2023年新人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)歸納

新人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)歸納

第十一章三角形1

第十二章全等三角形

第十三章軸對(duì)稱

第十四章整式乘法和因式分解

第十五章分式

第十一章三角形

1、三角形日勺概念

由不在同意直線上口勺三條線段首尾順次相接所構(gòu)成日勺圖形叫做三角形。構(gòu)成三角形日勺線段叫

做三角形日勺邊；相鄰兩邊口勺公共端點(diǎn)叫做三角形口勺頂點(diǎn)；相鄰兩邊所構(gòu)成日勺角叫做三角形口勺內(nèi)

角，簡(jiǎn)稱三角形日勺角。

2、三角形中日勺重要線段

(1)三角形日勺一種角日勺平分線與這個(gè)角日勺對(duì)邊相交，這個(gè)角口勺頂點(diǎn)和交點(diǎn)間日勺線段叫做三角

形口勺角平分線。

(2)在三角形中，連接一種頂點(diǎn)和它對(duì)邊日勺中點(diǎn)日勺線段叫做三角形日勺中線。

(3)從三角形一種頂點(diǎn)向它日勺對(duì)邊做垂線，頂點(diǎn)和垂足之間日勺線段叫做三角形口勺高線(簡(jiǎn)稱

三角形日勺高)。

3、三角形日勺穩(wěn)定性

三角形口勺形狀是固定口勺，三角形口勺這個(gè)性質(zhì)叫做三角形日勺穩(wěn)定性。三角形日勺這個(gè)性質(zhì)在生產(chǎn)

生活中應(yīng)用很廣，需要穩(wěn)定日勺東西一般都制成三角形口勺形狀。

4、三角形日勺特性與表達(dá)

三角形有下面三個(gè)特性:

(1)三角形有三條線段

(2)三條線段不在同一直線上-X三角形是封閉圖形

(3)首尾順次相接

三角形用符號(hào)“A”表達(dá)，頂點(diǎn)是A、B、CH勺三角形記作“AABC”，讀作“三角形ABC”。

5、三角形日勺分類

三角形按邊的關(guān)系分類如下：

不等邊三角形

三角形底和腰不相等口勺等腰三角形f

等腰三角形<

等邊三角形1

三角形按角的關(guān)系分類如下：

直角三角形(有一種角為直角口勺三角形)

三角形\銳角三角形(三個(gè)角都是銳角日勺三角形)

斜三角形Y

鈍角三角3(有一種角為鈍角口勺三角形)

把邊和角聯(lián)絡(luò)在一起，我們又有一種特殊日勺三角形：等腰直角三角形。它是兩條直角邊相等

日勺直角三角形。

6、三角形日勺三邊關(guān)系定理及推論

(1)三角形三邊關(guān)系定理：三角形日勺兩邊之和不小于第三邊。

推論：三角形口勺兩邊之差不不小于第三邊。

(2)三角形三邊關(guān)系定理及推論日勺作用：

①判斷三條已知線段能否構(gòu)成三角形

②當(dāng)已知兩邊時(shí)，可確定第三邊日勺范圍。

③證明線段不等關(guān)系。

7、三角形日勺內(nèi)角和定理及推論

三角形口勺內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°o

推論：

①直角三角形口勺兩個(gè)銳角互余。

②三角形口勺一種外角等于和它不相鄰口勺來(lái)兩個(gè)內(nèi)角口勺和。

③三角形口勺一?種外角不小于任何一■種和它不相鄰口勺內(nèi)角。

注：在同一種三角形中：等角對(duì)等邊；等邊對(duì)等角；大角對(duì)大邊；大邊對(duì)大角。8、三角形日勺

面積=J_X底X高

2

多邊形知識(shí)要點(diǎn)梳理

(定義：由三條或三條以上日勺線段首位順次連接所構(gòu)成日勺封閉圖形叫做多邊形。

凸多邊形’

多邊形分類1：<

/凹多邊形I

正多邊形：各邊相等，各角也相等日勺多邊形

分類2：J叫做正多邊形。

非正多邊形：

"1、n邊形口勺內(nèi)角和等于180°(n-2)。

多邊形日勺定理2、任3凸形多邊形口勺外角和等于360°o

3、n邊形日勺對(duì)角線條數(shù)等于1/2?n(n-3)

只耳■一種正多邊形：3、4、6/o

Y

鑲嵌拼成360度日勺角

只用一種非正多邊形(全等)：3、4O

知識(shí)點(diǎn)一：多邊形及有關(guān)概念Gi

1、多邊形日勺定義：在平面內(nèi)，由某些線段首尾順次相接構(gòu)成日勺圖形叫做多邊形.

(D多邊形口勺某些要素：

邊：構(gòu)成多邊形口勺各條線段叫做多邊形日勺邊.

頂點(diǎn)：每相鄰兩條邊日勺公共端點(diǎn)叫做多邊形口勺頂點(diǎn).

內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊構(gòu)成日勺角叫多邊形日勺內(nèi)角，一種n邊形有n個(gè)內(nèi)角。

外角：多邊形口勺邊與它日勺鄰邊日勺延長(zhǎng)線構(gòu)成日勺角叫做多邊形口勺外角。

(2)在定義中應(yīng)注意：

①某些線段(多邊形口勺邊數(shù)是不小于等于3日勺正整數(shù))；

②首尾順次相連，兩者缺一不可；

③理解時(shí)要尤其注意“在同一平面內(nèi)”這個(gè)條件，其目日勺是為了排除幾種點(diǎn)不共面口勺狀

況，即空間多邊形.

2、多邊形日勺分類：

(1)多邊形可分為凸多邊形和凹多邊形，畫(huà)出多邊形口勺任何一條邊所在日勺直線，假如整個(gè)多邊

形都在這條直線日勺同一側(cè)，則此多邊形為凸多邊形，反之為凹多邊形(見(jiàn)圖1).本章所講日勺多邊

形都是指凸多邊形.

凸多邊形凹多邊形

圖1

(2)多邊形一般還以邊數(shù)命名，多邊形有〃條邊就叫做〃邊形.三角形、四邊形都屬于多邊

形，其中三角形是邊數(shù)至少日勺多邊形.

知識(shí)點(diǎn)二：正多邊形L*i

各個(gè)角都相等、各個(gè)邊都相等日勺多邊形叫做正多邊形。如正三角形、正方形、正五邊形等。

正三角形正方形正五邊形正六邊形正十二邊形

要點(diǎn)詮釋：盤(pán)

各角相等、各邊也相等是正多邊形日勺必備條件，兩者缺一不可.如四條邊都相等日勺四邊形不

一定是正方形，四個(gè)角都相等日勺四邊形也不一定是正方形，只有滿足四邊都相等且四個(gè)角也都相

等日勺四邊形才是正方形

知識(shí)點(diǎn)三：多邊形日勺對(duì)角線I*i

多邊形口勺對(duì)角線：連接多邊形不相鄰日勺兩個(gè)頂點(diǎn)日勺線段，叫做多邊形口勺對(duì)角線.如圖2,BD

為四邊形ABCD日勺一條對(duì)角線。

要點(diǎn)詮釋：忘

(1)從n邊形一種頂點(diǎn)可以引(n—3)條對(duì)角線，將多邊形提成(n—2)個(gè)三A

B圖2C

角形。

n(n-3)

(2)n邊形共有2條對(duì)角線。

證明：過(guò)一種頂點(diǎn)有n—3條對(duì)角線(n23日勺正整數(shù))，又\?共有n個(gè)頂點(diǎn)，二?共有n(n-3)

1,>

——3)

條對(duì)角線，但過(guò)兩個(gè)不相鄰頂點(diǎn)日勺對(duì)角線反復(fù)了一次，.?.凸n邊形，共有2條對(duì)角

線。

知識(shí)點(diǎn)四：多邊形日勺內(nèi)角和公式以1

1.公式：“邊形口勺內(nèi)角和為('一2),180(月之3).

2.公式口勺證明：

證法1：在〃邊形內(nèi)任取一點(diǎn)，并把這點(diǎn)與各個(gè)頂點(diǎn)連接起來(lái)，共構(gòu)成“個(gè)三角形，這〃個(gè)

三角形日勺內(nèi)角和為〃.180二再減去一種周角，即得到甩邊形口勺內(nèi)角和為

證法2：從邊形一種頂點(diǎn)作對(duì)角線，可以作1〃一切條對(duì)角線，并且“邊形被提成

一’)個(gè)三角形，這I“—6J個(gè)三角形內(nèi)角和恰好是黑邊形日勺內(nèi)角和，等于

(^-2)1800

證法3：在耳邊形口勺一邊上取一點(diǎn)與各個(gè)頂點(diǎn)相連，得I”-L個(gè)三角形，用邊形內(nèi)角和等

于這-D個(gè)三角形口勺內(nèi)角和減去所取日勺一點(diǎn)處日勺一種平角日勺度數(shù),

即伽-1)180?—180°=(4-2)180.

要點(diǎn)詮釋：因

(1)注意：以上各推導(dǎo)措施體現(xiàn)出將多邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題來(lái)處理日勺基礎(chǔ)思想。

(2)內(nèi)角和定理日勺應(yīng)用：

①已知多邊形日勺邊數(shù)，求其內(nèi)角和；

②已知多邊形內(nèi)角和，求其邊數(shù)。

知識(shí)點(diǎn)五：多邊形口勺外角和公式最

1.公式：多邊形日勺外角和等于360°.

2.多邊形外角和公式日勺證明：多邊形口勺每個(gè)內(nèi)角和與它相鄰口勺外角都是鄰補(bǔ)角，因此甩邊形

日勺內(nèi)角和加外角和為小i&u,外角和等于'’.

注意：n邊形日勺外角和恒等于360°,它與邊數(shù)日勺多少無(wú)關(guān)。

要點(diǎn)詮釋：盤(pán)

(1)外角和公式日勺應(yīng)用：

①已知外角度數(shù)，求正多邊形邊數(shù)；

②已知正多邊形邊數(shù)，求外角度數(shù).

(2)多邊形口勺邊數(shù)與內(nèi)角和、外角和日勺關(guān)系：

①n邊形口勺內(nèi)角和等于(n—2)?180°(n23,n是正整數(shù))，可見(jiàn)多邊形內(nèi)角和與邊數(shù)n有關(guān)，

每增長(zhǎng)1條邊，內(nèi)角和增長(zhǎng)180°o

②多邊形口勺外角和等于360°,與邊數(shù)日勺多少無(wú)關(guān)。

知識(shí)點(diǎn)六：鑲嵌日勺概念和特性以1

1、定義：用某些不重疊擺放口勺多邊形把平面日勺一部分完全覆蓋，一般把此類問(wèn)題叫做用多邊

形覆蓋平面(或平面鑲嵌)。這里日勺多邊形可以形狀相似，也可以形狀不相似。

2、實(shí)現(xiàn)鑲嵌日勺條件：拼接在同一點(diǎn)日勺各個(gè)角口勺和恰好等于360°；相鄰日勺多邊形有公共邊。

3、常見(jiàn)日勺某些正多邊形口勺鑲嵌問(wèn)題:

(1)用正多邊形實(shí)現(xiàn)鑲嵌日勺條件：邊長(zhǎng)相等；頂點(diǎn)公用；在一種頂點(diǎn)處各正多邊形日勺內(nèi)角之和

為360°o

(2)只用一種正多邊形鑲嵌地面

對(duì)于給定日勺某種正多邊形，怎樣判斷它能否拼成一種平面圖形，且不留一點(diǎn)空隙？處理問(wèn)

題日勺關(guān)鍵在于正多邊形日勺內(nèi)角特點(diǎn)。當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一起日勺幾種正多邊形日勺內(nèi)角加在一起恰好構(gòu)

成一種周角360°時(shí)，就能鋪成一種平面圖形。

(力-2)180。

實(shí)際上，正n邊形口勺每一種內(nèi)角為題，規(guī)定k個(gè)正n邊形各有一種內(nèi)角拼于一

秘-2)180。2-4

點(diǎn)、,恰好覆蓋地面，這樣360°=n,由此導(dǎo)出卜==2+"-2,而k

是正整數(shù)，因此n只能取3,4,6o因而，用相似口勺正多邊形地豉鋪地面，只有正三角形、正方

形、正六邊形口勺地磚可以用。

注意：任意四邊形口勺內(nèi)角和都等于360°因此用一批形狀、大小完全相似但不規(guī)則口勺四邊

形地磚也可以鋪成無(wú)空隙日勺地板，用任意相似日勺

三角形也可以鋪滿地面。

(3)用兩種或兩種以上口勺正多邊形鑲嵌地

面

用兩種或兩種以上邊長(zhǎng)相等日勺正多邊形

組合成平面圖形，關(guān)鍵是有關(guān)正多邊形“交接處

各角之和能否拼成一種周角”日勺問(wèn)題。例如，用正三角形與正方形、正三角形與正六邊形、正三

角形與正十二邊形、正四邊形與正八邊形都可以作平面鑲嵌，見(jiàn)下圖：

又如，用一種正三角形、兩個(gè)正方形、一種正六邊形結(jié)合在一起恰好可以鋪滿地面，由于

它們?nèi)丈捉唤犹幐鹘侵颓『脼橐环N周角360°o規(guī)律措施指導(dǎo)

1.內(nèi)角和與邊數(shù)成正比：邊數(shù)增長(zhǎng)，內(nèi)角和增長(zhǎng)；邊數(shù)減少，內(nèi)角和減少.每增長(zhǎng)一條邊，

內(nèi)角日勺和就增長(zhǎng)180°（反過(guò)來(lái)也成立），且多邊形口勺內(nèi)角和必須是180°日勺整數(shù)倍.

2.多邊形外角和恒等于360°,與邊數(shù)日勺多少無(wú)關(guān).

3.多邊形最多有三個(gè)內(nèi)角為銳角，至少?zèng)]有銳角（如矩形）；多邊形日勺外角中最多有三個(gè)鈍

角，至少?zèng)]有鈍角.

4.在運(yùn)用多邊形口勺內(nèi)角和公式與外角口勺性質(zhì)求值時(shí)，常與方程思想相結(jié)合，運(yùn)用方程思想是

處理本節(jié)問(wèn)題日勺常用措施.

5.在處理多邊形口勺內(nèi)角和問(wèn)題時(shí)，一般轉(zhuǎn)化為與三角形有關(guān)日勺角來(lái)處理.三角形是一種基本

圖形，是研究復(fù)雜圖形日勺基礎(chǔ)，同步注意轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)中日勺應(yīng)用.

經(jīng)典例題透析

類型一：多邊形內(nèi)角和及外角和定理應(yīng)用

Cl.一種多邊形口勺內(nèi)角和等于它口勺外角和口勺5倍，它是幾邊形？

總結(jié)升華：本題是多邊形日勺內(nèi)角和定理和外角和定理日勺綜合運(yùn)用.只要設(shè)出邊數(shù)片,根

據(jù)條件列出有關(guān)“日勺方程，求出日勺值即可，這是一種常用日勺解題思緒.

舉一反三：

【變式1】若一種多邊形口勺內(nèi)角和與外角和日勺總度數(shù)為1800°,求這個(gè)多邊形日勺邊數(shù).

【變式2】一種多邊形除了一種內(nèi)角外，其他各內(nèi)角和為2750°,求這個(gè)多邊形日勺內(nèi)角和是多

少？

【答案】設(shè)這個(gè)多邊形口勺邊數(shù)為“，這個(gè)內(nèi)角為

【變式3】一種多邊形口勺內(nèi)角和與某一種外角日勺度數(shù)總和為1350°,求這個(gè)多邊形口勺邊數(shù)。

類型二：多邊形對(duì)角線公式日勺運(yùn)用

【變式1】一種多邊形共有20條對(duì)角線，則多邊形口勺邊數(shù)是（）.

A.6B.7C.8D.9

【變式2】一種十二邊形有幾條對(duì)角線。

曲-3）

總結(jié)升華：對(duì)于一種n邊形口勺對(duì)角線日勺條數(shù)，我們可以總結(jié)出規(guī)律2條，牢記這個(gè)公

式，后來(lái)只要用對(duì)應(yīng)日勺n日勺值代入即可求出對(duì)角線口勺條數(shù)，要記住這個(gè)公式只有在理解日勺基礎(chǔ)之

上才能記得牢。

類型三：可轉(zhuǎn)化為多邊形內(nèi)角和問(wèn)題

【變式1】如圖所示，N1+N2+N3+N4+N5+N

6=

【變式2】如圖所示，求NA+N

+NE+NF日勺度數(shù)。

D

類型四：實(shí)際應(yīng)用題

C^4.如圖，一輛小汽車從P市出發(fā)，先到B市，再至UC

市，再到A市，最終返回P市，這輛小汽車共轉(zhuǎn)了多少度角？

思緒點(diǎn)撥：根據(jù)多邊形口勺外角和定理處理.

舉一反三:

【變式1】如圖所示，小亮從A點(diǎn)出發(fā)前進(jìn)10m,向右轉(zhuǎn)15°,再前進(jìn)10m,又向右轉(zhuǎn)

15°,…，這樣一■直走下去，當(dāng)他第一?次回到出發(fā)點(diǎn)時(shí)，一■共走了m.

【變式2】小華從點(diǎn)A出發(fā)向前走10米，向右轉(zhuǎn)36°,然后繼續(xù)向前走10米，再向右

轉(zhuǎn)36°,他以同樣日勺措施繼續(xù)走下去，他能回到點(diǎn)A嗎？若能，當(dāng)他走回點(diǎn)A時(shí)共走了多少米？

若不能，寫(xiě)出理由。

【變式3】如圖所示是某廠生產(chǎn)日勺一塊模板，已知該模板日勺邊AB〃CF,CD〃AE.按規(guī)定

AB、CD日勺延長(zhǎng)線相交成80°角，因交點(diǎn)不在模板上，不便測(cè)量.這時(shí)師傅告訴徒弟只需測(cè)一種

角，便懂得AB、CD日勺延長(zhǎng)線日勺夾角與否合乎規(guī)定，你懂得

需測(cè)哪一種角嗎？闡明理由.

思緒點(diǎn)撥：本題中將AB、CD延長(zhǎng)后會(huì)得到一種五邊

形，根據(jù)五邊形內(nèi)角和為540°,又由AB〃CF,CD〃AE,

可知NBAE+NAEF+NEFC=360°,從540°中減去80°再減

去360°,剩余NC日勺度數(shù)為100°,因此只需測(cè)NC日勺度數(shù)即可，同理還可直接測(cè)NA日勺度數(shù).

總結(jié)升華：本題實(shí)際上是多邊形內(nèi)角和日勺逆運(yùn)算，關(guān)鍵在于對(duì)口勺添加輔助線.

類型五：鑲嵌問(wèn)題

C5,分別畫(huà)出用相似邊長(zhǎng)口勺下列正多邊形組合鋪滿地面口勺設(shè)計(jì)圖。

(1)正方形和正八邊形；

⑵正三角形和正十二邊形；⑶正三角

形、正方形和正六邊形。4MtoOo

八(I)(2)<3)

思緒點(diǎn)撥：只要在拼接處各多邊形

日勺內(nèi)角日勺和能構(gòu)成一種周角，那么這些多邊形就能作平面鑲嵌。

解析：正三角形、正方形、正六邊形、正八邊形、正十二邊形日勺每一種內(nèi)角分別是

60°、90°、120°、135°、150°。

(1)由于90+2X135=360,因此一種頂點(diǎn)處有1個(gè)正方形、2個(gè)正八邊形，如圖(1)

所示。

⑵由于60+2X150=360,因此一種頂點(diǎn)處有1個(gè)正三角形、2個(gè)正十二邊形，如圖

⑵所示。

(3)由于60+2X90+120=360,因此一種頂點(diǎn)處有1個(gè)正三角形、1個(gè)正六邊形和2

個(gè)正方形，如圖⑶所示。

總結(jié)升華：用兩種以上邊長(zhǎng)相等日勺正多邊形組合成平面圖形，實(shí)質(zhì)上是有關(guān)正多邊形

“交接處各角之和能否拼成一種周角”日勺問(wèn)題。舉一反三：

【變式1】分別用形狀、大小完全相似日勺①三角形木板；②四邊形木板；③正五邊形木

板；④正六邊形木板作平面鑲嵌，其中不能鑲嵌成地板日勺是()A、①B、②

③D、④

解析：用同一種多邊形木板鋪地面，只有正三角形、四邊形、正六邊形口勺木板可以用，不

能用正五邊形木板，故

【變式2】用三塊正多邊形日勺木板鋪地，拼在一起并相交于一點(diǎn)日勺各邊完全吻合，其中兩

塊木板日勺邊數(shù)都是8,則第三塊木板口勺邊數(shù)應(yīng)是（）

A、4B、5C、6D、8

【答案】A（提醒：先算出正八邊形一種內(nèi)角口勺度數(shù)，再乘以2,然后用360°減去

剛剛得到日勺積，便得到第三塊木板一種內(nèi)角日勺度數(shù)，進(jìn)而得到第三塊木板日勺邊數(shù)）

練習(xí)

1.多邊形口勺一種內(nèi)角日勺外角與其他內(nèi)角日勺和為600°,求這個(gè)多邊形口勺邊數(shù).

2.n邊形日勺內(nèi)角和與外角和互比為13:2,求n.

3.五邊形ABCDE日勺各內(nèi)角都相等，且AE=DE,AD〃CB嗎？

4.將五邊形砍去一種角，得到日勺是怎樣日勺圖形？

5.四邊形ABCD中，ZA+ZB=210°,ZC=4ZD.求：NC或ND口勺度數(shù).

6.在四邊形ABCD中，AB=AC=AD,ZDAC=2ZBAC.

求證：NDBC=2NBDC.

第十二章全等三角形

一A全等三角形

可以完全重疊口勺兩個(gè)三角形叫做全等三角形。一種三角形通過(guò)平移、翻折、旋轉(zhuǎn)可以得到它日勺全

等形。

2、全等三角形有哪些性質(zhì)

（1）:全等三角形日勺對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等。

（2）：全等三角形日勺周長(zhǎng)相等、面積相等。

（3）：全等三角形日勺對(duì)應(yīng)邊上口勺對(duì)應(yīng)中線、角平分線、高線分別相等。

3、全等三角形口勺鑒定

邊邊邊：三邊對(duì)應(yīng)相等口勺兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成“SSS”）

邊角邊：兩邊和它們?nèi)丈讑A角對(duì)應(yīng)相等兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成“SAS”）

角邊角：兩角和它們口勺夾邊對(duì)應(yīng)相等口勺兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成“ASA”）

角角邊：兩角和其中一角日勺對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等日勺兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成“AAS”）

斜邊.直角邊：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等日勺兩個(gè)直角三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成“HL”）

4、證明兩個(gè)三角形全等日勺基本思緒：

二、角日勺平分線：

1、（性質(zhì)）角口勺平分線上日勺點(diǎn)到角日勺兩邊日勺距離相等.

2、（鑒定）角日勺內(nèi)部到角日勺兩邊日勺距離相等日勺點(diǎn)在角日勺平分線上。

三、學(xué)習(xí)全等三角形應(yīng)注意如下幾種問(wèn)題：

(1):要對(duì)日勺辨別“對(duì)應(yīng)邊"與''對(duì)邊”，“對(duì)應(yīng)角”與“對(duì)角”日勺不一樣含義；

(2)：表達(dá)兩個(gè)三角形全等時(shí)，表達(dá)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)日勺字母要寫(xiě)在對(duì)應(yīng)日勺位置上；

(3)：“有三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等”或“有兩邊及其中一邊日勺對(duì)角對(duì)應(yīng)相等”日勺兩個(gè)三角形不一定全

等；

(4)：時(shí)刻注意圖形中日勺隱含條件，如“公共角”、“公共邊”、“對(duì)頂角”

1、全等三角形口勺概念

可以完全重疊口勺兩個(gè)圖形叫做全等形。

可以完全重疊口勺兩個(gè)三角形叫做全等三角形。兩個(gè)三角形全等時(shí)，互相重疊口勺頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)

頂點(diǎn)，互相重疊日勺邊叫做對(duì)應(yīng)邊，互相重疊日勺角叫做對(duì)應(yīng)角。夾邊就是三角形中相鄰兩角日勺公共

邊，夾角就是三角形中有公共端點(diǎn)日勺兩邊所成日勺角。

2、全等三角形口勺表達(dá)和性質(zhì)

全等用符號(hào)“0”表達(dá)，讀作“全等于"。如△ABCgZWEF,讀作“三角形ABC全等于三角

形DEF”。

注：記兩個(gè)全等三角形時(shí)，一般把表達(dá)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)日勺字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)口勺位置上。

3、三角形全等日勺鑒定

三角形全等日勺鑒定定理：

(1)邊角邊定理：有兩邊和它們口勺夾角對(duì)應(yīng)相等日勺兩個(gè)三角形全等(可簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊角邊”或

“SAS”)

(2)角邊角定理：有兩角和它們口勺夾邊對(duì)應(yīng)相等口勺兩個(gè)三角形全等(可簡(jiǎn)寫(xiě)成“角邊角”或

“ASA”)

(3)邊邊邊定理：有三邊對(duì)應(yīng)相等日勺兩個(gè)三角形全等(可簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊邊邊”或“SSS”)o

直角三角形全等日勺鑒定:

對(duì)于特殊日勺直角三角形，鑒定它們?nèi)葧r(shí)，尚有HL定理(斜邊、直角邊定理)：有斜邊和一

條直角邊對(duì)應(yīng)相等口勺兩個(gè)直角三角形全等(可簡(jiǎn)寫(xiě)成“斜邊、直角邊”或“HL”)

4、全等變換

只變化圖形口勺位置，二不變化其形狀大小日勺圖形變換叫做全等變換。

全等變換包括一下三種：

(1)平移變換：把圖形沿某條直線平行移動(dòng)日勺變換叫做平移變換。

(2)對(duì)稱變換：將圖形沿某直線翻折180°,這種變換叫做對(duì)稱變換。

(3)旋轉(zhuǎn)變換：將圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定日勺角度到另一種位置，這種變換叫做旋轉(zhuǎn)變換。

第十二章軸對(duì)稱

一、軸對(duì)稱圖形

1.把一種圖形沿著一條直線折疊，假如直線兩旁日勺部分可以完全重疊，那么這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)

稱圖形。這條直線就是它口勺對(duì)稱軸。這時(shí)我們也說(shuō)這個(gè)圖形有關(guān)這條直線(成軸)對(duì)稱。

2.把一種圖形沿著某一條直線折疊，假如它能與另一種圖形完全重疊，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖有關(guān)

這條直線對(duì)稱。這條直線叫做對(duì)稱軸。折疊后重疊口勺點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱點(diǎn)

3、軸對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱日勺區(qū)別與聯(lián)絡(luò)

3、軸對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱的區(qū)別與聯(lián)系

軸對(duì)稱圖形軸對(duì)稱

圖形A

BLACCB'

LBAC

⑴軸對(duì)稱圖形是指（一個(gè)，（1）軸對(duì)稱是指（兩個(gè)圖形

區(qū)別具有特殊形狀的圖形，的位置關(guān)系，必須涉及

只對(duì)（一個(gè)）圖形而言;（兩個(gè)）圖形；

（2）對(duì)稱軸不一定只有一條（2）只有（一條）對(duì)稱軸.

如果把軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸如果把兩個(gè)成軸對(duì)稱的圖形

聯(lián)系分成兩部分，那么這兩個(gè)圖形拼在一起看成一個(gè)整體，那

就關(guān)于這條直線成軸對(duì)稱.么它就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形.

4.軸對(duì)稱日勺性質(zhì)

①有關(guān)某直線對(duì)稱日勺兩個(gè)圖形是全等形。

②假如兩個(gè)圖形有關(guān)某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段已勺垂直平分線。

③軸對(duì)稱圖形口勺對(duì)稱軸，是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段已勺垂直平分線。

④假如兩個(gè)圖形口勺對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形有關(guān)這條直線對(duì)稱。

二、線段日勺垂直平分線

1.通過(guò)線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段日勺直線，叫做這條線段日勺垂直平分線，也叫中垂線。

2.線段垂直平分線上口勺點(diǎn)與這條線段口勺兩個(gè)端點(diǎn)口勺距離相等

3.與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等日勺點(diǎn)，在線段日勺垂直平分線上

三、用坐標(biāo)表達(dá)軸對(duì)稱小結(jié)：

在平面直角坐標(biāo)系中，有關(guān)x軸對(duì)稱口勺點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù).有關(guān)V軸對(duì)稱日勺點(diǎn)橫坐

標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相等.

點(diǎn)（x,y）有關(guān)x軸對(duì)稱日勺點(diǎn)日勺坐標(biāo)為.

點(diǎn)（x,y）有關(guān)jz軸對(duì)稱日勺點(diǎn)日勺坐標(biāo)為.

2.三角形三條邊口勺垂直平分線相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)日勺距離相等

四、（等腰三角形）知識(shí)點(diǎn)回憶

1.等腰三角形口勺性質(zhì)

①.等腰三角形日勺兩個(gè)底角相等。（等邊對(duì)等角）

②.等腰三角形日勺頂角平分線、底邊上日勺中線、底邊上日勺高互相重疊。（三線合一）

2、等腰三角形口勺鑒定：

假如一種三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)口勺邊也相等。（等角對(duì)等邊）

五、（等邊三角形）知識(shí)點(diǎn)回憶

1.等邊三角形日勺性質(zhì)：

等邊三角形日勺三個(gè)角都相等，并且每一種角都等于600o

2、等邊三角形日勺鑒定：

①三個(gè)角都相等日勺三角形是等邊三角形。

②有一種角是600口勺等腰三角形是等邊三角形。

3.在直角三角形中，假如一種銳角等于30°,那么它所對(duì)日勺直角邊等于斜邊口勺二分之一。

1、等腰三角形口勺性質(zhì)

（1）等腰三角形日勺性質(zhì)定理及推論：

定理：等腰三角形口勺兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角）

推論1:等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊。即等腰三角形日勺頂角平分線、底

邊上口勺中線、底邊上口勺高重疊。

推論2：等邊三角形口勺各個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°。

（2）等腰三角形日勺其他性質(zhì):

①等腰直角三角形口勺兩個(gè)底角相等且等于45°

②等腰三角形日勺底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）。

h

③等腰三角形口勺三邊關(guān)系：設(shè)腰長(zhǎng)為a,底邊長(zhǎng)為b,則

2

④等腰三角形日勺三角關(guān)系：設(shè)頂角為頂角為NA,底角為NB、NC,貝|NA=180°—2ZB,N

180°-NA

B=ZC=

2

2、等腰三角形口勺鑒定

等腰三角形口勺鑒定定理及推論：

定理：假如一種三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)口勺邊也相等（簡(jiǎn)稱：等角對(duì)等

邊）。這個(gè)鑒定定理常用于證明同一種三角形中日勺邊相等。

推論1:三個(gè)角都相等口勺三角形是等邊三角形

推論2：有一種角是60°日勺等腰三角形是等邊三角形。

推論3：在直角三角形中，假如一種銳角等于30°,那么它所對(duì)口勺直角邊等于斜邊日勺二分之

等腰三角形口勺性質(zhì)與鑒定

等腰三角形性質(zhì)等腰三角形鑒定

中1、等腰三角形底邊上日勺中線垂直底1、兩邊上中線相等口勺三角形是等

線邊，平分頂角；腰三角形；

2、等腰三角形兩腰上口勺中線相等，2、假如一?種三角形口勺一■邊中線垂

并且它們口勺交點(diǎn)與底邊兩端點(diǎn)距直這條邊（平分這個(gè)邊口勺對(duì)

離相等。角），那么這個(gè)三角形是等腰

三角形

角1、等腰三角形頂角平分線垂直平分1、假如三角形口勺頂角平分線垂直

平底邊；于這個(gè)角日勺對(duì)邊（平分對(duì)

分2、等腰三角形兩底角平分線相等，邊），那么這個(gè)三角形是等腰

線并且它們?nèi)丈捉稽c(diǎn)究竟邊兩端點(diǎn)日勺三角形；

距離相等。2、三角形中兩個(gè)角口勺平分線相

等，那么這個(gè)三角形是等腰三

角形。

鬲1、等腰三角形底邊上口勺高平分頂1、假如一?種三角形一■邊上日勺高平

線角、平分底邊；分這條邊(平分這條邊口勺對(duì)

2、等腰三角形兩腰上口勺高相等，并角)，那么這個(gè)三角形是等腰

且它們?nèi)丈捉稽c(diǎn)和底邊兩端點(diǎn)距離三角形；

相等。2、有兩條高相等口勺三角形是等腰

三角形。

角等邊對(duì)等角等角對(duì)等邊

邊底口勺二分之一〈腰長(zhǎng)〈周長(zhǎng)曰勺二分之一兩邊相等口勺三角形是等腰三角形

4、三角形中日勺中位線

連接三角形兩邊中點(diǎn)口勺線段叫做三角形口勺中位線。

(1)三角形共有三條中位線，并且它們又重新構(gòu)成一種新日勺三角形。

(2)要會(huì)區(qū)別三角形中線與中位線。

三角形中位線定理：三角形口勺中位線平行于第三邊，并且等于它口勺二分之一。

三角形中位線定理日勺作用：

位置關(guān)系：可以證明兩條直線平行。

數(shù)量關(guān)系：可以證明線段日勺倍分關(guān)系。

常用結(jié)論：任一種三角形均有三條中位線，由此有：

結(jié)論1:三條中位線構(gòu)成一種三角形，其周長(zhǎng)為原三角形周長(zhǎng)日勺二分之一。

結(jié)論2：三條中位線將原三角形分割成四個(gè)全等日勺三角形。

結(jié)論3：三條中位線將原三角形劃分出三個(gè)面積相等口勺平行四邊形。

結(jié)論4：三角形一條中線和與它相交口勺中位線互相平分。

結(jié)論5:三角形中任意兩條中位線口勺夾角與這夾角所對(duì)日勺三角形日勺頂角相等。

第十四章整式乘除與因式分解

—.回憶知識(shí)點(diǎn)

1、重要知識(shí)回憶:

露日勺運(yùn)算性質(zhì)：

am?an=am+n（m、n為正整數(shù)）

同底數(shù)幕相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.

?■=a'n（m、n為正整數(shù)）

賽日勺乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.

（n為正整數(shù)）

積日勺乘方等于各因式乘方日勺積.

2=a"—"（aWO,m、n都是正整數(shù)，且［0>11）

同底數(shù)氟相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.

零指數(shù)露日勺概念：

a°=1（aWO）

任何一種不等于零日勺數(shù)日勺零指數(shù)露都等于I.

負(fù)指數(shù)露日勺概念：

1

a-p=ap（aWO,p是正整數(shù)）

任何一種不等于零日勺數(shù)日勺一p（p是正整數(shù)）指數(shù)幕，等于這個(gè)數(shù)日勺p指數(shù)露日勺倒數(shù).

也可表達(dá)為:（mWO,nWO,p為正整數(shù)）

單項(xiàng)式日勺乘法法則：

單項(xiàng)式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)露分別相乘，作為積日勺因式；對(duì)于只在一種單項(xiàng)式里具有日勺字母,

則連同它日勺指數(shù)作為積日勺一種因式.

單項(xiàng)式與多項(xiàng)式日勺乘法法則：

單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，用單項(xiàng)式和多項(xiàng)式日勺每一項(xiàng)分別相乘，再把所得日勺積相加.

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式口勺乘法法則：

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一種多項(xiàng)式日勺每一項(xiàng)與另一種多項(xiàng)式日勺每一項(xiàng)相乘，再把所得口勺積相

加.

單項(xiàng)式日勺除法法則：

單項(xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)賽分別相除，作為商日勺因式：對(duì)于只在被除式里具有口勺字母，則連

同它日勺指數(shù)作為商日勺一種因式.

多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式日勺法則：

多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式日勺每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得日勺商相加.

2、乘法公式：

①平方差公式：(a+b)(a—b)=a2—b2

文字語(yǔ)言論述：兩個(gè)數(shù)日勺和與這兩個(gè)數(shù)日勺差相乘，等于這兩個(gè)數(shù)日勺平方差.

②完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2

(a—b)2=a2—2ab+b2

文字語(yǔ)言論述：兩個(gè)數(shù)日勺和(或差)日勺平方等于這兩個(gè)數(shù)日勺平方和加上(或減去)這兩個(gè)數(shù)

日勺積日勺2倍.

3、因式分解：

因式分解日勺定義.

把一種多項(xiàng)式化成幾種整式日勺乘積日勺形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解.

掌握其定義應(yīng)注意如下幾點(diǎn)：

(1)分解對(duì)象是多項(xiàng)式，分解成果必須是積口勺形式，且積日勺因式必須是整式，這三個(gè)要素缺

一不可；

(2)因式分解必須是恒等變形；

(3)因式分解必須分解到每個(gè)因式都不能分解為止.

弄清因式分解與整式乘法日勺內(nèi)在日勺關(guān)系.

因式分解與整式乘法是互逆變形，因式分解是把和差化為積日勺形式，而整式乘法是把積化為

和差日勺形式.

二、純熟掌握因式分解日勺常用措施.

1、提公因式法

(1)掌握提公因式法日勺概念；

(2)提公因式法日勺關(guān)鍵是找出公因式，公因式日勺構(gòu)成一般狀況下有三部分：①系數(shù)一各項(xiàng)系

數(shù)日勺最大公約數(shù)；②字母——各項(xiàng)具有日勺相似字母；③指數(shù)——相似字母日勺最低次數(shù)；

(3)提公因式法日勺環(huán)節(jié)：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并確定另一因式.需注

意日勺是，提取完公因式后，另一種因式日勺項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式日勺項(xiàng)數(shù)一致，這一點(diǎn)可用來(lái)檢查與否漏

項(xiàng).

(4)注意點(diǎn)：①提取公因式后各因式應(yīng)當(dāng)是最簡(jiǎn)形式，即分解到“底”；②假如多項(xiàng)式口勺第

一項(xiàng)日勺系數(shù)是負(fù)日勺，一般要提出“一”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)日勺第一項(xiàng)日勺系數(shù)是正口勺.

2、公式法

運(yùn)用公式法分解因式口勺實(shí)質(zhì)是把整式中日勺乘法公式反過(guò)來(lái)使用；

常用日勺公式：

①平方差公式：a2—b2=(a+b)(a—b)

②完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2

a2—2ab+b2=(a—b)2

3.十字相乘法

第十五章分式

知識(shí)點(diǎn)一■：分式日勺定義

A

一般地，假如A,B表達(dá)兩個(gè)整數(shù)，并且B中具有字母，那么式子B叫做分式，A為分子，B為分

母。

知識(shí)點(diǎn)二：與分式有關(guān)日勺條件

①分式故意義：分母不為0（BwO）

②分式無(wú)意義：分母為0（B=0）

JA=O

③分式值為0：分子為0且分母不為0（〔'0°）

A>0JA<0

④分式值為正或不小于o：分子分母同號(hào)（1'>°或1'<°）

jA>0jA<0

⑤分式值為負(fù)或不不小于o：分子分母異號(hào)（〔'<°或〔'>°）

⑥分式值為1:分子分母值相等（A=B）

⑦分式值為7:分子分母值互為相反數(shù)（A+B=O）

知識(shí)點(diǎn)三：分式口勺基本性質(zhì)

分式日勺分子和分母同乘（或除以）一種不等于0日勺整式，分式日勺值不變。

A_A?CA_A-C

字母表達(dá)：BB?CBB+C,其中A、B、c是整式，cWo。

拓展：分式日勺符號(hào)法則：分式日勺分子、分母與分式自身日勺符號(hào)，變化其中任何兩個(gè)，分式日勺值不

變，即

A_-A_-A_A

B~-B~B~-B

注意：在應(yīng)用分式口勺基本性質(zhì)時(shí)，要注意CWO這個(gè)限制條件和隱含條件BWO。

知識(shí)點(diǎn)四：分式日勺約分

定義：根據(jù)分式口勺基本性質(zhì)，把一種分式口勺分子與分母日勺公因式約去，叫做分式口勺約分。

環(huán)節(jié)：把分式分子分母因式分解，然后約去分子與分母日勺公因。

注意：①分式日勺分子與分母為單項(xiàng)式時(shí)可直接約分，約去分子、分母系數(shù)日勺最大公約數(shù)，然后約

去分子分母相似因式日勺最低次暴。

②分子分母若為多項(xiàng)式，約分時(shí)先對(duì)分子分母進(jìn)行因式分解，再約分。

知識(shí)點(diǎn)四：最簡(jiǎn)分式口勺定義

一種分式日勺分子與分母沒(méi)有公因式時(shí)，叫做最簡(jiǎn)分式。

知識(shí)點(diǎn)五：分式日勺通分

①分式日勺通分：根據(jù)分式口勺基本性質(zhì)，把幾種異分母日勺分式分別化成與本來(lái)日勺分式相等日勺同分母

分式，叫做分式口勺通分。

②分式日勺通分最重栗日勺環(huán)節(jié)是最簡(jiǎn)公分母確實(shí)定。

最簡(jiǎn)公分母口勺定義：取各分母所有因式日勺最高次幕日勺積作公分母，這樣日勺公分母叫做最簡(jiǎn)公分

母。

確定最簡(jiǎn)公分母日勺一般環(huán)節(jié)：

I取各分母系數(shù)日勺最小公倍數(shù)；

II單獨(dú)出現(xiàn)日勺字母（或具有字母日勺式子）日勺幕日勺因式連同它日勺指數(shù)作為一種因式；

III相似字母（或具有字母日勺式子）日勺露日勺因式取指數(shù)最大日勺。

IV保證凡出現(xiàn)日勺字母（或具有字母日勺式子）為底日勺露日勺因式都要取。

注意：分式日勺分母為多項(xiàng)式時(shí)，一般應(yīng)先因式分解。

知識(shí)點(diǎn)六分式日勺四則運(yùn)算與分式日勺乘方

①分式日勺乘除法法則：

分式乘分式，用分子日勺積作為積口勺分子，分母日勺積作為積日勺分母。式子表達(dá)為:

ac_a*c

b*d-bTd

分式除以分式：把除式曰勺分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。式子表達(dá)為

acada?d

—；—=——>—=----

bdbcb?c

②分式日勺乘方：把分子、分母分別乘方。式子

③分式日勺加減法則：

同分母分式加減法：分母不變，把