2024-2025學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊 幾何圖形中動(dòng)角問題的三種考法（北師大版）

專題10幾何圖形中動(dòng)角問題的三種考法

類型一、定值問題

例.如圖1,把一副三角板拼在一起，邊04OC與直線所重合，其中4403=45。,

ZCOD=60°.此時(shí)易得ZBOD=75°.

(1)如圖2,三角板COD固定不動(dòng)，將三角板繞點(diǎn)。以每秒5。的速度順時(shí)針開始旋轉(zhuǎn),

在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，三角板A03一直在NEOD的內(nèi)部，設(shè)三角尺運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒.

①當(dāng)f=2時(shí)，4BOD=_。?,

②求當(dāng)t為何值時(shí)，使得ZAOE=2NBOD；

(2)如圖3,在(1)的條件下，若OM平分NBOE,QV平分ZAOD.

①當(dāng)NAOE=20。時(shí)，ZMON=_°；

②請問在三角板A03的旋轉(zhuǎn)過程中，NMON的度數(shù)是否會(huì)發(fā)生變化？如果發(fā)生變化，請

敘述理由；如果不發(fā)生變化，請求出NMON的度數(shù).

【答案】⑴①65。；②10

(2)①37.5。；②不變化，37.5°

【分析】(1)①根據(jù)題意和角的和差進(jìn)行求解即可；

②由ZAOE=2NBOD,結(jié)合題意可得ZAOE+ZBOD=75°,從而得出ZBOD=25°,

ZAOE=50°,進(jìn)而求出時(shí)間,；

(2)①根據(jù)■平分N3QE,ON平■貨ZAOD,可得

ZEOM=ZBOM=|ZEOB,NAON=ADON=；ZAOD,則可以將

ZMON=ZMOB+ZBON整理為AMON=:(ZEOA+NBOD),進(jìn)而得出答案；

②根據(jù)平分/30E,ON平分ZAQD,ZMOE=1ZAOE+22.5°,

ZNOD=60°--AAOE,進(jìn)而推導(dǎo)出NMON=120O-LZAOE-22.5O-60O+』NAOE,繼而

222

得出答案.

【詳解】(1)解：①當(dāng)f=2時(shí)，ZAOE=5°x2=10°,

回/反比＞=75°-10°=65°,

故答案為：65°；

②⑦ZAOE=2NBOD,ZAOE-^-ZBOD=75°

⑦ZBOD=25°,

^ZAOE=50°,

50°…?

團(tuán)/==10秒，

團(tuán)當(dāng)，為10秒時(shí)，ZAOE=2ZBOD；

(2)①EIOA/平分ZBOE,QV平分ZAOD,

0ZEOM=NBOM=-ZEOB,ZAON=ADON=-ZAOD,

22

0AMON=ZMOB+Z.BON

=-ZEOB+ZBOD-/DON

2

=1(ZEOA+ZAOB)+ZBOD-1ZAOD

=1ZEOA+1ZAOB+ZBOD-|(ZAOB+ZBOD)

=-ZEOA+-ZAOB+ZBOD--ZAOB--ZBOD

2222

=-(ZEOA+ZBOD)=L75。=37.5°,

22

故答案為：37.5°；

②ZMON的度數(shù)不發(fā)生變化，

理由：QOM平分乙5OE,

0ZMOE=|ZBOE=；(ZAOE+ZAOB)=；NAOE+22.5°,

1aoN平分ZAOD,

0NNOD=gNAO。=g(180°-NDOC-NAOE),

=-(120°-NAOE)=60°--ZAOE,

22

0ZMON=180°-/DOC-NMOE-ZNOD,

EAMON=120°-(|ZAOE+22.5°)-(60°-；ZAOE),

=120°--ZAOE-22.5°-60°+-ZAOE=37.5°.

22

【點(diǎn)睛】本題考查了幾何圖形中的角度計(jì)算，角平分線的定義，讀懂題意，能準(zhǔn)確得出相應(yīng)

角的數(shù)量關(guān)系是解本題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練1】已知—493與NCOD互補(bǔ)，將NCOD繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn).

⑴若AAOB=110°,/COD=70°

①如圖1,當(dāng)NCOB=30。時(shí)，ZAOD=_°;

②將NCOD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至ZAOC=3NBOD,求NCOB與ZAOD的度數(shù)；

(2)將NCOD繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)c°(0<&<180),在旋轉(zhuǎn)過程中，NA0D+/C03的度數(shù)是否

隨之的改變而改變？若不改變，請求出這個(gè)度數(shù)；若改變，請說明理由.

【答案】⑴①150；②NCO3=20°,40￡>=130°或/。03=80°,ZAOD=100°

(2)不改變，其度數(shù)為180。

【分析】(1)①先根據(jù)44。8=110°,/口9。=70。求出//103+/。0。=180。，再根據(jù)

ZAOB+Z.COD=ZAOD+Z.BOC計(jì)算即可；

②設(shè)NAOC=x。，分兩種情況：(固03在NCOD內(nèi)部，(回)NCOD在—AO3內(nèi)部，分別討

論即可；

(2)ZAOB=/3°,ZCOD=0°,ZAOC=y0,求出所有情況后判斷即可.

【詳解】(1)①回ZAO8=n0°,NCOD=70。，

0ZAOB+ZCOD=110°+70°=180°,

0ZAOB+ZCOD=ZAOD+ZBOC,/COB=30°,

0ZAOD=180°-30°=150°,

故答案為150；

②(團(tuán))當(dāng)在NCOD內(nèi)部時(shí)(如圖1),

設(shè)ZAOC=x。，則NCO3=110?！?。，

NBOD=ZCOD-ZCOB=70°-(110°-x°)=x°-40°,

由ZAOC=3ZBOD得，x°=3(x°-40°),

解得x=60,

0ZCOB=110°-尤°=110°-60°=50°,ZBOD=x°-40°=60°-40°=20°,

0ZAOD=ZAOB+ZBOD=110°+20°=130°；

H

D

AO

圖1

(13)當(dāng)NC8在NAOB內(nèi)部時(shí)(如圖2),

設(shè)ZAOC=x°,則ZBOD=ZAOB-ZAOC-ZCOD=110。一一70°40°-x°,

由ZAOC=3ZBOD得,x。=3(40°-x°),

解得JV=30,

ZBOD=40°-xo=40°-30o=10°,

ZCOB=ZCOD+ZBOD=70°+10°=80°,

團(tuán)ZAOD=ZAOCZCOD=30°+70°=100°；

設(shè)ZAOB=0。,ZCOD=8。,ZAOC=y。,由條件知/?+6=180,

分四種情況：

助當(dāng)03在NC8內(nèi)部時(shí)（如圖3）,

圖3

ZCOB=ZAOB-ZAOC=f30-y°,

ZBOD=ZCOD-ZBOC=。?！?。-/°),

ZAOD=ZAOB+ZBOD=j3°^0o-(j3o-yo)=0o+/°,

^ZAOD+ZCOB=0°+yo+/3o-yo=30+/3o=\SOo；

回)當(dāng)NCOD在NAOB內(nèi)部時(shí)(如圖4),

ZCOB=ZAOB-ZAOC=0?！?。,

ZAOD=ZAOC+/COD=/。+8。，

^ZAOD+ZCOB=0°+y°+]3o-yo=0o^/3o=lSOo-

助當(dāng)。4在NCOD內(nèi)部時(shí)（如圖5）,

圖5

/COB=ZAOB+ZAOC=/30+yQ,

ZAOD=ZDOC-ZCOA=00-y°,

團(tuán)ZAOD+ZCOB=/r+7。+8。_7。=/+4。=180。；

勖當(dāng)NCOD在/AO5外部時(shí)（如圖6）,

圖6

ZAOD+ZCOB=360°-(ZAOB+/COD)

=360°-180°=180°；

綜上所述，在旋轉(zhuǎn)過程中，/AOD+NCO5的度數(shù)不改變，其度數(shù)為180。.

【點(diǎn)睛】本題考查了角的和差，關(guān)鍵是運(yùn)用角的和差正確表示所需要的角.

【變式訓(xùn)練2】已知，如圖1,將一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)。放置于直線MN上，直角邊OA

與直線重合，其中ZAOB=90°,然后將三角板繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)ZAOM=?,

⑴如圖2,填空：當(dāng)&=30。時(shí)，ZCON=。.

⑵如圖2,當(dāng)0。<&<90。時(shí)，求NCOD的度數(shù)（用含。的代數(shù)式表示）；

⑶如圖3,當(dāng)90。<0<180。時(shí)，請判斷NCO。-的值是否為定值，若為定值，求出

6

該定值，若不是定值，請說明理由.

【答案】（1）30

（2）75。-ga

⑶是定值，理由見解析

【分析】（1）根據(jù)題意，可得，3ON=60。，再結(jié)合角平分線的定義即可獲得答案；

（2）當(dāng)0。<0<90。時(shí)，由題意可得NBON=90。-a,結(jié)合角平分線的定義易得

ZB（9C=1（90°-a）,再由/河03=90。+￡,=可知Z8OD=g（90°+a）,

然后根據(jù)NCOD=/BOD+NBOC即可獲得答案；

（3）當(dāng)90。<a<180。時(shí)，由題意可得NAON=180。-<z,ZNOB=a-90°,結(jié)合角平分線

的定義易得NBOC=3a-45。，再由=,ZMOB=270。-a,可推導(dǎo)

ZDOB=90°--a,ZCO￡>=ZDOB+ZBOC=-a+45°,進(jìn)而確定

36

ZCOD--ZBON=6Q°.

6

【詳解】（1）解：當(dāng)￡=30。時(shí)，由題意可知NAOB=90。，NMON是平角,

0ZBON=180°-ZAOB-a=60°,

又回"平分N3QN,

0ZCON=-ZBON=30°.

2

故答案為：30；

（2）當(dāng)0。<0<90。時(shí)，如圖2,

回/MON是平角，ZAOM=a,ZAOB=90°,

0ZBON=ZMON-ZAOM-ZAOB=180°-夕一90°=90°-cr,

I3OC平分ZBON,

EZBOC=|ZBON=1（90°-a）,

0ZMOB=ZMOA+ZAOB=90°+a,ZBOD=-/MOB,

3

0ZBOZ）=1（9O°+a）,

0ZCOD=ZJBO￡>+ZBOC=1（9O°+a）+1（9O°-a）=75°-1a；

（3）當(dāng)90。</<180。時(shí)（如圖3）,NCOD-L/BON為定值.

6

理由如下：

EINMON是平角，ZAOM=a,ZAOB=90°,

EZAON=ZMON-ZAOM=180°-a,

ZNOB=ZAOB-ZAON=90°-（180°-a）=cr-90°,

EIOC平分4VOB,

0ZDOB=-ZMOB,ZMOB=360°-ZAOM-ZAOB=270°-a,

3

ElZr)OB=90o--a,

3

0ZCOD=ZDOB+ZBOC=^90°-1a-45°^j=1tz+45°,

EZCO￡)--ZBO^=|-6Z+45°|--(cr-90o)=60°,

6(6)6v

回NCODNBON為定值，定值為60°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義、幾何圖形中角度運(yùn)算等知識(shí)，解題關(guān)鍵是結(jié)合圖

形分析清楚各角之間的關(guān)系.

類型二、數(shù)量關(guān)系問題

例.已知ZA08=a,NC0D=〃，保持/A03不動(dòng)，NCOD的OC邊與。4邊重合，然后將

NCOD繞點(diǎn)。按順時(shí)針方向任意轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度八0。474360。)，(本題中研究的其它角的度

數(shù)均小于180。)

圖1圖2

⑴［特例分析］如圖1,若/=30。,1=#=90。，則乙BOD=。，ZAOD+ZBOC^。

(2)［一般化研究］如圖2,若a+￡=180。，隨著/的變化，探索ZAC?與N3OC的數(shù)量關(guān)系，

并說明理由.

(3)［繼續(xù)一般化］隨著7的變化，直接寫出4OD與-30C的數(shù)量關(guān)系、(結(jié)果用含a、￡的

代數(shù)式表示).

【答案】⑴30；180

(2)ZAOZ)+ZBOC=180°,理由見解析

(3)當(dāng)0</<a;時(shí)，ZAOD+ZBOC=a+/3-當(dāng)aW/<180。-尸時(shí)，ZAOD-ZBOC=a+/3■

當(dāng)180。一。<7<々+180。時(shí)，ZAOD+ZBOC=360°-a-(3,當(dāng)&+180。4/<360。一尸時(shí)，

ABOC-AAOD=a+/3.當(dāng)360。-￡4/<360。時(shí)，AAOD+ZBOC=a+13.

【分析】(1)由轉(zhuǎn)動(dòng)角度7=30°可知，々8=30。，進(jìn)而利用已知角的和差關(guān)系可求

NA8+N3OC的度數(shù)；

(2)分OC在ZAOB內(nèi)部，在ZAOB外部時(shí)，OC在NAOB外部時(shí),OD在ZAOB外

部時(shí)，OC在/AOB外部時(shí)，OD在外部時(shí)，作出圖形進(jìn)行討論即可；

(3)根據(jù)在轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中"0°W/W360。)的度數(shù)，分五種情況，當(dāng)0</<a時(shí)；當(dāng)

cW/<180°-￡時(shí)；當(dāng)180°-分V/<(z+180°時(shí)；當(dāng)a+180°V/<360°—刀時(shí)；當(dāng)

360。-力</<360。時(shí)，作出圖形進(jìn)行討論即可.

【詳解】(1)由轉(zhuǎn)動(dòng)角度7=30°可知，ZBOD=30°,

回。=尸=90。，即：ZAOB=ZCOD=90°,

0ZAOD+ZBOC=(ZAOC+ZCOD)+(ZAOB-ZAOC)=ZAOB+ZCOD=180°,

故答案為:30；180.

(2)ZAOD+ZBOC=180°,理由如下：

如圖，OC在/AO3內(nèi)部，在/AO3外部時(shí)，

B

D

0ZAOD=ZAOB+NBOD；

EZAOD+NBOC=AAOB+NBOD+NBOC=AAOB+ACOD=?+/?=180°,

如圖，OC在403外部時(shí)，OD在/A03外部時(shí)，

ZAOD+NBOC=360°-(ZAOB+ZCOD)=360°-(cr+^)=180°

如圖，OC在NZO3外部時(shí)，0。在—493內(nèi)部時(shí)，

0ZAOD=ZAOB-NBOD；

EZAOD+NBOC=ZAOB-ZBOD+ZBOC=ZAOB+/COD=a+/?=180°,

綜上，ZAOD+/30c=180。；

(3)A、0、。線7=180。一分,360。一月

B、。、C線/=sc+180°

①當(dāng)0<”(z時(shí)，ZAOC=y,則ZAO￡)=￡+7,ZBOC=a—y,

團(tuán)NAOD+N8OC=a+月；

②當(dāng)aW/<180。-6時(shí)，AAOD=(3+y,ABOC=y-a,

^\AAOD-ABOC=/3+a

③當(dāng)180。-￡<”&+180。時(shí)，ZAOD=360°-/-/3,ZBOC=/-a,回

ZAOD+ZBOC=360°-a-/3

④當(dāng)a+180°W/<360°—6時(shí)，ZAOZ)=360°-/-AZSOC=360°-(/-(z)=360-/+a,

^ZBOC-ZAOD=a+j3

DC

⑤當(dāng)360。一萬工/<360。時(shí)，ZAOD=/-180o-(180o-^)=/+/?-360o,ZBOC=360°-/+cr,

^\AAOD+ABOC=a+/3

綜上，當(dāng)。v/va時(shí)，ZAOD+ZBOC=a+/3-

當(dāng)24/<180。一萬時(shí)，/AOD—/BOC=a+f3；

當(dāng)180。—力<7<a+180。時(shí)，AAOD+ZBOC=360°

當(dāng)。+180?！?〈360?！謺r(shí)，ZBOC-ZAOD=a+j3；

當(dāng)360。一/7W/v360。時(shí)，ZAOD+ZBOC=a+)3.

【點(diǎn)睛】本題考查了角的有關(guān)計(jì)算，根據(jù)題目要求作出圖形，利用角度的和差關(guān)系是解決問

題的關(guān)鍵問題.

【變式訓(xùn)練1】已知NAQB=2NCOD=140。，OE平分ZA8.

圖②圖③

1°,求/AOC的度數(shù)；

(2)將NCOD繞頂點(diǎn)。按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至如圖②的位置，/3QD和/COE有怎樣的數(shù)量關(guān)

系？請說明理由；

⑶將NCOD繞頂點(diǎn)。按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至如圖③的位置，(2)中的關(guān)系是否成立？請說明

理由.

【答案】⑴90。

(2)ZBOD=2ZCOE,理由見解析

⑶不成立，理由見解析

【分析】(1)先求出NCOD的度數(shù)，根據(jù)ZDOE=NEOC+NCOD,求出NEOD,角平分線得

到NAOE=NE8,再利用NAOC=NAOE+NCOE,即可得解；

(2)設(shè)NAOD=tz,易得:ZBOD=140°-a,求出

ZCOE=ZAOC+ZAOE=70o-cc+^a=70o-|a,即可得出結(jié)論；

(3)設(shè)ZAOD=a,貝iJZAOC=7(r+(z,ZBOD=360°-(140°+a)=220°-a,求出

ZCOE=ZAOC-ZAOE=70。+a-ga=70。+ga,進(jìn)而得到ZBOD和ZCOE的數(shù)量關(guān)系,

即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：0ZAOB=2Z.COD=140°,

0ZCOD=-ZAOB=7O°,

2

團(tuán)ZDOE=ZEOC+/COD=80°,

回0E平分ZAOQ,

^ZAOE=ZEOD=SQ0,

回ZAOC=ZAOE+ZCOE=90°；

(2)解：2NCOE=NBOD；理由如下：

設(shè)ZAOD=a,則40。=70。一￡,ZBOD=14Q0-a,

EI0E平分ZAOQ,

^\ZAOE=ZEOD=-a,

2

^ZCOE=ZAOC+ZAOE=100-a+-a=10°--a,

22

E2ZCOE=140°-(z=ZBOD；

(3)不成立，理由如下：

設(shè)ZAOD=a,則ZAOC=70°+a,ZBOD=360°-(140°+a)=220°-?

BOE^-^-ZAOD,

回zLAOE=NEOD=—a,

2

0ZCOE=ZAOC-ZAOE=70°+a--a=70°+-?,

22

02ZCOE+ZBOD=140。+。+220°一a=360°；

0(2)中的關(guān)系不成立.

【點(diǎn)睛】本題考查幾何圖形中角度的計(jì)算，正確的識(shí)圖，理清角的和差關(guān)系，熟練掌握角平

分線平分角，是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練2】如圖，ZAOB=100°,NCOD=40。，射線OE平分4OC,射線O尸平分

ZBOD(本題中的角均為大于0。且小于180。的角).

AA

E

濟(jì)o----------------------B

F備用圖

(1)如圖，當(dāng)OB,OC重合時(shí)，求/EO尸的度數(shù)；

(2)當(dāng)NCOD從圖中所示位置繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)〃度(0<”40)時(shí)，NAOE-N3O尸的值是否

為定值？若是定值，求出NAOE-々。尸的值，若不是，請說明理由.

⑶當(dāng)ZCOD從圖中所示位置繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)"度(0<〃<220)時(shí)，ZAOE與ZBOF具有

怎樣的數(shù)量關(guān)系？

【答案】(1)70。

⑵為定值，理由見解析

(3)當(dāng)。<〃<80時(shí)，ZAOE-ZBOF=30°；當(dāng)80V〃<140時(shí)，ZAOE-ZBOF=1100■,當(dāng)

1404"220時(shí)，ZBOF-ZAOE=30°

【分析】(1)根據(jù)角平分線的定義知NEQB=g/AOB、NBOF=g/COD,再根據(jù)

ZEOF=ZEOB+NBOF可得答案；

⑵由題意知NAOC=NAO3+N30c=100°+〃°、ZBOD=ZBOC+ZCOD=rf+40°,根據(jù)

1100°+〃°1n°+40°

角平分線的定義得/40石=彳/4。。=---、ZBOF=-ZBOD=--—，代入計(jì)算可

2222

得答案；

⑶分情況計(jì)算，利用w表示出,AOC,NBOD,再根據(jù)角之間的關(guān)系即可求解.

【詳解】(1)解：ZAOB=100°,/。。0=40。，射線?！昶椒?4。。，射線0尸平分立80￡),

ZEOB=-ZAOB=1x100°=50°,ZBOF=-ZCOD=-x40°=20°,

2222

ZEOF=ZEOB+NBOF=500+20°=70°；

(2)解：NAOE-N及用的值為定值，

理由如下：如圖：

A

.NCOD從圖中所示位置繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)〃度(0v〃<40)

ZAOC=ZAOB+ZBOC=100°+n°,/50。=々0。+"0。=〃。+40。，點(diǎn)C、。在直線

AO的右側(cè)，

射線OE平分NAOC,射線O尸平分/5OD,

100。+〃?！?。+40。

ZAOE=-ZAOC,ZBOF=-ZBOD=

2222

100°+〃°n°+40°

/.ZAOE-ZBOF='--=30°,

22

NAQ￡—ZBO的值為定值;

(3)解：當(dāng)0v〃v80時(shí)，如圖2：由⑵知，ZAOE-ZBOF=30°；

圖2

當(dāng)804〃v140時(shí)，如圖3所示,

A

圖3

ZAOC=360°-ZAOB-ZBOC=360°-100。—〃。=260°-rf,

ZBOD=NBOC+/COD=〃+40°,

射線O￡平分NAOC,射線紡平分工BOQ,

260。一心H°+40°

ZAOE=-ZAOC=ZBOF=-ZBOD=

2222

260°+n°n°+40°

:.ZAOE-ZBOF==110°；

~22~

當(dāng)140＜加＜220時(shí)，如圖4所示,

ZAOC=360°-ZAOB-rf=360°-100°-n°=260°-rf,

ZBOD=360°-rf-ZCOD=360°-rf-40°=320°-rf,

射線OE平分/AOC,射線OF平分，30。，

260f。320°-H°

/.ZAOE=-ZAOC=ZBOF=-ZBOD=

2222

320?！ā?60?！獜U

ZBOF-ZAOE==30°；

22

綜上，/49石與ZBOb具有的數(shù)量關(guān)系為：當(dāng)0v〃v80時(shí)，ZAOE-ZBOF=30°；當(dāng)

804幾V140時(shí)，ZAOE-ZBOF=\W°；當(dāng)1404孔〈220時(shí)，ZBOF-ZAOE=30°.

【點(diǎn)睛】本題考查了角度的計(jì)算以及角平分線的定義，找準(zhǔn)各角之間的和差關(guān)系，采用分類

討論的思想是解決本題的關(guān)鍵.

類型三、求運(yùn)動(dòng)時(shí)間問題

例1.已知NAOD=120。，射線03、OC均為ZAOD內(nèi)的射線.

。圖2。。圖3。

(1)如圖1,若08、OC為4QD的三等分線，則_____；

(2)如圖2,若N30c=60。，ON平分NAOC,ON平分NBOD,求NMON的大小

⑶射線以每秒10。的速度順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，射線0C以每秒8。的速度順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，

射線ON始終平分/AOC,兩條射線同時(shí)從圖1的位置出發(fā)，當(dāng)其中一條射線到達(dá)的位

置時(shí)兩條射線同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為f秒，當(dāng)/為何值時(shí)，ZAOB-ZDOM=20°.

【答案】⑴80。

(2)30°

,30?40?100

⑶了或可或吃一

【分析】(1)根據(jù)三等分角的定義求解即可；

(2)設(shè)NBQ4=x。，根據(jù)角平分線性質(zhì)表示出/MOC,NDON,根據(jù)

ZMON=ZCOM-Z.CON求解即可；

(3)根據(jù)運(yùn)動(dòng)時(shí)間分類討論，表示出/AO&ZDOM,根據(jù)題意列方程求解即可.

【詳解】(1)解：回。3、OC為ZAOD的三等分線，ZAOD=120°,

0ZBOA=ZBOC=ZCOD=-ZAOD=40°,

ZBOD=ZBOC+Z.COD=80°；

故答案為：80°.

(2)解：設(shè)N3Q4=x。，則NCOD=(60—x)。，ZCOA=(60+x)°,ZBOD=(120-x)°,

回ON平分NAOC,ON平分NBOD,

EZCOM=-ZCOA=(30+-x)°,ADON=-ZBOD=(60--尤)。，

2222

ZCON=ADON-ZCOD=(-x)°

2

AMON=ZCOM-ZCON=30+-X--A=30°.

22

(3)解：如圖所示，當(dāng)04Y5時(shí)，408=(40+10/)。，ZAOC=(80+8r)°,ZDOC=(40-8Z)°,

團(tuán)射線OM平分ZAOC,

團(tuán)ZCOM=|ZCOA=(40+40°,

ZDOM=ZCOM+/COD=(80-4/)。，

40+10r-80+4r=20°,

=(40+100°,ZAOC=(80+80°,ZDOC=(8?-40)0,

團(tuán)射線OM平分/AOC,

團(tuán)ZCOM=|ZCOA=(40+40°,

ZDOM=ZCOM-ZCOD=(80-4t)°,

40+10T0+4/=20。，

ZAOC=(280-80°,/DOC=(St-40)0,

團(tuán)射線O河平分/AOC,

團(tuán)ZCOM=IZCOA=(140-40°,

ZDOM=ZCOM+ZCOD=(100+4r)0,

40+10100—4%=20。，

解得，”與40

如圖所示，當(dāng)14<fW32時(shí)，ZA<9B=(320-100°,ZAOC=(280-8。。，ZDOC=(8?-40)°,

團(tuán)射線OM平分ZAOC,

0ZCOM=-ZCOA=(140-4。°,

2

ZDOM=/COM+ZCOD=(100+4z)0,

320-10r-100-4z=20°,

\C\B

【點(diǎn)睛】本題考查了與角平分線有關(guān)的計(jì)算，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用角平分線的性質(zhì)表示出角

的度數(shù)，利用角的和差關(guān)系求解.

例2.新定義：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，在角的內(nèi)部引兩條射線，如果這兩條射線所成的角等

于這個(gè)角的一半，那么這兩條射線所成的角叫做這個(gè)角的內(nèi)半角.

如圖1,若射線OC,QD在/Z03的內(nèi)部，且？COD；?AOB,則NCOD是NAO3的內(nèi)半

角.

C.A

D

B

根據(jù)以上信息，解決下面的問題：

⑴如圖1,ZAOB=10°,ZAOC=25°,若NCOD是/'403的內(nèi)半角，貝lJZBQD=_。；

(2)如圖2,已知NAQ3=60。，將/AO3繞點(diǎn)。按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度a(0<?<60")

至NCOD.若/CQ3是N4OD的內(nèi)半角，求a的值；

⑶把一塊含有30。角的三角板COD按圖3方式放置.使OC邊與。I邊重合，0D邊與0B邊

重合.如圖4,將三角板COD繞頂點(diǎn)。以3度/秒的速度按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)時(shí)間

為/秒，當(dāng)射線。4、OB、OC,0。構(gòu)成內(nèi)半角時(shí)，直接寫出，的值.

【答案】⑴10。

(2)20°

⑶/的值為1或30或90或苧

【分析】(1)根據(jù)題意算出NCO。的度數(shù)，利用=/AOC—/COD即可算出

,30。的度數(shù)；

(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可推出NAOC=NH9D=c和NCOD=NAO3=60。，然后可用含有a的

式子表示N4OD和NCO5的度數(shù)，根據(jù)/COB是ZAOD的內(nèi)半角，即可求出a的值；

(3)根據(jù)旋轉(zhuǎn)一周構(gòu)成內(nèi)半角的情況總共有四種，分別畫出圖形，求出對(duì)應(yīng)，值即可.

【詳解】(1)解：EINCOD是—493的內(nèi)半角，ZAOB=70°,

QZCOD=-ZAOB=35°,

2

0ZBOD=ZAOB-ZAOC-ZCOD=70°-25°-35°=10°,

故答案為：10°；

(2)解：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：ZAOC=ZBOD=a,ZCOD=ZAOB=60°,

0ZAOD=ZAOC+ZCOD=a+60°,/COB=ZAOB-ZAOC=60°-a,

回NCO3是446?的內(nèi)半角，

^ZAOD=2Z.COB,即c+60°=2(60°-a),

解得a=20。，

團(tuán)a的值為20。；

(3)解：①如圖4所示，此時(shí)NCQ3是ZAOD的內(nèi)半角，

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知ZAOC=ZBOD=3t°,ZCOD=ZAOB=30°,

0ZAOD=ZAOC+ZCOD=3t°+30°,ZCOB=ZAOB-ZAOC=30°-3毋，

回ZCOB是ZAOD的內(nèi)半角，

團(tuán)ZAOD=2Z.COB,即3產(chǎn)+30°=2(30°-3產(chǎn)),

解得”號(hào)；

②如圖所示，此時(shí)-3OC是ZAC?的半角，

A

K

D

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得ZAOC=ZBOD=3r,ZCOD=ZAOB=30°,

回ZAOD=ZAOC+ZCOD=3尸+30°,ZBOC=ZAOC—ZAOB=3r°—30°,

回—3OC是NA。。的內(nèi)半角，

ffl?AO￡>2?BOC,即3『+30°=2（3尸-30°）,

解得r=30；

③如圖所示，此時(shí)N4C?是NBOC的內(nèi)半角，

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知ZAOC=ZBOD=360°-3t°,ZCOD^ZAOB=30°,

0BOC=ZBOD+ZCOD=390°-3f°,ZAOD=ZAOC-NCOD=330°-3t°,

回NAC?是NBOC的內(nèi)半角，

EZBOC=2ZAOD,即390°-3t°=2（330°-3巧,

解得t=90；

④如圖所示，此時(shí)ZAQD是，30c的內(nèi)半角，

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知ZAOC=ZBOD=360°-3t°,NCOD=ZAOB=30°,

0ZBOC=ZBOD+ZCOD=390°-3t°,ZAOD=ZCOD-ZAOC=3f°-330°,

回NAQD是N3OC的內(nèi)半角,

國ZBOC=2ZAOD,即390°-3t°=2（3『-330°）,

綜上所述，當(dāng)射線。4、OB、OC、0。構(gòu)成內(nèi)半角時(shí)，r的值為了或30或90或子.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面內(nèi)角的相關(guān)計(jì)算，解題關(guān)鍵是理解內(nèi)半角并根據(jù)旋轉(zhuǎn)情況畫出

圖形.

【變式訓(xùn)練1】已知直線A3過點(diǎn)。，ZCOD=90°,OE是/BOC的平分線.

②如圖1,若NAOC=50。，則/DOE=_。.

③如圖1,若NAOC=a,則"OE=_.（用含a的代數(shù)式表示）

⑵操作探究：將圖1中的NC8繞頂點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，其他條件不變，③中

的結(jié)論是否成立？試說明理由.

⑶如圖3,已知/COD=60。，邊OC、邊0。分別繞著點(diǎn)。以每秒10。、每秒5。的速度順時(shí)

針旋轉(zhuǎn)（當(dāng)其中一邊與。8重合時(shí)都停止旋轉(zhuǎn)），求：運(yùn)動(dòng)多少秒后，/COD=20°

【答案】⑴①20。；②25。；③;a

⑵成立；理由見詳解

（3）1=8或1=16

【分析】（1）①②③如圖1,根據(jù)平角的定義和角平分線的定義，求出NEOB,NDOB,

利用角的差可得結(jié)論；

（2）由NAOC=cr,可得/BOC=180°—a,則ZBOD=18（F-ZAOC-NCOD=90。-。，根據(jù)OE

平分/3OC,WMZ-BOE=|ZBOC=90°-1a；所以

ZDOE=ZBOE-ZBOD=90°-1a-（90°-a）=1a.

（3）設(shè)f秒后NCOD=20。，可得10f—5f=60?！?0。或10-5/=60。+20。，即可解得f=8或

t=16；

【詳解】（1）團(tuán)NAOC=40。，

團(tuán)ZBOC=180?！猌AOC=140°,

團(tuán)。石平分4OC,

0ZCOE=-ZBOC=7O°,

2

0ZDOE=90°-ZCOE=90°-70°=20°,

故答案為：20°；

②回NCOD=90。，

0ZAOC+ZBO￡>=90°,

0ZAOC=50°,

0ZBO￡>=4O°,

團(tuán)ZBOC=NCOD+NBOD=900+40°=130°,

團(tuán)OE平分/BOC,

ENBOE=-ZBOC=65°,

2

0ADOE=65°—40°=25°,

故答案為：25°；

@ZAOC=a,

回ZBOC=180°-ZAOC=180°—口,

0ZBOD=1800-ZAOC-Z.COD=90°-a,

團(tuán)OE平分/BOC,

EZBOE=-ZBOC=90°--a；

22

0ZDOE=ZBOE-NBOO=90°一ga一（90°-a）=".

故答案為:a.

（2）成立，理由如下：

設(shè)NAOC=cr,

EZBOC=180°-ZAOC=180°-?,

E10E平分ZBOC,

^ZCOE=-ZBOC=90°--a-

22

0ZZ）O￡=90°-ZCOE=90°-|^90o=,

回③中所求出的結(jié)論還成立.

（3）設(shè)f秒后NCOD=20。，

根據(jù)題意得：可得10f-5t=60°一20?；?0r—5/=60°+20°,

解得1=8或f=16,

經(jīng)檢驗(yàn)，/=8或"16均符合題意，

答：運(yùn)動(dòng)f=8或f=16秒后，ZCOD=20°；

【點(diǎn)睛】本題主要考查角度的和差計(jì)算，角平分線的定義（從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出一條射線,

把這個(gè)角分成兩個(gè)完全相同的角，這條射線叫做這個(gè)角的角平分線），解決本題的關(guān)鍵是由

圖形得到角度之間的關(guān)系.

【變式訓(xùn)練2】平面上順時(shí)針排列射線。4,O3,OC,OD,ZBOC=30°,TCOD；?AOB,射線

OM,ON分別平分/A03,ZAOD（題目中所出現(xiàn)的角均小于180。）.

AA

(1)如圖1,若ZAOD=10°,則ZAOM=,NCON=；

(2)如圖2,探究/MON與N3ON的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

⑶在(2)的條件下，若NBON=5。,將—493繞點(diǎn)。以每秒2。的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)

將NCOD繞點(diǎn)。以每秒3。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，若旋轉(zhuǎn)時(shí)間為f秒(0</<90),當(dāng)NMON=5。時(shí)，直

接寫出f的值.

【答案】(1)40。，45°

(2)ZMON-ZBON=30°

⑶當(dāng)ZM0N=5°時(shí)，f=40或t=12

【分析】(1)先根據(jù)？CO。射線ON平分/403求出

?COD；?AOB2AoM?BOM,進(jìn)而得到？AOD1COM10?,即可求出/AOM,再根據(jù)

射線ON平分ZAOD求出ADON=-ZAOD=5°,最后計(jì)算ZCON即可；

2

(2)先由？COD；?AOB,射線。M平分/A03求出？COD1AOM再由射線ON分

別平分N4OD求出ZAOM+ZMON=ZNOB+ZBOC+ZCOD,最后根據(jù)ZBOC=30。計(jì)算即可.

(3)先根據(jù)題意得到？COD?AOM1BOM40?,ZA(9S=80°,進(jìn)而求出旋轉(zhuǎn)前

ZAOD=80°+40°+30°=150°,再由“將/AC?繞點(diǎn)O以每秒2。的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)”得到

NAOM=40。恒定，然后分類討論即可.

【詳解】(1)COD!?AOB,射線ON平分/AC?,

0?COD-?AOB?AOMTBOM,

2

EI7AODTCOM10?,

I37AOM?CODTBOM2Moe?BOC30?10?40?,

團(tuán)射線ON平分ZAOD,

EADON=-ZAOD=5°,

2

0ZCON=ZCOD+ADON=40°+5°=45°,

故答案為40。，45°；

(2)STCOD射線OM平分203,

0?COD?AOM?BOM,

回射線ON分別平分ZAOD,

?ZAON=ZNOD,

EZAOM+ZMON=ZNOB+ZBOC+ZCOD,

0ZBOC=30°,?COD?AOM?BOM,

ZMON=ZNOB+30°,

^\ZMON-ZBON=30°；

(3)0ZMON-ZBON=30°,ZBON=5°,

SZMON=35°,

0?COD2AOMTBOM40?,

回NAO8=80。，

0ZBOC=30°,

0ZAOD=80°+40°+30°=150°,

團(tuán)將—AO3繞點(diǎn)。以每秒2。的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，

回,AOB度數(shù)恒定，即ZAOM=40。恒定，

在OA/和ON相遇前，

回NMON=5。，射線ON平分ZAOD,

EZAON=ZDON=1zAO￡>=1x(150°-2t°-3r°)=ZAOM+ZMON,

SZAOM=40°,ZMON=5。,

01X(150°-2t°-3f°)=40°+5°,解得t=12；

在OM和ON相遇后，

此時(shí)ZAOD=150°-2t°-3t°=150°-5t°,

團(tuán)射線ON平分ZAOD,0ZAON=|ZAOD=1(150°-5f°)

0ZAOM=40°,ZMON=5°,

ZAON=ZAOM-ZMON=400-5°=35°,

即35。=3(150。-5尸)，解得/=40；即當(dāng)/MON=5°時(shí)，f=40或f=12.

【點(diǎn)睛】本題考查了與角平分線有關(guān)的計(jì)算，難度較大，需要有良好的空間想象能力.因?yàn)?/p>

題干要求題目中所出現(xiàn)的角均小于180。，所以第三問無需考慮7=40后再次出現(xiàn)/MON=5。

的情況.

課后訓(xùn)練

1.已知4405=120。，以射線OA為起始邊，按順時(shí)針方向依次作射線OC、0D,使得

NCOD=60°,設(shè)NAOC=。，0°<6><180°.

(1)如圖1,當(dāng)0。<，忘60。時(shí)，若NAOD=83。，求/BOC的度數(shù)；

⑵備用圖①，當(dāng)60°<6<120°時(shí)，試探索ZAOD與/30C的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

⑶備用圖②，當(dāng)120。46<180。時(shí)，分別在NAOC內(nèi)部和—BOD內(nèi)部作射線0E,OF,使

21

ZAOE=-ZAOC,ZDOF=-ZBOD,求NEO9的度數(shù).

【答案】⑴NBOC=97。；

(2)ZAOZ)+ZBOC=180°；理由見解析；

⑶NEO尸=80°

【分析】(1)根據(jù)圖形可知N3OD=NAO3—NAOD,繼而根據(jù)ZBOC=NCOD+N3OD,

即可求解；

(2)根據(jù)圖形得出N3OC=NCOD—ZBOD=6()o—N3OD,計(jì)算NAOD+ZBOC,即可得

出結(jié)論；

(3)分兩種情況討論，①當(dāng)6=120?時(shí)，射線OC與OB重合，射線。。與Q4互為反向延

長線，②當(dāng)120。<。<180。時(shí)，如圖4,射線OC、0。在/AO3的外部，結(jié)合圖形分析即

可求解.

【詳解】(1)如圖1,0°<^<60°,

.?./COD在—AO3內(nèi)部，

QZA0B=12O°,NAO￡)=83°,

ZBOD=ZAOB-ZAOD=120°-83°=37°,

,zcor)=60°,

NBOC=Z.COD+NBOD=600+37°=97°；

(2)ZAOD+ZS(9C=180°；理由如下：如圖2,

'B

/D

AO

圖2

60°<6><120°,

，射線OC、OD分別在/AQ5內(nèi)、外部,

ZAOD=ZAOB+ZBOD=120°+ZBOD，

ZBOC=ZCOD-ZBOD=60°-ZBOD,

ZAOD+ZBOC=120°+ZBOD+60°-ZBOD=180°,

:.ZAOD+ZBOC=180°-,

(3)①當(dāng)，=120?時(shí)，射線OC與OB重合，射線0。與。4互為反向延長線,

貝U/AOC=NAO8=120。，ZBOD=ZCOD=60°,如圖3,

ZCOE=-ZAOC=-ZAOB=40°,

33

22

ZCOF=一ZBOD=一ZCOD=40°,

33

/.ZEOF=ZCOE+ZCOF=40°+40°=80°；

②當(dāng)120。＜夕＜180。時(shí)，如圖4,射線OC、0。在/AQ5的外部，如圖4,

圖4D

則ZBOC=ZAOC-ZAOB=6>-120°,

ZBOD=ZBOC+ZCOD=3-60°,

21

ZAOE=-ZAOC,ZDOF=-ZBOD,

33

,\ZCOE=-ZAOC=-0,

33

222

"。尸=釬88=皇。-6。。)=§。-4。。

21

ZCOF=NBOF-NBOC=-0-400-(6>-120°)=--6>+80°,

NEOF=NCOE+NCOF=-6?--6>+8O°=8O°.

33

綜合①②得ZEOF=80°.

【點(diǎn)睛】本題考查了結(jié)合圖形中角度的計(jì)算，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

2.點(diǎn)。為直線A3上一點(diǎn)，在直線同側(cè)任作射線OC,OD,使得NCOD=90。.

AOB

圖3

(1)如圖1,過點(diǎn)。作射線OE,當(dāng)OE恰好為—AOC的角平分線時(shí)，另作射線OF,使得OF

平分NB0D,則ZEOC+ZDOF的度數(shù)是。；

(2)如圖2,過點(diǎn)。作射線。G,當(dāng)0G恰好為ZAOD的角平分線時(shí)，求出/B0D與NCOG的

數(shù)量關(guān)系；

⑶過點(diǎn)O作射線CW,當(dāng)OC恰好為/AO”的角平分線時(shí)，另作射線OK,使得0K平分

ZCOD,若/HOC=3NHO