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安徽省馬鞍山含山2024年高三第九次考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),當(dāng)時(shí),,則使得成立的的取值范圍是()A. B.C. D.2.設(shè)m,n為直線,、為平面,則的一個(gè)充分條件可以是()A.,, B.,C., D.,3.已知點(diǎn)是拋物線:的焦點(diǎn),點(diǎn)為拋物線的對(duì)稱軸與其準(zhǔn)線的交點(diǎn),過作拋物線的切線,切點(diǎn)為,若點(diǎn)恰好在以,為焦點(diǎn)的雙曲線上,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.4.已知向量,(其中為實(shí)數(shù)),則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知函數(shù),若曲線上始終存在兩點(diǎn),,使得,且的中點(diǎn)在軸上,則正實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.6.網(wǎng)絡(luò)是一種先進(jìn)的高頻傳輸技術(shù),我國的技術(shù)發(fā)展迅速,已位居世界前列.華為公司2019年8月初推出了一款手機(jī),現(xiàn)調(diào)查得到該款手機(jī)上市時(shí)間和市場占有率(單位:%)的幾組相關(guān)對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù).如圖所示的折線圖中,橫軸1代表2019年8月,2代表2019年9月……,5代表2019年12月,根據(jù)數(shù)據(jù)得出關(guān)于的線性回歸方程為.若用此方程分析并預(yù)測(cè)該款手機(jī)市場占有率的變化趨勢(shì),則最早何時(shí)該款手機(jī)市場占有率能超過0.5%(精確到月)()A.2020年6月 B.2020年7月 C.2020年8月 D.2020年9月7.陀螺是中國民間最早的娛樂工具,也稱陀羅.如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為,粗線畫出的是某個(gè)陀螺的三視圖,則該陀螺的表面積為()A. B.C. D.8.中,角的對(duì)邊分別為,若,,,則的面積為()A. B. C. D.9.已知的展開式中第項(xiàng)與第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為().A. B. C. D.10.若向量,,則與共線的向量可以是()A. B. C. D.11.劉徽(約公元225年-295年),魏晉期間偉大的數(shù)學(xué)家,中國古典數(shù)學(xué)理論的奠基人之一他在割圓術(shù)中提出的,“割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣”,這可視為中國古代極限觀念的佳作,割圓術(shù)的核心思想是將一個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形等分成n個(gè)等腰三角形(如圖所示),當(dāng)n變得很大時(shí),這n個(gè)等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積,運(yùn)用割圓術(shù)的思想,得到的近似值為()A. B. C. D.12.已知拋物線,F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)且MN為過焦點(diǎn)的弦,若,,則的面積為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知為等差數(shù)列,為其前n項(xiàng)和,若,,則_______.14.已知數(shù)列滿足,且,則______.15.已知實(shí)數(shù),滿足則的取值范圍是______.16.設(shè),則除以的余數(shù)是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在三棱錐中,平面平面,,.點(diǎn),,分別為線段,,的中點(diǎn),點(diǎn)是線段的中點(diǎn).(1)求證:平面.(2)判斷與平面的位置關(guān)系,并證明.18.(12分)在①,②,③這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問題中.若問題中的正整數(shù)存在,求的值;若不存在,說明理由.設(shè)正數(shù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,是等差數(shù)列,__________,,,,是否存在正整數(shù),使得成立?19.(12分)在中,內(nèi)角的邊長分別為,且.(1)若,,求的值;(2)若,且的面積,求和的值.20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求曲線、的極坐標(biāo)方程;(2)在極坐標(biāo)系中,射線與曲線,分別交于、兩點(diǎn)(異于極點(diǎn)),定點(diǎn),求的面積21.(12分)已知函數(shù),.(1)若對(duì)于任意實(shí)數(shù),恒成立,求實(shí)數(shù)的范圍;(2)當(dāng)時(shí),是否存在實(shí)數(shù),使曲線:在點(diǎn)處的切線與軸垂直?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.22.(10分)已知橢圓的左,右焦點(diǎn)分別為,直線與橢圓相交于兩點(diǎn);當(dāng)直線經(jīng)過橢圓的下頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)時(shí),的周長為,且與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為(1)求橢圓的方程;(2)點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),滿足,若點(diǎn)恰好在圓上,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】構(gòu)造函數(shù),令,則,由可得,則是區(qū)間上的單調(diào)遞減函數(shù),且,當(dāng)x∈(0,1)時(shí),g(x)>0,∵lnx<0,f(x)<0,(x2-1)f(x)>0;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),g(x)<0,∵lnx>0,∴f(x)<0,(x2-1)f(x)<0∵f(x)是奇函數(shù),當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),f(x)>0,(x2-1)f(x)<0∴當(dāng)x∈(-∞,-1)時(shí),f(x)>0,(x2-1)f(x)>0.綜上所述,使得(x2-1)f(x)>0成立的x的取值范圍是.本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛:函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一,它的應(yīng)用貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān),但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系,抓住其本質(zhì),那么運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題,能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí),并掌握好使用的技巧和方法,這是非常必要的.根據(jù)題目的特點(diǎn),構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題,是一種常用技巧.許多問題,如果運(yùn)用這種思想去解決,往往能獲得簡潔明快的思路,有著非凡的功效.2、B【解析】
根據(jù)線面垂直的判斷方法對(duì)選項(xiàng)逐一分析,由此確定正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng),當(dāng),,時(shí),由于不在平面內(nèi),故無法得出.對(duì)于B選項(xiàng),由于,,所以.故B選項(xiàng)正確.對(duì)于C選項(xiàng),當(dāng),時(shí),可能含于平面,故無法得出.對(duì)于D選項(xiàng),當(dāng),時(shí),無法得出.綜上所述,的一個(gè)充分條件是“,”故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面垂直的判斷,考查充分必要條件的理解,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】
根據(jù)拋物線的性質(zhì),設(shè)出直線方程,代入拋物線方程,求得k的值,設(shè)出雙曲線方程,求得2a=丨AF2丨﹣丨AF1丨=(1)p,利用雙曲線的離心率公式求得e.【詳解】直線F2A的直線方程為:y=kx,F(xiàn)1(0,),F(xiàn)2(0,),代入拋物線C:x2=2py方程,整理得:x2﹣2pkx+p2=0,∴△=4k2p2﹣4p2=0,解得:k=±1,∴A(p,),設(shè)雙曲線方程為:1,丨AF1丨=p,丨AF2丨p,2a=丨AF2丨﹣丨AF1丨=(1)p,2c=p,∴離心率e1,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線及雙曲線的方程及簡單性質(zhì),考查轉(zhuǎn)化思想,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.4、A【解析】
結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示,將兩個(gè)條件相互推導(dǎo),根據(jù)能否推導(dǎo)的情況判斷出充分、必要條件.【詳解】由,則,所以;而當(dāng),則,解得或.所以“”是“”的充分不必要條件.故選:A【點(diǎn)睛】本小題考查平面向量的運(yùn)算,向量垂直,充要條件等基礎(chǔ)知識(shí);考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力,應(yīng)用意識(shí).5、D【解析】
根據(jù)中點(diǎn)在軸上,設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo),,().對(duì)分成三類,利用則,列方程,化簡后求得,利用導(dǎo)數(shù)求得的值域,由此求得的取值范圍.【詳解】根據(jù)條件可知,兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù),不妨設(shè),,(),若,則,由,所以,即,方程無解;若,顯然不滿足;若,則,由,即,即,因?yàn)?,所以函?shù)在上遞減,在上遞增,故在處取得極小值也即是最小值,所以函數(shù)在上的值域?yàn)?,?故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查平面平面向量數(shù)量積為零的坐標(biāo)表示,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值,考查分析與運(yùn)算能力,屬于較難的題目.6、C【解析】
根據(jù)圖形,計(jì)算出,然后解不等式即可.【詳解】解:,點(diǎn)在直線上,令因?yàn)闄M軸1代表2019年8月,所以橫軸13代表2020年8月,故選:C【點(diǎn)睛】考查如何確定線性回歸直線中的系數(shù)以及線性回歸方程的實(shí)際應(yīng)用,基礎(chǔ)題.7、C【解析】
畫出幾何體的直觀圖,利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的表面積即可,【詳解】由題意可知幾何體的直觀圖如圖:上部是底面半徑為1,高為3的圓柱,下部是底面半徑為2,高為2的圓錐,幾何體的表面積為:,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查三視圖求解幾何體的表面積,判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵.8、A【解析】
先求出,由正弦定理求得,然后由面積公式計(jì)算.【詳解】由題意,.由得,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查求三角形面積,考查正弦定理,同角間的三角函數(shù)關(guān)系,兩角和的正弦公式與誘導(dǎo)公式,解題時(shí)要根據(jù)已知求值要求確定解題思路,確定選用公式順序,以便正確快速求解.9、D【解析】因?yàn)榈恼归_式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,所以,解得,所以二項(xiàng)式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為.考點(diǎn):二項(xiàng)式系數(shù),二項(xiàng)式系數(shù)和.10、B【解析】
先利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求出向量,然后利用向量平行的條件判斷即可.【詳解】故選B【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量平行的判定,屬于基礎(chǔ)題,在解題中要注意橫坐標(biāo)與橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng),縱坐標(biāo)與縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng),切不可錯(cuò)位.11、A【解析】
設(shè)圓的半徑為,每個(gè)等腰三角形的頂角為,則每個(gè)等腰三角形的面積為,由割圓術(shù)可得圓的面積為,整理可得,當(dāng)時(shí)即可為所求.【詳解】由割圓術(shù)可知當(dāng)n變得很大時(shí),這n個(gè)等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積,設(shè)圓的半徑為,每個(gè)等腰三角形的頂角為,所以每個(gè)等腰三角形的面積為,所以圓的面積為,即,所以當(dāng)時(shí),可得,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積公式的應(yīng)用,考查閱讀分析能力.12、A【解析】
根據(jù)可知,再利用拋物線的焦半徑公式以及三角形面積公式求解即可.【詳解】由題意可知拋物線方程為,設(shè)點(diǎn)點(diǎn),則由拋物線定義知,,則.由得,則.又MN為過焦點(diǎn)的弦,所以,則,所以.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的方程應(yīng)用,同時(shí)也考查了焦半徑公式等.屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】試題分析:因?yàn)槭堑炔顢?shù)列,所以,即,又,所以,所以.故答案為1.【考點(diǎn)】等差數(shù)列的基本性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】在等差數(shù)列五個(gè)基本量,,,,中,已知其中三個(gè)量,可以根據(jù)已知條件,結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式列出關(guān)于基本量的方程(組)來求余下的兩個(gè)量,計(jì)算時(shí)須注意整體代換思想及方程思想的應(yīng)用.14、【解析】
數(shù)列滿足知,數(shù)列以3為公比的等比數(shù)列,再由已知結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)求得的值即可.【詳解】,數(shù)列是以3為公比的等比數(shù)列,又,,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列定義,考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,是中檔題.15、【解析】
根據(jù)約束條件畫出可行域,即可由直線的平移方法求得的取值范圍.【詳解】.由題意,畫出約束條件表示的平面區(qū)域如下圖所示,令,則如圖所示,圖中直線所示的兩個(gè)位置為的臨界位置,根據(jù)幾何關(guān)系可得與軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為,所以的取值范圍為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了非線性約束條件下線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用,由數(shù)形結(jié)合法求線性目標(biāo)函數(shù)的取值范圍,屬于中檔題.16、1【解析】
利用二項(xiàng)式定理得到,將89寫成1+88,然后再利用二項(xiàng)式定理展開即可.【詳解】,因展開式中后面10項(xiàng)均有88這個(gè)因式,所以除以的余數(shù)為1.故答案為:1【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用,涉及余數(shù)的問題,解決此類問題的關(guān)鍵是靈活構(gòu)造二項(xiàng)式,并將它展開分析,本題是一道基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析(2)平面.見解析【解析】
(1)要證平面,只需證明,,即可求得答案;(2)連接交于點(diǎn),連接,根據(jù)已知條件求證,即可判斷與平面的位置關(guān)系,進(jìn)而求得答案.【詳解】(1),為邊的中點(diǎn),,平面平面,平面平面,平面,平面,,在內(nèi),,為所在邊的中點(diǎn),,又,,平面.(2)判斷可知,平面,證明如下:連接交于點(diǎn),連接.、、分別為邊、、的中點(diǎn),.又是的重心,,,平面,平面,平面.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求證線面垂直和線面平行,解題關(guān)鍵是掌握線面垂直判定定理和線面平行判斷定理,考查了分析能力和空間想象能力,屬于中檔題.18、見解析【解析】
根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)及、,可求得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,由即可求得的值;根據(jù)等式,變形可得,分別討論?、佗冖壑械囊粋€(gè),結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式代入化簡,檢驗(yàn)是否存在正整數(shù)的值即可.【詳解】∵在等差數(shù)列中,,∴,∴公差,∴,∴,若存在正整數(shù),使得成立,即成立,設(shè)正數(shù)等比數(shù)列的公比為的公比為,若選①,∵,∴,∴,∴,∴當(dāng)時(shí),滿足成立.若選②,∵,∴,∴,∴,∴方程無正整數(shù)解,∴不存在正整數(shù)使得成立.若選③,∵,∴,∴,∴,∴解得或(舍去),∴,∴當(dāng)時(shí),滿足成立.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法,等比數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用,遞推公式的簡單應(yīng)用,補(bǔ)充條件后求參數(shù)的值,屬于中檔題.19、(1);(2).【解析】
(1)先由余弦定理求得,再由正弦定理計(jì)算即可得到所求值;
(2)運(yùn)用二倍角的余弦公式和兩角和的正弦公式,化簡可得sinA+sinB=5sinC,運(yùn)用正弦定理和三角形的面積公式可得a,b的方程組,解方程即可得到所求值.【詳解】解:(1)由余弦定理由正弦定理得(2)由已知得:所以------①又所以------②由①②解得【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理和面積公式的運(yùn)用,以及三角函數(shù)的恒等變換,考查化簡整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題.20、(1),;(2).【解析】
(1)先把參數(shù)方程化成普通方程,再利用極坐標(biāo)的公式把普通方程化成極坐標(biāo)方程;(2)先利用極坐標(biāo)求出弦長,再求高,最后求的面積.【詳解】(1)曲線的極坐標(biāo)方程為:,因?yàn)榍€的普通方程為:,曲線的極坐標(biāo)方程為;(2)由(1)得:點(diǎn)的極坐標(biāo)為,點(diǎn)的極坐標(biāo)為,,點(diǎn)到射線的距離為的面積為.【點(diǎn)睛】本題考查普通方程、參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程之間的互化,同時(shí)也考查了利用極坐標(biāo)方程求解面積問題,考查計(jì)算能力,屬于中等題.21、(1);(2)不存在實(shí)數(shù),使曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直.【解析】
(1)分類時(shí),恒成立,時(shí),分離參數(shù)為,引入新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)
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