2025年北京市豐臺區(qū)中考數學模擬試卷及答案解析

2025年北京市豐臺區(qū)中考數學模擬試卷

選擇題（共8小題，滿分16分）

2.根據國家氣象局統(tǒng)計，全球平均每年發(fā)生雷電次數約為16000000次，將16000000用科

學記數法表示為（）

A.I.6X108B.I.6X107C.16X106D.1.6X106

3.（2分）實數a,b在數軸上的對應點如圖所示，則下列不等式中正確的是（）

b0a

A.ab>0B.a+b>0C.同>|b|D.b〈a

4.（2分）內角和等于外角和的多邊形是（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

5.（2分）如圖，在平面直角坐標系中，等邊三角形△CM8的邊長為4,點/在第二象限內,

將△042沿射線/。平移，平移后點?的橫坐標為4百，則點方的坐標為（）

A.（-6V3,2）B.（6V3,-2瓜）C.（6,-2）D.（6次，-2）

X12—31

6.（2分）若x滿足f-2x-2=0,則分式（---2）的值是（）

x—lX—1

13

A.1B.-C.-1D.一之

22

7.（2分）如圖，3C是。。的直徑，點/、。在。。上，若N4DC=48°,則N/C3的度

數為（）

第1頁共27頁

A

A.42°B.48C.90°D.52°

8.（2分）小明家1月至10月的用電量統(tǒng)計如圖所示，這組數據的眾數和中位數分別是

12345678910月份

A.30和25B.30和22.5C.30和20D.30和17.5

二.填空題（共8小題，滿分16分，每小題2分）

%+1

9.（2分）當工=_______時，分式無意義.

2x—7

10.（2分）如圖，兩個正方形的邊長分別為a,b,若a+6=10,ab=20,則四邊形/BCD

的面積為.

￡B

11.（2分）某數學興趣小組為測量河對岸樹N8的高，在河岸邊選擇一點C.從C處測得樹

梢/的仰角為45°,沿方向后退10米到點。，再次測得樹梢/的仰角為30°,則

樹高為____米.（結果精確到0.1米，參考數據：V2?1.414,遍=1.732）

12.（2分）如圖，△/BC中，。是45的中點，CD：AC：BC=1：2：2百，則.

第2頁共27頁

ADB

13.（2分）如圖，點、D,E分別為△4BC的邊NC,BC的中點，連接。E,DE=5,BC=6,

ZC=90°,則四邊形/BE。的面積為.

14.（2分）要證明命題“若片＞62,則是假命題可以舉的反例是.

15.（2分）如圖，點/在雙曲線J=q"W0）的第一象限的分支上，垂直y軸于點8,

點C在x軸正半軸上，0C=2AB,點E在線段NC上，且/E=3￡C,點。為。8的中點,

三.解答題（共12小題，滿分68分）

17.（5分）如圖，ZUBC中，AB=6,smZACB=

（1）用尺規(guī)作圖作出以5c為直徑的。。（不寫作法，保留作圖痕跡）;

（2）若點/在（1）中的。。上，連結。/,試求CM的長.

第3頁共27頁

18.(5分)計算：2sin60°+|V3-2|+(-1)-1-

x—7<4x+2

19.(5分)解不等式組：x+5x+3，并求出所有整數解之和?

丁

20.(5分)已知：關于x的一元二次方程x2+(2m+l)x+nr+m—0.

(1)求證：此方程總有兩個不相等的實數根；

(2)請選擇一個合適的加值，寫出這個方程并求出此時方程的根.

21.(5分)已知：在△A8C中，AB=AC,于點。，分別過點N和點。作3C、AD

邊的平行線交于點E.

(1)求證：四邊形NOCE是矩形；

(2)連結若cos/4SD=]AD=2同求的長.

第4頁共27頁

22.(5分)如圖所示為某個月中不同牌子的私家車的銷量統(tǒng)計:

(1)哪個牌子的銷量最佳？

(2)〃牌的銷量占總銷量的百分比是多少?

(3)利用一象形圖表示這些數據.

銷私家車的銷量

量6>0

就

40

20

23.(5分)如圖，48為。。的直徑，C、。為。。上不同于/、3的兩點，N4BD=2/BAC,

過點C作CELDB交DB的延長線于點E,直線AB與CE交于點F.

(1)求證：CF為OO的切線；

(2)填空：

①若AB=4,當03=2下時，BE=；

②當NCAB的度數為時，四邊形/CED是菱形.

第5頁共27頁

24.(6分)對于平面內的點P和圖形M,給出如下定乂：以點尸為圓心，以r為半徑作。尸,

使得圖形M上的所有點都在。P的內部(或邊上)，當廠最小時，稱。P為圖形M的尸

點控制圓，此時，OP的半徑稱為圖形M的尸點控制半徑.已知，在平面直角坐標系中,

正方形0/3C的位置如圖所示，其中點3(2,2).

(1)已知點。(1,0),正方形048c的。點控制半徑為門，正方形0/8。的N點控制

半徑為2請比較大?。洪T7-2;

(2)連接。瓦點廠是線段。2上的點，直線/：y=V3x+^;若存在正方形048。的尸

點控制圓與直線/有兩個交點，求b的取值范圍.

7

6

5

4

3

2

1

145

1

-6-5-IP1

-2_

-3_

-4_

-5_

-6_

第6頁共27頁

25.(6分)小明根據學習函數的經驗，對函數》=告+1的圖象與性質進行了探究.下面

是小明的探究過程，請補充完整：

J4

,1

4

J

-

1

1

一3--1001

■1

一

(1)函數＞=去+1的自變量X的取值范圍是;

(2)如表列出了y與x的幾組對應值，請寫出加，〃的值：m=,n=

X???_3-1_10132537.??

~2~22222

.??31537???

ym0-1n2

53325

(3)在如圖所示的平面直角坐標系中，描全上表中以各對對應值為坐標的點，并畫出該

函數的圖象.

(4)結合函數的圖象，解決問題：

①寫出該函數的一條性質：.

②當函數值一1r+i〉a2時，x的取值范圍是：______.

%—1乙

第7頁共27頁

26.(6分)已知二次函數夕=32+(1-2m)x+1-3m.

(1)當a=2時，求二次函數圖象的頂點坐標；

(2)己知拋物線與x軸交于不同的點/、B.

①求”2的取值范圍；

②若時，求線段的最大值及此時二次函數的表達式.

27.(7分)已知Rt/^048,ZOAB^90°,NABO=30°,斜邊。8=4,將RtZ\04B繞點

。順時針旋轉60°,點。與點/為對應點，畫出RtZXODC,并連接8C.

(1)填空：NOBC=°；

(2)如圖，連接/C,作。P_L/C,垂足為P,求OP的長度.

第8頁共27頁

28.(8分)如圖，已知/C,AD為。。的兩條直徑，連接48,BC,于點E,點、F

是半徑。。的中點，連接防.

(1)設OO的半徑為1,若NA4c=30°,求線段斯的長.

(2)連接8尸，DF,設05與￡尸交于點尸，

①求證：PE=PF.

②若DF=EF,求NR4C的度數.

第9頁共27頁

2025年北京市豐臺區(qū)中考數學模擬試卷

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題，滿分16分）

解：4是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故此選項正確;

不是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

D.不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

故選：A.

2.根據國家氣象局統(tǒng)計，全球平均每年發(fā)生雷電次數約為16000000次，將16000000用科

學記數法表示為（）

A.1.6X108B.1.6X107C.16X106D.1.6X106

解：將16000000用科學記數法表示為：1.6X107次.故選：B.

3.（2分）實數a,6在數軸上的對應點如圖所示，則下列不等式中正確的是（）

b0a

A.ab>0B.a+b>0C.同>以D.b<a

解：由圖可知，b<0<a,且同<回.A、ab<0,故本選項錯誤，不符合題意；

B、a+b<0,故本選項錯誤，不符合題意；。、同<以，故本選項錯誤，不符合題意；

D、b<a,故本選項正確，符合題意.故選：D.

4.（2分）內角和等于外角和的多邊形是（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

解：設所求〃邊形邊數為〃，則360°=（?-2）,180°,解得"=4.

外角和等于內角和的多邊形是四邊形.故選：B.

5.（2分）如圖，在平面直角坐標系中，等邊三角形△CU8的邊長為4,點N在第二象限內,

將△042沿射線/。平移，平移后點?的橫坐標為4百，則點方的坐標為（）

第10頁共27頁

A.(-6V3,2)B.(6V3,-2V3)C.(6,-2)(6V3,-2)

解：?.?等邊三角形△0/8的邊長為4,點/在第二象限內，

點/坐標為（-2舊，2）,?.?平移后點4的橫坐標為4百，

???平移規(guī)律為點/向右平移6B，向下平移6個單位可得點4,

.?.點⑶的坐標為（6V3,-2）,故選：D.

%2—3-1

6.（2分）若x滿足X2-2X-2=0,則分式（一--2）十7、的值是（）

x-lXT

13

A.1B.-C.-1D.一*

22

總刀產2—31x2—3—2（x—1）（1、N—2%—12。1

W：（-----2）+—=------------------?（x-l）=------Z-?（x-l）=x2-lx-1,

X—1x—1Tx-lx—1

Vx2-2x-2=0,.,.x2-2x=2,，原式=2-1=1.故選：A.

7.（2分）如圖，5C是。。的直徑，點4、。在。。上，若N4DC=48°,則N4C5的度

數為（）

A.42°B.48C.90°D.52°

解：TBC是。。的直徑，：.ZBAC=90°,

VZB=ZADC=4S°,ZACB=90°-NB=42°；故選：A.

8.（2分）小明家1月至10月的用電量統(tǒng)計如圖所示，這組數據的眾數和中位數分別是

J.K：??卜

616'月份

第11頁共27頁

A.30和25B.30和22.5C.30和20D.30和17.5

解：將這10個數據從小到大重新排列為：10、10、15、15、20、20、25、30、30、30,

所以該組數據的眾數為30、中位數為生善=20,

故選：C.

二.填空題（共8小題，滿分16分，每小題2分）

7%+1

9.（2分）當_時，分式一"^無意義.

22x—7

%+1

解：???分式丁F無意義，

2x-7

7

/.2x-7=0,解得：x=￡

-7

故答案為：--

10.（2分）如圖，兩個正方形的邊長分別為a,b,若a+6=10,ab=2Q,則四邊形/BCD

解：根據題意可得，四邊形ABCD的面積

11

=（［2+抉）—2層—2b（a+b）

二（/+廬-ab）

=2（a2+b2+2ab-3ab）

=引（a+b）2-3ab］；

代入a+6=10,ab=20,可得：

四邊形NBC。的面積=（10X10-20X3）+2=20.

故答案為：20.

11.（2分）某數學興趣小組為測量河對岸樹的高，在河岸邊選擇一點C.從C處測得樹

梢/的仰角為45°,沿8C方向后退10米到點。，再次測得樹梢/的仰角為30°,則

樹高為13.7米.（結果精確到0.1米，參考數據：&=1.414,V3-1.732）

第12頁共27頁

/ABC=9Q°,0）=10,

在Rt448C中，/4CB=45°,

：.AB=CB,

在RtAABD中,ZADB=30°,BD=CD+BC=10+AB,

AB

.?.+tan30—百力，

?V3AB

即—=------,

310+AB

解得48和13.7（米）.

答：樹高約為13.7米.

故答案為：13.7

12.（2分）如圖，AABC中，。是AB的中點，CD：AC：2C=1：2：2V3,則48CX>=30°

C

ADB

解：延長CD到￡,使DE=CD,連接8E,過E點作MLBC,垂足為尸,

”是4B的中點，

：.AD=BD,

又；/ADC=/BDE,DE=DC,

：./\ADC^/\BDE（&4S）,

：.AC=BE,

"：CDtAC：BC=1：2：2V3,

設CD=%,則/C=2〃?=3￡=CE,

；.FC=FB=^BC=小1rn,

在RtACEF中，cos/FCE=||=祟=*

/.ZFCE=30°,即/8Cr>=30°,

第13頁共27頁

13.（2分）如圖，點。，E分別為△45C的邊4C,5c的中點，連接。打，DE=5,BC=6,

ZC=90°,則四邊形的面積為18.

解：?:D、E分別是△ZBC邊4C,8C的中點，

1

：.DE//AB,DE=^AB=5,

：.AB=10,

VZC=90°,

：.AC=S,

,:DE〃AB,

???△CDEsACAB,

.SMDE（DE21

SaCAB484

1

7X6X8=24,

:?SACDE=6,

???四邊形的面積=24-6=18,

故答案為：18.

14.（2分）要證明命題“若〃2＞序，則Qb”是假命題可以舉的反例是一a=-2,b=l.

解：當4=-2,6=1時，有/，序，

但a＜b,

故答案為：a=-2,b=1.

15.（2分）如圖，點/在雙曲線＞=520）的第一象限的分支上，垂直/軸于點2,

點C在x軸正半軸上，。。=248,點E在線段/C上，且NE=3EC,點。為。2的中點,

16

連接CD,若4CDE的面積為1,則人的值為一百一.

第14頁共27頁

,/OC=2/8,點。為。8的中點，

1

：.C(2a,0),D(0,56),

?：AE=3EC,4CDE的面積為1,

??S/\ADC~^S/^CDE=^9

,**5梯形/BOC=S△力BD+S^OCD+S^Z。。,

11I11

.??一(Q+2Q)?/?=亍?。?-6+5?2〃?—b+4,

22222

,716

??ab=

???點4在雙曲線＞=?(左WO)的圖象上，

?,7?K=16

故答案為弓.

16.(2分)計算：-(-4)+1-51-7=2

解：-(-4)+|-5|-7=4+5-7=2,

故答案為：2.

三.解答題(共12小題，滿分68分)

17.（5分）如圖，△A8C中，48=6,sinZACB=

（1）用尺規(guī)作圖作出以5c為直徑的。。（不寫作法，保留作圖痕跡）;

（2）若點/在（1）中的。。上，連結。/,試求04的長.

解：（1）如圖,

第15頁共27頁

O。即為以BC為直徑的圓；

（2）連接CM,

:點/在。。上，3C為。。的直徑，

/.ZBAC=90°,

AB3

???s?in/ZAC^3O=-耳7r=-耳,

.?.5C=|x6=10,

1

：.OA=^BC=5.

所以04的長為5.

18.（5分）計算：2sin60°+|V3-2|+（-1）-1-

解：原式=2x亭+2-—1+2

=V3+2-V3-1+2

=3.

x—7<4x+2

19.（5分）解不等式組：%+5%+3，并求出所有整數解之和.

x—7<4x+2①

解：%4-5%+3小'

解不等式①得x>-3,

解不等式②得xWl,

原不等式組的解集是-3<xWl,

...原不等式組的整數解是-2,-1,0,1,

...所有整數解的和-2-1+0+1=-2.

20.（5分）已知：關于x的一元二次方程/+（2m+l）x+m2+m=0.

第16頁共27頁

(1)求證：此方程總有兩個不相等的實數根；

(2)請選擇一個合適的加值，寫出這個方程并求出此時方程的根.

(1)證明：*.*△=(2加+1)2-4"，-4加=1>0,

方程總有兩個不相等的實數根；

(2)解：當m=0時，方程化為x2+x=0,

解得X1=O,X2=-1.

21.(5分)己知：在△48C中，AB=AC,4D_LBC于點。，分別過點/和點C作BC、AD

邊的平行線交于點E.

(1)求證：四邊形NDCE是矩形；

(2)連結BE,若cosNAB0=],40=2B，求的長.

(1)證明："：AE//BC,CE//AD,

：.四邊形ADCE是平行四邊形，

'JADLBC,

：.ZADC=9Q°,

???平行四邊形是矩形；

(2)解：在中，ZADB=90°

'cosXABD=

BD1

?—,

AB2

?設5Z)=x,AB=2x

.AD=V3x,

?AD=2?

?x=2

.BD=2,

*AB=AC,ADLBC,

第17頁共27頁

:.BC=2BD=4.

:矩形/DCE中，EC=AD=2y[3,

:.BE=2位.

22.(5分)如圖所示為某個月中不同牌子的私家車的銷量統(tǒng)計:

(1)哪個牌子的銷量最佳？

(2)打牌的銷量占總銷量的百分比是多少？

(3)利用一象形圖表示這些數據.

銷私家車的銷量

量60

期40

20

解：(1)T牌子的銷售量是60,最大，所以7牌子的銷售量最佳；

(2)〃牌的銷售量是50,占總售量60+50+40+30=180的為50+180-28%；

(3)

23.(5分)如圖，AB為。。的直徑，C、。為OO上不同于/、3的兩點，/4BD=2/BAC,

過點C作CELDB交DB的延長線于點E,直線AB與CE交于點F.

(1)求證：C尸為OO的切線；

(2)填空：

第18頁共27頁

①若45=4,當/時，BE=1；

②當NC45的度數為時，四邊形4C即是菱形.

U：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

：.ZBOC=ZA+ZOCA=2ZOACf

丁NABD=2/BAC,

：./ABD=/BOC,

：.OC//BD,

■:CEJLBD,

J.OCLCE,

???C方為。。的切線；

(2)①?.Z5=4,

\OB=BF=OC=2,

\OF=A,

JBE//OC,

.BFBE1

9OF-OC-2’

：.BE=\,

第19頁共27頁

故答案為：1;

②當NC42的度數為30°時，四邊形NCFD是菱形，

理由：VZCAS=30°,

：.ZCOF=60°,

，/斤=30°,

：.ZCAB=ZF,

：.AC=CF,

連接40,

?：AB是。。的直徑，

C.ADLBD,

J.AD//CF,

：.ZDAF=ZF=30°,

在4ACB與4ADB中，

(^CAB=乙DAB=30°

\^.ACB=ND=90°,

VAB=AB

.?.△ACB義LADB(AAS),

：.AD=AC,

：.AD=CF,

'JAD//CF,

四邊形/CFO是菱形.

故答案為：30°.

24.(6分)對于平面內的點P和圖形M,給出如下定義：以點尸為圓心，以r為半徑作OP,

使得圖形M上的所有點都在。尸的內部(或邊上)，當:?最小時，稱。尸為圖形M的尸

點控制圓，此時，OP的半徑稱為圖形〃的尸點控制半徑.已知，在平面直角坐標系中，

正方形O/3C的位置如圖所示，其中點3(2,2).

(1)已知點。(1,0),正方形0/3C的￡>點控制半徑為門，正方形CU8C的N點控制

半徑為廠2,請比較大?。簄<ri\

(2)連接。瓦點廠是線段。2上的點，直線/：?=底+6；若存在正方形O4BC的尸

點控制圓與直線/有兩個交點，求b的取值范圍.

第20頁共27頁

7

6

5

4

3

2

1

-104

-6-5-4-3-2-1

-2

-3

-4

-5

-6

解：(1)由題意得：n=BD=CD=Vl2+22=V5,n=AC=V22+22=2V2,

.*.ri<F2,

故答案為：<.

(2)如圖所示：。。和的半徑均等于03,

當直線/：尸倔"與。。相切于點M時，連接(W,貝

則直線的解析式為：v=-爭，

設Af(x,--^-x)?

?：OM=OB,

OM—J%2+(—呼%(=V22+22,

o%2

=8，

解得：x=—傷或x=V6(舍)，

—程式=V2,

：.M(-V6,V2),

第21頁共27頁

將M(—V6,V2)代入y=V3x+b得：V2=V3x(—V6)+b,

解得：b=%0

當直線/：>=岳+6與相切于點N時，連接5N,貝IJ5NL,

同理，設直線3N的解析式為：y=-^x+n,將8(2,2)代入得:

x2十幾，

???〃=2+學,

...直線3N的解析式為：y=-停x+2+孚,

F5

設NQm,——打w+2+

■:BN=OB,

；?J(2—m)2+(2+空TH—2-等)2=、22+22,

...4』+〃/+展竽+X

m2-4加+2=0,

.\m=2-V6(舍)或加=2+乃，

二―新+2+竽=—孚(2+V6)+2+竽=2—應，

：.N(2+V6,2-V2),

：.^N(2+V6,2-V2)代入尸血+6得：2-V2=V3(2+V6)+b,

解得：6=2-2日一4位，

；.存在正方形。45c的歹點控制圓與直線/有兩個交點，此時6的取值范圍為：2-2療-

4近V6V4&.

25.(6分)小明根據學習函數的經驗，對函數了=占+1的圖象與性質進行了探究.下面

是小明的探究過程，請補充完整：

第22頁共27頁

-,+i

j2

■

1

-3--1001

1

-1

-

（1）函數>=告+1的自變量x的取值范圍是3^^；

,-1

（2）如表列出了y與x的幾組對應值，請寫出〃?，〃的值：m=—,n—3

X???_3-1_10132537…

-22222

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y3m10-1n2537

53325

（3）在如圖所示的平面直角坐標系中，描全上表中以各對對應值為坐標的點，并畫出該

函數的圖象.

（4）結合函數的圖象，解決問題：

①寫出該函數的一條性質：函數圖象經過原點且關于點（1,1）對稱.

②當函數值0+1〉掾時，X的取值范圍是：1<X<3.

解：（1）由分式的分母不為0得：x-IWO,

?W1；

故答案為：

11

（2）當x=-1時，.=—二］+1=2,

當％=|?時，y=^34+1=3,

々

...m=1n=3,

故答案為：；，3.

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(3)如圖：

(4)①觀察函數圖象，可知：函數圖象經過原點且關于點(1,1)對稱，

故答案為：函數圖象經過原點且關于點(1,1)對稱.

12

②觀察函數圖象，可知：當函數值口+1>或時，X的取值范圍是1<X<3,

故答案為：l<x<3.

26.(6分)已知二次函數^=加/+(1-2m)x+1-3m.

(1)當加=2時，求二次函數圖象的頂點坐標；

(2)已知拋物線與x軸交于不同的點/、B.

①求加的取值范圍；

②若3WmW4時，求線段N3的最大值及此時二次函數的表達式.

解：(1)當〃z=2時，y—mx2+(1-2m)x+1-3m—x2-3x-5,

函數的對稱軸為直線x=-六=-息=4，

ZuZXZ4

當％='時，y=%2-3x-5=一整，

故頂點坐標為(I,-挈)；

(2)①△=//-4QC=(1-2m)2-4m(1-3m)=(4m-1)2>0,

i

故4加-IWO,解得：冽。彳；

而>=加/+(1-2m)x+1-3m為二次函數，故加W0,

1

故m的取值范圍為：切W0且m豐-r；