2024年高考數(shù)學(xué)新結(jié)構(gòu)模擬適應(yīng)性特訓(xùn)卷（四）（解析版）

2024年新結(jié)構(gòu)模擬適應(yīng)性特訓(xùn)卷（四）

高三數(shù)學(xué)

（考試時間：150分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。

如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。

寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（2024上?湖北?高一校聯(lián)考期末）若a是第四象限角，則點(diǎn)尸■吊0,?^0）在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【分析】根據(jù)sina,cosa的符號確定正確答案.

【詳解】由于。是第四象限角，所以sinc<0,cosa>0,

所以尸（sina,cosa）在第二象限.

故選：B

2.（2024?江蘇南京?金陵中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖1,兒童玩具紙風(fēng)車的做法體現(xiàn)了數(shù)

學(xué)的對稱美，取一張正方形紙折出“十”字折痕，然后把四個角向中心點(diǎn)翻折，再展開，把正

方形紙兩條對邊分別向中線對折，把長方形短的一邊沿折痕向外側(cè)翻折，然后把立起來的部

分向下翻折壓平，另一端折法相同，把右上角的角向上翻折，左下角的角向下翻折，這樣,

紙風(fēng)車的主體部分就完成了，如圖2,是一個紙風(fēng)車示意圖，則（）

C.OA+OD=2OED.OA+OC+OD=D

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，易于判斷A,B兩項(xiàng)；對于C項(xiàng)，理解折紙過程知點(diǎn)E是

線段AD的中點(diǎn)，易得結(jié)論；對于D項(xiàng)，合并其中兩個向量后，只需判斷余下的兩向量能否

共線即可.

【詳解】不妨設(shè)|OB|=|OC|=|OE|=1,則|OA|=|OD|=JI,

對于A項(xiàng)，顯然0C與。戶方向不一致，所以O(shè)CwOE，故A項(xiàng)錯誤；

對于B項(xiàng)，由圖知/A03是鈍角，則O4OB=|OW|-|OB|cosNAOB＜。，故B項(xiàng)錯誤；

對于C項(xiàng)，由題意知點(diǎn)E是線段AD的中點(diǎn)，則易得：OE=；(OA+OD),即得：

OA+OD=2OE＞故C項(xiàng)正確；

對于D項(xiàng)，由。4+OC+OD=(OA+OO)+OC=2OE+OC,而0E與OC顯然不共線,

故。4+OC+OOrO.即D項(xiàng)錯誤.

故選：C.

3.(2024?陜西?校聯(lián)考一模)我校高三年級為了學(xué)生某項(xiàng)身體指標(biāo)，利用隨機(jī)數(shù)表對

650名學(xué)生進(jìn)行抽樣，先將650進(jìn)行編號，001,002,L,649,650.從中抽取50個樣本，

下圖提供隨機(jī)數(shù)表的第4行到第6行，若從表中第5行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，則得到的

第7個樣本編號是（）

32211834297864540732524206443812234356773578905642

84421253313457860736253007328623457889072368960804

32567808436789535577348994837522535578324577892345

A.623B.328C.072D.457

【答案】C

【分析】依據(jù)隨機(jī)數(shù)表的讀取規(guī)則求解即可.

【詳解】從表中第5行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，

前7個數(shù)據(jù)分別是253,313,457,007,328,623,072.

故選：C

4.(2024?陜西咸陽?統(tǒng)考模擬預(yù)測)直線無+＞+匕=。與圓C:(x+iy+(y—l)2=5有公

共點(diǎn)的一個充分不必要條件是()

A.]B,回一廂，婀

C.Z?G[-4,4]D.Z?e(-4,4)

【答案】B

【分析】求出當(dāng)直線與圓C有公共點(diǎn)時方的取值范圍，利用集合的包含關(guān)系判斷可得出

結(jié)論.

【詳解】圓C的圓心為c（-u）,半徑為r=百,

則|-1+七1+同二陽￡

若直線x+>+6=0與圓C有公共點(diǎn),<75,解得一WwbwW，

因?yàn)椴焚|(zhì),加）u[-歷,如],（T,4）n[一而,9],[T,4]n[-M,加],

所以，直線x+y+人。與圓C:（x+iy+（y-l）2=5有公共點(diǎn)的一個充分不必要條件是

為時-而啊.

故選：B.

5.（2024下?重慶?高三重慶南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知三棱錐。-ABC的體積是

】區(qū),A,B,C是球。的球面上的三個點(diǎn)，且/ACB=120,AB=VLAC+BC=2,則球。的

表面積為（）

A.36兀B.24兀C.12TID.8兀

【答案】A

【分析】根據(jù)正弦定理得到外接圓半徑，由余弦定理得到AC3C=1,由三角形面積公

式得到§|皿=手，結(jié)合三棱錐體積得到球心到底面ABC的距離，得到球的半徑，得到表面

積.

【詳解】因?yàn)锳2=6,/ACB=12O,所以二ASC的外接圓半徑為r=1,

2sinl20

在，ABC中，由余弦定理可得

3=AB2=AC2+BC2-2AC-BCcosl20°=(AC+BC)2-ACBC,

所以AC-3C=(AC+BC)2-3=1,所以SA0c=』AC-BCsinl2O=@,

ABC24

設(shè)球心0到平面ABC的距離為h,

U

^O-ABC=[SABC-h=-^--h=^-,

j340

:?h=2叵,

球半徑尺="彳=3,所以球面積S=4T比2=36兀.

故選：A

6.（2024下?重慶?高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）定義：滿足—=為

a

4+1n

常數(shù)，〃￡N*）的數(shù)列｛風(fēng)｝稱為二階等比數(shù)列，0為二階公比.已知二階等比數(shù)列I4｝的二

階公比為后嗎=1,4=后，則使得%>2024成立的最小正整數(shù)〃為（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】B

【分析】根據(jù)數(shù)列新定義可得&=(血廣，利用累乘法求得?！钡谋磉_(dá)式，解數(shù)列不

%

等式，即可求得答案.

【詳解】由題意知二階等比數(shù)歹力“的二階公比為夜9=1,2=忘，貝4皆=應(yīng),

(后廠，，反

an-2

1C(〃-1)〃(n-l)n

將以上各式累乘得：/網(wǎng)」?網(wǎng)」.?友=(碼〒=2丁

故氏二？七12,令2與12>2024，由于2Kl=1024,2"=2048,

^^>10,即（“一1）”>40,

故

又(〃-1)〃的值隨力的增大而增大，且(7-l)x7=42,(8-l)x8=56,

、匕々H(T“0L

1010;

口〃=7日寸，24=22=2xV2<2x2=2024

14

當(dāng)〃=8時，2^4^=2>2024,

故n的最小值為8,

故選：B

7.(2022上?河南?高三專題練習(xí))若函數(shù)y=/(x-2)為偶函數(shù)，且當(dāng)轉(zhuǎn)-2時，

/(x)=(x+l)e\則不等式f(x)N"4)的解集為()

A.[4,+co)B.[—8,4]C.(—8,-8]D.(-w,—8]u[4,+oo)

【答案】D

【分析】由“％-2)為偶函數(shù)可得/(6圖象關(guān)于直線x=-2對稱,再利用導(dǎo)數(shù)求出“X)

在[-2,+8)上單調(diào)遞增，可得/(%)在區(qū)間(-8,-2)單調(diào)遞減，再由偶函數(shù)的性質(zhì)可得

/(4)=/(-8),從而可求解.

【詳解】當(dāng)行-2時，/(x)=(x+l)e\f,(x)=(^+2)e'>0,

/(x)在12,+⑹上單調(diào)遞增，此時由〃力2〃4),得一4；

又因?yàn)閥=/(x-2)是偶函數(shù)，所以〃x)的圖象關(guān)于直線％=-2對稱，

所以“X)在區(qū)間(-雙―2)單調(diào)遞減，此時由/(x)N/⑷=/(一8),得尤W-8,

綜上所述，不等式了(力2/(4)的解集為(-力,-8]。[4,+力)，故D正確.

故選：D.

8.（2021上?廣東肇慶?高二廣東肇慶中學(xué)?？茧A段練習(xí)）己知橢圓

22

￡：二+2=1（。>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為％外,離心率為6,橢圓G的上頂點(diǎn)為跖

ab

且叫-班二。.雙曲線CZ和橢圓G有相同焦點(diǎn)，且雙曲線C2的離心率為e2,尸為曲線G與

JT

G的一個公共點(diǎn)，若NF\PF[=q,則e?的值為（）

A.2B.3C.@D.如

22

【答案】D

【分析】由町可求得6=c,a=任，假設(shè)點(diǎn)尸在第一象限，則根據(jù)雙曲線

和橢圓的定義列方程組可表示出|「耳|,|空|，然后在△刊笆中利用余弦定理列方程化簡可求

出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)闄E圓G的上頂點(diǎn)為且西.9=。，

所以/軍明=90。，

所以6=c,所以。=揚(yáng)+°2=而，

22

設(shè)雙曲線C2的方程為=-*=i（q>0,4>0）,

“優(yōu)

假設(shè)點(diǎn)P在第一象限，則

I:";;1;;,得附4+如出”4

在△尸片耳中，由余弦定理得

*繇冷即修飛肅產(chǎn)

整理得/+3。；=4/,

所以1+學(xué)=4,則與+邛=4,

CCCC

3a；=2c2,所以6c,

c一退一屈

所以02=

qa2

故選：D

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查橢圓和雙曲線定義的應(yīng)用，考查余弦定理的應(yīng)用，解題

的關(guān)鍵是根據(jù)橢圓和雙曲線的定義列方程組表示出I尸耳|,|/岑|,考查計(jì)算能力，屬于較難題.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.（2024上?河北唐山?高一統(tǒng)考期末）非空集合N,尸均為R的真子集，且M

NP,貝!!（）

A.MP=PB.N（PM）C.除P腹ND.N4M=0

【答案】AC

【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)真子集和并集概念得到A正確；B選項(xiàng)，求出產(chǎn)M=M,故B

錯誤；C選項(xiàng)，由補(bǔ)集和真子集的概念得到C正確；D選項(xiàng)，利用韋恩圖得到D錯誤.

【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)镸P,所以“P=P,A正確；

B選項(xiàng)，因?yàn)镸P,所以PM=M,

而"N,故B錯誤；

C選項(xiàng)，因?yàn)镹P,所以"尸鼠N,C正確；

D選項(xiàng)，MN,如圖所示，

所以N4知表示的集合為U,不是空集，D錯誤.

故選：AC

10.（2024?全國?模擬預(yù)測）在新農(nóng)村建設(shè)中，某村準(zhǔn)備將如圖所示的/BAC內(nèi)區(qū)域規(guī)

劃為村民休閑中心，其中⑦區(qū)域設(shè)計(jì)為人工湖（點(diǎn)。在/B4C的內(nèi)部）,區(qū)域

則設(shè)計(jì)為公園，種植各類花草.現(xiàn)打算在AC,A3上分別選一處瓦F,修建一條貫穿兩區(qū)

域的直路E尸，供汽車通過，設(shè)AD與直路E尸的交點(diǎn)為P,現(xiàn)已知AB=AC=400米，

/JJ,-

ZBAC=—，ZCAD=y,AP=200米，PE,尸尸段的修路成本分別為100萬元/百米，50

36

萬元/百米，設(shè)NAFP=a,修路總費(fèi)用為關(guān)于。的函數(shù)S（a）,（單位萬元），則下列說法

正確的是（）

100100

S(a)=+0＜。＜三

B.sinq+asina

16

C.修路總費(fèi)用最少要400萬元D.當(dāng)修路總費(fèi)用最少時，P尸長為400米

【答案】ACD

JT

【分析】對A,在△AEP中，由正弦定理判斷即可；對B,由題意=再分別

2

100100

s（a]-,

分析PE,尸歹段的修路成本相加即可；對CD,由B可得'7"/兀工“）sina,再根

（6）

據(jù)三角恒等變換，換元結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.

200x-

A尸PE，故吟心100

對A,在中，由正弦定理2

sinfj-cr(71)

sinZAEPsinNEAPcos—+a

16)

故A正確;

對B,在ARF中，因?yàn)?BAC=—,ACAD=—,故/PAF=—.

362

200

故sina=空，故=*=S(a)=lx+0.5x

sina

cos—+a

PFsinasina(6

100100

ccS+aJina,。<&<?，故B錯誤;

UJ'J

lOOsintz+100cos—+a

100sina+50A/3COSa-50sina

對CD,S(a)=-----------------廉——

V31.

sin6Zcos—+asina——cosa——sma

16122

loosing+yjlOOsinf6r+^-j400sinfor+j

sin26z--sin2crsin2a+—cos2a--2sin[2a+']-l

42444I6j

因?yàn)椤?lt;a<5,故g<a+=<~^，設(shè)8=a+1,則^^<sin6Vl,

333332

_/x400sin400sin400sin8400

3(。)=-------------------------------=----------------------

22

2sin(20」]-1-2(l-2sin6?)-l4sin6>-34sin6)_3，

I2Jsin6

r-3二400

y

設(shè)％=sin。，--,則y=4/--為增函數(shù)，~A.3為減函數(shù).

2t書——

故當(dāng)Z=sin9=l,即a+g=g時，a=￡時，S(a)取最小值400萬元，故C正確；

對D,S(a)取最小值時a+U，故/4尸尸=生，止匕時尸產(chǎn)=*=400米，故D正確.

326sma

故選：ACD

xlnx,x>0

11.(2024上?湖南婁底?高三統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(%)=<0,尤=0,下列結(jié)論正

xln(-x),x<0

確的是()

A.函數(shù)/(X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,。)中心對稱

B.函數(shù)/(x)存在極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)

C.若函數(shù)g(x)=〃x)-加有三個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是(-1,1)

D.對任意為/e(-1,1),不等式J/?)_/(%)歸:恒成立

【答案】ABD

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義可判斷選項(xiàng)A；先利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)/(力在(0,+8)上的單

調(diào)性，求出最值，再結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)作出了(%)的大致圖象可判斷選項(xiàng)B；先將函數(shù)

g(x)=/(x)-根有三個不同的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=/(x)與>=根的圖象有三個不同的交點(diǎn)，

再利用函數(shù)“X)的大致圖象可判斷選項(xiàng)C；結(jié)合函數(shù)“X)的大致圖象求出/(“皿,〃耳血，

再根據(jù)|/&)-)|<〃x)11Mx-即可判斷選項(xiàng)D.

【詳解】因?yàn)?0)=0；當(dāng)"0時，/(x)+/(-x)=xln|x|-xln|x|=0.

所以/⑺為奇函數(shù)，

則/(%)關(guān)于點(diǎn)(0,0)對稱，故選項(xiàng)A正確；

當(dāng)x>0時，/r(x)=lnx+l.

令r（H＞o,解得x＞J令ra）＜o(jì),解得。＜》＜J

.-./（%）在g,+=）上單調(diào)遞增,在（0,：）上單調(diào)遞減.

又由〃x）為奇函數(shù)，/1]=-：，1則a）=°,我”⑴…，可得/（尤）的大致圖象

如下所示，

因?yàn)楹瘮?shù)g（x）=/（x）-用有三個不同的零點(diǎn),

所以函數(shù)y=/（x）與y=M的圖象有三個不同的交點(diǎn).

由圖象可得：實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是[-；,；），故選項(xiàng)c錯誤;

因?yàn)?（1）=。，/（-1）=0

所以結(jié)合函數(shù)y=/（x）的圖象可得：當(dāng)時，"Hmax=/[[=；，

所以對任意石,馬?-1,1）,|“不）一"QVYGLTGLT，故選項(xiàng)D正確.

故選ABD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.（2024下?黑龍江?高三大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）復(fù)數(shù)（1+2"的實(shí)部與虛部

的和為?

【答案】-13

【分析】求出復(fù)數(shù)（1+2?代數(shù)形式即可.

【詳解】（l+2i）3=l+6i+3x（2i）2+（2i）3=-ll-2i,

所以其實(shí)部為-11,虛部為-2,

實(shí)部與虛部的和為-11-2=-13.

故答案為：-13.

13.(2022上?全國?高一校聯(lián)考期中)若關(guān)于x的不等式/+(3-相口-3〃正0的解集中

恰有3個整數(shù)，則實(shí)數(shù)，"的取值范圍為.

【答案】(-6,-5］口［-1,0)

【分析】由不等式分解因式，再對參數(shù)加進(jìn)行分類討論，分別依題求出參數(shù)范圍，最

后綜合考慮即得.

【詳解】不等式X2+(3-?i)x—3"?VO,BP(x+3)(%-m)<0.

口當(dāng)機(jī)>-3時，不等式解集為［-3,加］,此時要使解集中恰有3個整數(shù)，

這3個整數(shù)只能是-3,-2,-L；.-LVm<0,故得："好［-1,0)；

口當(dāng)加=-3時，不等式解集為{-3},此時不符合題意；

□當(dāng)機(jī)<-3時，不等式解集為［%,-可，此時要使解集中恰有3個整數(shù)，

這3個整數(shù)只能是-3,-4,-5,;.-6<mW-5,故得:me(—6,—5］.

綜上，實(shí)數(shù)加的取值范圍為(-

故答案為：(-6,-5卜［-1,0).

14.(2023下?陜西咸陽?高二咸陽市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí))骰子通常作為桌上游戲的

小道具，最常見的骰子是一個質(zhì)地均勻的正方體，六個面上分別寫有數(shù)字1,2,3,4,5,

6.現(xiàn)有一款闖關(guān)游戲，共有4關(guān)，規(guī)則如下：在第〃5=1,2,3,4)關(guān)要拋擲骰子〃次，每次

觀察向上面的點(diǎn)數(shù)并做記錄，如果這〃次拋擲所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于2"+〃，則算闖過第〃

關(guān).假定每次闖關(guān)互不影響.甲連續(xù)挑戰(zhàn)前兩關(guān)并過關(guān)的概率為；若甲直接挑戰(zhàn)第3

關(guān)時，記事件A="三次點(diǎn)數(shù)之和等于15”，3=“至少出現(xiàn)一次5點(diǎn)”，則網(wǎng)同力=.

77

【答案】一一/0.7

2410

【分析】利用獨(dú)立事件乘法公式結(jié)合條件概率公式求解即可.

【詳解】闖第1關(guān)時，2〃+〃=21+1=3,且基本事件為6,故概率為53=71，

62

闖第2關(guān)時，r+H=22+2=6,且基本事件為62=36,故通過概率為

1+2+3+4+5+6_7

36F，

因每次闖關(guān)互不影響，則兩個事件相互獨(dú)立，故由獨(dú)立事件乘法公式得概率為

717

——X—二——；

12224

而拋3次的基本事件為63=216,事件包含456,465,645,654,546,564,555,共7個基

7

本事件，故w

而滿足A的有456,663,636,366,465,645,654,546,564,555,共10個基本事件，故

/,、P(AB)7

由條件概率公式得P(B|A)=號的2=而.

77

故答案為：五；W

四、解答題：本題共5小題，其中第15題13分，第16,17題15分，第18,19題17分，

共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(滿分13分)(2024上?河北石家莊?高二河北新樂市第一中學(xué)校聯(lián)考期末)已知,

四棱錐尸-ABCD,底面A8CD是正方形，M為棱尸。的中點(diǎn)，平面叢8,平面

ABCD,PArAB,PA=AB=l.

⑴求證：PA_L平面ABCD;

(2)求平面ACM與平面R4B夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵乎.

【分析】(1)由面面垂直得到線面垂直；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，得到平面的法向量，從而求出面面角的余弦值.

【詳解】(1)□平面八:，平面ABCD,平面PABc平面=平面

PAB,PALAB,

.?.如，平面ABCD.

(2)由題意和(1)知，兩兩垂直，以/為原點(diǎn)，所在直線分別

為x,乃z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則尸(0,0,1),4(0,0,0),3(1,0,0),0(0,1,0),C(1,1,0).

所以MAC=(1,1,0),AM=

易知平面BIB的一個法向量為AD=(0,1,0).

設(shè)平面ACAI的法向量為〃=(x,y,z),

n-AC=(x,y,z)「l,1,0)=%+y=0

則11

nAM=(x,y,zj虧一y+—z=

22

令y=—l,得x=l,z=l,貝！J"=(1,一1,1).

設(shè)平面ACM與平面的夾角為夕,

則上回」

cosei_V3

則3展鵬一—―

Vi+i+i-3'

所以平面ACM與平面RLB的夾角的余弦值為

3

16.(滿分15分)(2023上?江蘇?高二專題練習(xí))已知函數(shù)〃%)=加+6111%在x=l處

有極值

⑴求。、6的值；

(2)求出〃x)的單調(diào)區(qū)間，并求極值.

【答案】(l)a=g，b=-l

(2)答案見解析

【分析】(1)由題意可得出I，2,即可解得實(shí)數(shù)4、6的值;

r(1)=0

(2)利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可求得函數(shù)/(x)的增區(qū)間和減區(qū)間，由此可得出函

數(shù)/(元)的極值.

【詳解】(1)解：^f(x)^ax2+blnx,該函數(shù)的定義域?yàn)?0,+。)，/'(x)=2依+：,

則I，2，解得2,此時，〃x)=；x2-lnx,

f'(l)=2a+b=03=一12

經(jīng)檢驗(yàn)，。=；，匕=-1合乎題意.

因止匕，a=—,b=-l.

2

(2)解：因?yàn)?(%)=:/—皿%,該函數(shù)的定義域?yàn)?0,+”),尸(同=%—』=士

2xx

令/'(x)=0,可得x=l,列表如下：

X((W1(1,T

(\

f

0+

極

f(增

小值

所以，函數(shù)“X)的遞減區(qū)間為(0,1),遞增區(qū)間為(1,+8),

函數(shù)“X)的極小值為/(l)=1-im=1,無極大值.

17.(滿分15分)(2024?全國?一模)正態(tài)分布與指數(shù)分布均是用于描述連續(xù)型隨機(jī)變

量的概率分布.對于一個給定的連續(xù)型隨機(jī)變量X,定義其累積分布函數(shù)為

尸(x)=P(XWX).已知某系統(tǒng)由一個電源和并聯(lián)的A,B,C三個元件組成，在電源電壓正

常的情況下，至少一個元件正常工作才可保證系統(tǒng)正常運(yùn)行，電源及各元件之間工作相互獨(dú)

立.

(1)已知電源電壓X(單位：V)服從正態(tài)分布N(40,4),且X的累積分布函數(shù)為尸(x),

求尸(44)-尸(38)；

(2)在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，指數(shù)分布常用于描述事件發(fā)生的時間間隔或等待時間.已知隨機(jī)變

量T(單位：天)表示某高穩(wěn)定性元件的使用壽命，且服從指數(shù)分布，其累積分布函數(shù)為

0,f<0

G?)=<].

'71——,

i41t>0

(匚)設(shè)4>。2>0,證明：P(T>tl\T>t2)=P(T>tl-t2).

(口)若第”天元件A發(fā)生故障，求第W+1天系統(tǒng)正常運(yùn)行的概率.

附:若隨機(jī)變量y服從正態(tài)分布N(〃,/),則尸(Iy-〃i<b)=0.6827，尸(Iy-〃i<2b)=0.9545,

P(|y-//|<30-)=0.9973.

【答案】⑴0.8186

7

(2)(□)證明見解析；(口)

【分析】(1)根據(jù)正態(tài)分布的對稱性即可結(jié)合FQ)=P(XWx)的定義求解,

(2)(口)根據(jù)條件概率的計(jì)算公式集合尸(x)=P(XWx)的定義以及G(。的定義域即可

求解，(口)根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式求解即可.

【詳解】(1)由題設(shè)得尸(38<X<42)=0.6827,P(36<X<44)=0.9545,

所以尸(44)-歹(38)=尸(XW44)-尸(XW38)=P(40WXW44)+尸(38WXW40)

=1x(0,6827+0.9545)=0.8186

(2)(□)由題設(shè)得：

p八t|八，『P[(T>GC(T>/_P(T>G_1-尸(7斗)1-G&)

P(.r>t2)P(r>t1)i-p(r<r2)i-G(r2)

1

44_4f2f

1

半

p(r>f,-f2)=i-p(r<r1-f2)=i-G-r)=4'E,

^^P(.T>tl\T>t2)=P(.T>tl-t2).

(□)由(口)得尸(T>n+1[T>")=P(T>1)=1—尸(TW1)=1-G⑴=1,

4

所以第"+1天元件B,C正常工作的概率均為

4

為使第〃+1天系統(tǒng)仍正常工作，元件B,C必須至少有一個正常工作，

因此所求概率為

416

22

18.(滿分17分)(2024?新疆烏魯木齊?統(tǒng)考一模)已知橢圓C:j+2=l(Q〉A(chǔ)>0)的

ab

離心率為手，點(diǎn)尸(0,2)在橢圓C上，過點(diǎn)尸的兩條直線上4,PB分別與橢圓C交于另一點(diǎn)

A,B,且直線,PB,AB的斜率滿足左9+%PB=4七B(七W。).

(1)求橢圓C的方程；

(2)證明直線過定點(diǎn)；

(3)橢圓C的焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,求凸四邊形耳4居B面積的取值范圍.

YV2

【答案】⑴土+工=1

124

(2)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)條件列出方程組，解出即可;

(2)設(shè)直線卻^5^=^+m(加工2),聯(lián)立直線和橢圓方程，消元后，利用

kPA+kPB=^kAB(kAB0)-建立方程，解出后驗(yàn)證即可;

(3)設(shè)直線幾一=依-1，聯(lián)立直線和橢圓方程，消元后，利用韋達(dá)定理得到條件,

利用品和8=：怩可由進(jìn)行計(jì)算，換元法求值域即可.

%=2

【詳解】(1)由題設(shè)得->解得。2=12,

a3

a2=b2+c2

22

所以C的方程為上+匕=1；

124

（2）由題意可設(shè)：?=履+〃7（〃2H2）,設(shè)A&,yJ,3（%,%）,

y=kx+m

由y2,整理得（1+3左2）f+6加猶+3帆2_]2=O,

1124

A=36Hmi-4（l+3F）（3m2-12）=12（12^-m2+4）>0.

3m2-12—6mk

由韋達(dá)定理得王尤2=------,+Xj=T

1+3左2-1+3公

y―2%一2

由原A+L>B=4您B得=一+二一=4k7,

kx,+m-2kx+m-2,

即—1------+--0------=4Ak,

整理得2相人(加一2)=2(4—m2

因?yàn)樽骔O,Wm2—m—2=0,角翠得機(jī)=2或根=一1,

%=2時，直線AB過定點(diǎn)尸(0,2),不合題意，舍去;

加=一1時，滿足△=36(4左之+1)>0,

所以直線A3過定點(diǎn)(0,-1).

(3))由(2)得直線如：，=履-1，所以尤=J(y+D,

K

卜W1/+1八）

由<

-—1

1124

+3卜+■y+*—12=0,A=

整理得+4>0,

由題急得56和8=3耳閭|弘=20回=12近音----，

2——+3

V

111

=

因?yàn)閊AF2夫叵，所以42〉w，所以。<<8,

令」=M+4,止(2,2百)，

所以與和B=12插門=12后]，在,§(2,2g)上單調(diào)遞減,

I--

19.(滿分17分)(2023?上海松江?統(tǒng)考一模)己知定義在R上的函數(shù)/(x)=/+"(e

是自然對數(shù)的底數(shù))滿足〃x)=/'(x),且=刪除無窮數(shù)列"1)、“2)、"3)、

L、/(〃)、L中的第3項(xiàng)、第6項(xiàng)、L、第3”項(xiàng)、L、(neN,n>l),余下的項(xiàng)按原來順

序組成一個新數(shù)列｛??｝,記數(shù)列匕｝前〃項(xiàng)和為1.

⑴求函數(shù)的解析式；

(2)已知數(shù)列匕｝的通項(xiàng)公式是/“=/(g(”))，weN,n>l,求函數(shù)g⑺的解析式；

(3)設(shè)集合X是實(shí)數(shù)集R的非空子集，如果正實(shí)數(shù)”滿足：對任意公、xfX,都有

\\-x^<a,設(shè)稱。為集合X的一個“閾度”；記集合

H=\ww=-.."neN,n>l,試問集合H存在“閾度”嗎？若存在，求出集

,3n1+3(1)

fT4

\7,

合a“閾度”的取值范圍；若不存在，請說明理由；

【答案】(1)“尤)=/+]

⑵g(〃)告