2023九年級數(shù)學下冊 第二章 二次函數(shù)5 二次函數(shù)與一元二次方程第1課時 二次函數(shù)與一元二次方程的關系教案 （新版）北師大版

2023九年級數(shù)學下冊第二章二次函數(shù)5二次函數(shù)與一元二次方程第1課時二次函數(shù)與一元二次方程的關系教案（新版）北師大版科目授課時間節(jié)次--年—月—日（星期——）第—節(jié)指導教師授課班級、授課課時授課題目（包括教材及章節(jié)名稱）2023九年級數(shù)學下冊第二章二次函數(shù)5二次函數(shù)與一元二次方程第1課時二次函數(shù)與一元二次方程的關系教案（新版）北師大版教材分析《2023九年級數(shù)學下冊第二章二次函數(shù)5二次函數(shù)與一元二次方程》選自北師大版，本節(jié)內(nèi)容著重探討二次函數(shù)與一元二次方程之間的關系。通過本節(jié)課的學習，學生可以理解二次函數(shù)圖像與一元二次方程解的內(nèi)在聯(lián)系，掌握利用二次函數(shù)求解一元二次方程的方法，并能夠運用所學知識解決實際問題。課程設計將緊密結合課本，以二次函數(shù)y=ax^2+bx+c與一元二次方程ax^2+bx+c=0的關系為核心，通過圖像分析和數(shù)學推導，深化學生對二次函數(shù)圖像與方程解的關系的理解。核心素養(yǎng)目標本節(jié)課旨在培養(yǎng)學生以下核心素養(yǎng)：通過探究二次函數(shù)與一元二次方程的關系，提升學生的數(shù)形結合思維，增強直觀想象能力；在分析問題、解決問題的過程中，提高邏輯推理能力和數(shù)學抽象素養(yǎng)；結合實際情境，培養(yǎng)學生模型構建的能力，激發(fā)數(shù)學應用意識，增強數(shù)學在實際生活中的運用能力。通過本節(jié)課的學習，使學生形成科學的數(shù)學思維方式，為后續(xù)高級數(shù)學學習打下堅實基礎。學習者分析1.學生已掌握了二次函數(shù)的基本概念、圖像特點及性質，理解了二次函數(shù)的標準式和頂點式，能夠繪制二次函數(shù)的圖像，并了解其與系數(shù)的關系。此外，學生還學習過一元二次方程的求解方法，包括因式分解、配方法和公式法。

2.學生對數(shù)學學習的興趣主要集中在解決實際問題和探索數(shù)學規(guī)律上。他們具備一定的邏輯推理能力和抽象思維能力，但在將理論知識應用到具體問題中時，可能需要更多的引導和實踐。學生的學習風格多樣，有的喜歡通過圖像直觀理解，有的則偏好通過公式和推導深入探究。

3.學生在將二次函數(shù)與一元二次方程結合起來解決問題時，可能會遇到的困難和挑戰(zhàn)包括：難以理解圖像與方程解之間的內(nèi)在聯(lián)系，對數(shù)形結合的思想方法不夠熟練；在解決實際問題時，可能會忽略題目中的關鍵信息，導致建立錯誤的數(shù)學模型；對于二次方程根的判別式的理解不夠深刻，影響到對問題解決策略的選擇。教學方法與手段1.教學方法：采用探究式教學法，引導學生通過觀察、分析二次函數(shù)圖像，自主發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)與一元二次方程的關系；結合小組討論法，鼓勵學生相互交流，共同解決實際問題；運用情境教學法，設置生活情境，激發(fā)學生學習興趣，提高其解決問題的能力。

2.教學手段：利用多媒體設備展示二次函數(shù)圖像和一元二次方程的解，直觀呈現(xiàn)數(shù)形結合的思想；運用教學軟件進行課堂互動，如電子白板、數(shù)學軟件等，方便學生實時操作和演示；利用網(wǎng)絡資源，拓展學生視野，加深對二次函數(shù)與一元二次方程關系的理解。教學過程設計1.導入環(huán)節(jié)（5分鐘）

-利用多媒體展示一個實際情境：某商品的價格與銷售量的關系，提出問題：“如何確定商品價格以實現(xiàn)最大利潤？”引導學生思考二次函數(shù)與實際問題的聯(lián)系，激發(fā)學習興趣。

2.講授新課（20分鐘）

-回顧二次函數(shù)的基本概念和圖像特點，強調(diào)二次函數(shù)與一元二次方程的關聯(lián)。

-通過數(shù)形結合，講解二次函數(shù)圖像與一元二次方程解的關系，指出判別式的意義，闡述何時有兩個實數(shù)解、一個實數(shù)解或無實數(shù)解。

-結合實例，講解如何利用二次函數(shù)求解一元二次方程，突出數(shù)形結合的思想。

3.鞏固練習（10分鐘）

-設計具有梯度的問題，讓學生獨立完成，如：根據(jù)給定的二次函數(shù)圖像，求解對應的一元二次方程。

-小組討論：每組選取一道問題，共同探討解題思路，分享解題方法。

-選取幾道具有代表性的解答，進行師生互動，分析解題過程中的關鍵點和易錯點。

4.課堂提問（5分鐘）

-針對本節(jié)課的重點和難點，設計問題，檢驗學生對二次函數(shù)與一元二次方程關系的理解和掌握。

-鼓勵學生提出疑問，教師進行解答，引導學生深入思考，鞏固知識點。

5.創(chuàng)新教學（5分鐘）

-設計一個課堂小游戲，如“二次函數(shù)與一元二次方程連連看”，讓學生在游戲中運用所學知識，提高解決問題的能力。

-利用多媒體展示不同情境下的二次函數(shù)圖像，讓學生觀察并預測一元二次方程的解。

6.核心素養(yǎng)能力拓展（5分鐘）

-提供一道拓展題，要求學生結合實際情境，建立二次函數(shù)模型，并求解一元二次方程。

-引導學生運用數(shù)形結合、邏輯推理等方法，培養(yǎng)學生的模型構建能力和數(shù)學應用意識。

7.總結與反饋（5分鐘）

-教師對本節(jié)課的知識點進行簡要回顧，強調(diào)二次函數(shù)與一元二次方程的關系。

-學生分享學習心得，提出疑問，教師進行解答。

教學過程總用時：45分鐘

注意：以上教學過程設計僅供參考，實際教學中需根據(jù)學生的實際情況和反應進行調(diào)整。知識點梳理1.二次函數(shù)的基本概念和圖像特點

-二次函數(shù)的定義：形如y=ax^2+bx+c（a≠0）的函數(shù)。

-二次函數(shù)圖像的開口方向和頂點坐標。

-二次函數(shù)圖像的對稱軸和與y軸的交點。

2.二次函數(shù)與一元二次方程的關系

-二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖像與一元二次方程ax^2+bx+c=0的解的對應關系。

-判別式Δ=b^2-4ac的值與一元二次方程解的個數(shù)及性質的關系。

3.二次函數(shù)求解一元二次方程的方法

-利用二次函數(shù)圖像的交點求解一元二次方程的實數(shù)解。

-通過配方和頂點公式，將二次函數(shù)轉化為頂點式，快速求解方程。

-利用公式法直接求解一元二次方程。

4.二次函數(shù)在實際問題中的應用

-根據(jù)實際問題建立二次函數(shù)模型。

-結合二次函數(shù)圖像分析實際問題的最優(yōu)解。

-應用二次函數(shù)求解實際問題的最大值或最小值。

5.數(shù)形結合思想的運用

-通過二次函數(shù)圖像直觀理解一元二次方程的解。

-利用圖像分析二次函數(shù)的增減性和極值。

-將數(shù)形結合思想應用到解決實際問題中。

6.核心素養(yǎng)能力的培養(yǎng)

-培養(yǎng)學生的直觀想象能力，通過圖像分析理解二次函數(shù)的性質。

-提高學生的邏輯推理能力，通過數(shù)學推導建立二次函數(shù)與一元二次方程的關系。

-增強學生的數(shù)學建模能力，學會將實際問題抽象為數(shù)學模型并求解。

-激發(fā)學生的數(shù)學應用意識，將數(shù)學知識應用于解決現(xiàn)實生活中的問題。課后作業(yè)1.利用二次函數(shù)圖像求解以下一元二次方程：

-2x^2-4x+1=0

-x^2-6x+9=0

-3x^2+4x-1=0

2.某商品的成本為每件10元，售價為每件x元，月銷售量為y件，已知銷售量y與售價x的關系為y=-3x^2+120x+200。請問：

-當售價為多少元時，月銷售量最大？

-對應的月銷售量是多少？

-當月銷售量為500件時，售價是多少？

3.一輛汽車以vkm/h的速度行駛，其油耗（升/百公里）與速度的關系為f(v)=0.1v^2-2v+20。請問：

-什么速度下，油耗最低？

-最低油耗是多少？

4.以下拋物線y=-x^2+4x+5與x軸的交點情況如何？

-有兩個交點

-有一個交點

-沒有交點

5.某公司生產(chǎn)的產(chǎn)品，其年利潤（萬元）與年產(chǎn)量x（萬件）的關系為p(x)=-2x^2+80x-200。請問：

-年產(chǎn)量為多少時，年利潤最大？

-對應的年利潤是多少？

補充和說明：

1.對于求解一元二次方程的題目，要求學生通過繪制二次函數(shù)圖像，觀察圖像與x軸的交點來確定方程的實數(shù)解。

2.在商品銷售問題中，學生需要將問題轉化為二次函數(shù)模型，通過求解二次函數(shù)的最大值來確定售價和銷售量的關系。

3.汽車油耗問題要求學生理解二次函數(shù)在現(xiàn)實生活中的應用，通過求解二次函數(shù)的最小值來找到最佳行駛速度。

4.拋物線與x軸交點問題，學生需要根據(jù)判別式的值來判斷交點個數(shù)。

5.年利潤問題要求學生建立二次函數(shù)模型，通過求解二次函數(shù)的最大值來找到最佳年產(chǎn)量。

答案：

1.

-2x^2-4x+1=0的解為x≈1.732,x≈0.268

-x^2-6x+9=0的解為x=3

-3x^2+4x-1=0的解為x≈0.333,x≈-1.333

2.

-售價為40元時，月銷售量最大，為680件。

-當售價為25元或35元時，月銷售量為500件。

3.

-速度為20km/h時，油耗最低，為16升/百公里。

4.

-拋物線y=-x^2+4x+5有兩個交點。

5.

-年產(chǎn)量為20萬件時，年利潤最大，為200萬元。教學評價與反饋1.課堂表現(xiàn)：學生在課堂上的參與度較高，能積極回答問題，主動提出疑問。對于二次函數(shù)與一元二次方程關系的理解較為深刻，能夠運用所學知識解決實際問題。

2.小組討論成果展示：各小組在討論中表現(xiàn)出色，能夠互相交流、共同探討解題方法。在展示環(huán)節(jié)，學生能夠清晰表達自己的思路和觀點，對二次函數(shù)圖像與方程解的關系有較好的理解。

3.隨堂測試：通過隨堂測試，發(fā)現(xiàn)大部分學生對二次函數(shù)與一元二次方程的關系掌握較好，能夠正確求解一元二次方程。但部分學生在數(shù)形結合思想的運用上仍需加強。

4.課后作業(yè)完成情況：學生能夠按時完成課后作業(yè)，作業(yè)質量較高。在求解二次方程和應用題方面，大部分學生能夠運用課堂所學知識，但仍有少數(shù)學生在解題過程中出現(xiàn)錯誤。

5.教師評價與反饋：針對學生的課堂表現(xiàn)、討論成果和作業(yè)完成情況，教師給予積極評價和鼓勵。對于學生在數(shù)形結合思想運用方面的不足，教師提供以下反饋：

-加強練習，提高