第09講圖形與面積專題+口奧4(原卷版+解析)

第09講圖形與面積專題+口奧4掌握平面圖形的周長和面積掌握立體圖形的基本知識完成口奧知識的訓(xùn)練模塊一：平面圖形的周長與面積1、周長幾個重要的解題思想（1）平移在平面圖形的計算中，常常要將一個平面圖形移動到平面上的另一個位置進行計算．其中，將圖形沿一個固定方向的移動叫做平移，一個圖形經(jīng)過平行移動不改變其形狀與大小，所以圖形面積是保持不變的．利用圖形的平移，可以使面積計算問題的解法簡捷明快，頗有新意．（2）割補割補法在我國古代叫“出入相補原理”，我國古代魏晉時期著名的數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中就明確地提出“出入相補，各從其類”的出入相補原理．這個原理的內(nèi)容是幾何圖形經(jīng)過分、合、移、補所拼湊成的新圖形，它的面積不變．（3）旋轉(zhuǎn)在平面圖形的割補中，有時要將一個圖形繞定點旋轉(zhuǎn)到一個新的位置，產(chǎn)生一種新的圖形結(jié)構(gòu)，圖形在轉(zhuǎn)動過程中形狀大小不發(fā)生改變．利用這種新的圖形結(jié)構(gòu)可以幫我們解決面積的計算問題．（4）對稱平面圖形中有許多簡單漂亮的圖形都是軸對稱圖形．軸對稱圖形沿對稱軸折疊，軸兩側(cè)可以完全重合．也就是說，如果一個圖形是軸對稱圖形，那么對稱軸平分這個圖形的面積．熟悉軸對稱圖形這個性質(zhì)，對面積計算會有很大幫助．（5）代換在幾何計算中，對有關(guān)數(shù)量進行適當(dāng)?shù)牡攘看鷵Q也是解決問題的已知技巧．小結(jié)：本講主要通過求一些不規(guī)則圖形的周長，體會一種轉(zhuǎn)化思想，重點在于把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的方法，包括平移、旋轉(zhuǎn)、割補、差不變原理，通過這些方法的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體會求周長的技巧，提高學(xué)生的觀察能力、動手操作能力、綜合運用能力．2、面積平面圖形所圍成的平面的大小叫做平面圖形的面積，常見的幾種規(guī)則圖形的面積公式有：（1）三角形：，其中表示三角形一條底邊上的高；（2）正方形：，（3）長方形：（4）平行四邊形：（5）梯形：圓（1）、圓和圓周長 1）圓的幾個要素：圓心O、半徑，直徑． 2）圓的周長：圍成圓的曲線的長叫做圓的周長．計算公式：，也可表示為．（2）、弧與弧長1）?。簣A上任意兩點間的部分叫做弧，用符號“”表示，如以A，B為兩端點的弧，記作，讀作弧，如圖中的又稱作半圓． 2）圓心角：頂點在圓心上的角叫做圓心角，如圖中的∠AOB稱為圓心角．3）弧長計算公式：．（3）、圓的面積計算公式：（4）、扇形1）扇形概念：一條弧和經(jīng)過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形，圖中的扇形記作扇形OAB．2）扇形的面積公式一：（理解記憶：）公式二：（其中為扇形的弧長，為扇形的半徑）模塊二：立體圖形當(dāng)相同的正方體拼在一起的時候，這里重疊的地方就把它叫做接縫，重疊部分的面積就叫做接縫處的面積。接縫條數(shù)＝正方體個數(shù)－1。每有1條接縫就減少了原來的2個面的面積。拼成的長方體的表面積＝原來正方體表面積之和－減少的面的面積。接縫處的面積＝接縫條數(shù)×2×每個面的面積。6、涂色問題：（需要添加對應(yīng)的題目）對于n×n×n的正方形，其涂色情況如下：3面涂色：8個（每個頂點均有一個涂色）、2面涂色：（n-2）×12個1面涂色：（n-2）×（n-2）×6個各面均沒有涂色：總數(shù)減去上面3個總數(shù)或者（n-2）×（n-2）×（n-2）個模塊三：口奧計算：17.48×37－174.8×1.9＋1.748×820=雙休日,學(xué)生們到郊外去玩。甲買了5只面包，乙買了同樣的面包4只，當(dāng)午餐用。不料丙也參加午餐，但沒有買面包，三人就均分著吃。丙按買價拿出錢來，他給甲1元5角，給乙1元2角。問：他這樣算對不對，為什么？長方體的表面積是74平方厘米，其中一個底面的面積是10平方厘米，底面的周長是9厘米。這個長方體的體積是多少立方厘米？甲數(shù)除以乙數(shù)，乙數(shù)除以丙數(shù)，商相等，余數(shù)都是2。甲、乙兩數(shù)之和是478，那么甲、乙、丙三數(shù)之和是多少？5.計算：98＋998＋9998＋99998=6.甲、乙兩名運動員在環(huán)行跑道上從同一地點同時背向而跑，已知甲運動員跑一圈要80分鐘。如果在出發(fā)后30分鐘兩人第一次相遇。問：乙運動員跑一圈要多少分鐘？7.如圖：一個長方形被分成4個不同的三角形，如果綠色三角形的面積是原長方形面積的EQ\F(1,5)，黃色三角形面積是15平方厘米，那么原長方形的面積是多少平方厘米？紅綠紅綠黃藍黑 模塊一：平面圖形的周長與面積例1．如圖，在一塊梯形稻田中間修兩條1米寬的路。（1）稻田實際種植的面積是多少平方米？（2）若每公頃收割水稻8000千克，這塊稻田共能收割水稻多少噸？例2．如圖，兩個正方形邊長分別是10和6，則陰影部分的面積是多少？（取3）例3．學(xué)校操場的平面圖如下，兩頭是半圓形，中間是長方形。（1）小明沿跑道跑了5圈，他跑了多少米？（2）學(xué)校要在操場上鋪塑膠地面，鋪塑膠的面積有多少平方米？例4．小明將一張半圓形紙片平均分成四份后，重新組合在一起（如下圖），新組合的圖形的周長是()cm（π取3）。例5．求出下圖的周長和面積。（單位：厘米）例6．直角三角形ABC中，陰影甲比乙的面積大28平方厘米，厘米，AB有多長？例7．一個長方形ABCD被分成了4部分（如圖），其中甲的周長是16厘米，乙的周長比甲短4厘米。原來長方形ABCD的周長是多少厘米？例8．下圖中兩個正方形的邊長分別為4厘米和6厘米。求陰影部分的面積。模塊二：立體圖形【例1】8個棱長是1分米的正方體，拼成一個長方體，怎樣拼表面積最小，最小的表面積是多少？【例2】1000個體積為1立方厘米的小正方體合在一起成為一個邊長為10厘米的大正方體，大正方體表面涂油漆后再分開為原來的小正方體，這些小正方體至少有一面被油漆涂過的數(shù)目是多少個？

解析：表面涂漆的小正方體都在大正方體的表面上，由此可以先求得內(nèi)部沒有涂色的小正方體的個數(shù)，再利用小正方體的總個數(shù)﹣沒有涂色的即可解答．

1．在邊長為6的正方形內(nèi)有一個三角形BEF，線段AE＝3，DF＝2，求三角形BEF的面積.2．下圖中，有四條線段的長度已經(jīng)知道，還有兩個角是直角，那么四邊形ABCD（陰影部分）的面積是多少？3．?dāng)?shù)學(xué)思考。如圖是一個正方形和半圓所組成的圖形，其中P為半圓周的中點，Q為正方形BC邊上的中點，求空白部分的面積。（單位：平方厘米）4．如下圖，在桌面上放置著3個兩兩重疊的圓紙片，每個圓紙片的面積都是160平方厘米，三個圓紙片蓋住桌面的總面積是330平方厘米，三個圓紙片共同重疊部分的面積是15平方厘米。圖中陰影部分的面積一共是多少平方厘米？5．有兩種自然的放法將正方形內(nèi)接于等腰直角三角形．已知等腰直角三角形的面積是36平方厘米，兩個正方形的面積分別是多少？6．如圖，一個長8厘米，寬6厘米的長方形與一個邊長5厘米的正方形疊放在桌面上，求這兩個圖形蓋住桌面的面積？7．如圖，有三個面積各為20平方厘米的圓紙片放在桌上．三個紙片共同重疊的面積是8平方厘米，三個紙片蓋住桌面的總面積是36平方厘米．圖中陰影部分的面積之和是多少平方厘米？8．下圖每個小正方形的邊長都是1厘米，一個三角形各頂點的位置如下：（1）畫出三角形ABC；（2）把三角形ABC向右平移6個單位，得三角形（A與對應(yīng)，B與對應(yīng)）畫出變化后的圖形（3）求三角形ABC的面積.9．如圖所示，在△ABC當(dāng)中，D是BC的中點，E是AC的中點，已知陰影部分的面積為5，△ABC的面積為多少？10．如圖，在邊長為12的正方形中，有一個四邊形，那么陰影部分的面積是多少？11．如圖，是正方形，扇形的半徑是6厘米。求陰影部分的面積。12．如圖所示，用一張斜邊長為17厘米的紅色直角三角形紙片，一張斜邊長為29厘米的黃色直角三角形紙片，一張藍色的正方形紙片，拼成一個直角三角形，求紅、黃兩張三角形紙片面積之和。13．仔細看圖，活學(xué)活用。（1）畫出三角形的邊上的高。（2）根據(jù)圖中提供的信息，不用測量任何數(shù)據(jù)，畫一個與三角形面積相等的三角形（3）應(yīng)用：在如圖所示的梯形中，三角形與三角形的面積分別是4平方厘米和9平方厘米。梯形的面積是（

）。14．兩個相同的直角三角形如圖所示（單位：厘米）重疊在一起，求陰影部分的面積．15．如圖，正方形邊長是10厘米，長方形的長為8厘米，寬為5厘米．陰影部分甲與陰影部分乙的面積差是多少平方厘米？16．如下圖，三個同心圓的半徑分別是2、6、10，求圖中陰影部分面積占大圓面積的百分之幾？17．如圖，已知直角梯形的上底、下底與高之比是1：2：1，和為24厘米．圖中陰影甲的面積比陰影乙的面積少多少？18．求圖中的陰影部分的面積．（單位：厘米）19．奧運會的會徽是五環(huán)圖，一個五環(huán)圖是由內(nèi)直徑為8厘米，外直徑為10厘米的五個圓環(huán)組成，其中兩兩相交的小曲邊四邊形（陰影部分）的面積相等，已知五個圓環(huán)蓋住的總面積是122.5平方厘米．求每個小曲邊四邊形的面積．20．如下圖，將直徑AB為的半圓繞A逆時針旋轉(zhuǎn)，此時AB到達AC的位置，求陰影部分的面積（計算結(jié)果保留）第09講圖形與面積專題+口奧4掌握平面圖形的周長和面積掌握立體圖形的基本知識完成口奧知識的訓(xùn)練模塊一：平面圖形的周長與面積1、周長幾個重要的解題思想（1）平移在平面圖形的計算中，常常要將一個平面圖形移動到平面上的另一個位置進行計算．其中，將圖形沿一個固定方向的移動叫做平移，一個圖形經(jīng)過平行移動不改變其形狀與大小，所以圖形面積是保持不變的．利用圖形的平移，可以使面積計算問題的解法簡捷明快，頗有新意．（2）割補割補法在我國古代叫“出入相補原理”，我國古代魏晉時期著名的數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中就明確地提出“出入相補，各從其類”的出入相補原理．這個原理的內(nèi)容是幾何圖形經(jīng)過分、合、移、補所拼湊成的新圖形，它的面積不變．（3）旋轉(zhuǎn)在平面圖形的割補中，有時要將一個圖形繞定點旋轉(zhuǎn)到一個新的位置，產(chǎn)生一種新的圖形結(jié)構(gòu)，圖形在轉(zhuǎn)動過程中形狀大小不發(fā)生改變．利用這種新的圖形結(jié)構(gòu)可以幫我們解決面積的計算問題．（4）對稱平面圖形中有許多簡單漂亮的圖形都是軸對稱圖形．軸對稱圖形沿對稱軸折疊，軸兩側(cè)可以完全重合．也就是說，如果一個圖形是軸對稱圖形，那么對稱軸平分這個圖形的面積．熟悉軸對稱圖形這個性質(zhì)，對面積計算會有很大幫助．（5）代換在幾何計算中，對有關(guān)數(shù)量進行適當(dāng)?shù)牡攘看鷵Q也是解決問題的已知技巧．小結(jié)：本講主要通過求一些不規(guī)則圖形的周長，體會一種轉(zhuǎn)化思想，重點在于把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的方法，包括平移、旋轉(zhuǎn)、割補、差不變原理，通過這些方法的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體會求周長的技巧，提高學(xué)生的觀察能力、動手操作能力、綜合運用能力．2、面積平面圖形所圍成的平面的大小叫做平面圖形的面積，常見的幾種規(guī)則圖形的面積公式有：（1）三角形：，其中表示三角形一條底邊上的高；（2）正方形：，（3）長方形：（4）平行四邊形：（5）梯形：圓（1）、圓和圓周長 1）圓的幾個要素：圓心O、半徑，直徑． 2）圓的周長：圍成圓的曲線的長叫做圓的周長．計算公式：，也可表示為．（2）、弧與弧長1）?。簣A上任意兩點間的部分叫做弧，用符號“”表示，如以A，B為兩端點的弧，記作，讀作弧，如圖中的又稱作半圓． 2）圓心角：頂點在圓心上的角叫做圓心角，如圖中的∠AOB稱為圓心角．3）弧長計算公式：．（3）、圓的面積計算公式：（4）、扇形1）扇形概念：一條弧和經(jīng)過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形，圖中的扇形記作扇形OAB．2）扇形的面積公式一：（理解記憶：）公式二：（其中為扇形的弧長，為扇形的半徑）模塊二：立體圖形當(dāng)相同的正方體拼在一起的時候，這里重疊的地方就把它叫做接縫，重疊部分的面積就叫做接縫處的面積。接縫條數(shù)＝正方體個數(shù)－1。每有1條接縫就減少了原來的2個面的面積。拼成的長方體的表面積＝原來正方體表面積之和－減少的面的面積。接縫處的面積＝接縫條數(shù)×2×每個面的面積。6、涂色問題：（需要添加對應(yīng)的題目）對于n×n×n的正方形，其涂色情況如下：3面涂色：8個（每個頂點均有一個涂色）、2面涂色：（n-2）×12個1面涂色：（n-2）×（n-2）×6個各面均沒有涂色：總數(shù)減去上面3個總數(shù)或者（n-2）×（n-2）×（n-2）個模塊三：口奧計算：17.48×37－174.8×1.9＋1.748×820=雙休日,學(xué)生們到郊外去玩。甲買了5只面包，乙買了同樣的面包4只，當(dāng)午餐用。不料丙也參加午餐，但沒有買面包，三人就均分著吃。丙按買價拿出錢來，他給甲1元5角，給乙1元2角。問：他這樣算對不對，為什么？長方體的表面積是74平方厘米，其中一個底面的面積是10平方厘米，底面的周長是9厘米。這個長方體的體積是多少立方厘米？甲數(shù)除以乙數(shù)，乙數(shù)除以丙數(shù)，商相等，余數(shù)都是2。甲、乙兩數(shù)之和是478，那么甲、乙、丙三數(shù)之和是多少？5.計算：98＋998＋9998＋99998=6.甲、乙兩名運動員在環(huán)行跑道上從同一地點同時背向而跑，已知甲運動員跑一圈要80分鐘。如果在出發(fā)后30分鐘兩人第一次相遇。問：乙運動員跑一圈要多少分鐘？7.如圖：一個長方形被分成4個不同的三角形，如果綠色三角形的面積是原長方形面積的EQ\F(1,5)，黃色三角形面積是15平方厘米，那么原長方形的面積是多少平方厘米？紅綠紅綠黃藍黑 答案：原式=1748；單價：（12＋15）×3÷（5＋4）=9（角）應(yīng)給甲：9×5－（15＋12）=18（角）=1元8角應(yīng)給乙：（15＋12）－18=9（角）所以，丙算得不對，應(yīng)給甲1元8角，給乙9角。側(cè)面積：74－10×2=54（平方厘米）高：54÷9=6（厘米）長方體體積：10×6=60（立方厘米）714或517或489。乙數(shù)應(yīng)是478－2=476的約數(shù)。經(jīng)驗算，甲、乙、丙三數(shù)可以是240、238、236或359、119、39或410、68、11。（5）111092；（6）甲的速度是乙的速度：30÷（80－30）=0.6倍乙跑一圈：80×0.6=48(分鐘)（7）15÷(0.5－0.2)=50(平方厘米)模塊一：平面圖形的周長與面積例1．如圖，在一塊梯形稻田中間修兩條1米寬的路。（1）稻田實際種植的面積是多少平方米？（2）若每公頃收割水稻8000千克，這塊稻田共能收割水稻多少噸？【答案】（1）950平方米（2）0.76噸【分析】（1）根據(jù)圖示可知，把剩余稻田部分平移，可以拼成一個上底為（30－1－1）米、下底為（50－1－1）米、高為25米的梯形，利用梯形面積公式：S＝（a＋b）×h÷2，求其面積即可。（2）先把950平方米化為0.095公頃，再乘每公頃收割水稻千克數(shù)，最后把千克數(shù)化為噸即可得解?！驹斀狻浚?）（30－1－1＋50－1－1）×25÷2＝（28＋50－1－1）×25÷2＝（78－1－1）×25÷2＝76×25÷2＝1900÷2＝950（平方米）答：稻田實際種植的面積是950平方米。（2）950平方米＝0.095公頃0.095×8000＝760（千克）760千克＝0.76噸答：這塊稻田共能收割水稻0.76噸。【點睛】此題的解題關(guān)鍵是把組合圖形轉(zhuǎn)化成我們熟悉的梯形，靈活運用梯形的面積公式求解，注意面積、質(zhì)量單位之間的換算。例2．如圖，兩個正方形邊長分別是10和6，則陰影部分的面積是多少？（取3）【答案】39【分析】觀察圖形可知，陰影部分的面積等于△ACD的面積減去月牙BCD的面積，求出月牙BCD的面積，再用△ACD的面積減去月牙BCD的面積即可求出答案?！驹斀狻吭卵繠CD的面積為小正方形減去的圓的面積，即6×6－××＝36－×3×36＝36－×36＝36－27＝9陰影部分面積為：（10＋6）×6÷2－9＝16×6÷2－9＝96÷2－9＝48－9＝39答：陰影部分的面積為39?！军c睛】此題考查了學(xué)生對圖形的觀察能力、分析能力以及對求三角形面積和圓的面積的熟練程度。例3．學(xué)校操場的平面圖如下，兩頭是半圓形，中間是長方形。（1）小明沿跑道跑了5圈，他跑了多少米？（2）學(xué)校要在操場上鋪塑膠地面，鋪塑膠的面積有多少平方米？【答案】（1）1942米（2）8826平方米【分析】（1）根據(jù)圖可知，這個操場的周長相當(dāng)于是兩個半圓弧和兩個100米的長度組合，兩個半圓弧相當(dāng)于一個圓，根據(jù)圓的周長公式：C＝πd，把數(shù)代入公式即可求出跑道的周長，再乘5即可；（2）根據(jù)圖可知，這個操場相當(dāng)于一個直徑是60米的圓和一個長是100米，寬是60米的長方形組成而成，根據(jù)長方形的面積公式：長×寬；圓的面積公式：S＝πr2，把數(shù)代入公式即可求解。【詳解】（1）3.14×60＋100×2＝188.4＋200＝388.4（米）388.4×5＝1942（米）答：他跑了1942米。（2）60÷2＝30（米）3.14×30×30＋100×60＝2826＋6000＝8826（平方米）答：鋪橡膠的面積有8826平方米?！军c睛】本題主要考查組合圖形的周長和面積公式，要清楚把組合圖形分成規(guī)則圖形是解題的關(guān)鍵。例4．小明將一張半圓形紙片平均分成四份后，重新組合在一起（如下圖），新組合的圖形的周長是()cm（π取3）?！敬鸢浮?0【分析】通過觀察圖形發(fā)現(xiàn)，新組合的圖形的周長等于圓周長的一半加上2條半徑（1條直徑）的長。先根據(jù)圓的周長求出圓的周長，再用圓的周長÷2求出圓周長的一半；再加上1條直徑的長?！驹斀狻?×4÷2＋4＝12÷2＋4＝6＋4＝10（cm）所以新組合的圖形的周長是10cm?！军c睛】新組合圖形的周長等于半圓的周長，它們的周長都等于圓周長的一半＋1條直徑（2條半徑）的長。例5．求出下圖的周長和面積。（單位：厘米）【答案】80厘米；186平方厘米【分析】計算出圍繞封閉圖形一周的線段的長度就是圖形的周長；長方形的面積＝長×寬，梯形的面積＝（上底＋下底）×高÷2，如圖所示，圖形的面積＝長方形的面積－梯形的面積，據(jù)此解答。【詳解】周長：20＋12×2＋6×2＋7×2＋10＝20＋24＋12＋14＋10＝（20＋10）＋（24＋12＋14）＝30＋50＝80（厘米）面積：20×12－（20－6×2＋10）×6÷2＝20×12－（20－12＋10）×6÷2＝20×12－18×6÷2＝240－54＝186（平方厘米）所以，圖形的周長是80厘米，面積是186平方厘米。例6．直角三角形ABC中，陰影甲比乙的面積大28平方厘米，厘米，AB有多長？【答案】32.8厘米【分析】甲是三角形ABC的一部分，乙是半圓的一部分，甲乙分別加上空白部分，差不變。陰影甲比乙的面積大28平方厘米，所以三角形ABC比半圓面積多28平方厘米。求出三角形ABC面積，利用三角形面積公式倒推AB邊長度即可?！驹斀狻?.14×（）2＝1256（平方厘米）1256÷2＝628（平方厘米）628＋28＝656（平方厘米）656×2＝1312（平方厘米）1312÷40＝32.8（厘米）答：AB有32.8厘米長。【點睛】本題的關(guān)鍵是結(jié)合同加同減差不變的規(guī)律找出規(guī)則圖形的面積差，把不規(guī)則轉(zhuǎn)換成規(guī)則。例7．一個長方形ABCD被分成了4部分（如圖），其中甲的周長是16厘米，乙的周長比甲短4厘米。原來長方形ABCD的周長是多少厘米？【答案】28厘米【分析】通過線段的平移可知：長方形ABCD的周長就是甲的周長加乙的周長?！驹斀狻恳业闹荛L：16－4＝12（厘米）16＋12＝28（厘米）答：原來長方形ABCD的周長是28厘米?！军c睛】利用線段的平移可使求一些圖形的周長轉(zhuǎn)化成求長方形和正方形的周長從而使計算簡便。例8．下圖中兩個正方形的邊長分別為4厘米和6厘米。求陰影部分的面積?！敬鸢浮?8.26平方厘米【分析】如圖：陰影部分的面積＝半徑為6厘米的四分之一圓的面積＋長為（4＋2）厘米，寬為4厘米的長方形面積－底為4厘米，高為（4＋6）厘米三角形面積－底為2厘米，高為4厘米的三角形面積。【詳解】×3.14×62＝×36×3.14＝28.26（平方厘米）28.26＋4×（4＋2）－4×2÷2－（6＋4）×4÷2＝28.26＋4×6－4－10×4÷2＝28.26＋24－4－20＝28.26（平方厘米）答：陰影部分的面積是28.26平方厘米。【點睛】此題主要考查陰影部分的面積的求法，靈活運用梯形、三角形和圓的面積公式求解。模塊二：立體圖形【例1】8個棱長是1分米的正方體，拼成一個長方體，怎樣拼表面積最小，最小的表面積是多少？

解析：最小表面積是24平方分米?！纠?】1000個體積為1立方厘米的小正方體合在一起成為一個邊長為10厘米的大正方體，大正方體表面涂油漆后再分開為原來的小正方體，這些小正方體至少有一面被油漆涂過的數(shù)目是多少個？

解析：表面涂漆的小正方體都在大正方體的表面上，由此可以先求得內(nèi)部沒有涂色的小正方體的個數(shù)，再利用小正方體的總個數(shù)﹣沒有涂色的即可解答．

解：共有小正方體：10×10×10=1000（個），

其中沒有涂色的為：（10﹣2）×（10﹣2）×（10﹣2）=8×8×8=512（個），

所以至少有一面被油漆漆過的小正方體為1000﹣512=488（個）．

答：至少有一面被油漆漆過的小正方體為488個．涂色的小正方體都在大正方體的表面上．1．在邊長為6的正方形內(nèi)有一個三角形BEF，線段AE＝3，DF＝2，求三角形BEF的面積.【答案】12【分析】要直接求出三角形BEF的面積是困難的，但容易求出直角三角形ABE、直角三角形BCF和直角三角形DEF的面積．我們只要用正方形面積減去這三個直角三角形的面積就能算出陰影部分面積．【詳解】三角形ABE面積=3×6×2＝9.三角形BCF面積=6×（6-2）÷2＝12.三角形DEF面積=2×（6-3）÷2＝3.三角形BEF面積=6×6-9-12-3＝12.2．下圖中，有四條線段的長度已經(jīng)知道，還有兩個角是直角，那么四邊形ABCD（陰影部分）的面積是多少？【答案】48【詳解】把A和C連成線段，四邊形ABCD就分成了三角形ABC和三角形ADC.對三角形ABC來說，AB是底邊，高是10，因此面積=4×10÷2＝20.對三角形ADC來說，DC是底邊，高是8，因此面積=7×8÷2＝28.四邊形ABCD面積=20＋28＝48.3．?dāng)?shù)學(xué)思考。如圖是一個正方形和半圓所組成的圖形，其中P為半圓周的中點，Q為正方形BC邊上的中點，求空白部分的面積。（單位：平方厘米）【答案】87.5平方厘米【分析】如下圖所示；連接PB，P點為半圓周的中點，作三角形PAB的高PG，則G是AB的中點，所以PG的長度為正方形的邊長加半圓的半徑，正方形的邊長是10厘米，半圓的直徑是10厘米，所以PG的長度是10＋10÷2＝15厘米，所以三角形PAB的面積是10×15÷2＝75平方厘米；Q點為正方形一邊的中點，所以三角形PBQ的面積是5×5÷2＝12.5平方厘米，據(jù)此列式解答即可。【詳解】10×15÷2＝150÷2＝75（平方厘米）5×5÷2＝25÷2＝12.5（平方厘米）75＋12.5＝87.5（平方厘米）答：空白部分的面積是87.5平方厘米?！军c睛】此題考查了三角形、正方形和圓的面積公式的綜合應(yīng)用，連接BP，找出這兩個白色三角形的高是解決本題的關(guān)鍵。4．如下圖，在桌面上放置著3個兩兩重疊的圓紙片，每個圓紙片的面積都是160平方厘米，三個圓紙片蓋住桌面的總面積是330平方厘米，三個圓紙片共同重疊部分的面積是15平方厘米。圖中陰影部分的面積一共是多少平方厘米？【答案】120平方厘米【分析】通過對圖的觀察，從三個圓片的總面積里去掉蓋住桌面的總面積以及三張紙片重疊面積的2倍，就可得陰影部分面積，因為陰影部分都是兩個重疊在一起，所以乘2，由此解答即可。【詳解】由分析可得：160×3－330－15×2＝480－330－30＝150－30＝120（平方厘米）答：圖中陰影部分的面積一共是120平方厘米?！军c睛】解答此題的關(guān)鍵，是知道重疊部分究竟是哪些，要明確陰影部分面積是由圓兩兩重疊得到的。5．有兩種自然的放法將正方形內(nèi)接于等腰直角三角形．已知等腰直角三角形的面積是36平方厘米，兩個正方形的面積分別是多少？【答案】16平方厘米【詳解】如圖：圖1：正方形面積等于等腰直角三角形的一半，面積為;36÷2=18(平方厘米)圖2：由圖可知三角形ab的面積是正方形面積的一半，三角形c的面積是正方形面積的所以，正方形的面積：36÷（++1+）=16（平方厘米）6．如圖，一個長8厘米，寬6厘米的長方形與一個邊長5厘米的正方形疊放在桌面上，求這兩個圖形蓋住桌面的面積？【答案】67平方厘米【分析】陰影部分是直角三角形，是兩個圖形的重疊部分，兩圖形的面積和減去陰影部分的面積，即是兩個圖形蓋住桌面的面積．【詳解】解：8×6＋5×5－3×4÷2=67（平方厘米）答：蓋住桌面的面積是67平方厘米．7．如圖，有三個面積各為20平方厘米的圓紙片放在桌上．三個紙片共同重疊的面積是8平方厘米，三個紙片蓋住桌面的總面積是36平方厘米．圖中陰影部分的面積之和是多少平方厘米？【答案】8平方厘米【分析】根據(jù)本題題意和容斥原理知道，從三個圓片的總面積里去掉蓋住桌面的總面積以及三張紙片重疊的面積的2倍（因為是兩個重疊在一起，所以乘2），由此即可求出答案．【詳解】解：20×3-36-8×2=60-36-16=8（平方厘米）答：圖中陰影部分的面積和是8平方厘米．8．下圖每個小正方形的邊長都是1厘米，一個三角形各頂點的位置如下：（1）畫出三角形ABC；（2）把三角形ABC向右平移6個單位，得三角形（A與對應(yīng)，B與對應(yīng)）畫出變化后的圖形（3）求三角形ABC的面積.【答案】（1）；（2）；（3）8平方厘米；【詳解】（1）數(shù)對表示位置的方法是：第一個數(shù)字表示列，第二個數(shù)字表示行，由此在圖中找出A、B、C三個點的位置順次連接即可得出三角形ABC，如圖：；（2）；（3）（平方厘米）；【點睛】考查了數(shù)對與位置，平移及格點與面積．求三角形面積直接利用畢克定理公式即可.9．如圖所示，在△ABC當(dāng)中，D是BC的中點，E是AC的中點，已知陰影部分的面積為5，△ABC的面積為多少？【答案】20【分析】因為E是AC的中點，所以AE＝EC，即△ADE的面積等于△CDE的面積，即可△ADC的面積，因為D是BC的中點，所以CD＝DB，即△ADC的面積等于△ADB的面積，即可求出△ABC的面積?！驹斀狻恳驗椤鰽DE的面積為5，所以△CDE的面積也為5，即△ADC的面積為：5＋5＝10；因為△ADC的面積為10，所以△ADB的面積也為10，即△ABC的面積為：10＋10＝20答：△ABC的面積為20?！军c睛】此題考查了學(xué)生對圖形的觀察能力和分析能力。10．如圖，在邊長為12的正方形中，有一個四邊形，那么陰影部分的面積是多少？【答案】82【解析】略11．如圖，是正方形，扇形的半徑是6厘米。求陰影部分的面積?！敬鸢浮?0.26平方厘米【分析】根據(jù)題意連接、AC交于點D，如圖因為扇形的半徑是6厘米，所以AC＝OB＝6厘米，AD＝CD＝3厘米，可以求出三角形OAB的面積再乘2即為正方形AOCB的面積，再用的半徑是6厘米的圓的面積減去正方形的面積就是陰影部分的面積?！驹斀狻恳驗橐設(shè)B＝AC＝6厘米，AD＝CD＝3厘米，直角三角形OAB等于6×3×＝9平方厘米，9×2＝18平方厘米，正方形的面積是18平方厘米。（平方厘米）答：陰影部分的面積是10.26平方厘米。故答案為：10.26平方厘米【點睛】本題考查了不規(guī)則圖形的面積求法，通過轉(zhuǎn)化為求規(guī)則圖形的面積和差即可，關(guān)鍵是牢記規(guī)則圖形的面積公式并能靈活運用。12．如圖所示，用一張斜邊長為17厘米的紅色直角三角形紙片，一張斜邊長為29厘米的黃色直角三角形紙片，一張藍色的正方形紙片，拼成一個直角三角形，求紅、黃兩張三角形紙片面積之和?！敬鸢浮?46.5平方厘米【分析】根據(jù)題干分析可得，將紅三角形繞點旋轉(zhuǎn)90度，直角邊與黃三角形直角邊重合就組成了一個新直角三角形，如下圖所示：紅黃三角形的面積之和就是一個大三角形的面積了。【詳解】根據(jù)分析可得：29×17÷2＝493÷2＝246.5（平方厘米）答：紅、黃兩張三角形紙片面積之和是246.5平方厘米?！军c睛】本題考查三角形的面積、旋轉(zhuǎn)，解答本題的關(guān)鍵是將紅色三角形旋轉(zhuǎn)90°與黃色三角形組成一個新直角三角形，從而利用三角形面積公式進行計算。13．仔細看圖，活學(xué)活用。（1）畫出三角形的邊上的高。（2）根據(jù)圖中提供的信息，不用測量任何數(shù)據(jù)，畫一個與三角形面積相等的三角形（3）應(yīng)用：在如圖所示的梯形中，三角形與三角形的面積分別是4平方厘米和9平方厘米。梯形的面積是（

）。【答案】（1）見詳解（2）見詳解（3）25平方厘米【分析】（1）從邊相對的頂點A向邊上畫垂直線段，與邊相交于D點，線段AD就是三角形邊上的高；（2）等底等高的三角形面積相等，圖中經(jīng)過點A的虛線與BC邊平行，在虛線上任選一點P，分別與B點、C點連接，所形成的三角形都與三角形ABC等底等高且面積相等。（3）根據(jù)蝴蝶原理，圖中梯形的上、下兩部分面積之積等于左、右兩部分面積之積，左、右兩部分面積相等。則左、右兩部分面積之積＝4×9＝36（平方厘米），36＝6×6，所以左、右兩部分面積都是6平方厘米。最后把四部分面積全部加起來即可?！驹斀狻浚?）如下圖：（2）如下圖：（3）根據(jù)蝴蝶定理，梯形左、右兩部分面積都是6平方厘米，梯形的面積＝4＋9＋6＋6＝25（平方厘米）【點睛】本題考查畫三角形的高、三角形的面積和梯形的面積，利用蝴蝶定理求出梯形左右兩部分的面積是題目中的難點。14．兩個相同的直角三角形如圖所示（單位：厘米）重疊在一起，求陰影部分的面積．【答案】17平方厘米．【分析】陰影部分是一個高為3厘米的直角梯形，然而它的上底與下底都不知道，因而不能直接求出它的面積．因為三角形ABC與三角形DEF完全相同，都減去三角形DOC后，根據(jù)差不變性質(zhì)，差應(yīng)相等，即陰影部分與直角梯形OEFC面積相等，所以求陰影部分的面積就轉(zhuǎn)化為求直角梯形OEFC的面積．【詳解】解：直角梯形OEFC的上底為：10－3=7（厘米），直角梯形OEFC的面積為（7+10）×2÷2=17（平方厘米）．答：陰影部分的面積是17平方厘米．15