美與數(shù)學(xué)-培訓(xùn)課件

美與數(shù)學(xué)

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NortheastNormalUniversity兩個問題

人是如何感受美、認知美的

用數(shù)學(xué)語言表達這樣的認知開頭語Key

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NortheastNormalUniversity一、用數(shù)學(xué)的語言表達美二、簡潔美與數(shù)學(xué)表達三、對稱美與數(shù)學(xué)表達四、周期美與數(shù)學(xué)表達五、和諧美與數(shù)學(xué)表達報告提綱Key

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NortheastNormalUniversity一、用數(shù)學(xué)的語言表達美二、簡潔與數(shù)學(xué)表達三、對稱美與數(shù)學(xué)表達四、周期美與數(shù)學(xué)表達五、和諧美與數(shù)學(xué)表達報告提綱Key

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NortheastNormalUniversity美是感覺：人們對事物的一種感覺。希臘語審美

Aesthetikos

原意就是感覺。分為兩類：自然的，是指沒有經(jīng)過人類加工過的、事物原有的風貌；

藝術(shù)的，是指人類創(chuàng)作的東西，包括音樂、舞蹈、繪畫、書法、雕塑、詩歌、戲劇、小說、電影、攝影、建筑設(shè)計、平面設(shè)計等等，在現(xiàn)代社會，還可以拓展到計算機設(shè)計等諸多形式。具有共性：雖然人們對于美的感覺存在差異，甚至一個人對美的感覺可能會隨著心情的改變而改變，但是，在大多數(shù)的情況下，人們對美的感覺是具有共性的，比如，春天盛開的鮮花、夏日晴朗的夜空，都會使人心曠神怡；敦煌的壁畫千年不朽，李白的詩歌傳唱至今。一、用數(shù)學(xué)的語言表達美Key

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NortheastNormalUniversity凡是具有共性的東西，都是可以學(xué)習(xí)的，學(xué)會審美非常重要。

美可以陶冶人的道德情操，增加生活的樂趣；美可以改善人的思維品質(zhì)，提高行為的素養(yǎng)。

美還能激發(fā)人們的創(chuàng)作力，許多科學(xué)家、包括數(shù)學(xué)家潛心研究學(xué)問的動力不僅僅是為了探究真理，也來自對美的追求。

龐加萊的“自然各部分和諧的秩序”、愛因斯坦的“一幅簡化的和易領(lǐng)悟的世界圖像”，都涉及到自然界的規(guī)律或者事物的共性。

凡是具有規(guī)律或者共性的東西，必然會存在某種客觀的本質(zhì)屬性，對于美而言，客觀的本質(zhì)屬性就是審美的對象，引發(fā)人們從各個角度觀察與追求。一、用數(shù)學(xué)的語言表達美Key

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NortheastNormalUniversity法國數(shù)學(xué)家龐加萊：

科學(xué)家之所以研究自然，不是因為這樣做很有用。他們研究自然是因為能從中得到樂趣，而他們能夠得到樂趣是因為它美。如果自然不美，它就不值得去探求，生命也不值得存在……我指的是本質(zhì)上的美，它根源于自然各部分和諧的秩序，并且純理智能夠領(lǐng)悟它。愛因斯坦：

首先我同意叔本華所說的，把人們引向藝術(shù)和科學(xué)的最強烈的動機之一，是要逃避日常生活中令人厭惡的粗俗和使人絕望的沉悶，……

除了這種消極的動機之外，還有一種積極的動機。人們總是想以最適當?shù)姆绞絹懋嬕环喕暮鸵最I(lǐng)悟的世界圖像；Key

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隨著時代的變遷，人們審美的標準會有所變化，但審美對象本身卻又是相對穩(wěn)定的，如馬克思：

困難不在于理解希臘藝術(shù)和史詩同一定社會發(fā)展形式結(jié)合在一起。困難的是，它們何以仍然能夠給我們以藝術(shù)享受，而且從某些方面來說還是一種規(guī)范的和高不可及的范本。

原因在于美的本質(zhì)屬性。古今中外關(guān)于一般美學(xué)的哲學(xué)著作、關(guān)于各種藝術(shù)形式鑒賞的著作，種類繁多、舉不勝舉。這些著作論述的道理千差萬別，甚至對于美的定義也是眾說紛紜，但是，這些著作有一個共同的特點，那就是，書寫這些著作的語言都是日常生活中的語言，雖然這些語言的表達形式會因為國家或民族的不同而不同。一、用數(shù)學(xué)的語言表達美Key

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NortheastNormalUniversity我們將用數(shù)學(xué)的語言表達美，之所以可以是因為兩方面的原因：

一方面，數(shù)學(xué)也是一種語言，人們借助這種語言能夠很好地認識、理解和表達現(xiàn)實世界中的那些具有共性的、具有規(guī)律性的東西。如馬克思所說，美的客觀本質(zhì)屬性相對穩(wěn)定，具有規(guī)律性；

另一方面，數(shù)學(xué)本身也具有美的那些本質(zhì)屬性，許多數(shù)學(xué)家不僅從邏輯的角度、也從美的角度審視數(shù)學(xué)結(jié)論。

如德國數(shù)學(xué)家外爾所說，我的工作總是盡力把真和美統(tǒng)一起來，但當我必須在兩者中挑選一個時，我通常選擇美。

美的本質(zhì)屬性：簡潔、對稱、周期、和諧。一、用數(shù)學(xué)的語言表達美Key

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數(shù)學(xué)源于對現(xiàn)實世界的抽象，主要是對現(xiàn)實世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)的研究對象以及那些研究對象之間的關(guān)系，比如，自然數(shù)以及自然數(shù)的大小關(guān)系；點、直線、平面，以及兩點決定一條直線、三點決定一個平面這樣的關(guān)系。

數(shù)學(xué)通過概念確立、符號運算、形式推理、模型構(gòu)建等推理過程得到數(shù)學(xué)的結(jié)論，理解和表述現(xiàn)實世界中事物的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律。

數(shù)學(xué)不僅是運算和推理的工具，還是表達和交流的語言，承載著思想的文化。特別是，數(shù)學(xué)的抽象使得數(shù)學(xué)的研究具有一般性，因此，使用數(shù)學(xué)的語言，可以認識、理解、表達那些具有共性的、具有規(guī)律性的本質(zhì)屬性。Key

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NortheastNormalUniversity一、用數(shù)學(xué)的語言表達美二、簡潔美與數(shù)學(xué)表達三、對稱美與數(shù)學(xué)表達四、周期美與數(shù)學(xué)表達五、和諧美與數(shù)學(xué)表達報告提綱Key

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NortheastNormalUniversity凡是深刻的道理，表達往往是簡潔的。

《周易·系辭》開篇：乾以易知，坤以簡能。易則易知，簡則易從。……易簡而天下之理得矣。

乾坤是指萬物伊始，易知是指容易認識，易從是指容易操作。是說：世上的事物，往往都是起源于簡單，簡單容易理解也容易操作。

《道德經(jīng)》更為具體：為學(xué)日益，為道日損。

是說：學(xué)習(xí)要日積月累、得道要放棄多余。這就形成了中國哲學(xué)所倡導(dǎo)的大道至簡。正是基于大道至簡的理念，人們普遍認為恰到好處的簡潔是一種美。二、簡潔美與數(shù)學(xué)表達Key

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美國數(shù)學(xué)家伯克霍夫《美學(xué)度量》第一次給出美的度量方法，表示為：M=O/C，其中M表示審美值，O表示秩序，C表示復(fù)雜程度；因為復(fù)雜程度處在分母的位置，因此，越是簡潔的東西審美值就越高。

為什么人會認為簡潔是一種美？回歸大自然本身。如恩格斯所說：

我們主觀的思維和客觀的世界服從于同樣的規(guī)律，兩者在自己的結(jié)果中不能相互矛盾，必須彼此一致，這個事實絕對地統(tǒng)治著我們的整個理論思維，它是我們的理論思維的不自覺的和無條件的前提。

簡潔體現(xiàn)了大自然的普遍規(guī)律，這就是大自然的統(tǒng)一性，也就是科學(xué)家通常所說的秩序。如果大自然本身是雜亂無章、無規(guī)律可循的，那么，簡潔就不可能成為美的共同屬性。二、簡潔美與數(shù)學(xué)表達Key

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NortheastNormalUniversity數(shù)學(xué)

圓：無論大小，周長與直徑的比都是同樣的常數(shù)，這個常數(shù)是一個不

可思議的無理數(shù)

π。圓面積

πr2，圓周長2πr。

多邊形：三角形內(nèi)角和180度；直角三角形勾股定理；三角形、矩形、梯形

面積公式統(tǒng)一；圓柱、圓錐、圓臺體積公式統(tǒng)一；

圓錐曲線的統(tǒng)一公式；頂點、棱、面?zhèn)€數(shù)關(guān)系的歐拉公式。幾何公理：1.等于同量的量彼此相等；2.等量加等量，其和相等；

3.等量減等量，其差相等；4.彼此能重合的物體全等；

5.整體大于部分。

二、簡潔美與數(shù)學(xué)表達Key

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NortheastNormalUniversity物理

行星軌道：橢圓，速度不一樣?！端迨贰酚涊d，南北朝張子信觀測三十年，

發(fā)現(xiàn)“日行在春分后則遲，秋分后則速”。93天-88天

行星速度：面積相等。開普勒第二定律。重力加速度：s=gt2/2

力：F=ma

萬有引力：W=G?m1m2/r2

解釋行星運動規(guī)律；計算登月軌道；計算彗星運動軌道

通過月球的引力計算地球上的潮汐現(xiàn)象

二、簡潔美與數(shù)學(xué)表達Key

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NortheastNormalUniversity正是因為大自然的、以及數(shù)與圖形的統(tǒng)一性，使人們形成了簡潔美。簡潔的數(shù)學(xué)表達展現(xiàn)了世界的普適性，是那樣的從容不迫和井然有序，給人以“非淡泊無以明志，非寧靜無以致遠”的感覺；簡潔的數(shù)學(xué)表達增強了人們的自信心，增強了認識世界的廣度和深度，給人以“會當凌絕頂，一覽眾山小”的感覺；正是基于這樣的功能，數(shù)學(xué)逐漸成為人們研究現(xiàn)實世界的工具，成為人們表達現(xiàn)實世界的語言。

二、簡潔美與數(shù)學(xué)表達Key

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文學(xué)中的簡潔美。中國古代文章的特點是言簡意賅，通過簡潔的語言表達深刻的思想，與大道至簡理念一致；如五千字《道德經(jīng)》。

孟子《離婁章句下》說：“博學(xué)而詳說之，將以反說約也?！笔钦f，廣博學(xué)習(xí)，詳盡解說，融會貫通后將會返歸簡約。

劉勰《文心雕龍》說：文以辨潔為能，不以繁縟為巧。

莎士比亞《哈姆雷特》說：簡潔是智慧的靈魂，冗長是膚淺的藻飾。如何做到？如法國文學(xué)藝術(shù)評論家丹納在《藝術(shù)哲學(xué)》所說：

特征不但需要具備最大的價值，還得在藝術(shù)品中盡可能的支配一切。…換句話說，一幅畫、一個雕塑、一首詩、一所建筑物、一曲交響樂，其中所有的效果都應(yīng)當集中。集中程度決定作品的地位。二、簡潔美與數(shù)學(xué)表達Key

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藝術(shù)中的簡潔美。能夠?qū)崿F(xiàn)簡潔美藝術(shù)形式的唯一手段就是抽象，如意大利畫家達·芬奇（L.daVinci）說：

畫家應(yīng)當研究普遍自然，就眼睛所看到的東西多加思索，要運用組成每一事物的類型的那些優(yōu)美的部分。用這種方法，他的心就會像一面鏡子，真實地反映面前一切，就會變成好像是第二自然。

在《西方美學(xué)史·上》中，朱光潛對這段話這樣評價：從對“普遍自然”的觀察和思索，找出事物類型中的優(yōu)美的部分來運用，這就需要選擇和集中，這也就是典型化或理想化。

可以更為一般地理解，這里所說的“選擇和集中”就是抽象的過程，有了這樣的抽象過程才可能達到“典型化或理想化”。二、簡潔美與數(shù)學(xué)表達Key

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一萬六千年前西班牙阿爾塔米拉洞穴巖畫二、簡潔美與數(shù)學(xué)表達Key

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一萬年前的賀蘭山巖畫（直到落基山脈）二、簡潔美與數(shù)學(xué)表達Key

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齊白石所畫貝葉草蟲吳冠中所畫江南水鄉(xiāng)二、簡潔美與數(shù)學(xué)表達Key

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貝聿銘設(shè)計的法國盧浮宮玻璃金字塔貝聿銘設(shè)計的蘇州博物館新館二、簡潔美與數(shù)學(xué)表達Key

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NortheastNormalUniversity一、用數(shù)學(xué)的語言表達美二、簡潔美與數(shù)學(xué)表達三、對稱美與數(shù)學(xué)表達四、周期美與數(shù)學(xué)表達五、和諧美與數(shù)學(xué)表達報告提綱Key

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對稱現(xiàn)象普遍存在，與我們的生活形影不離，對稱給人以平衡、典雅、和諧、安定的感覺，逐漸把對稱的感知演化為美的享受。

如德國數(shù)學(xué)家外爾所說：對稱，狹義地定義它也好，寬泛地定義它也罷，千百年來它都是人們試圖借以理解并創(chuàng)造秩序、美和完美的一種概念。為什么人們會感悟到對稱美？三、對稱美與數(shù)學(xué)表達Key

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生物體。生物的延續(xù)和發(fā)展，依賴生殖和發(fā)育，本質(zhì)上是DNA的復(fù)制。

如圖所示，DNA是對稱的。

固體物質(zhì)。自然界的固體物質(zhì)，絕大多數(shù)是晶體。所有晶體都是對稱的。DNA雙螺旋結(jié)構(gòu)

氯化鈉的晶體結(jié)構(gòu)三、對稱美與數(shù)學(xué)表達Key

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NortheastNormalUniversity代數(shù)中的對稱，a+b=b+a；a?b=b?a(a+b)2=a2+2ab+b2a和b可以交換，對稱就是物體在某種變換下保持不變的性質(zhì)。比如：用A表示一類平面圖形，S(A)表示A的對稱程度，越大越對稱。

一般三角形，不動時才能保持形狀不變，不對稱，S(A)=1；

等邊三角形，既旋轉(zhuǎn)對稱、又軸對稱，各有三種情況，S(A)=6；

極限狀態(tài)圓，繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度都保持形狀不變，S(A)=∞。但是，對于氯化鈉晶體結(jié)構(gòu)，直觀操作比較困難。

于是發(fā)展一般的數(shù)學(xué)方法群論，是數(shù)學(xué)的一個重要研究領(lǐng)域。三、對稱美與數(shù)學(xué)表達Key

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NortheastNormalUniversity影響中國思想。陰陽、太極、《道德經(jīng)》

《周易》六十四卦包括三十二個對卦

正對卦表示矛盾的統(tǒng)一，反對卦表示矛盾的斗爭

一分為二、合二而一；對立統(tǒng)一、相輔相成

這種認識世界的方法可以追溯到高廟文化

湖南洪江市(原黔陽縣)高廟新石器時代遺址

距今7800年至6300年

八角星圖像與古書所言“河圖”“洛書”相似

與周易八卦存在淵源關(guān)系三、對稱美與數(shù)學(xué)表達Key

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NortheastNormalUniversity《周易

·

系辭上》說：

一陰一陽之謂道。繼之者善也，成之者性也。《老子》說：

道生一，一生二，二生三，三生萬物。萬物負陰而抱陽，沖氣以為和。湯因比在《歷史研究》說：

用來表示靜止狀態(tài)和活動狀態(tài)這一宇宙韻律的各種符號當中，陰陽是最貼切的，因為它們不是通過心理學(xué)、機械學(xué)或數(shù)學(xué)的某些暗喻方式，而是直接表現(xiàn)出了交替的韻律。因此在這本《歷史研究》中將使用這兩個中國符號。Key

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NortheastNormalUniversity影響中國文化。不僅影響到了思維模式，也影響到了表現(xiàn)形式。詩詞對仗：兩個黃鸝鳴翠柳，一行白鷺上青天

窗含西嶺千秋雪，門泊東吳萬里船對聯(lián)呼應(yīng)：福如東海長流水，壽比南山不老松判斷依存：禍兮福所倚，福兮禍所伏。述說兩全：有無相生，難易相成，長短相形，

高下相傾，音聲相和，前后相隨，恒也。三、對稱美與數(shù)學(xué)表達Key

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NortheastNormalUniversity影響中國藝術(shù)。

最早剪紙：北朝“對馬團花”1980年發(fā)行的《京劇臉譜》特種郵票1959年在新疆吐魯番高昌

全套8枚三、對稱美與數(shù)學(xué)表達Key

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NortheastNormalUniversity影響中國建筑。西安：唐代街道。

北京故宮建筑群三、對稱美與數(shù)學(xué)表達Key

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NortheastNormalUniversity一、用數(shù)學(xué)的語言表達美二、簡潔美與數(shù)學(xué)表達三、對稱美與數(shù)學(xué)表達四、周期美與數(shù)學(xué)表達五、和諧美與數(shù)學(xué)表達報告提綱Key

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NortheastNormalUniversity自然界有許多現(xiàn)象周而復(fù)始、延綿不絕，人們稱這樣的現(xiàn)象具有周期性。

仰望星空，會發(fā)現(xiàn)星空圍繞北極星旋轉(zhuǎn)具有周期性；

生活海邊，會發(fā)現(xiàn)海水潮起潮落的循環(huán)具有周期性；

耕種田野，會感悟季節(jié)春種秋收的交替具有周期性。在日常生活中

太陽升起落下、日復(fù)一日；

月亮陰晴圓缺、月復(fù)一月；

氣候四季交替、年復(fù)一年。逐漸形成一種基于周期的美感，

白居易“一歲一枯榮”的詩句

王維“每逢佳節(jié)倍思親”的感嘆四、周期美與數(shù)學(xué)表達Key

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周期與時間有關(guān)?？坍嫊r間需要參照物，在遠古時代，最好的參照物就是太陽、月亮和浩瀚的星空。建立年、月、日的基本依據(jù)是：

地球圍繞太陽運轉(zhuǎn)一周時間、月亮圍繞地球運轉(zhuǎn)一周時間、地球自轉(zhuǎn)一周時間，基本方法是，考慮三個運轉(zhuǎn)周期之間的比例。非常遺憾，這三個運轉(zhuǎn)周期之間的比例都不是整數(shù)，比如，

地球圍繞太陽運轉(zhuǎn)一周的時間是地球自轉(zhuǎn)一周時間的365倍多一點；

月亮圍繞地球運轉(zhuǎn)一周的時間是地球自轉(zhuǎn)一周時間的29倍多一點；

地球圍繞太陽運轉(zhuǎn)一周相當于月亮圍繞地球運轉(zhuǎn)12周再加11日多一點。

多一點是一個無法精確表達的數(shù)。在認識世界最基本的問題上，大自然就用這樣復(fù)雜的結(jié)構(gòu)來考驗和啟迪人類的智慧。四、周期美與數(shù)學(xué)表達Key

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NortheastNormalUniversity農(nóng)耕歷法。古代：生活用陰歷，稱為年，12個月共354日

種地用陽歷，稱為歲，商周測定為366日，24節(jié)氣《尚書

·

堯典》說：期三百有六旬有六日，以閏月定四時成歲。《周禮

·

夏官司馬》中說：土方氏掌土圭之法，以致日景。

當時的方法稱為土圭之法，也就是立桿測影的方法，

測定夏至、冬至、春分、秋分；漢代測定一歲為365又1/4。《后漢書

·

律歷》：日發(fā)其端，周而為歲，然其景不復(fù)，四周千四百六十一日，

而景復(fù)初，是則日行之終。以周除日，得三百六十五度四

分度之一，為歲之日數(shù)。中國稱謂的由來，參見宅茲中國：周人確定“地中”的地理和文化依據(jù)，《歷史研究》，2012年四、周期美與數(shù)學(xué)表達Key

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NortheastNormalUniversity中國傳統(tǒng)文化。有一個周期現(xiàn)象與每一個人都有關(guān)系，就是屬相，依次為

鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬十二生肖對應(yīng)十二地支，與恒星二十八宿有關(guān)。西周把一天劃分為十二個時辰。東漢王充《論衡》記載十二地支命名：

子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥。宋代把時辰一分為二，稱為小時，沿用至今。天干共有十個，依次為

甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸天干的單數(shù)配地支的單數(shù)，天干的雙數(shù)配地支的雙數(shù)。正好是10與12的最小公倍數(shù)：2×5×6=60，即六十為一個甲子，循環(huán)記錄。甲子紀年，東漢至今。四、周期美與數(shù)學(xué)表達Key

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NortheastNormalUniversity1980年發(fā)行十二生肖郵票，現(xiàn)在第四輪Key

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NortheastNormalUniversity周期表現(xiàn)于音樂。音叉、單擺、彈簧這一類物體的振動有共同的特點，就是在相同的時間間隔周期性地重復(fù)，這類振動稱為簡諧運動。四、周期美與數(shù)學(xué)表達四、周期美與數(shù)學(xué)表達Key

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NortheastNormalUniversity畢達哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)可以把音樂歸結(jié)為自然數(shù)的比例關(guān)系：

兩個繃得一樣緊的弦，如果一根是另一根長的二倍，會產(chǎn)生和諧的聲音，相差八度；弦長的比為3:2，會產(chǎn)生另一種和諧的聲音，相差五度。得到一般的結(jié)論：音樂的和諧在于多根弦的長度成整數(shù)比，發(fā)明了音階?！豆茏印酚涊d的“三分損益”要比畢達哥拉斯更早一些?！叭謸p一”將長度

a

三等分然后減去一份，得到

a

的

2/3“三分益一”將長度

a

三等分然后增添一份，得到

a

的4/3。

方法交替、連續(xù)運用，得到長度比例為2

:

3

:

4，得到和諧的聲音。古代中國五聲音階，分別命名為：宮、商、角、徵、羽，相當于現(xiàn)在音階的1、2、3、5、6，因此這樣的方法也被稱為五度相生律。四、周期美與數(shù)學(xué)表達Key

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NortheastNormalUniversity如此操作，可以得到最佳進階把do音與高音do的頻率分別記為1和2，弦長分別記為a和2a。在a之后，每個音都比前一個音的頻率高2的開12次方倍，即

因為公比

，接近有理數(shù)，稱為十二平均律。明代朱元璋九世孫朱載堉（1536—1611）精確計算，記載《樂律全書》，

得到公比為：1.059463094359295264561825德國作曲家巴赫1722年發(fā)表《諧和音律曲集》，十二平均律的鍵盤樂器。Key

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NortheastNormalUniversity為什么是有理數(shù)，可以共度，可以通分

音頻成比例可以得到共同的周期高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)表示周期大學(xué)數(shù)學(xué)傅里葉級數(shù)，由三角函數(shù)組成的級數(shù)

四、周期美與數(shù)學(xué)表達Key

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NortheastNormalUniversity一、用數(shù)學(xué)的語言表達美二、簡潔美與數(shù)學(xué)表達三、對稱美與數(shù)學(xué)表達四、周期美與數(shù)學(xué)表達五、和諧美與數(shù)學(xué)表達報告提綱Key

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NortheastNormalUniversity和諧出自《管子

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兵法》說：和合故而能諧。是指人與人之間配合適當、和平共處；《國語

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楚語》拓展為：

夫美者，上下、內(nèi)外、大小、遠近皆無害焉，故曰美。人們就把和諧作為審美的標準。

表現(xiàn)于西方文化，畢達哥拉斯學(xué)派認為：美是和諧與比例。萬物皆數(shù)：利用數(shù)表達和諧與比例，從音樂拓展到宇宙。

文藝復(fù)興以后，哥白尼總結(jié)自己三十多年的研究成果，驚嘆地說：天體的運動及軌道的大小都有確定的和諧關(guān)系。

開普勒用“世界的和諧”命名自己的著作。從自然的和諧到和諧的美五、和諧美與數(shù)學(xué)表達Key

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NortheastNormalUniversity和諧不等于相等比如，要畫一幅包含幾種顏色的繪畫，和諧并不是說這幅繪畫中所有顏色占有相同的面積，而是根據(jù)繪畫的內(nèi)容以及顏色的深淺確定適當?shù)谋壤Ｓ脭?shù)學(xué)語言描述對于一條直線段，和諧的美并不是取這個直線段的中點，在通常的情況下，要選取稍微超過中點、但又不到達端點的地方。《易經(jīng)》中的“九五之尊”孔子的“過猶不及”說的都是這個意思五、和諧美與數(shù)學(xué)表達Key

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