2025中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：旋轉(zhuǎn)（解析版）

中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題一旋轉(zhuǎn)

(繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn))

一、選擇題

1.平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(6,1),將04繞原點(diǎn)按逆

時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。得則點(diǎn)B的坐標(biāo)為()

A.(-^,1)B.(-1,>/3)C.(1,>/3)D.(73,1)

【分析】先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖，利用圖象則可求得點(diǎn)B的坐標(biāo).

【解析】過點(diǎn)B作尤軸于點(diǎn)C,過點(diǎn)B作3PLy軸于點(diǎn)F,

???點(diǎn)A的坐標(biāo)為(Ml),將繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。得

:.BC=,CO=BF=1,

.??點(diǎn)B的坐標(biāo)為：卜1,⑹.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想得出BC,C。的

長.圖形或點(diǎn)旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì)來求出旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)的

坐標(biāo).

2.如圖，點(diǎn)P(L4)繞著原點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90度后得到像點(diǎn)Q,則點(diǎn)Q的坐

標(biāo)是()

A.(1,-4)B.(-1,4)C.(4,-1)D.(-4,1)

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的方法，作圖即可確定旋轉(zhuǎn)以后點(diǎn)的坐標(biāo).

【解析】點(diǎn)的坐標(biāo)為(L4),根據(jù)旋轉(zhuǎn)中心0,旋轉(zhuǎn)方向順時(shí)針，旋轉(zhuǎn)

角度90。，畫圖，

從而得Q點(diǎn)坐標(biāo)為(4,-1).

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題涉及圖形變換，旋轉(zhuǎn)，應(yīng)抓住旋轉(zhuǎn)的三要素：旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)方向，

旋轉(zhuǎn)角度，通過畫圖求解.

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，I2ABC中點(diǎn)A的坐標(biāo)是(3,4),把團(tuán)ABC繞原點(diǎn)

。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到A!B'C,則點(diǎn)A'的坐標(biāo)為()

A.(4,—3]B.(—4,3)C.(—3,4)D.(—3,—4]

【分析】連接以，OA',過點(diǎn)A作AEBJx軸于E,過點(diǎn)4作軸于F，根據(jù)

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得。1=04,利用同角的余角相等求出=然后利用“角

角邊"證明I2A0E和OAB全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得

OF=AE,A'F=OE,然后寫出點(diǎn)4的坐標(biāo)即可.

【解析】解：如圖，連接(M,OA,過點(diǎn)A作AEElx軸于E,過點(diǎn)4作AFA軸

于尸，則ZAEO=/OE4'=90。，

r點(diǎn)A的坐標(biāo)是(3,4),

:、AE=4,OE=3.

vOA繞坐標(biāo)原點(diǎn)0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至0A,

f

.\OA=OA,ZAOA=90°9

VZAOF+ZAOE=90°,ZAOE+ZOAE=90°,

ZOAE=ZAOF,

在A4OE和Q4/中，

ZOAE=NA'OF

-ZAEO=ZOFA',

OA=OA'

AOEFRAAS'）,

；.OF=AE=4,AF=OE=3,

.??點(diǎn)4的坐標(biāo)為（Y,3）.

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化流轉(zhuǎn)，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三

角形是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0,2也）,B（6,0）,點(diǎn)P為線段AB的

中點(diǎn)，將線段AB繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)P/的坐標(biāo)是（）

A.（-3,石）B.（-石，3）C.（73,-3）D.（-1,6）

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得到A和B，的坐標(biāo)，再根據(jù)A和B，的坐標(biāo)求得其中

點(diǎn)P'的坐標(biāo)即可.

【解析】解：將線段AB旋轉(zhuǎn)之后得到的線段為A，B，，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得A（-26,0）B,（0,6）

此時(shí)P'是線段為AB，的中點(diǎn)，

???點(diǎn)P'的坐標(biāo)為（皿2,5辿）即（-73,3）.

22

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化一一旋轉(zhuǎn)：旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大小,

根據(jù)旋轉(zhuǎn)角度求出旋轉(zhuǎn)之后的坐標(biāo)即可.

5.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4（2,0）,3（5,4）,連接A3得到線段A3,現(xiàn)將線段AB

繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90。，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為9,則點(diǎn)b的坐標(biāo)為（）.

A.（5,-4）B.（-2,3）C.（—2,3）或（5,-4）D.（-2,3）或（6,-3）

【分析】由于題目沒有說明順時(shí)針旋轉(zhuǎn)還是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，故需要分情況討論.

【解析】解：當(dāng)4?繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。時(shí)，

此時(shí)過點(diǎn)作8力1.無軸于點(diǎn)D,

vABAC+ZB'AD=90°,ZDB'A+ZB'AD=90°,

ABAC=ZDB'A,

在37M和八4（田中，

'NACB=NBQA

<ABAC=ZDB'A,

AB=AB'

AACB/△JB'ZM（AAS）,

:.AD=BD,B'D=AC,

???A(2,0),8(5,4),

；.BC=4,AC=3,

3'(-2,3),

當(dāng)A5繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。時(shí)，

過點(diǎn)&作？軸于點(diǎn)E,

vABAC+AB'AC=90°,ACB'A+AB'AC=90°,

;.NBAC=NCB，A,

在，MCA和八以中，

ZACB=ZB'CA

<ABAC=ZCB'A,

AB=AB'

△ACB^AB,C4(AAS),

AC=BC,B'C=AC,

vA(2,0),8(5,4),

；.BC=4,AC=3,

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離和全等三角形的判定和性質(zhì)，靈

活運(yùn)用所學(xué)知識求解是解決本題的關(guān)鍵.

6.如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-2,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)是(0,6),C為OB的中點(diǎn)，將E1ABC

繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后得到AA2C.若反比例函數(shù)y=工的圖象恰好經(jīng)過A3的

X

【分析】作A'HD軸于巴證明，A03三.BM4'(A4S),推出。1=3",OB=A'H,

求出點(diǎn)4坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)D坐標(biāo)即可解決問題.

vZAOB=ZAHB=ZABA=90°,

???ZABO+ZABH=90°,ZABO+ZBAO=90°,

???NBAO=ZABH,

-BA=BA,

AOB^BHA(AAS),

:.OA=BH,OB=AH,

,?,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-2,0),點(diǎn)3的坐標(biāo)是(0,6),

OA=2,OB=6,

:.BH=OA=2,AH=OB=6,

:.OH=4,

(6,4),

?：BD=AD,

.-.D(3,5),

???反比例函數(shù)y=&的圖象經(jīng)過點(diǎn)。，

X

:.k=15.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)圖形上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，坐標(biāo)與圖形的變化-旋轉(zhuǎn)

等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中

考選擇題中的壓軸題.

7.如圖，正方形OABC的兩邊OA、OC分別在x軸和y軸上，點(diǎn)D(3,2)在

邊AB上，以C為中心，將回CDB旋轉(zhuǎn)90°,則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)D'的坐標(biāo)是

A.(1,6)B.(-1,0)

C.(1,6)或(-1,0)D.(6,1)或(-1,0)

【分析】根據(jù)題意，分順時(shí)針旋轉(zhuǎn)和逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)兩種情況，求出點(diǎn)D，到x軸、y

軸的距離，即可判斷出旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)D'的坐標(biāo).

【解析】解：因?yàn)辄c(diǎn)D(3,2)在邊AB上，

所以AB=BC=3,BD=3-2=1,

(1)若把E1CDB順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，

則點(diǎn)D'在x軸上，OD'=1,

所以D'(-1,0)；

(2)若把I3CDB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，

則點(diǎn)D'到x軸的距離為6,到y(tǒng)軸的距離為1,

所以D'(1,6),

綜上，旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)D'的坐標(biāo)為(-1,0)或(1,6),

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，考查了分類討論思想的應(yīng)用，解答此

題的關(guān)鍵是要注意分順時(shí)針旋轉(zhuǎn)和逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)兩種情況.

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角回OAB位置如圖，ZOBA=90。，點(diǎn)B的

坐標(biāo)為(1,0),每一次將120AB繞點(diǎn)0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，同時(shí)每邊擴(kuò)大為原來

的2倍，第一次旋轉(zhuǎn)得到回OAiBi,第二次旋轉(zhuǎn)得到130A2B2,…，以此類推，則

20212021

A.(22022,22022)B.(-2,2)C.(22021,-22021)D.(-22022,-22022)

【分析】E1AOB是等腰直角三角形，OA=1,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得

點(diǎn)A(L1)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后可得4(-2,2),同理AG4,一4)，依次類推可求得，4(8,-8),

4(16,16),這些點(diǎn)所位于的象限為每4次一循環(huán)，根據(jù)規(guī)律即可求出A2022的坐標(biāo).

【解析】是等腰直角三角形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(L0),

:.AB=OB=1,

???A點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1).

將Q4B繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到等腰直角三角形。4片，且A旦=2AB,

再將。。4月繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到等腰直角三角形外灰，且人當(dāng)=24瓦，

依此規(guī)律，

???點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)所位于的象限為每4次一循環(huán)，

即A(-2,2),4(-4,-4),4(8,-8),4(16,16).

???2022=505x4+2,

.?.點(diǎn)4()22與4同在一個(gè)象限內(nèi).

■.--4=-22,8=2"16=24,

，.點(diǎn)心(-2叫一2的).

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形在平面直角坐標(biāo)系中旋轉(zhuǎn)的規(guī)律問題，熟練

掌握等腰直角三角形的性質(zhì)并能夠在坐標(biāo)系中找到點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律是解題

的關(guān)鍵.

二、填空題

9.如圖，AABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)是（TO）,

現(xiàn)將AABC繞A點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。，則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)C對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是

【分析】根據(jù)圖形在坐標(biāo)中的旋轉(zhuǎn)步驟，對線段AB、AC先逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，然后連

接BC即可得出旋轉(zhuǎn)后的圖形，直接讀出點(diǎn)的坐標(biāo)即可.

【解析】解：如圖所示，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的圖形如圖，

根據(jù)圖像可得：點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（-2,3）,

故答案為：（-2,3）.

【點(diǎn)睛】題目主要考查圖形在坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)，掌握圖形旋轉(zhuǎn)步驟是解題關(guān)鍵.

4

10.如圖，直線y=§x+4與X軸軸分別交于A,3兩點(diǎn)，把AAOB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)90。后得到AAOB,則點(diǎn)B的坐標(biāo)是.

【分析】過點(diǎn)8,作軸于點(diǎn)C,根據(jù)題意求出B、A的坐標(biāo)，然后證明VAB'C

和-BA。全等，根據(jù)對應(yīng)邊相等進(jìn)行代換進(jìn)而求出答案即可.

【解析】解：如圖，過點(diǎn)K作軸于點(diǎn)C,

4

y^-x+4,當(dāng)x=0時(shí)，y=

44

當(dāng)y=O時(shí)，—%+4=0,-x=-4,x=-3；

.?.B(0,4),A(-3,0)

:.OB=4,OA=3

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，AB=AB',ZBAB=90°

:.ZBAO+ZCAB'=90°

B'C_Lx軸，ZAOB=90°

:.ZB'CA=ZAOB^90°,

ACAB+ZABC=9(f

又iZBAO+ZCAB'=9(f

ZAB'C=ZBAO

在VAB'C和，54。中

ZB'CA=ZAOB

<ZAB'C=ZBAO

AB'=BA

/.ABC=BAO

:.CB=OA=39CA=OB=4

.?.OC=O!A+C4=3+4=7

點(diǎn)2’在第二象限內(nèi)

二點(diǎn)8,的坐標(biāo)是(-7,3).

故答案為：(-7,3).

【點(diǎn)睛】本題考查的旋轉(zhuǎn)和全等的知識點(diǎn)，解題關(guān)鍵在于把握題干知識點(diǎn)證明全

等之后進(jìn)行代換即可.

11.如圖，在邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，團(tuán)ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，將12ABe

繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到回A'B'C',則圖中陰影部分圖形的面積為.(結(jié)

果保留n).

：B

【解析】試題解析：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理得到：A'B2=AB2=22+32=13.

二90%xl31?c13"

S陰影二^-一萬以小二彳萬一3.

考點(diǎn)：1.扇形面積的計(jì)算；2.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A和B的坐標(biāo)分別為(2,0),(0,-4),

若將線段AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段AC,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為.

【分析】如圖，過點(diǎn)C作CHEIx軸于H.證明EIAOB三團(tuán)CHA(AAS),推出CH=

0A=2,AH=0B=4,可得結(jié)論.

【解析】解：如圖，過點(diǎn)C作CH13X軸于H.

???A(2,0),B(0,4),

.??OA=2,OB=4,

???ZAHC=ZAOB=ZBCA=90°,

.-.ZCAH+ZBAO=90°,ZABO+ZBAO=90°,

.-.ZCAH=ZABO,

在團(tuán)AOB和團(tuán)CHA中，

ZAHC=ZAOB

<ZCAH=ZABO,

AC=AB

.-.0AOB=ECHA(AAS),

???CH=OA=2,AH=OB=4,

???OH=AH-OA=2,

???C(-2,2).

【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形變化表轉(zhuǎn)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線,

構(gòu)造全等三角形解決問題.

13.如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，13ABe是由回ABC繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。

得到的，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是.

y

【分析】根據(jù)對應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線的交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心作圖求解即可.

【解析】解：如圖，點(diǎn)P即為所求，P(1,0).

【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形變化表轉(zhuǎn)變換，解題的關(guān)鍵是理解對應(yīng)點(diǎn)連線的

垂直平分線的交點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)中心.

14.如圖，AABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)是(-1,0),

現(xiàn)將AABC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,再向右平移一個(gè)單位后點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)O的

坐標(biāo)是?

【分析】利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)畫出圖形，觀察圖形即可得結(jié)論.

【解析】AABC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后的圖像如圖：

觀察圖象，可知c對應(yīng)的點(diǎn)G坐標(biāo)為(-2,3),

(-2,3)再向右平移一個(gè)單位后點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C'的坐標(biāo)是(T，3)

故答案是：(T3).

【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)、平移，解題的關(guān)鍵是畫出旋轉(zhuǎn)后的圖

形，屬于中考?？碱}型.

15.如圖，在直角坐標(biāo)系中，邊長為2個(gè)單位長度的正方形ABCO繞原點(diǎn)0逆時(shí)

針旋轉(zhuǎn)75。，再沿y軸方向向上平移1個(gè)單位長度，則點(diǎn)3"的坐標(biāo)為.

-2-1012x

【分析】連接0B,03’由題意可得乙水加=75。，可得出ZCO?=30。，可求出夕的

坐標(biāo)，即可得出點(diǎn)的坐標(biāo).

【解析】解：如圖：連接0B,。8',作笈/Ely軸

.-.ZCOB=45°,OB=20

???繞原點(diǎn)0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)75。

:/BOB'=75°

.-./.COB'=30°

-：OB,-OB-2y/2

■■■MB'=42,MO=yf6

B'(—\/2,,^6)

???沿y軸方向向上平移1個(gè)單位長度

B"(—,\/2,y/6+1)

故答案為：(-五,>/6+1)

【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，坐標(biāo)與圖形變化-平移，熟練掌握

網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，準(zhǔn)確確定出對應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵.

16.如圖，把正方形鐵OABC置于平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(。，3),

點(diǎn)P(T,2)在正方形鐵片上，將正方形鐵片繞其右下角的頂點(diǎn)按順時(shí)針方向依次

旋轉(zhuǎn)90。，第一次旋轉(zhuǎn)至圖①位置，第二次旋轉(zhuǎn)至圖②位置……，則正方形鐵片

連續(xù)旋轉(zhuǎn)2022次，點(diǎn)P的坐標(biāo)變?yōu)?

BA

P??P???

P??P

C0①②③3

【分析】首先求出Pi?P5的坐標(biāo)，探究規(guī)律后，再利用規(guī)律解決問題.

【解析】解：第一次Pi(2,1),

第二次P2(4,1),

第三次P3(7,2),

第四次P4(ll,2),

第五次P5(14,1),

發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P的位置4次一個(gè)循環(huán)

???2022+4=505……2

???P2022的縱坐標(biāo)與P2相同為1,橫坐標(biāo)為4+4x3x505=6064

”2022(6064,1)

故答案為：(6064,1).

【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)規(guī)律問題，由前面幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)尋找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

17.如圖，已知.ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(T2),8(-3,4),C(-2,6),在給出

的平面直角坐標(biāo)系中：

(1)作出ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后得到的△ABC；并直接寫出G的坐標(biāo)；

(2)作出ASC關(guān)于原點(diǎn)。成中心對稱的△&BzG；并直接寫出色的坐標(biāo)

【分析】(1)ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，則ABLA%AC1AQ,連接B6,

即可得到所求圖形，并得到G的坐標(biāo)；

(2)ASC關(guān)于原點(diǎn)。成中心對稱的△人與6,則點(diǎn)A(T,2),8(-3,4),(7(-2,6)與

點(diǎn)4,鳥，4的坐標(biāo)關(guān)系是橫縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，由此即可求解.

【解析】(1)解：ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，如圖所示，

???點(diǎn)G(3,3).

(2)解：根據(jù)；ASC關(guān)于原點(diǎn)。成中心對稱的△人魚作圖如下,

原因原點(diǎn)的中心對稱，則點(diǎn)A(T2),5(-3,4),C(-2,6)與點(diǎn)兒,層，G的坐標(biāo)關(guān)

系是橫縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，

.?.4(1,-2),巴(3,-4),QC2.-6),

【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形在平面直角坐標(biāo)系中的變換，解題的關(guān)鍵是點(diǎn)的坐標(biāo).

18.已知：在平面直角坐標(biāo)系中，ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

A(5,4),B(0,3),C(2,l).

(1)畫出一ABC關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱的并寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)畫出將△ABC繞點(diǎn)Ci按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。所得的并寫出點(diǎn)4的坐標(biāo)為

(3)在y軸上有點(diǎn)P,使尸A+PC最小，直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo)為；PA+PC的最

小值％.

【分析】(1)分別作出三頂點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，再順次連接即可得出答案.

(2)分別作出點(diǎn)4,耳繞點(diǎn)G按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。所得的對應(yīng)點(diǎn)，再順次連接即可

得出答案；

(3)作點(diǎn)C關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)D,連接AD交y軸于點(diǎn)P,此時(shí)PA+PC的值最

小，最小值為AD的長，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得點(diǎn)。(-2,1),求出線段AD,直線AD

的解析式，即可求解.

【解析】(1)解：如圖，△/!由G即為所求，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-5,-4).

(2)解：如圖，△A與G即為所求.4(-5,2).

(3)解：如圖，作點(diǎn)C關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)D,連接4)交y軸于點(diǎn)P,此時(shí)P4+PC

的值最小，最小值為AD的長，

???點(diǎn)C(2,l),

點(diǎn)。(-2,1),

AD=J(5+2『+(4_l)2=758;

設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b〈k豐0),

把點(diǎn)。(-2,1),4(5,4)代入得:

-2k+b=\

,解得：

5左+6=4

313

二直線AD的解析式為>=齊+/，

13

當(dāng)X=0時(shí)，y=y,

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為

故答案為：J無，［。，￡)

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形的軸對稱變換，旋轉(zhuǎn)變換，求一次函數(shù)的解析式,

正確得出對應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵.

19.實(shí)踐與操作：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)分別為。，3),

(3,2).

(1)畫出。AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后的△0W?；

(2)點(diǎn)M是。1的中點(diǎn)，在(1)的條件下，M的對應(yīng)點(diǎn)奴的坐標(biāo)為.

(3)以點(diǎn)B為位似中心，相似比為2:1,在x軸的上方畫出△040放大后的VO"A'B.

【分析】(1)找到0,A繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后的對應(yīng)點(diǎn)。，A,順次連接。，A；B,

則―0AB即為所求；

(2)點(diǎn)M是OA的中點(diǎn)，在(1)的條件下，即可得到點(diǎn)M的對應(yīng)點(diǎn)步的坐標(biāo)；

(3)延長30'至。"，財(cái)至4",使得B(T=2BO,BA1=2BA,連接ATT,則O"A'B

即為所求.

(1)

如圖，找至U0,A繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后的對應(yīng)點(diǎn)。，4,順次連接。，A1B,

則，OW3即為所求；

(2)

由題意得，點(diǎn)M與點(diǎn)乙在圖上標(biāo)出，

由圖可知，。'。，5),4(4,4),

,?,點(diǎn)M是。4的中點(diǎn)，

???經(jīng)過旋轉(zhuǎn)點(diǎn)河'也是O'A'的中點(diǎn)，

(3)

如圖，延長30'至O",加至4",使得3。"=2"7,BA"=2BA,連接A"O",則O"A'B

即為所求.

【點(diǎn)睛】本題考查了畫旋轉(zhuǎn)圖形，在平面直角坐標(biāo)系中畫位似圖形，掌握旋轉(zhuǎn)的

性質(zhì)和位似圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

20.如圖，直線y=gx+2交無軸于A,交y軸于B

(1)直線AB關(guān)于y軸對稱的直線解析式為

(2)直線AB繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后的直線解析式為—；

(3)將直線A8繞點(diǎn)P(T0)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90度，求旋轉(zhuǎn)后的直線解析式.

【分析】(1)先根據(jù)關(guān)于y軸對稱確定兩個(gè)坐標(biāo)，然后運(yùn)用待定系數(shù)法求解；

(2)根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)求確定兩個(gè)點(diǎn)的坐

標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求解；

(3)點(diǎn)A、B對應(yīng)點(diǎn)D、E的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解即可.

【解析】(1)解：由題意得:A(T,0),8(0,2),

???關(guān)于y軸對稱，則此直線過點(diǎn)(。，2)和(4,0),

設(shè)函數(shù)解析式為：y=kx+b,

J6=2

??[4Z+/?=0'

L—l

解得一2,

b=2

???函數(shù)解析式為：y=-gx+2；

故答案為：y=-3x+2；

(2)解：???關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)縱坐標(biāo)都互為相反數(shù),

???可得函數(shù)解析式過點(diǎn)(。，-2)和(4,0),

同理可得函數(shù)解析式為：

故答案為：y=gx-2；

(3)解：點(diǎn)A、B繞點(diǎn)尸(TO)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90度的對應(yīng)點(diǎn)分別為D、E,

過點(diǎn)后作口，》軸于點(diǎn)F,如圖，

PA=PD=3,PB=PE,ZBPE=90°,ZPOB=NEFP=90°,

D(-l,3),ZBPF+ZEPF=/EPF+ZPEF=90°,

NBPF=NPEF,

:.APOB=AEFP,

：.EF=OP=l,PF=OB=2,

E(L-l),

函數(shù)解析式過點(diǎn)(-1，3)和(1，-1),

同理可得函數(shù)解析式為：J=-2x+l.

【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，關(guān)鍵是掌握幾種對稱的特點(diǎn).

21.圖，直線AB與x軸交于點(diǎn)A(1,0),與y軸交于點(diǎn)B(0,2),將線段

AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段AC,反比例函數(shù)y=?A*0,x＞0)的圖象經(jīng)過

k

(2)求出反比例函數(shù)丫=[(左力。,彳＞0)的解析式.

【分析】(1)過點(diǎn)C作CDEIx軸，根據(jù)三角形全等的判定和性質(zhì)，可求C(3,1)；

(2)把C的坐標(biāo)代入了=?左#0戶＞0)求得k即可.

(1)

解：rA(1,0),B(0,2),

.,.OA=1,OB=2,

過點(diǎn)C作CD配軸，

???線段AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段AC,

.-.AB=AC,ZBAC=9Q°,

???ZOAB+ZCAD=90°,

???ZAOB=90°,

???NOAB+NOBA=90。，

???ZOBA=ZCAD,

又???ZAOB=ZCDA=90°,

???團(tuán)ABO三團(tuán)CAD(AAS),

???AD=0B=2,CD=OA=1,

OD=OA+AD=1+2=3,

???C(3,1),

(2)

k

??,反比例函數(shù)y=-(左wo,x>o)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C,

X

.'.k=3xl=3,

???反比例函數(shù)的解析式y(tǒng)=3(x>0).

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，坐標(biāo)與圖形的變化」性

質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，求得C的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

22.如圖，在直角坐標(biāo)系中有RtElAOB,0為坐標(biāo)原點(diǎn)，0B=LtanzABO=3,

將此三角形繞原點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得至URtECOD,二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖

象剛好經(jīng)過A,B,C三點(diǎn).

(1)求二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)P的坐標(biāo);

(2)過定點(diǎn)Q(L3)的直線1：y=kx-k+3與二次函數(shù)的圖象相交于M,N兩點(diǎn).

①若S0PMN=2,求k的值；

②證明：無論k為何值，I2PMN恒為直角三角形；

③當(dāng)直線1繞著定點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)時(shí)，EPMN外接圓圓心在一條拋物線上運(yùn)動(dòng)，直接寫

出拋物線的表達(dá)式.

【分析】(1)根據(jù)正切的定義求出0A,根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)求出0C,利用待定

系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式，利用配方法把一般式化為頂點(diǎn)式，求出頂點(diǎn)P

的坐標(biāo)；

(2)(①根據(jù)題意求出PQ=L根據(jù)三角形的面積公式得到X2Ji=4,根據(jù)一元二次

方程根與系數(shù)的關(guān)系解答即可；②根據(jù)正切的定義得到tanzPME=l」i，

tanZFPN=-^,進(jìn)而證明NPME=ZFPN,據(jù)此證明結(jié)論；③用k表示出MN的

中點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算即可.

(1)

解：vOB=l,tanzAB0=3,

.,.0A=0B*tanzAB0=3,

???A(0,3),

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：0C=0A=3,

把A(0,3)、C(3,0)分別代入解析，得

Jc=3

\-9+3b+c=0,

b=2

解得:

c=3

二次函數(shù)的解析式為y=-x2+2x+3,

,.?y=-x2+2x+3=-(x-l)2+4,

???頂點(diǎn)坐標(biāo)為P(l,4)；

(2)

解：①設(shè)M(xi,yi),N(X2,y2),

?.■直線1：y=kx-k+3過定點(diǎn)Q(l,3),拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為

.-.PQ=1,

,1,SJMN=5PQ?(%-玉)=2，

?■?X2-X1=4,

聯(lián)立y=-x2+2x+3與y=kx-k+3可得x2+(k-2)x-k=0,

.?,xi+X2=2-k,xi?X2=-k,

.,.(x2-xi]2=(xi+x2)2-4xix2=k2+4=16,

k=±26；

②證明：過點(diǎn)P作PG團(tuán)x軸，垂足為G,分別過點(diǎn)M,N作PG的垂線，垂足分

別為E、F,

???M,N在二次函數(shù)y=-x2+2x+3圖象上，

.*.yi=-xi2+2xi+3,y2=-X22+2x2+3.

???P(L4),

2222

.'.PE=4-yi=4+xi-2xi-3=(xi-lJ,ME=l-xi,PF=4-y2=4+X2-2x2-3=(X2-l],NF=X2-1,

PE(x-l)2

tanZPME=——二山y(tǒng)一人=1—%,

PF1-x,

FN兀2—]1

tan/FPN=——

PF

由①可知xi+X2=2-k,xiX2=-k,

???X1+X2=2+X1X2,

.,.tanzPME=tanzFPN,

/.ZPME=ZFPN,

VZPME+ZMPE=9O°,

.-.ZFPN+ZMPE=9O°,BPzMPN=90°,

?,?無論k為何值，13PMN恒為直角三角形;

③解：設(shè)線段MN的中點(diǎn)(x,y),

由②可得MN的中點(diǎn)為］一,十日)，

"一r+6，

r-

化簡，得y=-2x2+4x+l,

拋物線的表達(dá)式為y=-2x2+4x+l.

【點(diǎn)睛】本題考查的是待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、直角三角

形的判定、正切的概念、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，靈活運(yùn)用二次函數(shù)與一

元二次方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

23.某學(xué)生合作學(xué)習(xí)小組在探究旋轉(zhuǎn)、平移變換.如圖回ABC為等腰直角三角形，

各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1,1),B(2,1),C(2,2).

⑴他們將回ABC繞原點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。得到.請寫出點(diǎn)A，片的坐

標(biāo)；

(2)如果拋物線y=/+b元+c恰好經(jīng)過(1)中得到的△ABC中的兩個(gè)頂點(diǎn)，請求

出符合條件的拋物線解析式；

(3)他們繼續(xù)探究，發(fā)現(xiàn)將回ABC繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)45。，若旋轉(zhuǎn)后的三角形恰好有兩

個(gè)頂點(diǎn)落在拋物線y=f上，則可求出旋轉(zhuǎn)后三角形的直角頂點(diǎn)P的坐標(biāo)，請你

直接寫出點(diǎn)P的所有坐標(biāo).

【分析】(1)將團(tuán)ABC繞原點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。得到△ABC,畫出圖形，根

據(jù)坐標(biāo)系即可求解；

(2)①若過綜G,將耳(l,-2)，G(2,-2)代入廣/+次+?②若過4，G,將

4(1,-1)6(2,-2)代入、=尤2+法+。，待定系數(shù)法求解析式即可求解；

(3)分順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，與逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，每種情形又分三種情形討論，畫出

圖形，根據(jù)不同的點(diǎn)落在拋物線時(shí)，逐個(gè)分析，求得點(diǎn)尸的坐標(biāo).

(1)

（2）

①若過耳G,將耳（1,-2）,G（2,-2）代入y=/+法+,得:

J—2=1+b+c

\—2=4+26+c

???二

[c=0

y=x2-3x

②若過A，G，將A（l，T），G（2,-2）代入y=/+H+C得:

f-1=l+b+c

[-2=4+2b+c

[c=2

y=x2-4x+2.

22

綜上，符合條件的拋物線解析式有：y=x-3x,y=x-4x+2

(3)

則AC〃x軸，設(shè)AC交>軸于點(diǎn)

.■.BD=-A'C'=-AC=—,

222

???AC=V2,

???點(diǎn)P坐標(biāo)為0,一；

\）

②順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，點(diǎn)B、C落在拋物線上，如答圖2所示:

設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為%,三.

易知此時(shí)B'C'與一、三象限角平分線平行，

???設(shè)直線8'C'的解析式為y=X+"

聯(lián)立_y=V與y=x+b得：x2=x+b,§Px2-x-b=O,

"+%2=L再％=一萬.

???B'C'=I,.??根據(jù)題意易得：慟r|=］，

?Gr)2=|即（國+々）2-4%迎

2

.??1+傷=:，解得8=-9

2o

一尤+，=0,解得片21或片上也

844

???點(diǎn)C，的橫坐標(biāo)較小，”=三”

當(dāng)片三g時(shí),3-20

y=/

48

J2->/23-2。

［48J

③順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，點(diǎn)8、A落在拋物線上，如答圖3所示：

設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為4馬.

易知此時(shí)aA與二、四象限角平分線平行，.??設(shè)直線？A的解析式為y=T+b,

聯(lián)立y=V與y=-尤+6得：尤2=_彳+匕，即/+十一萬二。，

:.再+%=-1，%％2=』

旦

????A=1,??.根據(jù)題意易得：,-引=

2

2

BP(%1+x2)-4XJX2=-

.■-l+4b=~,解得b=T.

Zo

0-2T-A/2-2

x2+x+=0,解得％=:----或X=

o44

0-2

??,點(diǎn)8’的橫坐標(biāo)較大，二,?X=------------.

4

當(dāng)x=^二時(shí).j=x23-2立

48

④逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，點(diǎn)C、A落在拋物線上.

因?yàn)槟鏁r(shí)針旋轉(zhuǎn)45。后，直線C0與y軸平行，因此，與拋物線最多只能有一個(gè)

交點(diǎn)，故此種情形不存在；

⑤逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，點(diǎn)B、C落在拋物線上，如答圖4所示：

‘拒-23-2及'

與③同理，可求得：P

48

\7

⑥逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，點(diǎn)3、A落在拋物線上，如答圖5所示:

’2+應(yīng)3+

與②同理，可求得：P

4，1

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：［。,萼［或］￥，三I亞］或卜等，乏I亞］或

I2JI48JI48)

'2+&3+20、

8)'

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)變換與二次函數(shù)的綜合題型，難度較大.第(3)問是

本題難點(diǎn)所在，解題關(guān)鍵是：第一，旋轉(zhuǎn)方向有兩種可能，落在拋物線上的點(diǎn)有

三種可能，因此共有六種可能的情形，需要分類討論；第二，針對每一種可能的

情形，按照旋轉(zhuǎn)方向與旋轉(zhuǎn)角度，確定圖形形狀并進(jìn)行計(jì)算.

24.在平面直角坐標(biāo)系中，。為原點(diǎn)，點(diǎn)A(4,0),點(diǎn)B(0,3),把他。繞點(diǎn)8逆

時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得"上0';點(diǎn)A。旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)為A',O',記旋轉(zhuǎn)角為a.

(1)如圖①，若&=90。，則點(diǎn)O,的坐標(biāo)為，點(diǎn)H的坐標(biāo)為,A4,的

長為;

(2)如圖②.若。=120。，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)在(2)條件下在平面直角坐標(biāo)系有一點(diǎn)。，使A、B、D四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的四

邊形是平行四邊形，請你直接寫出。點(diǎn)的坐標(biāo).

【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)確定。'，A分別到坐標(biāo)軸的距離，配合所在的象限寫

出坐標(biāo)；然后根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出A4'的長度即可；

(2)作。石，x軸、BF±O'E,構(gòu)造矩形OEFB和及.。M，然后分別求出

BF、O,F.EF的長度，從而得出結(jié)果；

(3)通過線段的平移求解即可；

【解析】⑴解:44Q)，2(0,3)

二.OB=3,OA=4

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：

O，B=OB=3,O'A=(M=4,O'Bly,O'Alx

到x軸的距離為：4+3=7

：。(3,3),A'(3,7)

AA'=7(4-3)2+(0-7)2=5收

(2)解：作。石，x軸、BF±O'E如圖：

V

:.NOBF=90。,EF=OB=3

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：

ZOB（y=-\2Q°,OB=OB=3

ZC/BF=ZOBO1-NOBF=30°

在Rr中

O'F=-O'B=-,BF=O'B.cos30°=^-

222

3o

/.O,E=O,F+EF=-+3=-

22

.??點(diǎn)?！淖鴺?biāo)為（述,2）

22

（3）解：將線段A3沿30'方向平移，使點(diǎn)B移動(dòng)到點(diǎn)O；設(shè)點(diǎn)A平移后的

對應(yīng)點(diǎn)為2

AB//O'Dy,AB=O'R

.-.四邊形ABO4