遼寧省大連市部分學校2024屆高三年級下冊聯(lián)合模擬考試數(shù)學試題（含答案解析）

遼寧省大連市部分學校2024屆高三下學期聯(lián)合模擬考試數(shù)學試

題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.設集合/={0』,2},5={3,加},若/口8={2},則/U8=()

A.{0,1,2,3}B.{0,1,2}C.{1,2,3}D.{2,3}

2.已知復數(shù)z=(2+i)(l-i),則|z|=()

A.V2B.2C.V5D.V10

3.某質(zhì)點的位移y(cm)與運動時間x(s)的關系式為y=sin(0x+g(0>O,0e(-：rt,7t)),其

圖象如圖所示，圖象與.”軸交點坐標為|0,-己-,與直線y=5的相鄰三個交點的橫坐標依

3一

C.質(zhì)點在L]s內(nèi)的位移圖象為單調(diào)遞減

D.質(zhì)點在0,^s內(nèi)走過的路程為(3-百)cm

4.已知圓C：(x-2>+(y-2)2=4,直線/：(冽+2)x-叼-4=0,若/與圓C交于N,B

兩點，設坐標原點為O,貝！1|3|+2|。可的最大值為()

A.4石B.66C.4715D.2回

5.已知函數(shù)/(x)=e2"-31nx,若/'(x)〉/-2依恒成立，則實數(shù)。的取值范圍為()

試卷第1頁，共6頁

A.（0,—）B.（—,+°o）C.（0,—）D.（一,+8）

2e2eee

22

6.已知雙曲線C:」--土=1（冽〉0）的實軸長等于虛軸長的2倍，則。的漸近線方程為

3m+2m

B-k士今

A.y=±—xC.y=±2xD.y=±42x

2

8_Ina7_\nb）蓋，則下列大小關系正確的是（

7.已知。也Q￡（l,+8）,)

aInlO'bInll

A.c>b>aB.a>b>cC.b>c>aD.c>a>b

8.如圖，平行四邊形4BCD中，AB=BD=DC=2,44=45。.現(xiàn)將△BCD沿5。起，使二

面角C-8D-/大小為120。，則折起后得到的三棱錐C-4助外接球的表面積為（）

A.10KB.15KC.20兀D.20A/3TI

二、多選題

9.某商場為促銷組織了一次幸運抽獎活動，袋中裝有8個大小形狀相同的小球，并標注1~8

這八個數(shù)字，抽獎者從中任取一個球，事件/表示“取出球的編號為奇數(shù)”，事件3表示“取

出球的編號為偶數(shù)”,事件C表示“取出球的編號大于5”,事件D表示“取出球的編號小于5”,

則（）

A.事件4與事件C不互斥B.事件/與事件3互為對立事件

C.事件B與事件C互斥D.事件C與事件?；閷α⑹录?/p>

10.如圖所示，在直三棱柱N3C-4耳G中，若ABLBC,AlA=AB=BC=2,則下列說法

試卷第2頁，共6頁

A.三棱錐片-48。表面積為4+4收

B.點N在線段4c上運動，則BN+4N的最小值為28

C.G、”分別為4片、CG的中點，過點瓦G,H的平面截三棱柱/3C-4用C一則該

截面周長為2石+也

3

D.點尸在側(cè)面8CC0及其邊界上運動，點〃在棱上運動，若直線G"，/尸是共

面直線，則點尸的軌跡長度為指

11.已知拋物線C:/=x的焦點為尸，其準線/與x軸的交點為￡,過點尸的直線與C交于

A,3兩點，點“為點A在/上的射影，線段板與y軸的交點為N,線段/N的延長線交/

于點尸，則（）

A.忸尸|=1

B.ANIMF

C.直線4尸與C相切

—2

D.tanN/05（O為坐標原點）有最大值

12.《易經(jīng)》是闡述天地世間關于萬象變化的古老經(jīng)典，如圖所示的是《易經(jīng)》中記載的幾

何圖形——八卦圖.圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽太極圖，其余八塊面積相等

的圖形代表八卦田.已知正八邊形ABCDEFGH的邊長為26，點P是正八邊形ABCDEFGH

邊上的一點，則后.萬的最大值為.

試卷第3頁，共6頁

13.函數(shù)/（x）=tan（0x+0）（0>O,|同<三）的圖象如圖所示，圖中陰影部分的面積為6兀，則

14.我國古代數(shù)學家趙爽在為《周髀算經(jīng)》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”（如圖（1））,

亦稱“趙爽弦圖”.類比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如圖（2）所示的圖形，它是由3個全等的三角

形與中間一個小等邊三角形拼成的一個較大的等邊三角形，已知V/8C與3斯的面積之比

為7:1,設%方+〃/=詬，貝!]/+〃=.

四、解答題

2

15.如下圖，四棱錐P-/BCD的體積為］，底面/3CD為等腰梯形，BCHAD,AB=CD=桓,

AD=3BC=3,PD=#>,PO_LAD,。是垂足，平面尸40平面N8CZ）.

試卷第4頁，共6頁

R

(1)證明：PB±AD；

⑵若M,N分別為尸。，尸。的中點，求二面角。-跖V-B的余弦值.

16.水平相當?shù)募住⒁?、丙三人進行乒乓球擂臺賽，每輪比賽都采用3局2勝制(即先贏2

局者勝)，首輪由甲乙兩人開始，丙輪空；第二輪由首輪的勝者與丙之間進行，首輪的負者

輪空，依照這樣的規(guī)則無限地繼續(xù)下去.

(1)求甲在第三輪獲勝的條件下，第二輪也獲勝的概率；

⑵求第〃輪比賽甲輪空的概率；

(3)按照以上規(guī)則，求前六輪比賽中甲獲勝局數(shù)的期望.

22

17.已知橢圓氏=+與=1(。>6>0)短軸長為2,橢圓￡上一點“到尸(0,2)距離的最大值

ab

為3.

(1)求。的取值范圍;

(2)當橢圓E的離心率達到最大時，過原點。斜率為左(左手0)的直線/與￡交于4c兩點,

P4PC分別與橢圓E的另一個交點為B、D.

①是否存在實數(shù)4,使得8。的斜率上'等于4左？若存在，求出4的值；若不存在，說明理由;

②記/C與5。交于點。，求線段2。長度的取值范圍.

18.已知數(shù)列｛%｝的奇數(shù)項是首項為1的等差數(shù)列，偶數(shù)項是首項為2的等比數(shù)列.數(shù)列｛%｝

前“項和為S”，且滿足禺=%嗎+。5=2+。4

試卷第5頁，共6頁

%,網(wǎng)；

⑵求數(shù)列｛%｝的通項公式及數(shù)列｛%｝的前2k項和s2k;

(3)在數(shù)列｛%｝中，是否存在連續(xù)的三項。?,,金+1,%+2,按原來的順序成等差數(shù)歹U?若存在，求

出所有滿足條件的正整數(shù)皿的值;若不存在，說明理由

19.已知函數(shù)/'(x)=gax3+；&r：!+cx(a>0).

(1)若函數(shù)/(X)有三個零點分別為X],x2,%,且占+%+%=-3,X]X2=-9,求函數(shù)/(X)的

單調(diào)區(qū)間；

(2)若/”)=-；&,3a>2c>26,證明：函數(shù)/(無)在區(qū)間(0,2)內(nèi)一定有極值點；

⑶在(2)的條件下，若函數(shù)〃x)的兩個極值點之間的距離不小于百，求2的取值范圍.

試卷第6頁，共6頁

參考答案：

1.A

【分析】根據(jù)集合交集、并集概念計算即可.

【詳解】因為集合4={0』,2},8={3,加},若/口2={2},則根=2,

即集合2={2,3},所以/口8={0,1,2,3}.

故選：A

2.D

【分析】利用復數(shù)乘法法則得到z=3-i,利用模長公式求出答案.

【詳解】z=（2+i）（l-i）=2-2i+i-i2=3-i,

^|Z|=^32+（-1）2=VTO.

故選：D

3.C

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)周期求。=3判斷A,根據(jù)特殊點求解。判斷B,根據(jù)正弦函數(shù)的單

調(diào)性判斷C,根據(jù)正弦函數(shù)值域判斷D.

【詳解】由已知函數(shù)圖象得，函數(shù)的周期7=年-?="，所以。===3,故A錯誤；

663T

令y=f（x）,所以〃x）=sin（3x+/）,又/（（））=_*所以sin?=一年，

因為9?（一兀,兀），所以夕=一;或一號.

又/GCH，所以sint+9|=cos0=。所以尹=_三,故B錯誤；

兀7717715兀

由已知得/（X）圖象相鄰的兩條對稱軸分別為直線x=上』=2，原JE,

-2-182-18

r/\，.57i11兀.乂、e、乂、」、.~.、r357rli兀

且/r（X）在—T-內(nèi)單倜遞減，因為I1,—屋TQYTQ-'

_IoIoJ|_2J|_IoIo_

「3-

所以/（尤）在I,/上單調(diào)遞減，故C正確；

由圖象得該質(zhì)點在10,因S內(nèi)的路程為1-1-當+:=為3m,故D錯誤.

_IX」I2力22

故選：C.

4.D

【分析】求出圓。的圓心及半徑，直線/所過定點，借助向量運算得|O/『+|O5|2=24,利

答案第1頁，共19頁

用三角代換結(jié)合輔助角公式及三角函數(shù)性求出最大值.

【詳解】圓C：(x-2)2+(y-2)2=4的圓心為C(2,2),半徑為2,|OC|=20

直線/的方程可化為MX7)+2X-4=0,于是/過定點(2,2),且|4B|=4,

顯然21=力+礪，^4OC2=OA+OB2+2OA-OB-

又益丁次。礪2-加?麗，因此|O<+Q⑼2=g(4|0C|2+M切2)=24，

設|O/|=2&cos。，I021=2癡sin。，顯然|O/1,|08上(2五一2,班+2),

貝lJ|CM|+2|O8|=2j^sinG+e)42ybb,其中tan0=；,當6+夕=工時等號成立，此時

22

tan0=2,

|。4|=2&x9=名野e(2行-2,28+2),符合條件，

所以1041+21031的最大值為2回.

【點睛】思路點睛：涉及/+丁=。(0>0)并求關于陽〉的二元函數(shù)的最值，可以令

x=4acos6

,借助三角變換及三角函數(shù)性質(zhì)求解.

y=y/asin3

5.B

【分析】/(x)_2"等價于e2ax+2ax>e3blx+31nx,令gG)=e，+x,求導分析單調(diào)性，可

得六+2女>心心+31nx等價于g(2ax)>g(31nx),進而可得2a>也，令"(刈=迎三，只需

XX

。>/?(初3,利用導數(shù)求解最值即可得出答案.

【詳解】/(x)>x3-lax等價于e2ax+lax>x3+31nx=e31nx+31nx,

令g(r)=e，+x,則g'(x)=eX+l>0,所以g(x)是增函數(shù)，

答案第2頁，共19頁

所以e?"+2ax>e31nx+3Inx等價于g(26)>g(3Inx),

所以2ax>31nx(x>0),所以2〃>3、",

^h(x)=—,則“(x)=2誓，

XX

所以在(o,e)上，h\x)>0,〃(x)單調(diào)遞增，

在(e,+oo)上，h\x)<0,//(%)單調(diào)遞減，

aa

所以〃(x)max=〃(e)=-,故2a>—

ee

3

所以實數(shù)。的取值范圍為+8).

2e

故選：B.

【點睛】方法點睛：利用導數(shù)解決不等式問題：

1.通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值(最值)，從而得出不等關系；

2.利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關系;

3.適當放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當放縮或利用常見放縮結(jié)論，從而判定不等關系；

4.構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).

6.C

【分析】先得到方程，求出/=2,得到雙曲線方程和漸近線方程.

【詳解】由題意得\/3俏+2=，解得機=2,

22

C:匕-土=1,故漸近線方程為歹=±2工.

82

故選：C

7.B

【分析】等價變形已知條件，alna=81nl0,ftIn/?=7In11,clnc=61nl2,構(gòu)造兩個函數(shù)

f(x)=xlnxfg(x)=(18-x)lnxf利用求導判斷單調(diào)性即可求解.

【詳解】設/(x)=xlnx(x〉l),g(x)=(18-x)lnx(x>10),

e-8ln〃7InZ?6_Inc

因為一二---，-=----

aInlObInllclnl2

所以aln。=81nl0,61nb=7In11,cInc=6In12

即/(a)=g(10)，/(6)=g(ll),/(c)=g(12),

答案第3頁，共19頁

i'IX

g'(x)=(18-x)lnx+(18-x)(lnx)=-Inxd----1,

顯然g'(x)在［10,+8)上單調(diào)遞減，

g［x)<g'(10)<0,所以g(x)在［10,+8)上單調(diào)遞減，

所以g(10)>g(ll)>g(12),即/(a)>f(b)>f(c),

又((x)=lnx+l,當x>l時,以琦>0,所以l(x)在(l,+8)上單調(diào)遞增,

所以a>6>c,

故選：B.

8.C

【分析】作出輔助線，找到二面角C-8。-/的平面角，并得到球心的位置，利用半徑相等

得到方程，求出外接球半徑，得到表面積.

【詳解】如圖所示，過點。作。E///2,過點A作/E//8。，兩直線相交于點E,

因為==ZA=45°,

所以ZADB=45。，AB工BD,則DEJ_8。，

由于CDLAD,故/CDE即為二面角。一8。一Z的平面角，

則ZCDE=120°,

過點C作CFLOE于點尸，

因為BDLCD,DEeCD=D,Z)E,CZ)u平面CD尸，

故AD,平面CDb,

因為CFu平面CDF,所以BD_LCF,

又BDCDE=D,BD,DEu平面ABDE,

則C尸，平面ABDE,ZCDF=60°,

取4D的中點H,則外接球球心在平面ABD的投影為石，即08，平面/2DE,

連接尸〃，AO,CO,則NO=C。，過點。作OG//M,交直線CF于點G,

則OH=FG,

,ACD=2,CF=CDsin60°=^,DF=CDcos60°=1,

答案第4頁，共19頁

AH=DH=-AD=y[i,

2

由余弦定理得我=J。尸+DH?-2FD?DHcosNFDH

I(

=l+2-2xlxV2x--=45,

2

NIJ

設OH=h,則尸G=〃，^CG=CF-FG=y/3-h,

由勾股定理得OC?=OG2+CG?=5+(A/3-A『，OA2=OH2+AH2=2+h2,

故5+(招-/?)=2+h2,解得〃=6,

故外接球半徑為，2+/=V5，外接球表面積為4兀?5=20兀.

故選：C

【點睛】方法點睛：解決與球有關的內(nèi)切或外接的問題時，解題的關鍵是確定球心的位置.對

于外切的問題要注意球心到各個面的距離相等且都為球半徑；對于球的內(nèi)接幾何體的問題，

注意球心到各個頂點的距離相等，解題時要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和

球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑

9.AB

【分析】分別求出樣本空間Q和事件A、B、C、。即可根據(jù)互斥事件和對立事件的概念

去進行判斷.

【詳解】由題意抽獎者從中任取一個球的樣本空間為。={1,2,3,4,5,6,7,8},

事件A表示{1,3,5,7},事件8表示{2,4,6,8},事件C表示{6,7,8},事件。表示{1,2,3,4},

所以/nc={7}w。，/U5=o且Bnc={6,8}/0,

CcD=0且CU。={l,2,3,4,6,7,8}u。，

所以事件”與事件C不互斥，事件/與事件8為對立事件，

事件B與事件C不互斥，事件C與事件D互斥但不對立，

故A,B正確，C,D錯誤.

故選：AB.

10.ABC

【分析】對于A,根據(jù)錐體表面積公式計算可得；對于B,利用展開面求得8N+月N的最

答案第5頁，共19頁

小值即可判斷；對于C,作出截面，利用三角形重心的性質(zhì)與勾股定理求解即可判斷；對于

D,利用平面的性質(zhì)求得點尸的軌跡，從而得以判斷.

【詳解】對于A：在直三棱柱/3C-48cl中

平面48C,BCu平面48C,所以38]_L3C,

又ABCBB、=B,48,AS】u平面4,所以C8L平面4844，

又48u平面4844，所以43L8C,

同理可證4瓦，4c,

2

又4/=4B=BC=2,所以S?BB、C='期4=2x2=2,AtB=BtC=，2+2：=2^/2,

所以S~、c=L屎=gx2x2行=20,

所以三棱錐g-43c表面積S=4+4>6，故A正確；

對于B：將△用4c沿4c旋轉(zhuǎn)與A48c共面且位于4c的異側(cè)，

如圖所示，

:.BN+B[N=BN+BI'N>BB}'=J2'+(2心(=2",

BC

即點N在線段4c上運動，則8N+4N的最小值為2?,故B正確，

對于C：延長瓦八qq,設B//nB￡=R,連接GR交4G于點S,連接HS,

則過伉G,8的截面為如圖所示四邊形

答案第6頁，共19頁

因為CC//8月，反是的中點，故G是4尺的中點,

又G為4月的中點，所以S為A4耳R的重心，

BG=BH=M,GS=$R4小片+BE=WGS=；4G=與,

SH=KspH?=乎,

所以截面周長為2石+中，故C正確，

3

對于。：C|Mu平面C/B,C|M,N尸共面，所以NPU平面G/B，

又點尸在側(cè)面BCC內(nèi)及其邊界上運動，平面C/Bc平面3CC百=BG，

所以點尸的軌跡為線段BG，且8G=2后，故點尸的軌跡長度為20，故D錯誤.

故選：ABC.

11.BC

【分析】求出焦點坐標與準線方程，即可判斷A,設4加2,加）（加＞0）,利用判

斷B,得到直線/N的方程，聯(lián)立直線與拋物線，消元，由A=0判斷C,設/（國,必）（必＞0）,

B（x2,y2）,AB：x=ny+^,聯(lián)立直線與拋物線方程，消元，列出韋達定理，根據(jù)

tanZAOB=tan（ZAOF+ZBOF）,判斷D.

【詳解】拋物線C:/=x的焦點為叫；準線/為》=_；,則*；,（）］,所以附=；,

故A錯誤；

設/（加2,加）（加＞0）,則加］,

所以3~"土［=一如，貝U直線物的方程為歹=-2加,一

44'）

答案第7頁，共19頁

令x=0,得yg即N(0,葭

m[

所以"1，貝蜂3?七尸=「x(-2加)=一1,故/NLMF,故B正確;

朦一二廠-五^2m

因為*=3,所以直線/N的方程為%，-x+=,

2m2m2

1m

由--2m2,消去x整理得/一2〃少+%2=o,顯然八=0,所以直線/N(4P)與C相

y2=x

切，故C正確；

1

x=ny+—,°I

設＞。），8（*2,％），4B：x=ny+—,由＜4,可得yiy——=0,

24

y=%

顯然A＞0,所以乂+%=〃，%%=-；，

所以tan/80F=匹=-9，tanZAOF=^~,

x2x2再

tanZAOF+tanZ.BOF

所以tanZAOB=tan（ZAOF+ZBOF）=

1-tanZAOFtanZBOF

li

=1+=

M儀+小鼠+"〃％+十%%

+1）M%+：

:j（M+%）2-4j”2

-4J/+1

=-------，

3

4

所以當〃=0時1211//。8有最大值-1，故D錯誤.

故選：BC

12.8+40

【分析】作43垂直。C的延長線于點〃，根據(jù)正八邊形的特征求出根據(jù)后.方的定

義，即可求出萬?萬的最大值.

答案第8頁，共19頁

【詳解】由題意知，每個三角形的頂角為華=9，AB=2y/2,

o4

作48垂直DC的延長線于點根據(jù)正八邊形的特征知，AM=2也+2,

設N與方所成的角為。，則夕?0,無］,

所以廬萬=網(wǎng)同際（9=2^2p?|cos6>,

由卜小os<9的最大值為=2&+2，

所以五萬的最大值為2后x（2拒+2）=8+4瓦

故答案為：8+4A/2.

【分析】根據(jù)面積可確定周期，確定。，又根據(jù)圖象過點可確定夕，從而確定解

析式.

區(qū)域①和區(qū)域③面積相等，故陰影部分的面積即為矩形/BCD的面積,

可得|N8|=3,設函數(shù)/（無）的最小正周期為T,則以。=7,

,JI1

由題忌可得3T=6兀，解得7=2兀，故一=2兀，可得@=一，

o2

即f（%）-tan+夕）,

又/（%）的圖象過點傳,即tan［：xm+1=tan悟+［=-1,

答案第9頁，共19頁

E、r（兀兀）兀兀左力，口兀

因為一不勺卜所以77+夕=一7，解得0=一￡.

\乙乙）1/43

故/（x）=tan'x-1]

故答案為：/（x）=tanQx-y^.

【點睛】思路點睛：本題主要考查正切性函數(shù)的解析式求法，屬于較難題.由已知不規(guī)則圖

形面積，顯然難以直接求解，故根據(jù)正切性函數(shù)的周期性，將其平移成規(guī)則圖形，即可求得

周期，繼而求出函數(shù)解析式.

3

14.-

7

【分析】依據(jù)題意設出邊長，建立平面直角坐標系，同時在A/CD中利用余弦定理結(jié)合等面

積法和勾股定理求出點。的坐標，后依據(jù)平面向量的坐標運算建立方程，求解參數(shù)，最后

求和即可.

【詳解】設V/8C邊長為。，ADEF邊長為b,

由題意得V/2C與AZ）EF的面積之比為7：1,可得工x也x/=Lx也x/x7,

2222

化簡得/=7〃，可得a=J%，不妨設a=V7/=l,

如圖，作GVLG4,以C為原點建立平面直角坐標系，

在A/C。中，設4D=根，由余弦定理得——="+（加+D-一7,解得加=1,

22m（m+1）

故/。=1,CD=2,且設。（x,y）,作DG_LNC,feS,=-x—xlx2=—,

“8rn222

故得=』xV?xOG=也，解得。G=亙，由勾股定理得CG=%夕，

“'82277

故。（乎,母），易知，（行,0），?。?C（0,0）,

可得存二（一字,孚），就=（一板,0）,血=（耳鼻,

且彳刀=（一[4半㈤，〃就=（-伍,0）,

答案第10頁，共19頁

可得4萬+〃%=(_12_甘〃,浮,

2"1

----A—,7//二--------"二一

2773

得到，解得,，顯然丸+4=亍.

亞1a

---Z=----A=-

1277

故答案為：!3

【點睛】關鍵點點睛：本題考查平面向量，解題關鍵是建立平面直角坐標系，然后求出關鍵

點的坐標，最后利用平面向量的坐標運算得到所要求的參數(shù)值，再求和即可.

15.(1)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理和線面垂直的判斷定理證明即可證明

(2)根據(jù)二面角定義即可求出二面角的平面角.

【詳解】(1)連接

?.?平面尸平面POLAD,平面RIOc平面23。=/。，POu平面尸ND,

尸。_L平面4BCD,

因為/Ou平面/5C。，所以尸OL4D,

由題意可知，等腰梯形/BCD的高為1,

故等腰梯形/BCD的面積為：S=|x(l+3)xl=2,

12

VpABCD=—x2xPO=—,

PO=\,

在Rt^POD中，PD=4i,PO=l.

：.OD=2,即49=1,

二。為的三等分點，

BOLAD.

又：尸0("|80=0,80u面尸08,尸Ou面尸08,

AD1平面POB,

:尸3u平面尸。3,PBVAD.

答案第11頁，共19頁

R

M

BC

(2)取O。中點E,連接BE,則四邊形8CDE為平行四邊形，

BE//CD.

,:M,N分別為PD,PC的中點，

MNHCD,

：.MNIIBE,

四點共面.

連接OC交BE于尸，連接NF,則二面角O-MN-B即二面角。-MN-尸.

P0±平面ABCD,CDu平面ABCD,

POLCD,

易知四邊形3CE。為正方形，則

BEIICD,：.OCLCD,

又尸OPIOC=O,尸Ou平面尸OC,OCu平面尸OC,

/.。_1平面尸。。.

VMN//CD,MV_L平面尸。C,

:雙。^:平面尸。。，NFu平面POC,

:.MN工NO,MNINF.

NONF是二面角。-ACV-B的平面角，

在RtA;VFO中，NF=、PO=L,OF==0C=旦,

2222

?CVe.NF百

??ON=—，??cos/ONF=---二—，

2ON3

，二面角。-B的余弦值為理.

3

16.(1)|

答案第12頁，共19頁

n-1

⑵沼1

2

⑶魯局

【分析】（1）根據(jù)條件概率公式求解；

（2）設事件G="第〃輪甲輪空”，由全概率公式可得尸（。）的遞推公式，利用構(gòu)造法得

P（q）的通項公式；

（3）設一輪比賽中甲勝的局數(shù)為x,則x=o,i,2,前六輪比賽中甲參與的輪次數(shù)為y,則

y=3,4,5,6,分別求出x和y的期望，即可求解.

【詳解】（1）甲第三輪獲勝的基本事件有：｛第一、二、三輪甲全勝｝,｛第一輪甲輸，第三

輪甲勝｝,

設4="甲在第，輪獲勝”，則尸（闋4）=八

'）尸⑷P（444）+P（44）"3

(2)設事件C“=“第〃輪甲輪空，，，Ki]p(c?)=Jp(c?_1c?)+jp(c?_1c?),

=尸(％)尸(CJc〃T)+尸(GT)尸?c?_,)=|[i-p(c?_1)],

.")W]P(CI)-"G)=O，

(3)設一輪比賽中甲勝的局數(shù)為X,則X=0,1,2,

P(X=0)=出=:，尸(x=D=c；出=；，

P(X=2)=&+C(>i...E(X)V

前六輪比賽中甲參與的輪次數(shù)為y,則y=3,4,5,6

9

P(Y=3)

16

答案第13頁，共19頁

4

尸(X=5)=叱

喈

，局勝的局數(shù)為:詈，：=繪（局）.

17.⑴ae(l,6]

3338

（2）①存在；一《；②5'~T

【分析】（1）設M（x,y）,記==-（〃-1）/-4>+/+4,根據(jù)對稱軸的位置結(jié)合

二次函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式可得答案；

2

（2）由（1）得橢圓￡：,+必=1,①設/優(yōu)，%）,可得直線尸N、尸8方程，分別與橢圓

方程聯(lián)立，利用韋達定理可得3、。兩點坐標，求出8。的斜率即可；②由①知直線8。方

程，與直線/C方程聯(lián)立，求出此代入橢圓方程得求出x,可得。的軌跡方程可得答案.

【詳解】（1）設由題知,26=2,即6=1,

2

則'+/=1,即尤

a

22222

記/（7）=|JWP|=x+（y-2）=-（（z-1）/-4j^+a+4,

則“力在［-U］上的最大值為9,對稱軸為〉=U<0,

①當胃1，即。e（l,百］時，/3）max=/（T）=9,成立；

②當方一7>-1，即4〉百時，

a-1

222

/（y）max=/f^-.V?+4+^-=?-l+^—++5>2L-l）^i-+5=9,

\a-\）a-1a-1V，如-1

4

當且僅當/-1=士，即/=3時等號成立，可知不成立；

a-1

綜上，a￡;

（2）由（1）得，/=4=pi=1一,

aaa

2

所以當Q二百時，離心率達到最大，此時，橢圓石：,+/=1,

答案第14頁，共19頁

3

①存在％=_1，理由如下,

設/伉,心），貝|JC（-X。,一線），其中,+左2焉=1,即（3^+1卜：=3,

…kx-2-

PA:y=--a——x+2,

%

kx-2石

y=---a------x+2

%

由，

2

工21

一+V=1

13'

得［（3左?+1卜；-12丘。+12卜：2

+12x0（kx0-2）￥+9%Q=0,

2

BP（5-4Ax0）x+4x0（Ax0-2）龍+3x：=0,

b”3町-3x%-2-3x5Ax-4

所以%=0＜'寸0+2=中0,

-3XQ5kx0—4j

所以8

4kx0-5'4g-5『

尸C：＞=尾±Z、+2,

x0

/a+2"

y=-2n—x+2

%

由，

2

X21

一+V=1

13'

得［（3人2+1）%；+12?o+12J%2+12/（kx。+2x+9x；—C,

艮|］（5+4布0）尤2+4x0（5kx0+2）x+3x：=0,

所以一“亂產(chǎn)-3/y=＞。+2乂_3/?2=5心+4

4Ax0+5'x04fa0+54Ax0+5

-3x05/+4、

可得。

4k%+5'4Ax°+5J'

5kXq+45kXq—4

4Ax+54Ax-5_18Ax

所以，8。的斜率〃=000

-3x0-3x030x05

4kxQ+54kxQ-5

②由①知,

3%5kx0—4316飆-2034

BD\y=——kxH———~~~—|+二——k7x+---------Ax7+—,

4Ax0—5J4AXQ—555恤-5）55

答案第15頁，共19頁

34

BDy——kxH—341

由55yy+丁n即nj=5,

AC:y=kx

13

將v=5代入橢圓方程得：％=±3，

所以，0的軌跡方程為y=:[-

所以，線段尸。長度的取值范圍為

【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這

個值與變量無關；（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.

18.(1)。9=9,。8=54

n9n=2k—1

2k

⑵?！?’(keN*),S2k=k+3-l

2-32,n=2k

(3)存在，m-\

【分析】（i）設等差數(shù)列的公差為1，等比數(shù)列的公比為然后根據(jù)已知條件解方程組可

求出"應,從而可求出。9，。8；

（2）由（1）分奇偶項可求出通項公式，利用分組求和法求$2&；

（3）分am=a2k和a,“=alk_x兩種情況討論可求得結(jié)果.

【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為d,等比數(shù)列的公比為“，

貝U—1,a?~2,。3=1+d,=2q,a,=1+2d,

因為83=%，所以1+2+1+d=2夕，即4+d=2q,

因為牝+。5=2+%,所以l+d+l+2d=2+2]，即3d=2g,

解得d=2應=3,

所以。9="1+4d=1+8=9M&—a?q3=2x33=54；

（2）由（1）知"=2,q=3,

所以對于AeN*,有。址T=1+2（左一1）=2左-1,3=2x3"、

答案第16頁，共19頁

n9n=2k—1

所以?！?＜?_j(左wN*),

2-32,n=2k

S2k=(?1+a3+"-+a2*-4)+(a2+a4+'"+a2A.)

=[1+3+…+(2左一l)]+2(l+3+3,2+…+3

k(\+2k-\),、，1一3人

21-3

=k2+3k-i

(3)在數(shù)列｛%｝中，僅存在連續(xù)三項％,出，%按原來的順序成等差數(shù)列，此時正整數(shù)加=1,

下面說明理：

若a1n=a2k,則由am+am+2=2am+i,得2x31+2x3*=2(2左+1)，

化簡得4X3"T=24+1，

此式左邊是偶數(shù)，右邊是奇數(shù)，不可能成立，

若盤=出1，則由金+%+2=2〃]，得(2左-1)+(2左+I)=2x2x3i，

化簡得后=3"T,

令(=[(左eN*)，則加-1=祟-￡=詈＜?！秂N-)，

所以1=7]＞“＞刀＞…，

所以只有1=1,此時左=1,相=2x1-1=1,

綜上，在數(shù)列｛%｝中，僅存在連續(xù)三項為按原來的順序成等差數(shù)列，此時正整數(shù)加=1，

【點睛】關鍵點點睛：此題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本量運算，考查等差數(shù)列和等比數(shù)

列的求和公式的應用，第(2)問解題的關鍵是分奇偶項利用分組求和法求解，考查計算能

力，屬于較難題.

19.(1)單調(diào)遞減區(qū)間是(-3,1),單調(diào)遞增區(qū)間是(-*-3),(1,+s)

(2)證明見解析

(3)-1，-().

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)/(x)=x(；ax2+gbx+c)有三個零點，且玉+迎