習(xí)題課 三角恒等變換的綜合應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì)-2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）必修第二冊(cè)

習(xí)題課三角恒等變換的綜合應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì)-2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）必修第二冊(cè)課題：科目：班級(jí)：課時(shí)：計(jì)劃1課時(shí)教師：?jiǎn)挝唬阂?、課程基本信息1.課程名稱：三角恒等變換的綜合應(yīng)用習(xí)題課

2.教學(xué)年級(jí)和班級(jí)：高一（2）班

3.授課時(shí)間：2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期，第10周星期三上午第2節(jié)

4.教學(xué)時(shí)數(shù)：45分鐘

本節(jié)課將圍繞北師大版（2019）必修第二冊(cè)數(shù)學(xué)課本中三角恒等變換的知識(shí)點(diǎn)，針對(duì)學(xué)生已學(xué)習(xí)的三角函數(shù)基本恒等變換，通過典型習(xí)題的講解與練習(xí)，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)三角恒等變換的理解和應(yīng)用能力，提高解題技巧，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。二、核心素養(yǎng)目標(biāo)分析本節(jié)課圍繞培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)目標(biāo)。通過三角恒等變換的習(xí)題講解與練習(xí)，使學(xué)生能夠掌握數(shù)學(xué)抽象思維，提高邏輯推理能力，培養(yǎng)他們?cè)趯?shí)際問題中建立數(shù)學(xué)模型的能力，同時(shí)加強(qiáng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的熟練度和準(zhǔn)確性。結(jié)合課本內(nèi)容，關(guān)注學(xué)生運(yùn)用三角恒等變換解決問題的策略選擇，培養(yǎng)他們解決復(fù)雜問題時(shí)所需的數(shù)學(xué)思維和核心素養(yǎng)。三、學(xué)情分析本節(jié)課的教學(xué)對(duì)象為高一年級(jí)學(xué)生，經(jīng)過之前的學(xué)習(xí)，他們?cè)跀?shù)學(xué)知識(shí)、能力和素質(zhì)方面具備一定的基礎(chǔ)。在知識(shí)層面，學(xué)生已掌握三角函數(shù)的基本概念、圖像及簡(jiǎn)單性質(zhì)，了解恒等變換的基本原理。在能力方面，學(xué)生的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力有所提升，但在綜合運(yùn)用三角恒等變換解決實(shí)際問題時(shí)，仍需進(jìn)一步提高。

然而，學(xué)生在素質(zhì)方面存在一定差異，部分學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科興趣濃厚，學(xué)習(xí)主動(dòng)性強(qiáng)，而另一部分學(xué)生則相對(duì)被動(dòng)，缺乏學(xué)習(xí)熱情。此外，學(xué)生在行為習(xí)慣方面，部分學(xué)生解題過程中條理清晰，步驟嚴(yán)謹(jǐn)，而部分學(xué)生則存在跳躍性思維，解題步驟不完整。

這種學(xué)情對(duì)課程學(xué)習(xí)產(chǎn)生以下影響：一方面，需要針對(duì)學(xué)生的能力差異，設(shè)計(jì)不同難度的習(xí)題，使每位學(xué)生都能在課堂上得到鍛煉和提升；另一方面，要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)，通過實(shí)際案例激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，引導(dǎo)他們形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，提高解題能力。同時(shí)，注重培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。四、教學(xué)資源1.硬件資源：多媒體教學(xué)設(shè)備、黑板、三角函數(shù)教學(xué)掛圖。

2.軟件資源：教室多媒體播放系統(tǒng)、數(shù)學(xué)學(xué)科軟件（如幾何畫板、MathType等）。

3.課程平臺(tái)：學(xué)校教學(xué)管理系統(tǒng)、電子教案共享平臺(tái)。

4.信息化資源：電子教材、教學(xué)PPT、三角恒等變換教學(xué)視頻、在線習(xí)題庫。

5.教學(xué)手段：講授法、案例分析法、小組討論、互動(dòng)提問、實(shí)時(shí)反饋系統(tǒng)。五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)1.導(dǎo)入環(huán)節(jié)（5分鐘）

-創(chuàng)設(shè)情境：利用多媒體展示生活中與三角恒等變換相關(guān)的實(shí)際案例，如音樂合成、電子振蕩等，提出問題：“這些現(xiàn)象中是否隱藏著三角函數(shù)的奧秘？”

-提出問題：引導(dǎo)學(xué)生思考三角恒等變換在實(shí)際問題中的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和求知欲。

2.講授新課（15分鐘）

-教學(xué)重點(diǎn)：三角恒等變換的綜合應(yīng)用。

-教學(xué)難點(diǎn)：如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為三角恒等變換問題，并運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題。

a.梳理知識(shí)點(diǎn)：回顧已學(xué)習(xí)的三角函數(shù)基本恒等變換，總結(jié)變換規(guī)律。

b.案例分析：結(jié)合實(shí)際案例，講解如何運(yùn)用三角恒等變換解決問題。

c.方法總結(jié)：提煉解題步驟和關(guān)鍵點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理能力的培養(yǎng)。

3.鞏固練習(xí)（15分鐘）

-設(shè)計(jì)練習(xí)：根據(jù)學(xué)生層次，設(shè)計(jì)不同難度的習(xí)題，讓學(xué)生在課堂上獨(dú)立完成。

-小組討論：學(xué)生分組討論解題思路和方法，互相交流，提高解決問題的能力。

-師生互動(dòng)：教師巡回指導(dǎo)，針對(duì)學(xué)生解題過程中遇到的問題進(jìn)行解答和指導(dǎo)。

4.課堂提問（5分鐘）

-提問環(huán)節(jié)：教師針對(duì)本節(jié)課的重點(diǎn)知識(shí)，設(shè)計(jì)問題，檢查學(xué)生對(duì)新知識(shí)的理解和掌握。

-學(xué)生回答：鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)回答問題，培養(yǎng)他們的表達(dá)能力和邏輯思維。

5.創(chuàng)新教學(xué)（5分鐘）

-學(xué)生展示：邀請(qǐng)部分學(xué)生上臺(tái)展示解題過程，分享解題心得，提高學(xué)生自信心。

-教師點(diǎn)評(píng)：教師針對(duì)學(xué)生展示的解題過程進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，強(qiáng)調(diào)解題技巧和核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

6.核心素養(yǎng)能力拓展（5分鐘）

-提出挑戰(zhàn)性問題：設(shè)計(jì)一道綜合性的三角恒等變換問題，要求學(xué)生在課后獨(dú)立完成。

-解題指導(dǎo)：給出解題思路，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。

7.課堂小結(jié)（5分鐘）

-總結(jié)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)三角恒等變換在實(shí)際問題中的應(yīng)用。

-鼓勵(lì)學(xué)生在課后繼續(xù)探索三角恒等變換的奧秘，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

本教學(xué)過程設(shè)計(jì)緊扣實(shí)際學(xué)情，凸顯教學(xué)重難點(diǎn)，注重師生互動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)能力。在教學(xué)過程中，教師需關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略，確保教學(xué)效果。六、教學(xué)資源拓展1.拓展資源：

-推薦閱讀：與本節(jié)課相關(guān)的數(shù)學(xué)雜志、期刊文章，如《數(shù)學(xué)通報(bào)》、《中等數(shù)學(xué)》等，其中涉及三角恒等變換的理論研究和應(yīng)用案例分析。

-教學(xué)視頻：推薦觀看與三角恒等變換相關(guān)的教學(xué)視頻，如名校公開課、教育頻道節(jié)目等，幫助學(xué)生從不同角度理解知識(shí)點(diǎn)。

-習(xí)題集：推薦完成與教材相配套的習(xí)題集，如《北師大版高中數(shù)學(xué)同步練習(xí)》等，鞏固和拓展三角恒等變換的相關(guān)知識(shí)。

-數(shù)學(xué)軟件：鼓勵(lì)學(xué)生利用數(shù)學(xué)軟件（如幾何畫板、Mathematica等）進(jìn)行三角恒等變換的實(shí)驗(yàn)和探索，提高數(shù)學(xué)實(shí)踐能力。

2.拓展建議：

-自主學(xué)習(xí)：鼓勵(lì)學(xué)生在課后自主學(xué)習(xí)，深入研究三角恒等變換的理論知識(shí)，形成自己的知識(shí)體系。

-小組合作：學(xué)生可以結(jié)成學(xué)習(xí)小組，共同討論和解決在學(xué)習(xí)和應(yīng)用三角恒等變換過程中遇到的問題，提高團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力。

-實(shí)踐應(yīng)用：引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注三角恒等變換在實(shí)際生活中的應(yīng)用，如工程、物理等領(lǐng)域，培養(yǎng)學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于解決實(shí)際問題的能力。

-思考與總結(jié)：建議學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，及時(shí)總結(jié)三角恒等變換的解題思路和方法，形成自己的解題策略。

-師生交流：鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)與教師溝通交流，分享學(xué)習(xí)心得和困惑，教師給予個(gè)性化指導(dǎo)和建議。七、課后作業(yè)1.利用三角恒等變換化簡(jiǎn)以下表達(dá)式：

\[

\sin^2x+\cos^2x-\frac{1}{2}(\sin2x+1)

\]

答案：

\[

\sin^2x+\cos^2x-\frac{1}{2}(\sin2x+1)=1-\frac{1}{2}\sin2x-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sin2x

\]

2.已知$\sinx=\frac{3}{5}$，且$x$為第一象限角度，求$\cos2x$的值。

答案：

\[

\cos2x=1-2\sin^2x=1-2\left(\frac{3}{5}\right)^2=1-\frac{18}{25}=\frac{7}{25}

\]

3.求解以下方程：

\[

\sin(2x-\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}

\]

答案：

\[

2x-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}+2k\pi\quad\text{或}\quad2x-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}+2k\pi

\]

解得：

\[

x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{或}\quadx=\frac{\pi}{2}+k\pi

\]

4.證明：

\[

\tan(x+\frac{\pi}{4})=\frac{\tanx+1}{1-\tanx}

\]

答案：

\[

\tan(x+\frac{\pi}{4})=\frac{\sin(x+\frac{\pi}{4})}{\cos(x+\frac{\pi}{4})}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}(\sinx+\cosx)}{\frac{\sqrt{2}}{2}(\cosx-\sinx)}=\frac{\sinx+\cosx}{\cosx-\sinx}=\frac{\frac{\sinx}{\cosx}+1}{1-\frac{\sinx}{\cosx}}=\frac{\tanx+1}{1-\tanx}

\]

5.已知$\tanx=\frac{1}{2}$，求$\sin2x$的值。

答案：

\[

\sin2x=2\sinx\cosx=\frac{2\tanx}{1+\tan^2x}=\frac{2\cdot\frac{1}{2}}{1+\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\frac{4}{5}

\]八、教學(xué)評(píng)價(jià)與反饋1.課堂表現(xiàn)：學(xué)生在課堂上的參與度、積極性和注意力集中程度作為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。觀察學(xué)生在課堂上的互動(dòng)提問、主動(dòng)回答問題的情況，了解學(xué)生對(duì)三角恒等變換知識(shí)點(diǎn)的掌握程度。

2.小組討論成果展示：評(píng)價(jià)各小組在鞏固練習(xí)環(huán)節(jié)的討論成果，觀察學(xué)生能否在小組內(nèi)有效溝通、協(xié)作解決問題，展示解題過程和答案的正確性。

3.隨堂測(cè)試：通過設(shè)計(jì)相關(guān)的隨堂測(cè)試題，檢測(cè)學(xué)生對(duì)三角恒等變換知識(shí)點(diǎn)的理解和應(yīng)用能力。根據(jù)測(cè)試成績(jī)，分析學(xué)生的學(xué)習(xí)效果和存在的問題。

4.課后作業(yè)：評(píng)估學(xué)生在課后作業(yè)中的完成情況，關(guān)注學(xué)生解題思路的清晰度、步驟的完整性以及答案的正確性。

5.教師評(píng)價(jià)與反饋：針對(duì)學(xué)生在課堂、討論、測(cè)試和課后作業(yè)中的表現(xiàn)，給予及時(shí)的反饋和指導(dǎo)。針對(duì)不同學(xué)生的特點(diǎn)和問題，提供個(gè)性化的建議和輔導(dǎo)，幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)和能力。

6.學(xué)生自我評(píng)價(jià)與反饋：鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行自我評(píng)價(jià)，反思在學(xué)習(xí)三角恒等變換過程中的優(yōu)點(diǎn)和不足，培養(yǎng)學(xué)生自我監(jiān)控和自我調(diào)節(jié)的能力。

7.家長(zhǎng)評(píng)價(jià)與反饋：通過與家長(zhǎng)的溝通，了解學(xué)生在家的學(xué)習(xí)情況，收集家長(zhǎng)對(duì)教學(xué)效果的看法和建議，為教學(xué)改進(jìn)提供參考。內(nèi)容邏輯關(guān)系1.知識(shí)點(diǎn)闡述：

①三角恒等變換的基本原理與公式；

②三角恒等變換在實(shí)際問題中的應(yīng)用；

③三角恒等變換與三角函數(shù)圖像和性質(zhì)的聯(lián)系。

2.重點(diǎn)詞句：

①“恒等變換”：強(qiáng)調(diào)變換過程中等式兩邊始終相等；

②“綜合應(yīng)用”：強(qiáng)調(diào)將