《數(shù)據(jù)、模型與決策》 課件 3.1 線性規(guī)劃模型

第3章線性規(guī)劃模型在市場、人員、財(cái)務(wù)中的應(yīng)用與決策

管理要素有哪些？本章內(nèi)容框架自1947年Dantzig提出線性規(guī)劃的單純型方法后，線性規(guī)劃的理論體系和計(jì)算方法日趨系統(tǒng)和完善。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，線性規(guī)劃模型已廣泛應(yīng)用于商業(yè)領(lǐng)域，如投資決策分析、運(yùn)輸問題計(jì)劃等。下面我們通過幾個(gè)例子來說明線性規(guī)劃模型在市場、人員安排、財(cái)務(wù)等領(lǐng)域中的應(yīng)用及其模型的求解方法與決策。線性規(guī)劃模型在物流領(lǐng)域中的應(yīng)用與決策，我們放在第6章介紹。

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問題的提出建模過程：1.理解要解決的問題，了解題中的目標(biāo)和條件；2.定義決策變量（x1，x2，…，xn

），決策變量的一組定值表示一個(gè)方案；3.用決策變量的線性函數(shù)形式表達(dá)目標(biāo)函數(shù)，確定目標(biāo)是極大化，還是極小化（MAX或MIN）；3.用決策變量的一組等式或不等式來表示解決問題過程中必須遵循的約束條件（≥、≤或＝）；5.根據(jù)決策變量的物理性質(zhì)確定變量是否有非負(fù)性。一般形式：目標(biāo)函數(shù)：Max（Min）Z=c1x1+c2x2+…+cn

xn

約束條件：s.t.a11x1+a12x2+…+a1n

xn

≤（=,≥）b1

a21x1+a22x2+…+a2n

xn

≤（=,≥）b2…………

am1x1+am2x2+…+amn

xn

≤（=,≥）bm

x1，x2，…，xn≥05問題的提出線性規(guī)劃模型的三要素：

1、決策變量用符號來表示可控制的因素

2、目標(biāo)函數(shù)MaxZ或MinZ3、約束條件s.t.(subjectto)滿足于線性規(guī)劃研究的兩大問題：

1、資源一定，任務(wù)目標(biāo)最優(yōu)；

2、任務(wù)一定，要求使用的資源最少。3.1市場調(diào)查問題模型的建立與決策

例：某市場調(diào)查公司受某廠的委托，調(diào)查消費(fèi)者對某種新產(chǎn)品的了解和反應(yīng)情況。該廠對市場調(diào)查公司提出了一下要求：（1）共對500個(gè)家庭進(jìn)行調(diào)查（2）在被調(diào)查的家庭中，至少有200個(gè)是沒有孩子的家庭，同時(shí)至少有200個(gè)是有孩子的家庭（3）至少對300個(gè)被調(diào)查家庭采用問卷式書面調(diào)查，其余家庭可采用口頭調(diào)查；（4）在有孩子的被調(diào)查家庭中，至少有50%的家庭采用問卷式書面調(diào)查；（5）在沒有孩子的被調(diào)查家庭中，至少有60%的家庭采用問卷式書面調(diào)查。對不同家庭采用不同調(diào)查方式的費(fèi)用見表3.1

表3.1.1市場調(diào)查費(fèi)用表

家庭類型

調(diào)查費(fèi)用（元）問卷式書面調(diào)查

口頭調(diào)查有孩子的家庭5030沒有孩子的家庭4025華中市場調(diào)查公司應(yīng)如何進(jìn)行調(diào)查，使得在滿足廠方要求的條件下使得總調(diào)查費(fèi)用最?。拷猓焊鶕?jù)題意，本問題的決策變量如下：X1—對有孩子家庭采用問卷式書面調(diào)查的數(shù)目，X2—對有孩子家庭采用口頭調(diào)查的數(shù)目，X3—對沒有孩子家庭采用問卷式書面調(diào)查的數(shù)目，X4—對沒有孩子家庭采用口頭調(diào)查的數(shù)目。

家庭類型

調(diào)查家庭數(shù)問卷式書面調(diào)查

口頭調(diào)查有孩子的家庭X1X2沒有孩子的家庭X3X4本問題的目標(biāo)是使得總調(diào)查費(fèi)用最小。由表3.1.1

可知各種情況下每調(diào)查一個(gè)家庭的費(fèi)用，因此，總調(diào)查費(fèi)用應(yīng)等于各種情況下的調(diào)查費(fèi)用之和。即：

50X1+30

X2+40X3+25X4該公司的目標(biāo)是使得總費(fèi)用最小化，即：

min50X1+30

X2+40X3+25X4本問題的約束條件包括：調(diào)查家庭總數(shù)約束，有孩子與沒有孩子的被調(diào)查家庭數(shù)約束，采用問卷式書面調(diào)查的家庭數(shù)約束，以及采用問卷式書面調(diào)查的家庭的比例約束。由此，可得本問題的線性規(guī)劃模型如下：o.b.Min50X1+30

X2+40X3+25X4s.t.X1+X2+X3+X4=500（調(diào)查家庭總數(shù)約束）

X1+

X2≥200（有孩子家庭調(diào)查數(shù)約束）

X3+X4≥200（沒有孩子家庭調(diào)查數(shù)約束）

X1+X3≥300（采用問卷式書面調(diào)查的家庭數(shù)約束）

X1≥0.5*（X1+X2）（有孩子家庭采用問卷式書面調(diào)查比例約束）

X3≥0.6*（X3+X4）（沒有孩子家庭采用問卷式書面調(diào)查比例約束）

X1，

X2，X3，X4≥0（非負(fù)約束）圖3-2數(shù)據(jù)設(shè)置與求解公式圖3-3規(guī)劃求解參數(shù)設(shè)置圖3-4選項(xiàng)的設(shè)置圖3-5求解結(jié)果3.2人力資源分配問題模型的建立與決策例：某通訊中心需全天24小時(shí)為客戶提供熱線電話服務(wù)，中心接線員分別于班次開始時(shí)上班，每次需連續(xù)工作8小時(shí)。已知各個(gè)班次所需接線員如表3-2所示。問：中心至少聘用多少接線員才能使通訊中心正常運(yùn)轉(zhuǎn)？班次時(shí)間需要接線員數(shù)量/人10：00~4：00524：00~8：001038：00~12：0020412：00~16：0027516：00~20：0030620：00~24：0015表3-2各班次所需接線員人數(shù)解：設(shè)分別表示各個(gè)班次安排的接線員數(shù)量。則可建立下述的線性規(guī)劃模型求解該問題：目標(biāo)函數(shù)：MinZ=x1+x2+x3+x4+x5+x6

約束條件：s.t.x1+x6≥5

x1+x2≥10

x2+x3≥20

x3+x4≥27

x4+x5≥30

x5+x6≥15

x1,x2,x3,x4,x5,x6≥0且取整該模型的已知數(shù)據(jù)、決策變量、目標(biāo)函數(shù)、約束條件等設(shè)置如圖3-6所示圖3-6數(shù)據(jù)設(shè)置與求解公式圖3-7規(guī)劃求解參數(shù)設(shè)置圖3-8求解結(jié)果例（排班問題）某航空公司準(zhǔn)備增加中心機(jī)場的往來航班，需雇傭更多的服務(wù)人員。分析新的航班時(shí)刻表，以確定一天中不同時(shí)段為實(shí)現(xiàn)客戶滿意水平必須工作的服務(wù)人員數(shù)。每班8小時(shí)，分5班，各班時(shí)間安排：排班16:00~14:00，排班28:00~16:00，排班312:00~20:00，排班416:00~24:00，排班522:00~6:00，時(shí)段＼排班12345人數(shù)6:00~8:00√488:00~10:00√√7910:00~12:00√√6512:00~14:00√√√8714:00~16:00√√6416:00~18:00√√7318:00~20:00√√8220:00~22:00√4322:00~24:00√√5224:00~6:00√15每人每天工資170160175180195問題是：確定各排班的人數(shù)，以最小的成本提供令人滿意的服務(wù)。（不同時(shí)段在崗，工資不同）G7=SUMPRODUCT(B7:F7,每班人數(shù))總?cè)藬?shù)=SUM(B19:F19)總成本=SUMPRODUCT(單位成本,每班人數(shù))總工資每天30610元 求解結(jié)果：6點(diǎn)班 48名 早8點(diǎn)班 31名 中午班 39名 下午4點(diǎn)班 43名 晚上10點(diǎn)班 15名決策變量：設(shè)xi

為各排班i

的人數(shù)（i=1,…,5）目標(biāo)函數(shù)：人員總費(fèi)用最少約束條件：每個(gè)時(shí)段的在崗人數(shù)必須不少于最少需要人數(shù)例

投資組合優(yōu)化問題。某公司董事會(huì)決定將20萬元現(xiàn)金進(jìn)行債券投資。經(jīng)咨詢，現(xiàn)有五種較好的投資對象，黃河汽車、長江汽車、華南電器、西南電器、縝山紙業(yè)。債券名稱黃河汽車長江汽車華南電器西南電器縝山紙業(yè)回報(bào)率6.5%9.2%3.5%5.5%3.2%為減少風(fēng)險(xiǎn)，董事會(huì)要求，對汽車業(yè)投資不得超過12萬元，對電器業(yè)投資不得超過8萬元，其中對長江汽車的投資不得超過對汽車業(yè)投資的65%，對紙業(yè)的投資不得低于對汽車業(yè)投資的20%。該公司應(yīng)如何投資，才能在滿足董事會(huì)要求的前提下使得總回報(bào)額最大？

3.3投資組合線性規(guī)劃模型的建立與決策解：（1）決策變量本問題的決策變量是對五種投資對象的投資額。設(shè)：該公司對五種債券的投資額分別為x1，x2，x3，x4，x5（萬元）。（2）目標(biāo)函數(shù)本問題的目標(biāo)是使得公司總回報(bào)額最大（3）約束條件總投資額為20萬現(xiàn)金汽車業(yè)的投資不得超過12萬電器資業(yè)的投不得超過8萬對長江汽車的投資不得超過對汽車業(yè)投資的65%對紙業(yè)的投資不得低于對汽車業(yè)投資的20%非負(fù)o.b.max0.065X1+0.092X2+0.045X3+0.055X4+0.042X5(總投資額最大化)s.t.X1+X2+X3+X4+X5=200000（總投資額約束）X1+X2≤120000（汽車業(yè)投資約束）X3+X4≤80000（電器業(yè)投資約束）X2≤0.65（X1+X2）（長江汽車業(yè)投資約束）X5≥0.20（X1+X2）（紙業(yè)投資約束）X1、X2、X3、X4、X5≥0（非負(fù)約束）該模型的已知數(shù)據(jù)、決策變量、目標(biāo)函數(shù)、約束條件等設(shè)置如圖3-9所示。圖3-9設(shè)置與求解公式數(shù)據(jù)圖3-10規(guī)劃求解參數(shù)設(shè)置圖3-11求解結(jié)果債券名稱黃河汽車長江汽車華南電器西南電器縝山紙業(yè)回報(bào)額（元）420007800005600024000表3-4五種債券回報(bào)額表這時(shí)，滿足所有的約束條件，且總回報(bào)額最大，達(dá)到13994元。

混合兩種以上的資源來生產(chǎn)一種以上的產(chǎn)品時(shí),就出現(xiàn)了混合問題.

例題：GS石油公司通過合成3種石油成分來生產(chǎn)汽油產(chǎn)品.這些產(chǎn)品以不同的價(jià)格出售,這3種石油成分的成本也不同.公司想通過決定一種混合這3種石油成分以生產(chǎn)汽油產(chǎn)品的方案來獲得最大的產(chǎn)品利潤.

現(xiàn)有的資料顯示,一般規(guī)格的汽油的售價(jià)是每加侖1.0美元,而特殊規(guī)格汽油是每加侖1.08美元.在當(dāng)前的生產(chǎn)計(jì)劃期內(nèi),GS公司可以得到的那3種石油成分每加侖的成本和總量見表:石油成分單位成本(美元)最大供應(yīng)量(加侖)

10.50500020.6010000

30.8410000混合問題GS公司的混合問題就是要決定一般規(guī)格汽油和特殊規(guī)格汽油的每種石油成分的用量分別為多少.具體要求見表:

產(chǎn)品規(guī)格

一般規(guī)格汽油最多百分之30成分1

最少百分之40成分2

最多百分之20成分3

特殊規(guī)格汽油最少百分之25成分1

最多百分之40成分2

最少百分之30成分3

資源分配問題例3.5

某公司是商務(wù)房地產(chǎn)開發(fā)項(xiàng)目的主要投資商。目前，該公司有機(jī)會(huì)在三個(gè)建設(shè)項(xiàng)目中投資： 項(xiàng)目1：建造高層辦公樓； 項(xiàng)目2：建造賓館； 項(xiàng)目3：建造購物中心。每個(gè)項(xiàng)目都要求投資者在四個(gè)不同的時(shí)期投資：在當(dāng)前預(yù)付定金，以及一年、二年、三年后分別追加投資。表3-1顯示了四個(gè)時(shí)期每個(gè)項(xiàng)目所需資金（百萬元）。投資者可以按一定的比例進(jìn)行投資和獲得相應(yīng)比例的收益。年