專(zhuān)題09二次函數(shù)與一元二次方程不等式2024年高一數(shù)學(xué)初升高暑假預(yù)習(xí)（人教A版2019必修一）原卷版

2024年高一數(shù)學(xué)初升高暑假預(yù)習(xí)（人教A版2019必修一）專(zhuān)題09二次函數(shù)與一元二次方程、不等式考點(diǎn)一解不含參數(shù)的一元二次不等式考點(diǎn)二一元二次不等式與根與系數(shù)關(guān)系的交匯考點(diǎn)三簡(jiǎn)單分式不等式的解法考點(diǎn)四解含參數(shù)的一元二次不等式考點(diǎn)五實(shí)際問(wèn)題中的一元二次不等式考點(diǎn)六一元二次不等式中的恒成立和有解問(wèn)題一、一元二次不等式的概念一般地，我們把只含有一個(gè)末知數(shù)，并且末知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱(chēng)為一元二次不等式，即形如或(其中a，b，c均為常數(shù)，的不等式都是一元二次不等式．二、二次函數(shù)的零點(diǎn)一般地，對(duì)于二次函數(shù)，我們把使的實(shí)數(shù)叫做二次函數(shù)的零點(diǎn).三、一元二次不等式的解集的概念使一元二次不等式成立的所有未知數(shù)的值組成的集合叫做這個(gè)一元二次不等式的解集．四、二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對(duì)應(yīng)關(guān)系對(duì)于一元二次方程的兩根為且，設(shè)，它的解按照，，可分三種情況，相應(yīng)地，二次函數(shù)的圖像與軸的位置關(guān)系也分為三種情況.因此我們分三種情況來(lái)討論一元二次不等式或的解集.二次函數(shù)（）的圖象有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根無(wú)實(shí)根注：（1）一元二次方程的兩根是相應(yīng)的不等式的解集的端點(diǎn)的取值，是拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（2）表中不等式的二次系數(shù)均為正，如果不等式的二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，應(yīng)先利用不等式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式，然后討論解決；（3）解集分三種情況，得到一元二次不等式與的解集.五、利用不等式解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟(1)選取合適的字母表示題中的未知數(shù)；(2)由題中給出的不等關(guān)系，列出關(guān)于未知數(shù)的不等式(組)；(3)求解所列出的不等式(組)；(4)結(jié)合題目的實(shí)際意義確定答案．六、簡(jiǎn)單的分式不等式的解法系數(shù)化為正，大于取“兩端”，小于取“中間”七、一元二次不等式恒成立問(wèn)題(1)轉(zhuǎn)化為一元二次不等式解集為的情況，即恒成立恒成立(2)分離參數(shù)，將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求最值問(wèn)題.【常用結(jié)論】解一元二次不等式的一般步驟1.通過(guò)對(duì)不等式變形，使二次項(xiàng)系數(shù)大于零；2.計(jì)算對(duì)應(yīng)方程的判別式；3.求出相應(yīng)的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說(shuō)明方程沒(méi)有實(shí)根；4.根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的相關(guān)位置寫(xiě)出不等式的解集．【題型一解不含參數(shù)的一元二次不等式】策略方法解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟:(1)通過(guò)對(duì)不等式的變形,使不等式右側(cè)為0,二次項(xiàng)系數(shù)為正.(2)對(duì)不等式左側(cè)進(jìn)行因式分解,若不易分解,則計(jì)算對(duì)應(yīng)方程的判別式.(3)求出相應(yīng)的一元二次方程的根或根據(jù)判別式說(shuō)明方程有無(wú)實(shí)根.(4)根據(jù)一元二次方程根的情況畫(huà)出對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖象.(5)根據(jù)圖象寫(xiě)出不等式的解集.一、解答題1．（2324高一上·新疆·期末）解下列不等式；(1)；(2)；(3)；(4)．2．（2324高一上·北京·期中）解關(guān)于的不等式.(1);(2)(3).【題型二一元二次不等式與根與系數(shù)關(guān)系的交匯】策略方法已知以a,b,c為參數(shù)的不等式(如ax2+bx+c>0)的解集,解其他不等式的解集時(shí),一般遵循(1)根據(jù)解集來(lái)判斷二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào).(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系把b,c用a表示出來(lái)并代入所要解的不等式.(3)約去a,將不等式化為具體的一元二次不等式求解.一、單選題1．（2324高一下·廣東湛江·開(kāi)學(xué)考試）關(guān)于的不等式的解集為，則的值為（）A． B． C． D．2．（2324高一上·江西新余·期中）不等式的解集是，則的解集是（

）A． B． C． D．3．（2324高一上·河南濮陽(yáng)·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次不等式的解集為，則不等式的解集為（

）A．或 B．或C． D．【題型三簡(jiǎn)單分式不等式的解法】一、填空題1．（2324高一上·上海寶山·期末）不等式的解集為.2．（2324高一上·福建福州·期中）不等式的解集為．3．（2324高一上·吉林·階段練習(xí)）不等式的解集為.4．（2324高一上·上?！て谥校┎坏仁降慕饧癁?5．（2324高一上·山東聊城·期中）若關(guān)于x的不等式的解集是，則的值為．【題型四解含參數(shù)的一元二次不等式】策略方法（1）含參數(shù)的一元二次不等式,若二次項(xiàng)系數(shù)不含參數(shù),且不等式對(duì)應(yīng)的方程能夠因式分解(或方程根可求),應(yīng)按不等式對(duì)應(yīng)方程根的大小分類(lèi)討論.（2）當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)且能因式分解時(shí),先求解二次項(xiàng)系數(shù)為0的情況,此時(shí)不等式一般是化為一元一次不等式,比較簡(jiǎn)單;當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不為0時(shí),先分解因式,然后再分二次項(xiàng)系數(shù)大于0和小于0兩種情況討論.一般地,有一種情況能判斷兩根的大小關(guān)系,比較簡(jiǎn)單,而另一種情況,兩根的大小不確定,還需分三種情況討論,最后的結(jié)論一般會(huì)達(dá)到五種情況.（3）若含參數(shù)的一元二次不等式對(duì)應(yīng)的方程不能直接求根,則需要考慮一元二次方程對(duì)應(yīng)的判別式,這里需要對(duì)判別式Δ<0,Δ=0和Δ>0分類(lèi)討論.當(dāng)Δ>0時(shí),如果不能確定根的大小,還需要討論根的大小.若二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù),還需要討論參數(shù)的符號(hào).一、單選題1．（2223高一上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）若，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．2．（2223高一上·新疆烏魯木齊·期末）不等式的解集不可能是（

）A． B． C． D．R二、解答題3．（2324高一上·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）解關(guān)于的不等式：.4．（2223高一上·山東泰安·期末）已知關(guān)于x的不等式，其中．(1)若該不等式的解集為，求a的值；(2)解不等式不等式，其中．5．（2324高一上·安徽馬鞍山·期中）（1）解不等式；（2）解關(guān)于的不等式.6．（2324高一上·北京·期中）（1）若命題“R，”是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）求關(guān)于的不等式的解集．【題型五實(shí)際問(wèn)題中的一元二次不等式】策略方法一元二次不等式解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的步驟(1)理解題意,弄清量與量之間的關(guān)系.(2)設(shè)出起關(guān)鍵作用的未知數(shù),建立相應(yīng)的不等關(guān)系,把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次不等式(組).(3)解這個(gè)一元二次不等式(組),得到實(shí)際問(wèn)題的解.一、單選題1．（2324高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）某文具店購(gòu)進(jìn)一批新型臺(tái)燈，若按每盞臺(tái)燈15元的價(jià)格銷(xiāo)售，每天能賣(mài)出30盞；若售價(jià)每提高1元，日銷(xiāo)售量將減少2盞．現(xiàn)決定提價(jià)銷(xiāo)售，為了使這批臺(tái)燈每天獲得400元以上（不含400元）的銷(xiāo)售收入，則這批臺(tái)燈的銷(xiāo)售單價(jià)x（單位：元）的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2324高一上·陜西·階段練習(xí)）某禮服租賃公司共有300套禮服供租賃，若每套禮服每天的租價(jià)為200元，則所有禮服均被租出；若將每套禮服每天的租價(jià)在200元的基礎(chǔ)上提高10x元（，），則被租出的禮服會(huì)減少10x套.若要使該禮服租賃公司每天租賃禮服的收入超過(guò)6.24萬(wàn)元，則該禮服租賃公司每套禮服每天的租價(jià)應(yīng)定為（

）A．220元 B．240元 C．250元 D．280元3．（2324高一下·河南·開(kāi)學(xué)考試）河南是華夏文明的主要發(fā)祥地之一，眾多的文物古跡和著名的黃河等自然風(fēng)光構(gòu)成了河南豐富的旅游資源，在旅游業(yè)蓬勃發(fā)展的帶動(dòng)下，餐飲、酒店、工藝品等行業(yè)持續(xù)發(fā)展．某連鎖酒店共有500間客房，若每間客房每天的定價(jià)是200元，則均可被租出；若每間客房每天的定價(jià)在200元的基礎(chǔ)上提高元（，），則被租出的客房會(huì)減少套．若要使該連鎖酒店每天租賃客房的收入超過(guò)106600元，則該連鎖酒店每間客房每天的定價(jià)應(yīng)為（

）A．250元 B．260元 C．270元 D．280元二、解答題4．（2324高一上·上海·期中）近幾年來(lái)，“盲盒文化”廣為流行，這種文化已經(jīng)在中國(guó)落地生根，并發(fā)展處具有中國(guó)特色的盲盒經(jīng)濟(jì)，某盲盒生產(chǎn)及銷(xiāo)售公司今年初用98萬(wàn)購(gòu)進(jìn)一批盲盒生產(chǎn)線(xiàn)，每年可有50萬(wàn)的總收入，已知生產(chǎn)此盲盒年（為正整數(shù)）所用的各種費(fèi)用總計(jì)為萬(wàn)元．(1)該公司第幾年首次盈利（總收入超過(guò)總支出，今年為第一年）？(2)該公司幾年后年平均利潤(rùn)最大，最大是多少？5．（2324高一上·湖北襄陽(yáng)·期中）中華人民共和國(guó)第14屆冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2024年2月17日至2月27日在內(nèi)蒙古自治區(qū)呼倫貝爾市舉行，某公司為了競(jìng)標(biāo)配套活動(dòng)的相關(guān)代言，決定對(duì)旗下的某商品進(jìn)行一次評(píng)估.該商品原來(lái)每件售價(jià)為25元，年銷(xiāo)售8萬(wàn)件.(1)據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若價(jià)格每提高1元，銷(xiāo)售量將相應(yīng)減少0.2萬(wàn)件，要使銷(xiāo)售的總收入不低于原收入，該商品每件定價(jià)最多為多少元?(2)為了抓住此次契機(jī)，擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷(xiāo)售量，公司決定立即對(duì)該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和營(yíng)銷(xiāo)策略改革，并提高定價(jià)到元.公司擬投入萬(wàn)元作為技改費(fèi)用，投入50萬(wàn)元作為固定宣傳費(fèi)用，投入萬(wàn)元作為浮動(dòng)宣傳費(fèi)用.試問(wèn)：當(dāng)該商品改革后的銷(xiāo)售量至少應(yīng)達(dá)到多少萬(wàn)件時(shí)，才可能使改革后的銷(xiāo)售收入不低于原收入與總投入之和?并求出此時(shí)商品的每件定價(jià).【題型六一元二次不等式中的恒成立和有解問(wèn)題】策略方法(1)不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立,就是不等式的解集為R.對(duì)于一元二次不等式ax2+bx+c>0,它的解集為R的條件為a一元二次不等式ax2+bx+c≥0,它的解集為R的條件為a(2)一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集為的條件為a<(3)一元二次不等式ax2+bx+c>0在R上有解的條件為a>0或a提醒:注意題意中是否要求不等式是一元二次不等式,注意討論二次項(xiàng)系數(shù),結(jié)合二次函數(shù)圖象的開(kāi)口方向和與x軸的交點(diǎn)情況討論,注意所列的關(guān)于判別式Δ的不等式是否取等號(hào).一、單選題1．（2324高一上·云南昆明·期中）命題：R，是假命題，則實(shí)數(shù)的值可能是（

）A． B．C． D．2．（2324高一上·北京東城·期中）已知不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（）A． B．C． D．3．（2324高一下·貴州貴陽(yáng)·期