2024年人教版八年級上冊數(shù)學(xué)同步訓(xùn)練：等腰（邊）三角形的判定與性質(zhì)（30題）（解析版）

專題第01講等腰（邊）三角形的判定與性質(zhì)

—.解答題（共30小題）

1.（2022秋?韓城市期末）如圖，已知點(diǎn)。，￡分別是△N8C的邊8/和8c延長線上的點(diǎn)，作/LUC的平

分線AF,若AF〃BC.

（1）求證：△NBC是等腰三角形；

（2）作/NCE的平分線交/尸于點(diǎn)G,若N3=40°,求/ZGC的度數(shù).

【分析】（1）根據(jù)角平分線定義得到根據(jù)平行線的性質(zhì)得到/。/尸=/8,NCAF=N

ACB,于是得到結(jié)論；

（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到NA4c=100°,由三角形的外角的性質(zhì)得到=

140。，根據(jù)角平分線定義得到NACG=///CK=7O°，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】（1）證明：/平分/D/C,

ZDAF=ZCAF,

,JAF//BC,

；./DAF=/B,ZCAF=ZACB,

：./B=NACB,

.?.△/2C是等腰三角形；

（2）解：'：AB=AC,Z5=40°,

AZACB=ZB=40°,

/.ZBAC=100°,

：.AACE=ZBAC+ZB=140°,

：CG平分//CE,

二NACG=、N/CE=70°，

'JAF//BC,

：.ZAGC=180°-Z5CG=180°-40°-70°=70°.

A/q尸

B

E

2.(2023春?修水縣期末)在△/5C中，3。和CD分別平分/4BC和N/C5,過點(diǎn)。作E尸〃2C,分別交

AB,/C于點(diǎn)E,F.

(1)若N2=/C,請判斷△/斯是否是等腰三角形，并說明理由;

(2)若△4BC的周長為18,BC=6,求△4EF的周長.

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)角平分線的定義和等腰三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：(1)△/￡尸是等腰三角形，

理由：,:AB=AC,

：.NABC=/ACB,

?：EF//BC,

：.NAEF=AABC,NAFE=ZACB,

：.ZAEF=ZAFE,

；.△/斯是等腰三角形；

(2);△(SC的周長為18,BC=6,

：.AB+AC=18-6=12,

:BD平分/ABC,

：.ZABD=ZCBD,

,JEF//BC,

：./EDB=NDBC,

：./ABD=ZEDB,

：.BE=ED,

同理。尸=C尸，

^AEF的周長為：AE+EF+AF=AE+ED+FD+AF^AE+EB+FC+AF=AB+AC^12.

3.(2023春?新泰市期末)如圖，在△ABC中，AB=AC,N4BC的平分線BE交NC于點(diǎn)D,/尸_L4B交

BE于點(diǎn)F.

(1)如圖1,若NA4C=40°,求乙4尸￡的度數(shù).

(2)如圖2,若AD_L/C,垂足為D,BF=8,求DF的長.

E

E

圖1圖2

【分析】(1)由角平分線求出N45斤的度數(shù)，再利用外角的性質(zhì)即可;

(2)證出△45。絲△C5。，得出△ZBC是等邊三角形即可解決問題.

u

【解答】解：(1)：AB=ACfZBAC=40°，

:?/ABC=70°,

〈BE平分N4BC,

：.ZABF=35°,

\'AF.LAB,

：.ZBAF=90°,

AZAFE=U5°.

(2)〈BD平分/4BC,

NABD=/CBD,

,；BDL4C,

:?/ADB=CDB=90°,

???△ABD咨LCBD(4W,

：.AB=BC,

\9AB=AC,

???三角形ABC是等邊三角形,

：.ZABF=30°,

.'.AF=4,

在RtZ\4D尸中，

DF=2.

4.(2023春?淄博期末)如圖，△NBC中，AB^AC,。是48上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，DF_LBC于點(diǎn)F,交C4延長線

于點(diǎn)E,

(1)試判斷/￡的大小關(guān)系，并說明理由；

(2)當(dāng)點(diǎn)。在A4的延長線上時(shí)，其他條件不變，(1)中的結(jié)論是否還成立？請說明理由.

【分析】（1）根據(jù)已知條件得出NC+NE=90°,NB+/BDF=90,再根據(jù)NB=NC得出

最后根據(jù)NBD/=N4DE,得出NE=N4DE,即可證出

（2）作法同（1）完全相同.

【解答】解：（1）AD=AE；

理由：9：AB=AC,

：./B=/C,

■:DF2BC,

:,/BDF+/B=9。。,ZC+Z￡=90°,

JNE=/BDF,

ZBDF=/EDA,

：./E=/EDA,

：.AE=AD；

（2）成立；

'：AB=AC,

：./B=NC,

■:DF2BC,

：.ZBDF+ZB=90°ZC+ZFEC=90°,

：.ZFEC=ZBDF,

???ZFEC=ZAED,

：.ZADE=ZAED,

：.AE=AD.

5.（2023春?鄲都區(qū)期末）如圖，AM//BN,/BCW和NC8N的角平分線交于點(diǎn)。，DE〃BN交BC干點(diǎn)、

E.（解答過程要求寫出每步推導(dǎo)的理由）

（1）求/2OC的度數(shù)；

【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得/C3N+/BCM=180°,再根據(jù)角平分線的定義可得

=L/NBC,NECD=NDCM=L/BCM,然后再利用等式的性質(zhì)可得ND2C+N￡CD=90°,最后利

22

用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算，即可解答；

（2）根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可得和△CEO是等腰三角形，從而可得BE=DE,CE=

DE,進(jìn)而可得8E=C￡,然后根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)，即可解答.

【解答】（1）解：〃/M（已知），

：.ZCBN+ZBCM=ISO°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），

,:CD、AD分別是N5CM、/CBN的角平分線（已知），

:.NNBD=NDBE=L/NBC,NECD=/DCM=—BCM（角平分線的定義），

22

ZDBC+ZECD=^-UNBC+NBCM）=90°（等式的性質(zhì)），

2

AZSZ）C=180°-（ZDBC+ZECD）=90°（三角形內(nèi)角和定理）；

（2）證明：,:DE〃BN（已知）,

（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

/NBD=ZDBE（已證），

/BDE=ZDBE（等量代換），

：.EB=ED（等角對等邊），

'：AM//BN（已知），

J.DE//AM（平行于同一條直線的兩條直線平行），

...NEDC=NDCM（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

,/ZDCM=ZECD（已證），

:.NEDC=NECD（等量代換）

：.EC=ED（等角對等邊），

：.EB=EC（等量代換），

,:AB=AC（已知）

：.AE±BC（等腰三角形的三線合一）.

6.（2023春?皇姑區(qū)期末）按邏輯填寫步驟和理由，將下面的求解過程補(bǔ)充完整如圖，在△NBC中，ADL

BC于點(diǎn)、D,Z5=2ZC,若48=6,BD=2,求CD的長.

解：在線段CD上取一點(diǎn)￡,使ED=BD,連接4E,

?：ED=BD,ADLBC,

:.AB=AE（線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）.

/ABE=/AEB（等邊對等角）.

/B=2/C,

/AEB=2/C.

VZAEB+ZAEC=l80a（平角定義）,

ZEAC+ZC+ZAEC=180°（三角形內(nèi)角和等于180°）,

ZAEB=ZEAC+ZC.

NC=/EAC.

EA=EC（等角對等邊）.

:.AB=CE（等量代換）.

'."AB—6,BD—1,

二CE=6,ED=2.

：.CD=CE+ED=6+2=8.

【分析】在線段。上取一點(diǎn)E,使ED=BD,連接NE,先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得

從而可得/酸，進(jìn)而可得//班=2NC.然后利用平角定義以及三角形內(nèi)角和定理可得N/E2

=ZEAC+ZC,從而可得NC=NE4C,進(jìn)而可得E4=EC,再利用等量代換可得4B=C￡=6,最后利

用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答.

【解答】解：在線段CD上取一點(diǎn)E,使ED=BD,連接NE,

?：ED=BD,ADLBC,

：.AB=AE（線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）,

:./ABE=/AEB（等邊對等角）.

,/ZB=2ZC,

：.ZAEB=2ZC.

VZAEB+ZAEC=ISO0（平角定義）,

ZEAC+ZC+ZAEC=180°（三角形內(nèi)角和等于180°）,

ZAEB=ZEAC+ZC.

：.ZC=ZEAC.

：.EA=EC（等角對等邊）.

：.AB=CE（等量代換）.

:48=6,BD=2,

：.CE=6,ED=2.

CD=CE+ED=6+2=8,

故答案為：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；ZABE；等邊對等角；平角定義;

三角形內(nèi)角和等于180°；ZC；EA；EC；等角對等邊；等量代換.

7.（2023春?楊浦區(qū)期末）已知在△48C中，點(diǎn)。是邊上一點(diǎn)，ZBCD=ZA.

（1）如圖1,試說明CD=C8的理由;

（2）如圖2,過點(diǎn)2作垂足為點(diǎn)E,BE與CD相交于點(diǎn)F.

①試說明/2（R=2NC5E的理由；

②如果△5D尸是等腰三角形，求//的度數(shù).

A

圖2備用圖

【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得再利用三角形的外角性質(zhì)可得N2DC=N/+

ZACD,從而可得N3DC=//C8,然后根據(jù)等量代換可得N48C=/8DC.再根據(jù)等角對等邊可得CD

=CB,即可解答;

（2）①根據(jù)垂直定義可得/8EC=90°,從而可得NC8E+N4C3=90°,然后設(shè)/C8￡=a,貝U/NCB

=90°-a,利用（1）的結(jié)論可得N/CB=//8C=N8￡>C=90°-a,最后利用三角形內(nèi)角和定理可得

/BCD=2a,即可解答;

②根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得N5ED=3a,然后分三種情況：當(dāng)/時(shí)；當(dāng)。/時(shí)；當(dāng)FB

ED時(shí)；分別進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：⑴?；AB=AC,

：.ZABC=NACB,

???NBDC是△4DC的一個(gè)外角,

：.ZBDC=/A+/ACD,

VZACB=ZBCD+ZACD,/BCD=/A,

：.ZBDC=/ACB,

：.ZABC=ZBDC.

；?CD=CB；

(2)BELAC,

:?/BEC=90°,

：?NCBE+NACB=90°,

設(shè)/CBE=CL,則N4C5=90°-a,

???ZACB=NABC=/BDC=90°-a,

AZ5CD=180°-ZBDC-ZABC=1SO°-(90°-a)-(90°-a)=2a,

???ZBCD=2ZCBE；

②???ZBFD是ACBF的一個(gè)外角，

???ZBFD=ZCBE+ZBCD=a+2a=3a,

分三種情況：

當(dāng)AD=5/時(shí)，

ZBDC=/BFD=3a,

/ACB=NABC=/BDC=90°-a,

90°-a=3a,

：.a=22.5°,

AZA=ZBCD=2a=45°；

當(dāng)。8=。9時(shí)，

ZDBE=ZBFD=3a,

*：ZDBE=ZABC-ZCBE=90°-a-a=90°-2a,

.*.90°-2a=3a,

.*.a=18°,

AZA=ZBCD=2a=36°；

當(dāng)FB=FD時(shí)，

???/DBE=ZBDF,

,//BDF=ZABOZDBF,

二不存在尸3=FD,

綜上所述：如果△8。尸是等腰三角形，//的度數(shù)為45°或36°.

8.(2023春?高陵區(qū)期末)如圖，在△4BC中，AB=AC.過點(diǎn)/作5c的平行線交/4BC的角平分線于點(diǎn)

D,連接CD.

(1)求證：為等腰三角形.

(2)若/BND=140°,求/ADC的度數(shù).

【分析】(1)利用平行線的性質(zhì)得出Nl=/3,進(jìn)而利用等腰三角形的性質(zhì)得出ZC=4D即可；

(2)由(1)知N1=/2=N3,根據(jù)已知條件得到/1=/2=/3=工-(180°-/BAD)=20°,根據(jù)

2

等腰三角形的性質(zhì)得到NZC2=N4BC=40°,根據(jù)平行線的選擇得到/4DC+N/CD=180°,于是得

到結(jié)論.

【解答】(1)證明：平分N4BC,

.\Z1=Z2.

'：AD//BC,

.*.Z2=Z3.

N1=N3.

:?AB=AD.

9：AB=AC,

.\AC=ADf

???△/CD為等腰三角形；

(2)解：由(1)知，N1=N2=N3,

VZBAD=140°,NB/Z)+Nl+N3=180°,

???N1=N2=N3=L(180°-/BAD)=20°,

2

ZABC=40°,

9：AB=AC,

：.ZACB=ZABC=40°,

由(1)知，AD=AC,

：.ZACD=ZADC=ZBDC+Z3=ZBDC+200,

■:AD//BC,

/.ZADC+ZBCD=\^O°,

/.40°+(N5DC+20。)+(ZBDC+200)=180°,

9.（2023春?寶山區(qū)期末）如圖，△45。中，48=4。，點(diǎn)。在邊5C延長線上，點(diǎn)E在邊4C上，且DE=

BE=AE,延長線段。E交邊45于點(diǎn)?

（1）說明△力?是等腰三角形的理由；

（2）如果是等腰三角形，求N4的度數(shù).

【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)可得：/A=/AEF,從而可得結(jié)論；

（2）設(shè)NZ=x,ZD=y,當(dāng)是等腰三角形時(shí)，存在兩種情況：①當(dāng)/BFE=/BEF時(shí),2x=2yf

②當(dāng)NBEF=N4BE時(shí),x=2yf根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列方程可解答.

【解答】解：⑴9：AB=AC,

：.NABC=NACB,

■:BE=DE,

：.ZCBE=ZD,

?:/ABC=/ABE+/CBE,/ACB=/D+/CED,

：./ABE=/CED,

?:AE=BE,

：.ZA=ZABE,

/AEF=NCED,

：.NA=NAEF,

；?AF=EF,

???△/￡/是等腰三角形；

(2)設(shè)N/=x,ZD=y,

：.AABE=x,/BFE=NA+/AEF=2x,ABEF=ZD+ZDBE=2y,

/.NBFE/NABE,

二當(dāng)42所是等腰三角形時(shí)，存在以下兩種情況：

①當(dāng)/BFE=/BEF時(shí),2x=2y,

；.x=y，

△4EF中，2x+2y+x=180°,

；.x=36°,

ZA=36°；

②當(dāng)乙時(shí)，x=2y,

'：2x+2y+x=^0°,

.*.4x=180°,

：.x=45°,

：.ZA=45°,

綜上，N4的度數(shù)為36°或45°.

10.（2022秋?祁陽縣期末）（1）操作實(shí)踐：△N8C中，N/=90°,48=22.5°,請畫出一條直線把

分割成兩個(gè)等腰三角形，并標(biāo)出分割成兩個(gè)等腰三角形底角的度數(shù)；（要求用兩種不同的分割方法）

（2）分類探究：△NBC中，最小內(nèi)角/2=24°,若△N3C被一直線分割成兩個(gè)等腰三角形，請畫出相

應(yīng)示意圖并寫出△48C最大內(nèi)角的所有可能值；

（3）猜想發(fā)現(xiàn)：若一個(gè)三角形能被一直線分割成兩個(gè)等腰三角形，需滿足什么條件？（請你至少寫出兩

（2）在（1）的基礎(chǔ)上，由“特殊”到“一般”，需要把24°的三角形分成兩個(gè)等腰三角形的各種情形,

一共有4種情況，分別畫圖即可；

（3）根據(jù)（1）（2）中的圖形總結(jié)即可.

（2）設(shè)分割線為相應(yīng)用的角度如圖所示:

圖1的最大角=39°+78°=117°,圖2的最大角=24°+180°-2X48°=108°,

圖3的最大角=24°+66°=90°,圖4的最大角=84°,

故△NBC的最大內(nèi)角可能值是117°或108°或90°或84°；

(3)若一個(gè)三角形能被一直線分割成兩個(gè)等腰三角形，應(yīng)滿足下列條件之一：

①該三角形是直角三角形；

②該三角形有一個(gè)角是最小角的2倍；

③該三角形有一個(gè)角是其中一個(gè)角的3倍.

11.(2022秋?陽谷縣期末)如圖，已知△NBC中，AB=AC,/C與48邊上的高2D、CE相交于點(diǎn)。.

(1)求證：△02C是等腰三角形.

(2)判斷點(diǎn)。是否在/的平分線上，并說明理由.

【分析】(1)n\^ZABC=ZACB,/C與邊上的高2D、CE相交于點(diǎn)O,可得NOEB=N

ODC^90°；/BOE=NCOD,根據(jù)內(nèi)角和定理，可得NOCD,/OBC=NOCB,進(jìn)而可證4

02c是等腰三角形；

(2)欲證明。在N8/C的平分線上，只需推知OE=OD即可.

【解答】(1)證明：：/臺(tái)二/。，

ZABC=ZACB,

..】C與N3邊上的高AD、CE相交于點(diǎn)O,

：.ZOEB=ZODC=90°,

VZBOE=ZCOD,ZO5￡=180°-(/OEB+NBOE),ZOCZ>=180°-(ZOOC+ZCOD),

：.ZOBE=ZOCD,

'：/OBC=ZABC-NOBE,/OCB=ZACB-ZOCD,

：.ZOBC=ZOCB,

：.OB=OC,

:.△OBC是等腰三角形；

(2)解：在△8E。與△CD。中,

'NOBE=/OCD

"ZBOE=ZCOD>

,BO=CO

:.ABEO”ACDO(AAS),

：.OE=OD,

又,：BD_LAC,CELAB,

二。在/3/C的平分線上.

12.(2022秋?禹州市期末)如圖，在中，AB=AC,。是N8上的一點(diǎn)，過點(diǎn)。作。E_L8C于點(diǎn)E,

延長和C4,交于點(diǎn)F.

(1)求證：尸是等腰三角形；

(2)若/尸=30°,BD=4,AD=2,求EC的長.

【分析】(1)由N3=NC,可知/8=/C,再由?？芍?P+/C=90°,ZBDE+ZB=90,然

后余角的性質(zhì)可推出N尸再根據(jù)對頂角相等進(jìn)行等量代換即可推出于是得到結(jié)

論；

(2)根據(jù)解直角三角形和等邊三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：(1):AB=AC,

：.ZB=ZC,

■:FELBC,

：.ZF+ZC=90°,ZBDE+ZB=90°,

ZF=ZBDE,

而ZFDA,

：.ZF=ZFDA,

:.AF=AD,

尸是等腰三角形；

⑵'：DE±BC,

：.ZDEB=90°,

VZF=30°,BD=4,

:.BE=LBD=2,

2

'：AB=AC,

：./\ABC是等邊三角形，

/.BC=AB=AD+BD=6,

:,EC=BC-BE=4.

13.（2022秋?開福區(qū)校級期末）已知在△NBC中，//C2的平分線CD交N2于點(diǎn)。，DE//BC.

（1）如圖1,求證：是等腰三角形；

（2）如圖2,若DE平分/ADC交AC于E,ZABC=30°,在8C邊上取點(diǎn)/使8尸=。尸，若BC=12,

求。尸的長.

【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義，平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的判定進(jìn)行推論即可;

（2）利用角平分線的定義、平行線性質(zhì)，以及直角三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】（1）證明：：C￡＞是N/C8的平分線，.,.N5CD=NZC。，

'JDE//BC,:.NBCD=NEDC,；.NEDC=/ACD,:.ED=EC,

即△CDE是等腰三角形；

（2）解：-JDE//BC,//2C=30°

,：.ZADE=ZABC=30°,

又：DE平分//DC,

ZADE=ZCDE=-30°,

由（1）可知，NACD=NBCD=/CDE=3Q°,

,:BF=DF,

：.ZB=ZBDF=30°,

：.ZDFC=30Q+30°=60°,

在RtzXD尸C中，ZFDC=9Q°,ZFCD=30°,

DF-^FC，

又,：DF=BF,BC=\2,

'?DF]BC[X12=&

oo

14.(2022秋?沙依巴克區(qū)校級期末)如圖，△4BD中，AB=AD,4c平分/B4D,交2。于點(diǎn)瓦

(1)求證：△BCD是等腰三角形；

(2)若N4BD=50°,/BCD=130°,求N/2C的度數(shù).

C

【分析】(1)證明△N8C絲即可得出5c=DC；

(2)在等腰三角形8co中先求出/C8Z)=NCD3=25°,即可求出//3C=//3￡>+/CBZ)=75°.

【解答】解：(1)證明：平分/84D,

/.NBAC=ZDAC,

在△/BC和△4DC中，

fAB=AD

<ZBAC=ZDAC

LAC=AC

:.AABCqAADC(SAS),

：.BC=DC,

.?.△BCD是等腰三角形；

(2)'：BC=DC,NBCD=130°,

：.ZCBD=ZCDB=^-(180°-ZBCD)=^-(180°-130°)=25°,

22

ZABC=ZABD+ZCBD=500+25°=75°.

15.(2023春?東港市期末)如圖，點(diǎn)O是等邊△N8C內(nèi)一點(diǎn)，。是△N3C外的一點(diǎn)，ZAOB=1W°,Z

BOC=a,LBOC咨AADC,ZOCD=60°,連接?！?.

Cl)求證：△OCD是等邊三角形；

(2)當(dāng)a=150°時(shí)，試判斷△/OD的形狀，并說明理由；

(3)探究：當(dāng)a為多少度時(shí)，是等腰三角形.

【分析】(1)根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形可得證;

(2)根據(jù)全等易得//￡^=48。。=(1=150°,結(jié)合(1)中的結(jié)論可得/4D。為90°,那么可得所求

三角形的形狀；

(3)根據(jù)題中所給的全等及的度數(shù)可得/NOD的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的兩底角相等分類探討

即可.

【解答】證明：(1),:△BOFAADC,

：.OC=DC,

；NOCD=60°,

.?.△OCD是等邊三角形.

解：

(2)是直角三角形.

理由如下：

,..△OCD是等邊三角形，

：.ZODC^60°,

?:△BOgdADC,a=150°,

/ADC=/BOC=CL=150°,

：.ZADO=ZADC-ZODC=150°-60°=90°,

△NO。是直角三角形.

(3)?.?△OC￡＞是等邊三角形，

：.ZCOD=ZODC=60a.

VZAOB^UO0,NADC=/BOC=ci,

：.ZAOD=3600-ZAOB-ZBOC-ZCOD=360°-110°-a-60°=190°-a,

N4D0=NADC-ZODC^a-60°,

：.ZOAD=180°-ZAOD-ZADO=180°-(190°-a)-(a-60°)=50°.

①當(dāng)時(shí)，190°-a=a-60°,

；.a=125°.

②當(dāng)時(shí)，190°-a=50°,

.,.a=140°.

③當(dāng)N4DO=NCMD時(shí)，

a-60°=50°,

.9.a=110°.

綜上所述：當(dāng)a=110°或125°或140°時(shí)，△40。是等腰三角形.

16.(2023春?榆陽區(qū)期末)如圖，在Rta4BC中，N4CB=90°,N5=30°,是N2的垂直平分線，

交48、BC于點(diǎn)、D、￡連接。、AE.求證:

cl)△4DC是等邊三角形；

(2)點(diǎn)E在線段CD的垂直平分線上.

【分析】(1)根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得/8/C=60°,根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)可

得AC-^AB，根據(jù)DE是48的垂直平分線，可得AD=DB="^AB，即可證明△4DC是等邊三角形；

(2)根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得進(jìn)而可得/E平分根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得?！?

DC,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得ND=/C,即可得證.

【解答】(1)證明：在RtzXNBC中，ZACB=90°,Z3=30°,

??z/c=60。,AC-|AB，

是42的垂直平分線，

-'-AD=DB=yAB>

：.AD=AC,

：./\ADC是等邊三角形；

(2)證明：是的垂直平分線，

：.AE=BE,DELAB,

：.ZEAB=ZB=30°,則N￡4C=N5/C-/。8=30°,

/.NBAE=NC4E,

平分/A4C,

"：DE±AB,AC±BC,

：.DE=DC,

?.?△/DC是等邊三角形，

J.AD^AC,

點(diǎn)E在線段CD的垂直平分線上.

17.(2023春?渠縣校級期末)如圖，在中，NADB=6G°,DC平分N4DB,交N2于點(diǎn)C,且DC

LAB,過C作CE〃。/交。2于點(diǎn)E,連接

(1)求證：是等邊三角形.

(2)求證：AELDB.

A

【分析】(1)直接根據(jù)等邊三角形的判定定理可得結(jié)論；

(2)由平行線的性質(zhì)可得N5EC=NZO8=60,根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得CE=5E=CB,再由

直角三角形的性質(zhì)可得4E是邊的中線，最后再由等邊三角形的性質(zhì)可得答案.

【解答】證明：(1)???。。平分

，ZADC=ZBDC,

VZADB=60°,

/.ZADC=ZBCD=30°,

9：DCLAB,

:?NDCB=NDCA=90°,

AZB=ZA=90°-30°=60°,

:?/AOB=/B=/DAB=60°,

?**/\ADB是等邊三角形；

(2)9：CE//DA,

：./BEC=/ADB=63

：.ZCEB=ZCBE=ZECB=60°,

是等邊三角形，

:,CE=BE=CB,

,:/BDC=3U°,NDCB=90°,

:.BC=LBD,

2

:.CE=LBD,

2

:.E是BD的中點(diǎn)，

：.AE是邊AD的中線，

是等邊三角形，

J.AELBD.

18.(2022秋?青秀區(qū)校級期末)已知：如圖，△48C、△(7￡)￡都是等邊三角形，AD.8E相交于點(diǎn)。，點(diǎn)

M、N分別是線段40、的中點(diǎn).

(1)求證：AD—BE-,

(2)求/。。￡的度數(shù)；

(3)求證：△MNC是等邊三角形.

A

【分析】(1)根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出/C=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,求出NZCD=N

BCE,證△/CD四△BCE?即可；

(2)根據(jù)全等求出N4DC=N2￡C,求出//OE+N2EO的值，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出即可；

(3)求出4W=3N,根據(jù)S4S證△/CMZABCN,推出G0=CN,求出NNCM=60°即可.

【解答】解：(1)；,AABC、△€?￡都是等邊三角形，

:.AC=BC,CD=CE,NACB=/DCE=60°,

ZACB+ZBCD=ZDCE+ZBCD,

：.ZACD=/BCE,

在△4CD和△BCE中

'AC=BC

?ZACD=ZBCE-

tCD=CE

AACD咨ABCE,

：.AD=BE.

(2)解：,:AACD/ABCE,

：.N4DC=/BEC,

丁等邊三角形DCE,

:.NCED=NCDE=60°,

：.AADE+Z.BED=ZADC+ZCDE+ABED,

=ZADC+60°+ZBED,

=ZCED+60°,

=60°+60°,

=120°,

.?./DO￡=180°-(NADE+NBED)=60°,

答：/DOE的度數(shù)是60°.

（3）證明：；△ACD/LBCE,

：.NCAD=NCBE,AD=BE,4C=BC

又：點(diǎn)A/、N分別是線段40、BE的中點(diǎn)，

：.AM=^AD,BN=LBE,

22

:.AM=BN,

在△/（：川和△5CN中

fAC=BC

?ZCAM=ZCBN-

AM=BN

:.AACMmABCN,

:.CM=CN,

ZACM=ZBCN,

又/ACB=6Q°,

ZACM+ZMCB=60°,

：.ZBCN+ZMCB=60°,

:./MCN=60°,

...△MNC是等邊三角形.

19.（2022秋?離石區(qū)期末）已知，在等邊三角形4BC中，點(diǎn)E在上，點(diǎn)。在C2的延長線上，且

EC.

（1）【特殊情況，探索結(jié)論】

如圖1,當(dāng)點(diǎn)E為48的中點(diǎn)時(shí)，確定線段/E與。3的大小關(guān)系，請你直接寫出結(jié)論：AE=DB（填

或“=

（2）【特例啟發(fā)，解答題目】

如圖2,當(dāng)點(diǎn)E為AB邊上任意一點(diǎn)時(shí)，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請你直接寫出結(jié)論,AE=DB

（填“>”、“<”或“="）；理由如下，過點(diǎn)E作跖〃8C,交NC于點(diǎn)尸.（請你完成以下解答過

程）.

（3）【拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題】

在等邊三角形/2C中，點(diǎn)E在直線48上，點(diǎn)。在線段C2的延長線上，且ED=EC,若△4BC的邊長

為1,AE=2,求CD的長（請你畫出相應(yīng)圖形，并直接寫出結(jié)果）.

A

A

圖1圖2

【分析】(1)由E為等邊三角形N2邊的中點(diǎn)，利用三線合一得到CE垂直于且CE為角平分線，

由￡0=EC,利用等邊對等角及等腰三角形的性質(zhì)得到一對角相等，利用等角對等邊即可得證；

⑵AE=DB,理由如下，過點(diǎn)E作小〃3C,交4C于點(diǎn)尸，由三角形48c為等邊三角形，得到三角

形/所為等邊三角形，進(jìn)而得到尸，BE=FC,再由磯>=EC,以及等式的性質(zhì)得到夾角相等,

利用&4S得到三角形8DE與三角形EFC全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到。8=￡/，等量代換即

可得證；

(3)點(diǎn)￡在N8延長線上時(shí)，如圖所示，同理可得△。8￡0^￡尸。由8C+D5求出CD的長即可.

【解答】解：(1)當(dāng)E為的中點(diǎn)時(shí)，AE=DB；

(2)AE=DB,理由如下，過點(diǎn)E作E尸〃BC,交4c于點(diǎn)尸，

證明：為等邊三角形，

；.A4EF為等邊三角形,

:.AE=EF,BE=CF,

,:ED=EC,

ZD=ZECD,

VZDEB=60°-ZD,NECF=6Q°-AECD,

NDEB=NECF,

在△OSE和中，

rDE=CE

<ZDEB=ZECF-

kBE=FC

:.ADBE咨AEFC(SAS),

:.DB=EF,

則

(3)點(diǎn)E在N2延長線上時(shí)，作EF〃4C,則△EF3為等邊三角形，

如圖所示，同理可得△ORE■絲△CFE,

A

AE=2,

:?BE=\,

?；DB=FC=FB+BC=2,

則CD=BC+DB=3.

故答案為：(1)=；(2)=

20.(2023春?畢節(jié)市期末)已知：如圖，點(diǎn)C為線段上一點(diǎn)，4ACM,ZkCBN都是等邊三角形，AN

交MC于點(diǎn)、E,BM交CN于點(diǎn)、F.

(1)求證：AN=BM；

(2)求證：ACEF為等邊三角形.

【分析】(1)由等邊三角形可得其對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等，進(jìn)而可由"S得到結(jié)

論得證；

(2)由(1)中的全等可得/CNN=NCM8,進(jìn)而得出/MCF=N/CE,由/S/得出△C/EgZkCW,

即CE=CF,又ECF=60°,所以尸為等邊三角形.

【解答】證明：(1)-：AACM,ZiCBN是等邊三角形，

：.AC=MC,BC=NC,NACM=NNCB=60°,

：.ZACM+ZMCN=ZNCB+ZMCN,即//CN=AMCB,

在△ZCN和△MCB中，

'AC=MC

ZACN=ZMCB>

,NC=BC

：.4ACNmAMCB(.SAS),

:.AN=BM.

（2）,:ACAN沿4CMB,

：.ZCAN=ZCMB,

又產(chǎn)=180°-/ACM-NNCB=180°-60°-60°=60°,

/MCF=ZACE,

在△（7/￡■和中，

，ZCAE=ZCMF

V<CA=CM，

LZACE=ZMCF

：./\CAE^/\CMF（ASA）,

：.CE=CF,

.?.△CE/為等腰三角形，

又；/ECF=60°,

...△C跖為等邊三角形.

21.（2022秋?南充期末）如圖，在等邊△NBC中，NC=12c〃z,點(diǎn)M以2CM/S的速度從點(diǎn)8出發(fā)向點(diǎn)/運(yùn)

動(dòng)（不與點(diǎn)/重合），點(diǎn)N以3c加/s的速度從點(diǎn)C出發(fā)向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)8重合），設(shè)點(diǎn)M,N同時(shí)運(yùn)

動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為fs.

（1）在點(diǎn)M,N運(yùn)動(dòng)過程中，經(jīng)過幾秒時(shí)為等邊三角形？

（2）在點(diǎn)M,N運(yùn)動(dòng)過程中，△8AW的形狀能否為直角三角形，若能，請計(jì)算運(yùn)動(dòng)時(shí)間/；若不能，請

說明理由.

（備用圖）

【分析】（1）由等邊三角形的判定，當(dāng)時(shí)，43九W是等邊三角形，由此即可解決問題;

（2）分兩種情況，由直角三角形的性質(zhì)即可求解.

【解答】解：（1）由題意得：BM=2t,BN=U-3t.

則當(dāng)8M=BN時(shí)，是等邊三角形.

：?2f=12-3t.

解得：片絲.

5

經(jīng)過絲S時(shí)為等邊三角形；

5

（2）分兩種情況:

①如圖1,當(dāng)/BMN=90°時(shí),

VZB=60°,

:./BNM=30°.

?*-BM=yBN-

2t-1（12-3t）-

（圖1）

.12

,?

②如圖2,當(dāng)/BNM=90°時(shí)，/BMN=30°.

12-3t=yX2t-

（圖2）

.\t=3.

在點(diǎn)Af,N運(yùn)動(dòng)過程中,當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t若或f=3s時(shí)，△的沖為直角三角形.

22.（2022秋?長清區(qū)期末）如圖，已知ZADB=nO°,Z5=40°,ZCAE=30°.

(1)求證：△/CD為等邊三角形;

(2)求/3/C的度數(shù).

【分析】(1)根據(jù)=/C=60°計(jì)算出NZDC=60°,然后求出NC=60°,利用等邊三角形的判定從而

得證;

(2)根據(jù)=NC=60°°,然后求解即可.

【解答】(1)證明：：N4)8=120°,

AZADB+ZADC^l80a,

；.N/DC=180°-N/D2=180°-120°=60°,

'JAELBC,,

ZAEC^90°

：.ZC+ZCAE=90°.

:/。￡=30°,

AZC=90°-NCAE=9Q°-30°=60°,

/.ZADC=ZC=60°,

J.AD^AC,

△/CD為等邊三角形；

（2）由（1）得：NC=60°,

,//\ABC中,

ZB+ZC+ZBAC=1SO°,Z5=40°,

AZ5^C=180°-ZB-ZC=180°-40°-60°=80°.

23.（2022春?林甸縣期末）如圖△48C為等邊三角形，直線a〃/8,。為直線8c上任一動(dòng)點(diǎn)，將一60°角的頂

點(diǎn)置于點(diǎn)。處，它的一邊始終經(jīng)過點(diǎn)力,另一邊與直線。交于點(diǎn)￡.

（1）若。恰好在3C的中點(diǎn)上（如圖1）求證：△/￡>￡是等邊三角形；

（2）若。為直線8c上任一點(diǎn)（如圖2）,其他條件不變，上述（1）的結(jié)論是否成立？若成立，請給予

證明；若不成立，請說明理由.

【分析】(1)根據(jù)題意得出EC=CD=D3,進(jìn)而可證得△NBOgZUCE,從而可判斷出結(jié)論.

(2)在/C上取點(diǎn)尸，使CF=CD,連接。凡從而證得尸之△EDC,進(jìn)而得出結(jié)論.

【解答】(1)證明：〃/3,且△/3C為等邊三角形，

；.N4CE=/BAC=NABD=60°,AB=AC,

,:BD=CD,

：.ADLBC

VZADE=60°,

；.NEDC=30°,

：.Z￡>OC=180°-NEDC-NACB=90°,

:.NDEC=NDOC-/ACE=30°,

：.ZEDC=/DEC,

：.EC=CD=DB,

LABD<AACE.

：.AD=AE,且N/DE=60°,

.?.△/DE是等邊三角形；

(2)在/C上取點(diǎn)R使CF=CD,連接。巴

VZACB^60°,

.?.△DC尸是等邊三角形，

ZADF+ZFDE=ZEDC+ZFDE^60°,

/.ZADF=ZEDC,

"：ZDAF+ZADE=ZDEC+ZACE,

：.ZDAF=ZDEC,

MADF咨AEDC(AAS),

：.AD=ED,

...△4DE是等邊三角形.

24.(2021秋?隨縣期末)在△48C中，AB=AC,ZBAC=120°,AD±BC,垂足為G,S.AD=AB.ZEDF

=60°,其兩邊分別交邊48,AC于點(diǎn)、E,F.

(1)求證：△N5D是等邊三角形；

(2)求證：BE=AF.

【分析】(1)由等腰三角形的性質(zhì)和已知條件得出/左1。=/。/。=工義120°=60°,再由

2

即可得出結(jié)論；

(2)由是等邊三角形，得出2。=/。，NABD=NADB=60",證出N2DE=N4D尸，由證

明△2DE絲△/￡＞尸，得出

【解答】(1)證明：，4B=4C,AD±BC,

：./BAD=ND4C=L/BAC,

2

VZBAC=nO°,

/.ZBAD=ZDAC=^X120°=60°，

2

\'AD=AB,

/\ABD是等邊三角形；

(2)證明：：△ABD是等邊三角形，

/.ZABD=ZADB=60°,BD=AD

?；NEDF=60°,

/.ZABD=ZEDF,

：.ZABD-NADE=NEDF-ZADE,

：.ZBDE=ZADF,

在ABDE與AADF中,

，ZDBE=ZDAF=60°

>BD=AD，

LZBDE=ZADF

MBDE咨AADF(ASA),

：.BE=AF.

25.(2021秋?白水縣期末)如圖，在四邊形/BCD中，AB=AD,CB=CD,ZA=60°,點(diǎn)、E為AD上一

點(diǎn)，連接8。，CE交于點(diǎn)尸，CE//AB.

(1)判斷△￡)￡尸的形狀，并說明理由；

(2)若40=12,CE=8,求CF的長.

【分析】（1）先證明是等邊三角形，可得/4BD=N4DB=60：由平行線的性質(zhì)可得NCED=/

ADB=ZDFE^60°,可得結(jié)論；

（2）由等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可求ZE=CE=8,即可求解.

【解答】解：（1）△OEF是等邊三角形，

理由如下：'."AB—AD,ZA—600,

￡\ABD是等邊三角形，

AZABD=ZADB=60a,

"JCE//AB,

：.ZCED=ZA=60°,ZDFE=ZABD=60°,

二ZCED=NADB=ZDFE,

.?.△DEF是等邊三角形；

(2)連接/C交2