠C＝90°．

我們把銳角A的_________________叫做∠A的正弦，記作sinA，即ACBacb對(duì)邊與斜邊的比

把∠A的________________叫做∠A

的余弦，記作cosA，即cosA＝____________＝____；鄰邊與斜邊的比ACBacb

把∠A的_________________叫做∠A

的正切，記作tanA，即tanA＝__________＝____．對(duì)邊與鄰邊的比我們回到本章引言提出的比薩斜塔傾斜程度的問題．

1972

年的情形：設(shè)塔頂中心點(diǎn)為

B，塔身中心線與垂直中心線的夾角為∠A，過點(diǎn)

B

向垂直中心線引垂線，垂足為點(diǎn)

C（如圖）．在

Rt△ABC

中，∠C＝90°，BC＝5.2

m，AB＝54.5

m，求∠A

的度數(shù)．∵

BC＝5.2

m，AB＝54.5

m，∴

，利用計(jì)算器可得∠A≈5°28′．意大利從

1990

年起對(duì)斜塔維修糾偏，2001

年竣工，此時(shí)塔頂中心點(diǎn)偏離垂直中心線的距離比糾偏前減少了

43.8

cm．類似地，可以求出

2001

年糾偏后塔身中心線與垂直中心線的夾角．你能求出來嗎？∵

43.8

cm＝0.438

m，∴B′C＝BC－0.438＝5.2－0.438＝4.762（m）．∴

，利用計(jì)算器可得∠A≈5°0′46″．C′B′A′1．將上述問題推廣為一般的數(shù)學(xué)問題如何求解？已知直角三角形的斜邊和一條直角邊，求它的銳角的度數(shù)．可利用銳角的正弦（或余弦）的概念直接求解．2．在上述

Rt△ABC

中，你還能求其他未知的邊和角嗎？根據(jù)直角三角形兩銳角互余可求得∠B

的值，根據(jù)

可求得

AC

的長．一般地，直角三角形中，除直角外，共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過程，叫做解直角三角形．在直角三角形中，除直角外的五個(gè)元素之間有哪些關(guān)系？如圖，在

Rt△ABC

中，∠C

為直角，∠A，∠B，∠C

所對(duì)的邊分別為

a，b，c，那么除直角∠C

外的五個(gè)元素之間有如下關(guān)系：（1）三邊之間的關(guān)系a2＋b2＝c2（勾股定理）；（2）兩銳角之間的關(guān)系∠A＋∠B＝90°；（3）邊角之間的關(guān)系

上述（3）中的

A

都可以換成

B，同時(shí)把

a，b

互換．知道五個(gè)元素中的幾個(gè)，就可以求其余元素？在直角三角形中，知道除直角以外的五個(gè)元素中的兩個(gè)元素（至少有一個(gè)是邊），就可以求其余三個(gè)未知元素．已知兩個(gè)角不能解直角三角形，因?yàn)橹挥薪堑臈l件時(shí)，三角形的大小不能確定，即有無數(shù)多個(gè)三角形符合條件：已知一角、一邊時(shí)，角必須是銳角，若已知的角是直角，則不可解．

例1

如圖，在

Rt△ABC

中，∠C＝90°，AC＝

，BC＝

，解這個(gè)直角三角形．解直角三角形的目標(biāo)是什么？解直角三角形的目標(biāo)是由已知元素求所有未知元素．在

Rt△ABC

中，有哪些未知元素？如何求這些未知元素？求解的依據(jù)是什么？

例1

如圖，在

Rt△ABC

中，∠C＝90°，AC＝

，BC＝

，解這個(gè)直角三角形．解：∵

∴∠A＝60°，∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°，AB＝2AC＝2

．

例2

如圖，在

Rt△ABC

中，∠C＝90°，∠B＝35°，b＝20，解這個(gè)直角三角形（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）．

解：∠A＝90°－∠B＝90°－35°＝55°．∵∴∵∴

解直角三角形的類型及方法圖示已知類型已知條件方法與步驟兩邊斜邊，一條直角邊（如

c，a）（1）

；（2）由

，求∠A；（3）∠B＝90°－∠A兩條直角邊

a，b（1）

；（2）由

，求∠A；（3）∠B＝90°－∠A圖示已知類型已知條件方法與步驟一邊、一角（除直角外）斜邊，一個(gè)銳角（如

c，∠A）（1）∠B＝90°－∠A；（2）由

，得

a＝c·sinA；（3）由

，得

b＝c·cosA一條直角邊，一個(gè)銳角（如

a，∠A）（1）∠B＝90°－∠A；（2）由