計算傳熱學(xué)第6講

第6講對流-擴散方程的離散化DiscretizationofConvection-DiffusionEquationsbyProfessorLiuZhongliang本講內(nèi)容對流－擴散問題的特征二階中心差分格式之不可能一階格式一階格式的缺陷高階格式多維問題及邊界條件的處理byProfessorLiuZhongliang閱讀要求、習(xí)題閱讀要求：陶文銓《數(shù)值傳熱學(xué)》第5章習(xí)題：P183題5－2P184題5－4、5－11第三題byProfessorLiuZhongliang單獨討論CDE離散化的必要性差分格式：前面介紹的導(dǎo)出方法的不可行性對流擴散問題的分類及解法邊界層問題非邊界層問題特殊的問題必須采用特殊的處理方法byProfessorLiuZhongliang6.1通用方程與四個原則TheEquation

通用變量，generalizeddependentvariable

廣義密度，universaldensityU速度向量（場），velocityvector(field)

廣義擴散系數(shù)，universaldiffusivityS

廣義源項，（universal)sourcetermUnsteadytermConvectiontermDiffusiontermSourcetermbyProfessorLiuZhongliang四個原則四個基本原則是：控制界面上流的相容性原則系數(shù)同號原則相鄰數(shù)之和原則負斜率源項原則物理真實解：必備條件byProfessorLiuZhongliang6.2對流－擴散問題的特征物理上：存在宏觀相對運動，對流效應(yīng)數(shù)學(xué)上：一階偏導(dǎo)數(shù)項數(shù)值困難對流項的存在核心解決好對流項的離散化問題byProfessorLiuZhongliang6.3Taylor級數(shù)展開法與CV法對象：一維穩(wěn)態(tài)無源問題

x(

x)+e(

x)-w(

x)-e(

x)+w(

x)w(

x)eweWPE圖1

一維問題空間區(qū)域的離散化byProfessorLiuZhongliangTAYLOR級數(shù)展開法將（3）應(yīng)用于節(jié)點P，等步長時，(

x)w=(x)e=

x于是，byProfessorLiuZhongliangTAYLOR級數(shù)展開法將方程（5）、（6）代入（4），整理后就得到差分方程。結(jié)果如下：byProfessorLiuZhongliangTAYLOR級數(shù)展開法byProfessorLiuZhongliang控制容積法將方程（3）對控制容積P積分，

x(

x)+e(

x)-w(

x)-e(

x)+w(

x)w(

x)eweWPE圖1

一維問題空間區(qū)域的離散化注意到，及，byProfessorLiuZhongliang控制容積法將（9）、（10）代入方程（8），得到，注意：該式與原方程是嚴格等價的，它不是近似成立的！byProfessorLiuZhongliang控制容積法如果我們假定節(jié)點間待求變量按線性分布，則有，將（12）代入方程（11），得到與Taylor級數(shù)展開法相同的結(jié)果！byProfessorLiuZhongliang控制容積法注意，在處理積分時，上面的處理方法與下面的處理方法并不是等價的，而且，可以證明它是二階精度的byProfessorLiuZhongliang控制容積法－特別說明在對流擴散方程的離散化中，關(guān)鍵是對流項的處理。擴散項一般采用二階精度的三點中心差分格式，于是，式(11)式(9)，也即方程（13）等號左邊是精確的，所以可以采用不同的手段來提高它的精度。對流擴散方程的離散化：控制界面處待求變量的處理byProfessorLiuZhongliang6.4中心差分格式

Central-DifferencingScheme對流項采用中心差分格式，亦即假定節(jié)點間待求變量線性分布，于是將（12）代入式（13），整理后得到，byProfessorLiuZhongliang中心差分格式令，byProfessorLiuZhongliang中心差分格式而差分方程（14）就簡單地變?yōu)?，byProfessorLiuZhongliang中心差分格式－說明與討論小寫字母下標表示在控制界面處取值大寫字母下標表示在節(jié)點處取值對流項的引入并沒有改變差分方程的形式：所以求解差分方程的方法同樣適用。

x(

x)+e(

x)-w(

x)-e(

x)+w(

x)w(

x)eweWPE圖1

一維問題空間區(qū)域的離散化byProfessorLiuZhongliang中心差分格式－說明與討論F和D的物理意義：表示了對流強度的大小，其正負由速度u的符號決定。當流向與坐標軸x的正方向一致時，F(xiàn)>0，否則，F(xiàn)<0。表示了擴散強度的大小，且D0。byProfessorLiuZhongliang中心差分格式－說明與討論網(wǎng)格Peclet數(shù)物理意義：表示了對流與擴散強度的相對大小網(wǎng)格Peclet數(shù)特征長度：網(wǎng)格尺寸

x特征質(zhì)量流速：(u)擴散系數(shù)：byProfessorLiuZhongliang中心差分格式－說明與討論P

可以大于零，也可以小于零傳遞過程物理性質(zhì)的不同，其內(nèi)容不同：對于熱量傳遞：

＝

c,＝k(導(dǎo)熱系數(shù))，則：對于動量傳遞：＝

（動力粘度），則：byProfessorLiuZhongliang中心差分格式－說明與討論按連續(xù)性方程，在控制容積P上對該方程積分，得到，或，這樣，按方程（16），相鄰系數(shù)之和原則成立！byProfessorLiuZhongliang特別提示當且僅當在對對流－擴散方程進行離散化時應(yīng)用連續(xù)性方程才能保證所得到的差分方程滿足相鄰系數(shù)之和原則byProfessorLiuZhongliang中心差分格式－說明與討論注意到，于是，按系數(shù)同號原則，應(yīng)該有，所以，byProfessorLiuZhongliang中心差分格式－說明與討論或結(jié)論：為了使中心差分格式能夠得到物理上真實的解，那么P

的絕對值必須小于2中心差分格式的嚴重缺陷！byProfessorLiuZhongliang中心差分格式－說明與討論例：空氣

＝1.3kg/m3,=

=1.810-5kg/(ms)在內(nèi)徑為50mm的管子內(nèi)部流動，流速為1m/s。為了滿足中心差分格式的要求，byProfessorLiuZhongliang中心差分格式－說明與討論在一條直徑方向上就需要布置1808個節(jié)點!實際流速一般都要接近100m/s,直徑接近500mm，所以，節(jié)點數(shù)目將是一個天文數(shù)字：1.808×106還有其它方向呢！byProfessorLiuZhongliang6.5嚴格解（ExactSolution)一維穩(wěn)態(tài)無內(nèi)熱源的對流擴散問題：

在常物性及

u＝constant的前提下，不難得到問題（24）的解為：Pe是Peclet數(shù)，byProfessorLiuZhongliang嚴格解（ExactSolution)byProfessorLiuZhongliang嚴格解（ExactSolution)從圖中可以看出，當Pe＝0時，

～x呈線性關(guān)系，純擴散當Pe1時，擴散仍占主導(dǎo)地位，所以

～x仍然接近線性關(guān)系當Pe>>1時，擴散作用退居次要地位，對流躍居主導(dǎo)地位，

～x呈強非線性關(guān)系。絕大部分區(qū)域內(nèi)的待求變量幾乎就是上游值。byProfessorLiuZhongliang嚴格解（ExactSolution)結(jié)論：Peclet數(shù)的大小表征了對流與擴散作用的相對強弱。當Pe>>1時，對流作用占絕對控制地位求解區(qū)域的絕大部分的

值幾乎就是上游值中心差分格式：一味地采用線性關(guān)系，從而造成了中心差分格式的失效。byProfessorLiuZhongliang6.6逆風(fēng)(迎風(fēng))格式

Up-windscheme基本依據(jù)：中心差分格式：界面值總是取相鄰節(jié)點的平均值－－失效嚴格解：Peclet數(shù)較大時，控制界面上的值實際上更接近于上游節(jié)點的值基本做法：用上游節(jié)點的值代替控制界面的值byProfessorLiuZhongliang逆風(fēng)(迎風(fēng))格式而，

x(

x)+e(

x)-w(

x)-e(

x)+w(

x)w(

x)eweWPE圖1

一維問題空間區(qū)域的離散化或者寫成，其中“[|a,b|]”表示取a和b中較大的byProfessorLiuZhongliang逆風(fēng)(迎風(fēng))格式同樣，擴散項仍取中心差分格式，代入式（13），得到，整理后得到，byProfessorLiuZhongliang逆風(fēng)(迎風(fēng))格式請大家給出證明?。。〈思从L(fēng)格式。其特點是不論網(wǎng)格Peclet數(shù)的大小，它總是取控制容積控制面上游節(jié)點待求變量

的值作為控制界面處的

值?。yProfessorLiuZhongliang逆風(fēng)(迎風(fēng))格式關(guān)于迎風(fēng)格式的說明之一系數(shù)總是大于零：不論D和F的取值如何系數(shù)同號原則總成立相鄰系數(shù)之和原則總成立不論Peclet數(shù)的大小，總能給出物理上真實的解byProfessorLiuZhongliang逆風(fēng)(迎風(fēng))格式關(guān)于迎風(fēng)格式的說明之二逆風(fēng)格式的截斷誤差：O(x)不論Peclet數(shù)如何，均不能給出高精度的結(jié)果byProfessorLiuZhongliang6.7指數(shù)格式(ExponentialScheme)目的：尋找具有迎風(fēng)格式的優(yōu)點，又能克服其精度低的缺點的格式將一維對流擴散方程（3）改寫為，定義總通量(Totalflux)J，（=對流通量＋擴散通量）

byProfessorLiuZhongliang指數(shù)格式(ExponentialScheme)方程（31）就變形為，

x(

x)+e(

x)-w(

x)-e(

x)+w(

x)w(

x)eweWPE圖1

一維問題空間區(qū)域的離散化將方程（33）在控制容積P上對x積分，byProfessorLiuZhongliang指數(shù)格式(ExponentialScheme)將精確解（25）代入總通量定義式(32)，整理后得到，這一結(jié)果告訴我們，對于問題（24），當

x[0，L]

時，總通量是一個常數(shù)。byProfessorLiuZhongliang指數(shù)格式把上面的結(jié)果應(yīng)用于x[xW，xP]

x(

x)+e(

x)-w(

x)-e(

x)+w(

x)w(

x)eweWPE圖1

一維問題空間區(qū)域的離散化于是得到，byProfessorLiuZhongliang指數(shù)格式同樣，應(yīng)用x[xP，xE]

x(

x)+e(

x)-w(

x)-e(

x)+w(

x)w(

x)eweWPE圖1

一維問題空間區(qū)域的離散化于是得到，byProfessorLiuZhongliang指數(shù)格式將式（36）代入方程（34），有，整理后得到，其中，byProfessorLiuZhongliang指數(shù)格式進一步可以證明，請大家證明之?。?！byProfessorLiuZhongliang指數(shù)格式－討論與說明從方程（37）可以看出，方程中的系數(shù)可以大于0，也可以小于0，但它們始終保持相同的符號－系數(shù)同號原則成立在滿足連續(xù)性方程的條件下，滿足相鄰系數(shù)之和原則－相鄰系數(shù)之和原則成立結(jié)論：不論P

的大小，指數(shù)格式總能給出物理上真實的解byProfessorLiuZhongliang指數(shù)格式－討論與說明對模型問題，不論Peclet數(shù)的大小，該格式始終給出嚴格解對更一般的問題，不能給出嚴格解截斷誤差：O(x)大量的指數(shù)運算，文獻中很少使用byProfessorLiuZhongliang6.8混合格式（Hybridscheme)目的：解決指數(shù)格式指數(shù)函數(shù)運算問題基本思想：用簡單函數(shù)去逼近有關(guān)的指數(shù)運算（Spalding,1971)方法：考查aE與P

之間的關(guān)系將式（37b)改寫為，byProfessorLiuZhongliang混合格式byProfessorLiuZhongliang混合格式從圖中可以看出：當Pe<<-1時，當Pe>>1時，byProfessorLiuZhongliang混合格式當Pe0時，過點（0，1）的切線方程為，上述三條直線實際上構(gòu)成了對嚴格解的包絡(luò)線注意：三條直線的交點為（-2,2）和（2,0）byProfessorLiuZhongliang混合格式byProfessorLiuZhongliang混合格式于是，我們得到關(guān)于指數(shù)格式的近似函數(shù)為，或者寫成，byProfessorLiuZhongliang混合格式同樣可以推得，byProfessorLiuZhongliang混合格式最后得到混合格式的離散化方程為，byProfessorLiuZhongliang混合格式－說明當P

>2時，混合格式就退化為迎風(fēng)格式在|P

|＝2處會產(chǎn)生較大的誤差：Pe＝2時，系數(shù)aE的誤差＝219％Pe＝－2時，系數(shù)aE的誤差＝14％當P

>2時，簡單地取擴散項為零byProfessorLiuZhongliang6.9冪律格式(Powerlawscheme)目的：提高對指數(shù)格式的逼近精度出發(fā)點：用4條曲線去逼近嚴格解結(jié)果：byProfessorLiuZhongliang冪律格式（Powerlawscheme)byProfessorLiuZhongliang冪律格式（Powerlawscheme)從對指數(shù)格式的逼近角度看，冪律格式幾乎是完美無缺！當P

>10時，冪律格式就退化為迎風(fēng)格式其它逼近格式：Allfailed?。yProfessorLiuZhongliang6.10通用格式對于一維無源穩(wěn)態(tài)對流-擴散方程，其離散化方程為，或者寫為，R－111byProfessorLiuZhongliang通用格式前面介紹的五種格式可以統(tǒng)一寫成其中A是與格式有關(guān)的系數(shù)，按表5－2選?。≒151）byProfessorLiuZhongliang通用格式通用格式中的系數(shù)AbyProfessorLiuZhongliang通用格式-各種格式的比較byProfessorLiuZhongliang6.11

一階格式：討論與說明指數(shù)逼近格式：一階格式（firstorderformulations)對流項一階格式，擴散項二階格式：精度不匹配（accuracymismatch)嚴重的虛假擴散（falsediffusion)或數(shù)值擴散（numericaldiffusion)byProfessorLiuZhongliang虛假擴散將迎風(fēng)格式用于一維常物性無源穩(wěn)態(tài)對流擴散方程：在等步長、常物性條件下，

x(

x)+e(

x)-w(

x)-e(

x)+w(

x)w(

x)eweWPE圖1

一維問題空間區(qū)域的離散化將

W和

E在P處做Taylor展開，byProfessorLiuZhongliang虛假擴散byProfessorLiuZhongliang虛假擴散將式(a)和式（b）代入差分方程（48），整理后得到，byProfessorLiuZhongliang虛假擴散顯然，虛假擴散系數(shù)與網(wǎng)格Peclet數(shù)成正比。當網(wǎng)格Peclet數(shù)較大時，可能會產(chǎn)生非常嚴重的后果。

虛假擴散系數(shù)（falsediffusivity）數(shù)值擴散系數(shù)

(numericaldiffusivity)byProfessorLiuZhongliang虛假擴散原因：對流項與擴散項的處理在精度上不匹配虛假擴散泛指：精度不匹配造成的；多維問題中流速與網(wǎng)格線斜交；非常數(shù)源項byProfessorLiuZhongliang提高差分格式精度的途徑對指數(shù)格式的逼近不能從根本上提高差分格式的精度關(guān)鍵：解決各種虛假擴散問題途徑：提高對流項差分格式的精度等級考慮流速與網(wǎng)格斜交叉的影響斜迎風(fēng)格式考慮非常數(shù)源項的影響LOAD格式；CONDIF格式byProfessorLiuZhongliang特別提示一階精度格式或基于指數(shù)格式的差分格式無條件穩(wěn)定總能給出物理上真實的解存在嚴重的虛假擴散不可能得到高精度的解byProfessorLiuZhongliang6.12高階精度差分格式應(yīng)該注意：提高一階導(dǎo)數(shù)（對流項）的截差采用迎風(fēng)注意理解迎風(fēng)的含義byProfessorLiuZhongliang6.12.1Taylor級數(shù)展開法將方程（3）用于節(jié)點P

x(

x)+e(

x)-w(

x)-e(

x)+w(

x)w(

x)eweWPE圖1

一維問題空間區(qū)域的離散化擴散項（二階導(dǎo)數(shù)項)采用三點中心差分格式，有byProfessorLiuZhongliangTaylor級數(shù)展開法為了得到高階格式，只需要用高階迎風(fēng)格式去代替式（51）中的一階導(dǎo)數(shù)byProfessorLiuZhongliang6.12.1.1二階迎風(fēng)格式Secondorderupwindscheme假定u>0，等步長，

x＝x如何實現(xiàn)迎風(fēng)？如何提高精度等級？

x(

x)+e(

x)-w(

x)-e(

x)+w(

x)w(

x)eweWPE圖1

一維問題空間區(qū)域的離散化方法：將一階導(dǎo)數(shù)在W處做Taylor展開byProfessorLiuZhongliang二階迎風(fēng)格式將方程右手側(cè)中的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)用二階精度的三點中心差分格式代替，byProfessorLiuZhongliang二階迎風(fēng)格式其中WW是節(jié)點W上游的第一個相鄰節(jié)點

x(

x)+e(

x)-w(

x)-e(

x)+w(

x)w(

x)eWPEEEWWwebyProfessorLiuZhongliang二階迎風(fēng)格式略去二階無窮小量，得到一階導(dǎo)數(shù)的二階迎風(fēng)格式，將式（54）代入方程（51），整理后得到，byProfessorLiuZhongliang二階迎風(fēng)格式byProfessorLiuZhongliang二階迎風(fēng)格式注意：F的下標是大寫字母----在節(jié)點處取值aP

aW+aE:不滿足相鄰系數(shù)之和原則不能直接用迭代法求解數(shù)值計算時必須進行改寫byProfessorLiuZhongliang二階迎風(fēng)格式差分方程改寫為迭代計算的形式：byProfessorLiuZhongliang二階迎風(fēng)格式求解方法：迭代求解假定一個待求變量分布計算有關(guān)系數(shù)用TDMA方法求解上面的方程反復(fù)進行，直到得到滿足精度要求的解二階迎風(fēng)格式是無條件穩(wěn)定的byProfessorLiuZhongliang6.12.1.2三階迎風(fēng)格式Thirdorderupwindscheme假定u>0，等步長，

x＝x方法：“差分中心”向上游（迎風(fēng)方向）偏移，用Taylor級數(shù)展開法尋找一階導(dǎo)數(shù)的三階精度的表達式

x(

x)+e(

x)-w(

x)-e(

x)+w(

x)w(

x)eweWPE圖1

一維問題空間區(qū)域的離散化byProfessorLiuZhongliang三階迎風(fēng)格式將

WW、

W和

E節(jié)點P處做Taylor展開

x(

x)+e(

x)-w(

x)-e(

x)+w(

x)w(

x)eWPEEEWWwebyProfessorLiuZhongliang三階迎風(fēng)格式byProfessorLiuZhongliang三階迎風(fēng)格式(a)+(b)得,8(b)+(c)得,至少要消去三階導(dǎo)數(shù)項：一階導(dǎo)數(shù)為所求二階導(dǎo)數(shù)由（d）給出byProfessorLiuZhongliang三階迎風(fēng)格式（e）－6（d）得，由（f）得，byProfessorLiuZhongliang三階迎風(fēng)格式略去三階無窮小量，將上式代入式（51），整理后得到byProfessorLiuZhongliang三階迎風(fēng)格式byProfessorLiuZhongliang三階迎風(fēng)格式說明：上面的差分格式已經(jīng)進行了改寫，可以直接用于迭代計算；該格式不是無條件穩(wěn)定的。因為，按系數(shù)之和與系數(shù)同號原則，應(yīng)該有，byProfessorLiuZhongliang三階迎風(fēng)格式用類似的方法可以得到更高精度的格式二階以上的格式是針對對流項而言的二階以上的格式都是有條件穩(wěn)定的隨著階數(shù)的提高，差分格式的性能提高例如，如果再增加一個上游節(jié)點，則，該格式也是條件穩(wěn)定的byProfessorLiuZhongliang6.12.2控制容積法在控制容積法中，對于我們設(shè)定的模型問題，有思路：與Taylor級數(shù)法完全相同出發(fā)點：提高控制面上待求變量的截差Taylor級數(shù)：一階導(dǎo)數(shù)byProfessorLiuZhongliang6.12.2.1QUICK格式假定u>0，則按迎風(fēng)思想的要求，將

e在P點做Taylor展開，

x(

x)+e(

x)-w(

x)-e(

x)+w(

x)w(

x)eWPEEEWWwebyProfessorLiuZhongliangQUICK格式將其中的一階和二階導(dǎo)用二階中心差分格式代替，即，將式（66）和式（67）代入式（65），整理后得到，byProfessorLiuZhongliangQUICK格式用類似的方法可以得到，請大家自己推導(dǎo)出這一結(jié)果！將式（68）和式（69）代入式（64），整理后得到，byProfessorLiuZhongliangQUICK格式已經(jīng)改寫成便于迭代計算的形式該格式有條件穩(wěn)定：P

<8/3該格式就是文獻中的QUICK格式byProfessorLiuZhongliangQUICK格式這是因為，譬如對于

e，亦即，參見P165式（5－35）byProfessorLiuZhongliangQUICK格式可以證明，在QUICK格式中，QUICK,QuadraticUpwindInterpolationofConvectiveKinematics

對流項的二次迎風(fēng)插值（方法）byProfessorLiuZhongliang6.12.2.2高階格式用與推導(dǎo)QUICK格式類似的方法，在方程（64）的基礎(chǔ)上，可以得到更高階的格式。byProfessorLiuZhongliang6.12.3高階格式還是精細網(wǎng)格？低階精度格式：精度低穩(wěn)定性好一階格式：誤差大，無條件穩(wěn)定，物理真實解高階精度格式：精度高穩(wěn)定性差易出現(xiàn)不真實的振蕩數(shù)值研究：要求必須采用二階及二階以上格式byProfessorLiuZhongliang高階格式還是精細網(wǎng)格？在高階格式中：擴散項總是采用二階格式差分法的基礎(chǔ)：Taylor級數(shù)展開法決定精度的是網(wǎng)格尺寸，而不是（截斷誤差）階數(shù)的高低局部精細網(wǎng)格比高階精度格式更有效高階格式的Overshoot/Undershoot總是發(fā)生在sudden-jumpregion說明格式的精度不夠一階和二階導(dǎo)數(shù)的截斷誤差可能都是重要的byProfessorLiuZhongliang高階格式還是精細網(wǎng)格？初步研究工作表明：在提高對流項截斷誤差的同時提高擴散項的截斷誤差可以明顯改進格式的性能，抑制“過頭”現(xiàn)象的出現(xiàn)。對于三階迎風(fēng)格式：如果擴散項采用四階而不是二階格式，則格式的臨界P

數(shù)由3增大到4byProfessorLiuZhongliang6.13高階格式中的幾個具體問題差分方程的求解簡單地采用原差分方程迭代求解，發(fā)散不對系數(shù)進行調(diào)整不考慮系數(shù)之和規(guī)則對系數(shù)進行調(diào)整，保證系數(shù)之和成立多余的項并入源項延遲修正PDMA（Penta-DiagonalMatrixAlgorithm)byProfessorLiuZhongliang高階格式中的幾個具體問題邊界條件的處理近邊界節(jié)點降階處理：一階迎風(fēng)，。。。byProfessorLiuZhongliang6.14多維問題及邊界條件的處理6.14.1二維對流－擴散方程的離散化6.14.1.1求解區(qū)域的離散化方法同前byProfessorLiuZhongliangSNWEPsnwe

x

y(y)n(y)s(y)-n(y)+s(x)w(x)e(x)-e(x)+w求解區(qū)域的離散化byProfessorLiuZhongliang6.14.1.2控制方程定義x方向和y方向的總通量Jx和Jy，byProfessorLiuZhongliang控制方程則方程（73）就變形為連續(xù)性方程請列出附加的假設(shè)條件??！byProfessorLiuZhongliang6.14.1.3控制方程的離散化控制容積法。對控制容積P積分，SNWEPsnwe

x

y(y)n(y)s(

y)-n(

y)+s(x)w(x)e(x)-e(x)+wI1I2I3I4byProfessorLiuZhongliang控制方程的離散化I1的計算：所以，byProfessorLiuZhongliang控制方程的離散化I2的計算SNWEPsnwe

x

y(y)n(y)s(

y)-n(

y)+s(x)w(x)e(x)-e(x)+w將之與一維通用格式比較，知，byProfessorLiuZhongliang控制方程的離散化上標“′”表示按一維定義計算。將上式代入，其中，byProfessorLiuZhongliang控制方程的離散化其中：byProfessorLiuZhongliang控制方程的離散化I3的計算byProfessorLiuZhongliang控制方程的離散化I4的計算Sourcetermlinearization!byProfessorLiuZhongliang控制方程的離散化將I1~I4代入方程（77），整理后得到，byProfessorLiuZhongliang控制方程的離散化對連續(xù)性方程積分：SNWEPsnwe

x

y(y)n(y)s(

y)-n(

y)+s(x)w(x)e(x)-e(x)+w得到：代入（82）得到：byProfessorLiuZhongliang控制方程的離散化整理后得到，byProfessorLiuZhongliang控制方程的離散化幾點說明:系數(shù)A(|P

|):按一維公式計算，且定義不變上下標：上標“0”表示上一時刻取值沒有上標的量：現(xiàn)時時刻小寫下標：在相應(yīng)控制界面處取值大寫下標：在相應(yīng)節(jié)點處取值byProfessorLiuZhongliang控制方程的離散化幾點說明:離散化方程：形式上：與純擴散方程相同求解方法：也基本相同byProfessorLiuZhongliang6.14.2定解條件的處理入口邊界：通常給定：流速，流量，壓力，溫度出口邊界待求出口節(jié)點處的待求變量對內(nèi)部相鄰節(jié)點無影響局部單向化出口界面處：無回流出口界面：遠離感興趣的計算區(qū)域byProfessorLiuZhongliang定解條件的處理流固耦合邊界：非滑移條件：No-slipconditions第一類邊界第二類邊界第三類邊界byProfessorLiuZhongliang6.14.3高階格式的處理重新編寫程序：前面介紹的方法處理延遲修正法（deferredcorrectionmethod)其中“*”表示上次迭代值源項修正低階格式程序byProfessorLiuZhongliangThisbringstheendoftheLectureThankyou!byProfessorLiuZhongliangAnAccuracy-BalancedFormulationis

NeededforConvectionandDiffusionTermsLIUZhongliangCollegeofEnvironmental&EnergyEngineeringBeijingUniversityofTechnology

byProfessorLiuZhongliangAccuracy-BalancedFormulation

isNeededLowaccuracyof1storderformulationsThushighorderformulationsweredevelopedIndoingso,2nd-orderformulationisalwaysusedfordiffusionterms.byProfessorLiuZhongliangAccuracy-BalancedFormulation

isNeededTheProblemHigh-orderformulations:unphysicaloscillations(convectioninstabilityandover/under-shoot)Commonunderstanding:accuracyisnothighenoughofconvectionformulationsThisismainlyfromthefactsobserved:NounphysicaloscillationsforlowPeflowsDiffusioneffectisneglectableforhighPeflowsbyProfessorLiuZhongliangAsimpleanalysisFor1Dproblems,atotalfluxdefined,WhereHere，onlythesimplestsituationisconsidered:byProfessorLiuZhongliangAsimpleanalysisFromwhichonecanfind,byProfessorLiuZhongliangAsimpleanalysisOnecanconclude:IfPeL>0，then，－Jdiff～Jconv

且-Jdiff>JconvIfPeL<0，thentherelationbetweenJdiff

andJconv

isdependedonPecletnumberandxThediffusioneffectisnotalwaysneglectableevenifPecletnumberislargeenough！byProfessorLiuZhongliangComparisonbetweenJdiffand

Jconv：SmallPecletnumbersbyProfessorLiuZhongliangComparisonbetweenJdiffand

Jconv：LargePecletnumbersbyProfessorLiuZhongliangSuggestions2ndorder-onlyformulationfordiffusiontermsisnotappropriate,sincediffusioneffectisnotalwaysneglectable

alwaysimportantwithinsuddenjumpregionsUnbalancedformulationforconvectionanddiffusionterms:Higherorderformulationforconvectionterms2ndorderformulationfordiffusiontermsPossiblereasonforunphysicaloscillationsUsingaccuracybalancedformulationforconvectionanddiffusiontermsisimportantbyProfessorLiuZhongliangNumericalExampleOneSteady1Dconvection-diffusion:byProfessorLiuZhongliangQUICKschemeStandardQUICKQUICKformulationforconvectionterms2ndordercentraldifferencefordiffusiontermsCriticalgridPecletnumberP

cr=8/3Improvedoraccuracy-balancedQUICK：QUICKformulationforconvectionterms4thordercentraldifferencefordiffusiontermsCriticalgridPecletnumberP

cr=32/9byProfessorLiuZhongliangQUICKschemeOvershoot!Undershoot!byProfessorLiuZhongliangQUICKschemebyProfessorLiuZhongliangQUICKschemebyProfessorLiuZhongliang3rd-orderupwindschemeStandard3rdorderupwind:3rdorderupwindformulationforconvectionterms2ndordercentraldifferencefordiffusiontermsCriticalgridPecletnumberP

cr=3Improvedoraccuracy-balanced3rdorderupwindscheme:3rdorderupwindformulationforconvectionterms4thordercentraldifferencefordiffusiontermsCriticalgridPecletnumberP

cr=4byProfessorLiuZhongliang3rd-orderupwindschemebyProfessorLiuZhongliang3rd-orderupwindschemebyProfessorLiuZhongliang3rd-orderupwindsche