2023年新人教版初中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)重難點(diǎn)歸納

分章節(jié)知識點(diǎn)歸納

七年級上冊

第一章有理數(shù)

1正數(shù)和負(fù)數(shù)

2有理數(shù)

3有理數(shù)的加減法

4有理數(shù)的乘除法

5有理數(shù)的乘方

詳細(xì)內(nèi)容

1.有理數(shù)：

(1)凡能寫成9(p,q為整數(shù)且pwO)形式的數(shù)，都是有理數(shù).正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱整數(shù)；正分

P

數(shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱分?jǐn)?shù)；整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù).注意：0即不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)；-a不一定是

負(fù)數(shù)，+a也不一定是正數(shù)；兀不是有理數(shù);

「正整數(shù)'正整數(shù)

正有理數(shù)＜

正分?jǐn)?shù)整數(shù)＜零

⑵有理數(shù)的分類：①有理數(shù)零②有理數(shù)?負(fù)整數(shù)

1負(fù)整數(shù)'正分?jǐn)?shù)

負(fù)有理數(shù)＜分?jǐn)?shù)＜

〔負(fù)分?jǐn)?shù)〔負(fù)分?jǐn)?shù)

2.數(shù)軸：數(shù)軸是規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長度的一條直線.

3.相反數(shù)：

(1)只有符號不一樣的兩個數(shù)，我們說其中一種是另一種的相反數(shù)；0的相反數(shù)還是0;

(2)相反數(shù)的和為0oa+b=Ooa、b互為相反數(shù).

4.絕對值：

⑴正數(shù)的絕對值是其自身，0的絕對值是0,負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；注意：絕對值的意

義是數(shù)軸上表達(dá)某數(shù)時點(diǎn)離開原點(diǎn)的距離；

3>oX

a7I

oo或

(2)絕對值可表達(dá)為：忖卜＜--a(：＜0)；絕對值的問題常常分類討論;

(aOa

-a(a<

5.有理數(shù)比大小：(1)正數(shù)的絕對值越大，這個數(shù)越大；(2)正數(shù)永遠(yuǎn)比。大，負(fù)數(shù)永遠(yuǎn)比

0?。?3)正數(shù)不小于一切負(fù)數(shù)；(4)兩個負(fù)數(shù)比大小，絕對值大的反而??；(5)數(shù)軸上

的兩個數(shù)，右邊時數(shù)總比左邊的數(shù)大；(6)大數(shù)-小數(shù)＞0,小數(shù)-大數(shù)＜0.

6.互為倒數(shù)：乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)；注意：0沒有倒數(shù)；若aWO,那么。的倒數(shù)是4；

a

若ab=loa、b互為倒數(shù)；若ab=-loa、b互為負(fù)倒數(shù).

7.有理數(shù)加法法則：

(1)同號兩數(shù)相加，取相似的符號，并把絕對值相加；

(2)異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；

(3)一種數(shù)與0相加，仍得這個數(shù).

8.有理數(shù)加法的運(yùn)算律:

(1)加法時互換律：a+b=b+a；(2)加法的結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c).

9.有理數(shù)減法法則：減去一種數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)；即a-b=a+(-b).

10有理數(shù)乘法法則：

(1)兩數(shù)相乘，同號為正，異號為負(fù)，并把絕對值相乘；

(2)任何數(shù)同零相乘都得零；

(3)幾種數(shù)相乘，有一種因式為零，積為零；各個因式都不為零，積的符號由負(fù)因式的個數(shù)

決定.

11有理數(shù)乘法的運(yùn)算律：

(1)乘法的I互換律：ab=ba；(2)乘法的I結(jié)合律：(ab)c=a(be)；

(3)乘法的I分派律：a(b+c)=ab+ac.

12.有理數(shù)除法法則：除以一種數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)；注意：零不能做除數(shù)，

即色無意義.

0

13.有理數(shù)乘方的法則：

(1)正數(shù)的任何次暴都是正數(shù)；

(2)負(fù)數(shù)的奇次幕是負(fù)數(shù)；負(fù)數(shù)的偶次幕是正數(shù)；注意：當(dāng)n為正奇數(shù)時：(旬三用11或(a-b)L-

(b-a)n,當(dāng)n為正偶數(shù)時：(-a)n=an或(a-b)n=(b-a)n.

14.乘方的定義：

(1)求相似因式積的運(yùn)算，叫做乘方；

(2)乘方中，相似的因式叫做底數(shù)，相似因式的個數(shù)叫做指數(shù)，乘方的成果叫做幕；

15.科學(xué)記數(shù)法：把一種不小于10的數(shù)記成aXl()n的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的

數(shù)，這種記數(shù)法叫科學(xué)記數(shù)法.

16.近似數(shù)的精確位：一種近似數(shù)，四舍五入到那一位，就說這個近似數(shù)的精確到那一位.

17.有效數(shù)字：從左邊第一種不為零的數(shù)字起，到精確的位數(shù)止，所有數(shù)字，都叫這個近似數(shù)

的有效數(shù)字.

18.混合運(yùn)算法則：先乘方，后乘除，最終加減.

第二章整式附加減

1整式

2整式的I加減

詳細(xì)內(nèi)容

1.單項式：在代數(shù)式中，若只具有乘法（包括乘方）運(yùn)算?；螂m具有除法運(yùn)算，但除式中不

含字母的一類代數(shù)式叫單項式.

2.單項式的系數(shù)與次數(shù)：單項式中不為零的數(shù)字因數(shù)，叫單項式的數(shù)字系數(shù)，簡稱單項式的

系數(shù)；系數(shù)不為零時，單項式中所有字母指數(shù)的和，叫單項式的次數(shù).

3.多項式：幾種單項式附和叫多項式.

4.多項式的項數(shù)與次數(shù)：多項式中所含單項式的個數(shù)就是多項式的項數(shù)，每個單項式叫多項

式的項；多項式里，次數(shù)最高項的次數(shù)叫多項式的次數(shù)。

5整式附加減

1、整式加減的理論根據(jù)是：去括號法則，合并同類項法則，以及乘法分派率。

去括號法則：假如括號前是“十”號，把括號和它前面的“+”號去掉，括號里各項都

不變符號；假如括號前是“一”號，把括號和它前面的“一”號去掉，括號里各項都變化符

號。

2、同類項：所含字母相似，并且相似字母的指數(shù)也相似的項叫做同類項。

合并同類項：

1）.合并同類項的概念：

把多項式中的同類項合并成一項叫做合并同類項。

2），合并同類項的法則:

同類項的系數(shù)相加，所得成果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變。

3）.合并同類項環(huán)節(jié)：

a.精確時找出同類項。

b.逆用分派律，把同類項的系數(shù)加在一起（用小括號），字母和字母的指數(shù)不變。

c.寫出合并后的成果。

4）.在掌握合并同類項時注意：

a.假如兩個同類項的系數(shù)互為相反數(shù)，合并同類項后，成果為0.

b.不要遺漏不能合并的項。

c.只要不再有同類項，就是成果（也許是單項式，也也許是多項式）。

闡明：合并同類項的關(guān)鍵是對的判斷同類項。

3、幾種整式相加減的一般環(huán)節(jié)：

1）列出代數(shù)式：用括號把每個整式括起來，再用加減號連接。

2）按去括號法則去括號。

3）合并同類項。

4、代數(shù)式求值的一般環(huán)節(jié)：

（1）代數(shù)式化簡

（2）代入計算

（3）對于某些特殊時代數(shù)式，可采用“整體代入”進(jìn)行計算。

第三章一元一次方程

1從算式到方程

2一元一次方程一合并同類項和移項

3一元一次方程一去括號與去分母

4實際問題與一元一次方程

詳細(xì)內(nèi)容

1.一元一次方程：只具有一種未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1,并且含未知數(shù)項的系數(shù)不是

零時整式方程是一元一次方程.

2.一元一次方程的I原則形式：ax+b=O（x是未知數(shù)，a、b是已知數(shù)，且a/O）.

3.一元一次方程解法的一般環(huán)節(jié)：整頓方程……去分母……去括號……移項……合并同

類項……系數(shù)化為1……（檢查方程的解）.

4.列一元一次方程解應(yīng)用題：

（1）讀題分析法:.......多用于“和，差，倍，分問題”

仔細(xì)讀題，找出表達(dá)相等關(guān)系的關(guān)鍵字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，為，完畢，

增長，減少，配套--”，運(yùn)用這些關(guān)鍵字列出文字等式，并且據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)，最終運(yùn)用

題目中的量與量的關(guān)系填入代數(shù)式，得到方程.

（2）畫圖分析法：.......多用于“行程問題”

運(yùn)用圖形分析數(shù)學(xué)問題是數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)，仔細(xì)讀題，根據(jù)題意畫出有關(guān)圖形，

使圖形各部分具有特定的含義，通過圖形找相等關(guān)系是處理問題的關(guān)鍵，從而獲得布列方程的

根據(jù)，最終運(yùn)用量與量之間的關(guān)系(可把未知數(shù)看做已知量)，填入有關(guān)時代數(shù)式是獲得方程

的基礎(chǔ).

11.列方程解應(yīng)用題的常用公式:

距離=速度?時間速度=警時間=器；

(1)行程問題：

時間速度

工作量=工效?工時工效=邛色工時

(2)工程問題：

工時工效

部分=全體?比率比率="全體=修；

(3)比率問題：

(4)順逆流問題：順流速度=靜水速度+水流速度，逆流速度=靜水速度-水流速度；

(5)商品價格問題：售價=定價?折?工，利潤=售價-成本，

10

利潤率一嗎產(chǎn)—

(6)周長、面積、體積問題：C闞=2nR,S斫nR2,C長方形=2(a+b),S長方形=ab,C^=4a,

112

S正方形=a?,S環(huán)形=”(RJFbV長方體=abc,VIE方體=a3,Vs槎umR%,Vne=-Rh

3

第四章幾何圖形初步

1幾何圖形

2直線、射線、線段

3角

詳細(xì)內(nèi)容

1直線：幾何學(xué)基本概念，是點(diǎn)在空間內(nèi)沿相似或相反方向運(yùn)動的軌跡。從平面解析幾何時角

度來看，平面上的直線就是由平面直角坐標(biāo)系中的一種二元一次方程所示的圖形。求兩條直線

的交點(diǎn)，只需把這兩個二元一次方程聯(lián)立求解，當(dāng)這個聯(lián)立方程組無解時，二直線平行；有無

窮多解時，二直線重疊；只有一解時，二直線相交于一點(diǎn)。常用直線與X軸正向的夾角（叫

直線的傾斜角）或該角時正切（稱直線的斜率）來表達(dá)平面上直線（對于X軸）的傾斜程度。

2.射線：在歐幾里德幾何學(xué)中，直線上的一點(diǎn)和它一旁的部分所構(gòu)成的圖形稱為射線或半直

線。

3.線段：指一種或一種以上不一樣線素構(gòu)成一段持續(xù)時或不持續(xù)的圖線，如實線的線段或由

“長劃、短間隔、點(diǎn)、短間隔、點(diǎn)、短間隔”構(gòu)成的雙點(diǎn)長劃線的線段。

線段有如下性質(zhì)：兩點(diǎn)之間線段最短。

連接兩點(diǎn)間線段的長度叫做這兩點(diǎn)間的距離。

直線上兩個點(diǎn)和它們之間的部分叫做線段，這兩個點(diǎn)叫做線段的端點(diǎn)。

線段用表達(dá)它兩個端點(diǎn)的字母或一種小寫字母表達(dá)，有時這些字母也表達(dá)線段長度，記作線段

AB或線段BA,線段a。其中AB表達(dá)直線上的任意兩點(diǎn)。

直線沒有距離。射線也沒有距離。由于，直線沒有端點(diǎn)，射線只有一種端點(diǎn)，可以無限延長。

4.角：具有公共端點(diǎn)的兩條不重疊的射線構(gòu)成的圖形叫做角。這個公共端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)，這

兩條射線叫做角的兩條邊。

一條射線繞著它的端點(diǎn)從一種位置旋轉(zhuǎn)到另一種位置所形成的圖形叫做角。所旋轉(zhuǎn)射線的端點(diǎn)

叫做角的頂點(diǎn)，開始位置的射線叫做角的始邊，終止位置的射線叫做角的終邊。

七年級下冊

第五章相交線與平行線

1相交線

2平行線及其鑒定

3平行線的性質(zhì)

4平移

詳細(xì)內(nèi)容

1.鄰補(bǔ)角：兩條直線相交所構(gòu)成的四個角中，有公共頂點(diǎn)且有一條公共邊的兩個角是鄰補(bǔ)角。

2.對頂角：一種角的兩邊分別是另一種叫時兩邊的反向延長線，像這樣的兩個角互為對頂角。

3.垂線：兩條直線相交成直角時，叫做互相垂直，其中一條叫做另一條的垂線。

4.平行線：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。

5.同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角：

同位角：Z1與/5像這樣具有相似位置關(guān)系的一對角叫做同位角。

內(nèi)錯角：N2與/6像這樣的一對角叫做內(nèi)錯角。

同旁內(nèi)角：N2與N5像這樣的一對角叫做同旁內(nèi)角。

6.命題：判斷一件事情的語句叫命題。

7.平移：在平面內(nèi)，將一種圖形沿某個方向移動一定的距離，圖形的這種移動叫做平移平移變

換，簡稱平移。

8.對應(yīng)點(diǎn)：平移后得到的新圖形中每一點(diǎn)，都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動后得到的，這樣的兩

個點(diǎn)叫做對應(yīng)點(diǎn)。

9.定理與性質(zhì)

對頂角的性質(zhì)：對頂角相等。

10垂線的性質(zhì)：

性質(zhì)1：過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。

性質(zhì)2：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短。

11.平行公理：通過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行。

平行公理的推論：假如兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。

12.平行線的性質(zhì)：

性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等。

性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯角相等。

性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。

13.平行線的鑒定：

鑒定1：同位角相等，兩直線平行。

鑒定2：內(nèi)錯角相等，兩直線平行。

鑒定3：同旁內(nèi)角相等，兩直線平行。

第六章實數(shù)

1平方根

2立方根

3實數(shù)

詳細(xì)內(nèi)容

1.算術(shù)平方根：一般地，假如一種正數(shù)X的平方等于a,即x2=a,那么正數(shù)X叫做a的算術(shù)平

方根，記作、石。0的算術(shù)平方根為0；從定義可知，只有當(dāng)a20時,a才有算術(shù)平方根。

2.平方根：一般地，假如一種數(shù)x的平方根等于a,即x2=a,那么數(shù)x就叫做a的平方根。

3.正數(shù)有兩個平方根(一正一負(fù))它們互為相反數(shù)；0只有一種平方根，就是它自身；負(fù)數(shù)沒

有平方根。

4.正數(shù)的立方根是正數(shù)；。的立方根是0；負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)。

5.數(shù)a的相反數(shù)是-a,一種正實數(shù)的絕對值是它自身，一種負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，。的絕

對值是0

第七章平面直角坐標(biāo)系

1平面直角坐標(biāo)系

2坐標(biāo)措施的簡樸應(yīng)用

詳細(xì)內(nèi)容

1.有序數(shù)對：有次序的I兩個數(shù)a與b構(gòu)成時數(shù)對叫做有序數(shù)對，記做(a,b)

2.平面直角坐標(biāo)系：在平面內(nèi)，兩條互相垂直且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系。

3.橫軸、縱軸、原點(diǎn)：水平時數(shù)軸稱為x軸或橫軸；豎直的數(shù)軸稱為y軸或縱軸；兩坐標(biāo)軸的

交點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)。

4.坐標(biāo)：對于平面內(nèi)任一點(diǎn)P,過P分別向x軸，y軸作垂線，垂足分別在x軸，y軸上，對應(yīng)

時數(shù)a,b分別叫點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)。

5.象限：兩條坐標(biāo)軸把平面提成四個部分，右上部分叫第一象限，按逆時針方向一次叫第二象

限、第三象限、第四象限。坐標(biāo)軸上時點(diǎn)不在任何一種象限內(nèi)。

第八章二元一次方程組

1二元一次方程組

2消元一一解二元一次方程組

3實際問題與二元一次方程組

4三元一次方程組解法

詳細(xì)內(nèi)容

1.二元一次方程：具有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的指數(shù)都是1,像這樣的方程叫做二元一次。

方程，一般形式是ax+by=c(aNO,bNO)。

2.二元一次方程組：把兩個二元一次方程合在一起，就構(gòu)成了一種二元一次方程組。

3.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程兩邊時值相等的未知數(shù)時值叫做二元一次方程

組的解。

4.二元一次方程組時解：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解叫做二元一次方程組。

5.消元：將未知數(shù)的個數(shù)由多化少，逐一處理的想法，叫做消元思想。

6.代入消元：將一種未知數(shù)用具有另一種未知數(shù)的式子表達(dá)出來，再代入另一種方程，實現(xiàn)消

元，進(jìn)而求得這個二元一次方程組時解，這種措施叫做代入消元法，簡稱代入法。

7.加減消元法：當(dāng)兩個方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時，將兩個方程的兩邊分別相加或

相減，就能消去這個未知數(shù)，這種措施叫做加減消元法，簡稱加減法。

第九章不等式與不等式組

1不等式

2一元一次不等式

3一元一次不等式組

詳細(xì)內(nèi)容

1.用符號“W”“2”表達(dá)大小關(guān)系的式子叫做不等式。

2.不等式的解：使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。

3.不等式的解集：一種具有未知數(shù)的不等式的所有解，構(gòu)成這個不等式的解集。

4.一元一次不等式：不等式的左、右兩邊都是整式，只有一種未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)

是1,像這樣的不等式，叫做一元一次不等式。

5.一元一次不等式組：一般地，有關(guān)同一未知數(shù)的I幾種一元一次不等式合在一起，就構(gòu)成6.T

一種一元一次不等式組。

7.定理與性質(zhì)

不等式的性質(zhì)：

不等式的基本性質(zhì)1：不等式的兩邊都加上（或減去）同一種數(shù)（或式子），不等號的方向不

變。

不等式的基本性質(zhì)2：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一種正數(shù)，不等號的方向不變。

不等式的基本性質(zhì)3：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一種負(fù)數(shù)，不等號的方向變化。

第十章數(shù)據(jù)時搜集整頓與描述

1記錄調(diào)查

2直方圖

詳細(xì)內(nèi)容

1.全面調(diào)查：考察全體對象的調(diào)查方式叫做全面調(diào)查。

2.抽樣調(diào)查：調(diào)查部分?jǐn)?shù)據(jù)，根據(jù)部分來估計總體的調(diào)查方式稱為抽樣調(diào)查。

3.總體：要考察的全體對象稱為總體。

4.個體：構(gòu)成總體的每一種考察對象稱為個體。

5.樣本：被抽取的所有個體構(gòu)成一種樣本。

6.樣本容量：樣本中個體的數(shù)目稱為樣本容量。

7.頻數(shù)：一般地，我們稱落在不一樣小組中的數(shù)據(jù)個數(shù)為該組的頻數(shù)。

8.頻率：頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比為頻率。

9.組數(shù)和組距：在記錄數(shù)據(jù)時，把數(shù)據(jù)按照一定的范圍提成若干各組，提成組的個數(shù)稱為組

數(shù)，每一組兩個端點(diǎn)的差叫做組距。

八年級上冊

第十一章三角形

1與三角形有關(guān)的線段

2與三角形有關(guān)的角

3多邊形及其內(nèi)角和

詳細(xì)內(nèi)容

1.三角形：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所構(gòu)成的圖形叫做三角形。

2.三邊關(guān)系：三角形任意兩邊的和不小于第三邊，任意兩邊的差不不小于第三邊。

3.高：從三角形的一種頂點(diǎn)向它的對邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足間的線段叫做三角形的

|W1o

4.中線：在三角形中，連接一種頂點(diǎn)和它的對邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線。

5.角平分線：三角形的一種內(nèi)角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線

段叫做三角形的角平分線。

6.三角形的穩(wěn)定性：三角形的形狀是固定的，三角形的這個性質(zhì)叫三角形的穩(wěn)定性。

6.多邊形：在平面內(nèi)，由某些線段首尾順次相接構(gòu)成的圖形叫做多邊形。

7.多邊形的內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊構(gòu)成的角叫做它的內(nèi)角。

8.多邊形的外角：多邊形的一邊與它的鄰邊的延長線構(gòu)成的角叫做多邊形的外角。

9.多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對角線。

10.正多邊形：在平面內(nèi)，各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形。

11.平面鑲嵌：用某些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，叫做用多邊形覆蓋平

面。

12.公式與性質(zhì)

三角形的內(nèi)角和：三角形的內(nèi)角和為180°

三角形外角的性質(zhì)：

性質(zhì)1：三角形的一種外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。

性質(zhì)2：三角形歐I一種外角不小于任何一種和它不相鄰的I內(nèi)角。

多邊形內(nèi)角和公式：n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)-180°

多邊形的外角和：多邊形的內(nèi)角和為360°。

多邊形對角線的條數(shù)：（1）從n邊形的一種頂點(diǎn)出發(fā)可以引（n-3）條對角線，把多邊形分詞

（n-2）個三角形。

（2）n邊形共有n（n-3）條對角線。

2

第十.音.全等角形

1全等角形

2角形全等鑒定

3角平分線性質(zhì)

詳細(xì)內(nèi)容

1.全等三角形：兩個三角形的形狀、大小、都同樣時,其中一種可以通過平移、旋轉(zhuǎn)、對稱等

運(yùn)動（或稱變換）使之與另一種重疊，這兩個三角形稱為全等三角形。

2.全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊相等。

3.三角形全等的鑒定公理及推論有：

（1）“邊角邊”簡稱“SAS”

（2）“角邊角”簡稱“ASA”

（3）“邊邊邊”簡稱“SSS”

（4）“角角邊"簡稱"AAS”

（5）斜邊和直角邊相等的兩直角三角形（HL）。

4.角平分線推論：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等時點(diǎn)在叫時平分線上。

5.證明兩三角形全等或運(yùn)用它證明線段或角的相等的基本措施環(huán)節(jié)：①、確定已知條件（包括

隱含條件，如公共邊、公共角、對頂角、角平分線、中線、高、等腰三角形、等所隱含的邊角

關(guān)系)，②、回憶三角形鑒定，弄清我們還需要什么，③、對的地書寫證明格式(次序和對應(yīng)

關(guān)系從已知推導(dǎo)出要證明的問題).

第十三章軸對稱

1軸對稱

2畫軸對稱圖形

3等腰三角形

詳細(xì)內(nèi)容

1.對稱軸：假如一種圖形沿某條直線折疊后，直線兩旁的部分可以互相重疊，那么這個圖形叫

做軸對稱圖形;這條直線叫做對稱軸。

2.性質(zhì)：(1)軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線。

(2)角平分線上時點(diǎn)到角兩邊距離相等。

(3)線段垂直平分線上的任意一點(diǎn)到線段兩個端點(diǎn)的距離相等。

(4)與一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。

(5)軸對稱圖形上對應(yīng)線段相等、對應(yīng)角相等。

3.等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的兩個底角相等，(等邊對等角)

4.等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重疊，簡稱為“三線合一”。

5.等腰三角形的鑒定：等角對等邊。

6.等邊三角形角的特點(diǎn)：三個內(nèi)角相等，等于60°,

7.等邊三角形的鑒定：三個角都相等的三角形是等腰三角形。

有一種角是60°時等腰三角形是等邊三角形

有兩個角是60°的三角形是等邊三角形。

8.直角三角形中，30°角所對歐I直角邊等于斜邊的二分之一。

9.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的二分之一。

第十四章整式的乘法與因式分解

1整式的乘法

2乘法公式

3因式分解

詳細(xì)內(nèi)容

mritn-\-n

1.同底數(shù)幕的乘法法則：".a=a（九〃都是正數(shù)）

/m\n_mn

2..事時乘措施則：（°）="〃都是正數(shù)）

＜（當(dāng)"為偶數(shù)時），

一般地（-。）"

]-廢（當(dāng)”為奇數(shù)時）.

3.整式的乘法

（1）單項式乘法法則:單項式相乘，把它們的系數(shù)、相似字母分別相乘，對于只在一種單項式

里具有的字母，連同它的指數(shù)作為積的一種因式。

（2）單項式與多項式相乘:單項式乘以多項式，是通過乘法對加法的分派律，把它轉(zhuǎn)化為單項

式乘以單項式，即單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相

加。

（3）.多項式與多項式相乘

多項式與多項式相乘，先用一種多項式中的每一項乘以另一種多項式的每一項，再把所得的積

相加。

4.平方差公式:（.a+b\a-b）=a2-b2

5,完全平方公式：（"±">='±246+02

6.同底數(shù)幕時除法法則:同底數(shù)幕相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，即""十優(yōu)=#"「"（aWO,m、n都是

正數(shù)，且m>n）.

在應(yīng)用時需要注意如下幾點(diǎn)：

①法則使用的前提條件是“同底數(shù)幕相除”并且0不能做除數(shù)，因此法則中a/O.

②任何不等于0時數(shù)的0次幕等于1,即?！?1（。豐⑴，如10°=1,（-2.5°=1）,則。。無意義.

p

a~=—

③任何不等于0時數(shù)的-p次幕（p是正整數(shù)）,等于這個數(shù)的p的次幕的倒數(shù)，即ap（aW0,p

是正整數(shù)），而都是無意義時;當(dāng)a>0時,打時值一定是正的；當(dāng)a<0時,武時值也許是正也也

,131

（-2產(chǎn)=-（—2）-3=——

許是負(fù)的，如4,8

④運(yùn)算要注意運(yùn)算次序.

7.整式的除法

單項式除法單項式:單項式相除，把系數(shù)、同底數(shù)幕分別相除，作為商的因式，對于只在被除

式里具有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一種因式；

多項式除以單項式：多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以單項式，再把所得的商

相加.

8.分解因式：把一種多項式化成幾種整式時積的形式，這種變形叫做把這個多項式分解因式.

分解因式的一般措施：1.提公共因式法2.運(yùn)用公式法3.十字相乘法

分解因式的環(huán)節(jié)：（1）先看各項有無公因式，若有，則先提取公因式；

（2）再看能否使用公式法;

(3)用分組分解法，即通過度組后提取各組公因式或運(yùn)用公式法來到達(dá)分解的目的;

(4)因式分解的最終成果必須是幾種整式的I乘積,否則不是因式分解；

(5)因式分解的成果必須進(jìn)行到每個因式在有理數(shù)范圍內(nèi)不能再分解為止.

第十五章分式

1分式

2分式的運(yùn)算

3分式方程

詳細(xì)內(nèi)容

1.分式：形如A/B,A、B是整式，B中具有未知數(shù)且B不等于0時整式叫做分式(fraction)。其

中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。

2.分式故意義的條件：分母不等于0

3.約分：把一種分式的分子和分母的公因式(不為1時數(shù))約去，這種變形稱為約分。

4.通分：異分母的分式可以化成同分母的分式，這一過程叫做通分。

分式的基本性質(zhì):分式的分子和分母同步乘以(或除以)同一種不為0的整式，分

式時值不變。用式子表達(dá)為：A/B=A*C/B*CA/B=A+C/B+C(A,B,C為整式，且

C/))

5.最簡分式:一種分式的分子和分母沒有公因式時，這個分式稱為最簡分式.約分時，一

般將一種分式化為最簡分式.

6.分式的四則運(yùn)算：1.同分母分式加減法則:同分母的分式相加減，分母不變，把分

子相加減.用字母表達(dá)為：a/c±b/c=a±b/c

2.異分母分式加減法則:異分母的分式相加減,先通分，化為同分母的分式，然后再

按同分母分式附加減法法則進(jìn)行計算.用字母表達(dá)為：a/b±c/d=ad±cb/bd

3.分式的(乘法法則:兩個分式相乘，把分子相乘的(積作為積的分子,把分母相乘的I

積作為積的分母.用字母表達(dá)為：a/b*c/d=ac/bd

4.分式的除法法則:(1).兩個分式相除,把除式的分子和分母顛倒位置后再與被除

式相乘.a/b+c/d=ad/bc

(2).除以一種分式，等于乘以這個分式日勺倒數(shù):a/b+c/d=a/b*d/c

7.分式方程的意義:分母中具有未知數(shù)日勺方程叫做分式方程.

8.分式方程的解法:①去分母(方程兩邊同步乘以最簡公分母,將分式方程化為整式

方程);②按解整式方程的環(huán)節(jié)求出未知數(shù)的值;③驗根(求出未知數(shù)的值后必須驗

根,由于在把分式方程化為整式方程的過程中，擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍，也許產(chǎn)生

增根).

八年級下冊

第十六章二次根式

1二次根式

2二次根式乘除

3二次根式加減

詳細(xì)內(nèi)容

1二次根式：一般地，形如忐(a>0)時代數(shù)式叫做二次根式。當(dāng)a>0時，4a表達(dá)aaI算數(shù)平

方根，其中"=0

2.最簡二次根式：必須同步滿足下列條件：

⑴被開方數(shù)中不含開方開的盡時因數(shù)或因式；

⑵被開方數(shù)中不含分母；⑶分母中不含根式。

3.同類二次根式：

二次根式化成最簡二次根式后，若被開方數(shù)相似，則這幾種二次根式就是同類二次根式。

aCa>0)

4.二次根式的性質(zhì)：Jo

__1-a(a<

(1)(Ja)2=a(a^0);(2)=|a|=

5.二次根式的運(yùn)算：

(1)因式的外移和內(nèi)移：假如被開方數(shù)中有時因式可以開得盡方，那么，就可以用它的算術(shù)

平方根替代而移到根號外面；假如被開方數(shù)是代數(shù)和的形式，那么先分解因式，變形為積的形

式，再移因式到根號外面，反之也可以將根號外面的正因式平方后移到根號里面.

(2)二次根式附加減法：先把二次根式化成最簡二次根式再合并同類二次根式.

(3)二次根式的乘除法：二次根式相乘(除)，將被開方數(shù)相乘(除)，所得的積(商)仍

作積(商)的被開方數(shù)并將運(yùn)算成果化為最簡二次根式.

弧=口?&(a>0,b>0)；卜苧(b>0,a>0).

(4)有理數(shù)的加法互換律、結(jié)合律，乘法互換律及結(jié)合律，乘法對加法的分派律以及多項式

的乘法公式，都合用于二次根式的運(yùn)算.

第十七章勾股定理

1勾股定理

2勾股定理的逆定理

詳細(xì)內(nèi)容

1.勾股定理：假如直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么a?+b2=c2。

勾股定理逆定理：假如三角形三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2。，那么這個三角形是直角三角形。

2.定理：通過證明被確認(rèn)對時的命題叫做定理。

3.我們把題設(shè)、結(jié)論恰好相反的兩個命題叫做互逆命題。假如把其中一種叫做原命題，那么另

一種叫做它的逆命題。（例：勾股定理與勾股定理逆定理）

第十八章平行四邊形

1平行四邊形

2特殊的平行四邊形AB=CD-AD=BC

詳細(xì)內(nèi)容KOCOBCfcDO

1.平行四邊形定義：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。

2.平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對邊相等；平行四邊形的對角相等。平行四邊形的對角線

互相平分。

3.平行四邊形的鑒定①.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

_______.D

②.對角線互相平分的四邊形是形；

③.兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；

①一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

4.三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的二分之一。

5.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的二分之一。AA

6.矩形的定義：有一種角是直角的聿《千四噴形。

7.矩形的性質(zhì)：矩形的四個角都是直角；矩形的對角線平分且相等。AC=BD

8.矩形鑒定定理：①.有一種角是直角的平行四邊形叫做矩形。

②.對角線相等的平行四邊形是矩形。

③.有三個角是直角的四邊形是矩形。

9.菱形的定義：鄰邊相等的平行四邊形。

10.菱形的性質(zhì)：菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分

組對角

11.菱形的鑒定定理:①.一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。

②對角線互相垂直的平行四邊形是菱

①四條邊相等的四邊形是菱形。

12s菱形=l/2Xab（a、b為兩條對角線）

13.正方形定義：一種角是直角的菱形或鄰邊相等的矩形。

14.正方形的I性質(zhì)：四條邊都相等，四個角都是直角。正方形既是矩形，又是菱形。

15.正方形鑒定定理：1.鄰邊相等的矩形是正方形。2.有一種角是直角的菱形是正方形。

第十九章一次函數(shù)

1函數(shù)

2一次函數(shù)

詳細(xì)內(nèi)容

1.一次函數(shù)：若兩個變量x,y間的關(guān)系式可以表達(dá)成y=kx+b(kWO)的形式，則稱y是x時一次函

數(shù)(X為自變量,y為因變量)。尤其地，當(dāng)b=0時，稱y是x時正比例函數(shù)^。

77o^,(1)7

^7(2)b.>Q

k>O^7-o⑶k<0<b=0

^^

^7<O7b<07

2.正比例函數(shù)一般式：y=kx(kWO),其圖象是通過原點(diǎn)(0,0)的一條直線。

3.正比例函數(shù)y=kx(kWO)歐I圖象是一條通過原點(diǎn)的直線，當(dāng)k>0時，直線y=kx通過第一、

三象限,y隨x時增大而增大，當(dāng)k<0時，直線y=kx通過第二、四象限,y隨x時增大而減小,

在一次函數(shù)y=kx+b中:當(dāng)k>0時,y隨x時增大而增大；當(dāng)k<0時,y隨x時增大而減小。

4.已知兩點(diǎn)坐標(biāo)求函數(shù)解析式：待定系數(shù)法

第二十章數(shù)據(jù)的分析

1數(shù)據(jù)的集中趨勢

2數(shù)據(jù)的波動程度

詳細(xì)內(nèi)容

1.加權(quán)平均數(shù)：加權(quán)平均數(shù)的計算公式。權(quán)的理解:反應(yīng)了某個數(shù)據(jù)在整個數(shù)據(jù)中的重要程

度。

2.中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按照由小到大(或由大到小)的次序排列，假如數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則

處在中間位置時數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)(median)；假如數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)

的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。

3.眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的I數(shù)據(jù)就是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)(mode)。

4.極差：組數(shù)據(jù)中的最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)時差叫做這組數(shù)據(jù)的極差(range)。

5.方差越大，數(shù)據(jù)的波動越大；方差越小，數(shù)據(jù)的波動越小，就越穩(wěn)定。

九年級上冊

第二十一章一元二次方程

1一元二次方程

2解一元二次方程

3實際問題與一元二次方程

詳細(xì)內(nèi)容

一元二次方程：方程兩邊都是整式，只具有一種未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是

2(二次)時方程，叫做一元二次方程.

一般地，任何一種有關(guān)x的一元二次方程，?通過整頓，?都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a

WO).這種形式叫做一元二次方程的一般形式.

一種一元二次方程通過整頓化成ax2+bx+c=0(aWO)后，其中ax?是二次項，a是二次項系

數(shù)；bx是一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項.

本章內(nèi)容重要規(guī)定學(xué)生在理解一元二次方程的前提下，通過解方程來處理某些實際問題。

(1)運(yùn)用開平措施解形如(x+m)2』(n20)的方程；領(lǐng)會降次——轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

(2)配措施解一元二次方程的一般環(huán)節(jié)：現(xiàn)將已知方程化為一般形式；化二次項系數(shù)為1；

常數(shù)項移到右邊；方程兩邊都加上一次項系數(shù)的二分之一的平方，使左邊配成一種完全平方

式；變形為(x+p)2=q的形式，假如q，0,方程的I根是x=-p±Jq；假如q<0,方程無實根.

簡介配措施時，首先通過實際問題引出形如=S的方程。這樣的方程可以化為更為簡樸的

形如/=￡的方程，由平方根的概念，可以得到這個方程的解。進(jìn)而舉例闡明怎樣解形如

=2的方程。然后舉例闡明一元二次方程可以化為形如二2的方程，引

出配措施。最終安排運(yùn)用配措施解一元二次方程的例題。在例題中，波及二次項系數(shù)不是1的

一元二次方程，也波及沒有實數(shù)根的一元二次方程。對于沒有實數(shù)根的一元二次方程，學(xué)了

“公式法”后來，學(xué)生對這個內(nèi)容會有深入的理解。

(3)一元二次方程ax2+bx+c=0(a/0)時根由方程的系數(shù)a、b、c而定，因此：

解一元二次方程時，可以先將方程化為一般形式ax2+bx+c=O,當(dāng)b2-4ac>0時，將a、b、c

代入式子*=—V--------就得到方程的根.(公式所出現(xiàn)的運(yùn)算，恰好包括了所學(xué)過的六中

2a

運(yùn)算，力口、減、乘、除、乘方、開方，這體現(xiàn)了公式的統(tǒng)一性與友好性。)這個式子叫做一元

二次方程的求根公式.運(yùn)用求根公式解一元二次方程的措施叫公式法

第二十二章二次函數(shù)

1二次函數(shù)的I圖像與性質(zhì)

2二次函數(shù)與一元二次方程

3實際問題與二次函數(shù)

詳細(xì)內(nèi)容

1.二次函數(shù)：一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系:一般式：y=axA2+bx+c(a^0,

a、b、c為常數(shù))，則稱y為x的二次函數(shù)。

2.二次函數(shù)的解析式三種形式。

一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(a^O)

頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x—hf+k

/b、24ac-b1

y—ci(x------)H-------------

2a4a

交點(diǎn)式y(tǒng)=JO-12)

3.二次函數(shù)圖像與性質(zhì)

對稱軸：%=--頂點(diǎn)坐標(biāo)：(_2,4砒%

2a2a4a

與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)(0,c)

性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減?。粚ΨQ軸右

邊，y隨x增大而增大

當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小

5.二次函數(shù)圖像畫法：

勾畫草圖要點(diǎn)：①開口方向②對稱軸③頂點(diǎn)④與x軸交點(diǎn)⑤與y軸交點(diǎn)

6.圖像平移環(huán)節(jié)

(1)配方y(tǒng)=a(x-A)2+k,確定頂點(diǎn)(h,k)

(2)對x軸左加右減；對y軸上加下減

7.二次函數(shù)的I對稱性

二次函數(shù)是軸對稱圖形，有這樣一種結(jié)論：當(dāng)橫坐標(biāo)為Xi,x2其對應(yīng)的縱坐標(biāo)相等那么對稱軸

8.根據(jù)圖像判斷a,b,c的符號

(1)a----開口方向

(2)b----對稱軸與a左同右異

9.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

拋物線y=ax?+bx+c與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)xi,X2是一元二次方程ax2+bx+c=0(aNO)0tl根。

拋物線y=ax2+bx+c,當(dāng)y=0時，拋物線便轉(zhuǎn)化為一元二次方程ax2+bx+c=O

尸―4ac>0時，一元二次方程有兩個不相等的實根，二次函數(shù)圖像與x軸有兩個交點(diǎn)；

4ac=0時，一元二次方程有兩個相等的實根，二次函數(shù)圖像與x軸有一種交點(diǎn)；

尸-4ac<0時，一元二次方程有不等的實根，二次函數(shù)圖像與x軸沒有交點(diǎn)

第二十三章旋轉(zhuǎn)

1圖形的旋轉(zhuǎn)

2中心對稱

詳細(xì)內(nèi)容

1.旋轉(zhuǎn)：在平面內(nèi)，將一種圖形繞一種圖形按某個方向轉(zhuǎn)動一種角度，這樣的運(yùn)動叫做圖形的

旋轉(zhuǎn)。這個定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角度叫做旋轉(zhuǎn)角。(圖形的旋轉(zhuǎn)是圖形上的每一點(diǎn)在平

面上繞著某個固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)固定角度的位置移動，其中對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)線段

的長度、對應(yīng)角的大小相等，旋轉(zhuǎn)前后圖形的大小和形狀沒有變化。)

2.旋轉(zhuǎn)對稱中心：把一種圖形繞著一種定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一種角度后，與初始圖形重疊，這種圖形叫做

旋轉(zhuǎn)對稱圖形，這個定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)對稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角(旋轉(zhuǎn)角不不小于0。,

不小于360。）o

3.中心對稱圖形與中心對稱：

中心對稱圖形：假如把一種圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后能與自身重疊，那么我們就說，這個

圖形成中心對稱圖形。

中心對稱：假如把一種圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后能與另一種圖形重疊，那么我們就說，這

兩個圖形成中心對稱。

4.中心對稱的性質(zhì)：

有關(guān)中心對稱的兩個圖形是全等形。

有關(guān)中心對稱歐I兩個圖形，對稱點(diǎn)連線都通過對稱中心，并且被對稱中心平分。

有關(guān)中心對稱的兩個圖形，對應(yīng)線段平行（或者在同一直線上）且相等。

第二十四章圓

1圓的有關(guān)性質(zhì)

2點(diǎn)和圓，直線和圓的位置關(guān)系

3正多邊形和圓

4弧長和扇形面積

詳細(xì)內(nèi)容

1.圓：平面上到定點(diǎn)時距離等于定長的所有點(diǎn)構(gòu)成的圖形叫做圓。定點(diǎn)稱為圓心，定長稱為半

徑。

2.圓弧和弦：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧。不小于半圓的弧稱為優(yōu)弧，不不

小于半圓的弧稱為劣弧。連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。通過圓心的弦叫做直徑。

3.圓心角和圓周角：頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角。頂點(diǎn)在圓周上，且它的兩邊分別與圓

有另一種交點(diǎn)時角叫做圓周角。

4.內(nèi)心和外心：過三角形的三個頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外

心。和三角形三邊都相切的（圓叫做這個三角形的內(nèi)切圓，其圓心稱為內(nèi)心。

5.扇形：在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形。

6.圓錐側(cè)面展開圖是一種扇形。這個扇形的半徑稱為圓錐的母線。

7.圓和點(diǎn)的位置關(guān)系：以點(diǎn)P與圓0時為例（設(shè)P是一點(diǎn)，則P0是點(diǎn)到圓心的距離），

P在。0外，P0>r；P在。0上，PO=r；P在。0內(nèi)，P0<r?

8.直線與圓有3種位置關(guān)系：無公共點(diǎn)為相離；有兩個公共點(diǎn)為相交，這條直線叫做圓的

割線；圓與直線有唯一公共點(diǎn)為相切，這條直線叫做圓時切線，這個唯一的公共點(diǎn)叫做切

點(diǎn)。

9.兩圓之間有5種位置關(guān)系：無公共點(diǎn)的，一圓在另一圓之外叫外離，在之內(nèi)叫內(nèi)含；有

唯一公共點(diǎn)的，一圓在另一圓之外叫外切，在之內(nèi)叫內(nèi)切；有兩個公共點(diǎn)時叫相交。兩圓

圓心之間的距離叫做圓心距。兩圓的半徑分別為R和r,且R》r,圓心距為P：外離P>

R+r；外切P=R+r；相交R-r<P<R+r；內(nèi)切P=R-r；內(nèi)含P<R-r。

10.切線的鑒定措施：通過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓時切線。

11.切線的性質(zhì)：（1）通過切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線。（2）通過切點(diǎn)垂直于

切線的直線必通過圓心。（3）圓的切線垂直于通過切點(diǎn)時半徑。

12.垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。

13.有關(guān)定理：

平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

在同圓或等圓中，相等的I圓心角所對的弧相等，所對的I弦也相等.

在同圓或等圓中，同弧等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的二分之一.

半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑.

14.圓的計算公式1.圓的I周長C=2nr=nd2.圓的|面積S="r~2;3.扇形弧長l=nn

r/180

15.扇形面積S="（R-2-r'2）5.圓錐側(cè)面積S=nrl

第二十五章概率初步

1隨機(jī)事件與概率

2用列舉法求概率

3用頻率估計概率

詳細(xì)內(nèi)容

1.隨機(jī)事件

（1）確定事件

事先能肯定它一定會發(fā)生的事件稱為必然事件，事先能肯定它一定不會發(fā)生的事件稱為不也許

事件，必然事件和不也許事件都是確定的.

（2）隨機(jī)事件

在一定條件下，也許發(fā)生也也許不發(fā)生的事件，稱為隨機(jī)事件.

（3）事件分為確定事件和不確定事件（隨機(jī)事件），確定事件又分為必然事件和不也許事

件，其中，

①必然事件發(fā)生的概率為1,即P（必然事件）=1；

②不也許事件發(fā)生的概率為0,即P（不也許事件）=0；

③假如A為不確定事件（隨機(jī)事件），那么0<P（A）<1.

隨機(jī)事件發(fā)生的也許性（概率）的計算措施

2.也許性大小

(1)理論計算又分為如下兩種狀況：

第一種：只波及一步試驗的隨機(jī)事件發(fā)生的概率，如：根據(jù)概率的大小與面積的關(guān)系，對一類

概率模型進(jìn)行的計算；第二種：通過列表法、列舉法、樹狀圖來計算波及兩步或兩步以上試驗

時隨機(jī)事件發(fā)生的概率，如：配紫色，對游戲與否公平的計算.

(2)試驗估算又分為如下兩種狀況：

第一種：運(yùn)用試驗的措施進(jìn)行概率估算.要懂得當(dāng)試驗次數(shù)非常大時，試驗頻率可作為事件發(fā)

生的概率的估計值，即大量試驗頻率穩(wěn)定于理論概率.

第二種：運(yùn)用模擬試驗的措施進(jìn)行概率估算.如，運(yùn)用計算器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)來模擬試驗.

3.概率的意義

(1)一般地，在大量反復(fù)試驗中，假如事件A發(fā)生的頻率mn會穩(wěn)定在某個常數(shù)p附近，那

么這個常數(shù)p就叫做事件A的概率，記為P(A)=p.

(2)概率是頻率(多種)的波動穩(wěn)定值，是對事件發(fā)生也許性大小的量的體現(xiàn).

(3)概率取值范圍：0印41.

(4)必然發(fā)生的事件的概率P(A)=1；不也許發(fā)生事件的概率P(A)=0.

(4)事件發(fā)生時也許性越大，概率越靠近與1,事件發(fā)生時也許性越小，概率越靠近于0.

(5)通過設(shè)計簡樸的概率模型，在不確定的情境中做出合理的決策；概率與實際生活聯(lián)絡(luò)親

密，通過理解什么是游戲?qū)﹄p方公平，用概率的語言闡明游戲的公平性，并能按規(guī)定設(shè)計游戲

的概率模型，以及結(jié)合詳細(xì)實際問題，體會概率與記錄之間的關(guān)系，可以處理某些實際問題.

4.概率日勺公式

(1)隨機(jī)事件A的概率P(A)=事件A也許出現(xiàn)的成果數(shù)所有也許出現(xiàn)的成果數(shù).

(2)P(必然事件)=1

(3)P(不也許事件)=0.

5.幾何概型的概率問題

是指具有下列特性的某些隨機(jī)現(xiàn)象的概率問題：設(shè)在空間上有一區(qū)域G,又區(qū)域g包括在

區(qū)域G內(nèi)（如圖），而區(qū)域G與g都是可以度量的（可求面積），現(xiàn)隨機(jī)地向G內(nèi)投擲一點(diǎn)

M,假設(shè)點(diǎn)M必落在G中，且點(diǎn)M落在區(qū)域G的任何部分區(qū)域g內(nèi)的概率只與g的度量（長

度、面積、體積等）成正比，而與g的位置和形狀無關(guān).具有這種性質(zhì)的隨機(jī)試驗（擲點(diǎn)），

稱為幾何概型.有關(guān)幾何概型的隨機(jī)事件“向區(qū)域G中任意投擲一種點(diǎn)M,點(diǎn)M落在G內(nèi)的

部分區(qū)域g”的概率P定義為：g時