2025中考數學復習：旋轉（解析版）

中考數學復習專題一旋轉

(繞某點旋轉)

一、選擇題

1.平面直角坐標系中，。為坐標原點，點A的坐標為(6,1),將04繞原點按逆

時針方向旋轉90。得則點B的坐標為()

A.(-^,1)B.(-1,>/3)C.(1,>/3)D.(73,1)

【分析】先根據旋轉的性質作圖，利用圖象則可求得點B的坐標.

【解析】過點B作尤軸于點C,過點B作3PLy軸于點F,

???點A的坐標為(Ml),將繞原點按逆時針方向旋轉90。得

:.BC=,CO=BF=1,

.??點B的坐標為：卜1,⑹.

故選：B.

【點睛】本題考查了旋轉的性質，解題的關鍵是運用數形結合思想得出BC,C。的

長.圖形或點旋轉之后要結合旋轉的角度和圖形的特殊性質來求出旋轉后的點的

坐標.

2.如圖，點P(L4)繞著原點順時針方向旋轉90度后得到像點Q,則點Q的坐

標是()

A.(1,-4)B.(-1,4)C.(4,-1)D.(-4,1)

【分析】根據旋轉的方法，作圖即可確定旋轉以后點的坐標.

【解析】點的坐標為(L4),根據旋轉中心0,旋轉方向順時針，旋轉

角度90。，畫圖，

從而得Q點坐標為(4,-1).

故選：C.

【點睛】本題涉及圖形變換，旋轉，應抓住旋轉的三要素：旋轉中心，旋轉方向，

旋轉角度，通過畫圖求解.

3.如圖，在平面直角坐標系中，I2ABC中點A的坐標是(3,4),把團ABC繞原點

。逆時針旋轉90。得到A!B'C,則點A'的坐標為()

A.(4,—3]B.(—4,3)C.(—3,4)D.(—3,—4]

【分析】連接以，OA',過點A作AEBJx軸于E,過點4作軸于F，根據

旋轉的性質可得。1=04,利用同角的余角相等求出=然后利用“角

角邊"證明I2A0E和OAB全等，根據全等三角形對應邊相等可得

OF=AE,A'F=OE,然后寫出點4的坐標即可.

【解析】解：如圖，連接(M,OA,過點A作AEElx軸于E,過點4作AFA軸

于尸，則ZAEO=/OE4'=90。，

r點A的坐標是(3,4),

:、AE=4,OE=3.

vOA繞坐標原點0逆時針旋轉90。至0A,

f

.\OA=OA,ZAOA=90°9

VZAOF+ZAOE=90°,ZAOE+ZOAE=90°,

ZOAE=ZAOF,

在A4OE和Q4/中，

ZOAE=NA'OF

-ZAEO=ZOFA',

OA=OA'

AOEFRAAS'）,

；.OF=AE=4,AF=OE=3,

.??點4的坐標為（Y,3）.

故選：B

【點睛】本題考查了坐標與圖形變化流轉，熟記性質并作輔助線構造出全等三

角形是解題的關鍵.

4.如圖，在平面直角坐標系中，A（0,2也）,B（6,0）,點P為線段AB的

中點，將線段AB繞點。逆時針旋轉90。后點P的對應點P/的坐標是（）

A.（-3,石）B.（-石，3）C.（73,-3）D.（-1,6）

【分析】根據旋轉的性質可得到A和B，的坐標，再根據A和B，的坐標求得其中

點P'的坐標即可.

【解析】解：將線段AB旋轉之后得到的線段為A，B，，

由旋轉的性質可得A（-26,0）B,（0,6）

此時P'是線段為AB，的中點，

???點P'的坐標為（皿2,5辿）即（-73,3）.

22

故選：B.

【點睛】本題考查了坐標與圖形變化一一旋轉：旋轉不改變圖形的形狀和大小,

根據旋轉角度求出旋轉之后的坐標即可.

5.在平面直角坐標系中，點4（2,0）,3（5,4）,連接A3得到線段A3,現將線段AB

繞點A旋轉90。，點B的對應點為9,則點b的坐標為（）.

A.（5,-4）B.（-2,3）C.（—2,3）或（5,-4）D.（-2,3）或（6,-3）

【分析】由于題目沒有說明順時針旋轉還是逆時針旋轉，故需要分情況討論.

【解析】解：當4?繞點A逆時針旋轉90。時，

此時過點作8力1.無軸于點D,

vABAC+ZB'AD=90°,ZDB'A+ZB'AD=90°,

ABAC=ZDB'A,

在37M和八4（田中，

'NACB=NBQA

<ABAC=ZDB'A,

AB=AB'

AACB/△JB'ZM（AAS）,

:.AD=BD,B'D=AC,

???A(2,0),8(5,4),

；.BC=4,AC=3,

3'(-2,3),

當A5繞點A順時針旋轉90。時，

過點&作？軸于點E,

vABAC+AB'AC=90°,ACB'A+AB'AC=90°,

;.NBAC=NCB，A,

在，MCA和八以中，

ZACB=ZB'CA

<ABAC=ZCB'A,

AB=AB'

△ACB^AB,C4(AAS),

AC=BC,B'C=AC,

vA(2,0),8(5,4),

；.BC=4,AC=3,

【點睛】本題考查了旋轉的性質、兩點間的距離和全等三角形的判定和性質，靈

活運用所學知識求解是解決本題的關鍵.

6.如圖，點A的坐標是(-2,0),點B的坐標是(0,6),C為OB的中點，將E1ABC

繞點B逆時針旋轉90。后得到AA2C.若反比例函數y=工的圖象恰好經過A3的

X

【分析】作A'HD軸于巴證明，A03三.BM4'(A4S),推出。1=3",OB=A'H,

求出點4坐標，再利用中點坐標公式求出點D坐標即可解決問題.

vZAOB=ZAHB=ZABA=90°,

???ZABO+ZABH=90°,ZABO+ZBAO=90°,

???NBAO=ZABH,

-BA=BA,

AOB^BHA(AAS),

:.OA=BH,OB=AH,

,?,點A的坐標是(-2,0),點3的坐標是(0,6),

OA=2,OB=6,

:.BH=OA=2,AH=OB=6,

:.OH=4,

(6,4),

?：BD=AD,

.-.D(3,5),

???反比例函數y=&的圖象經過點。，

X

:.k=15.

故選C.

【點睛】本題考查反比例函數圖形上的點的坐標特征，坐標與圖形的變化-旋轉

等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中

考選擇題中的壓軸題.

7.如圖，正方形OABC的兩邊OA、OC分別在x軸和y軸上，點D(3,2)在

邊AB上，以C為中心，將回CDB旋轉90°,則旋轉后點D的對應點D'的坐標是

A.(1,6)B.(-1,0)

C.(1,6)或(-1,0)D.(6,1)或(-1,0)

【分析】根據題意，分順時針旋轉和逆時針旋轉兩種情況，求出點D，到x軸、y

軸的距離，即可判斷出旋轉后點D的對應點D'的坐標.

【解析】解：因為點D(3,2)在邊AB上，

所以AB=BC=3,BD=3-2=1,

(1)若把E1CDB順時針旋轉90。，

則點D'在x軸上，OD'=1,

所以D'(-1,0)；

(2)若把I3CDB逆時針旋轉90。，

則點D'到x軸的距離為6,到y(tǒng)軸的距離為1,

所以D'(1,6),

綜上，旋轉后點D的對應點D'的坐標為(-1,0)或(1,6),

故選：C.

【點睛】本題考查坐標與圖形變化-旋轉，考查了分類討論思想的應用，解答此

題的關鍵是要注意分順時針旋轉和逆時針旋轉兩種情況.

8.如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角回OAB位置如圖，ZOBA=90。，點B的

坐標為(1,0),每一次將120AB繞點0逆時針旋轉90。，同時每邊擴大為原來

的2倍，第一次旋轉得到回OAiBi,第二次旋轉得到130A2B2,…，以此類推，則

20212021

A.(22022,22022)B.(-2,2)C.(22021,-22021)D.(-22022,-22022)

【分析】E1AOB是等腰直角三角形，OA=1,根據等腰直角三角形的性質，可得

點A(L1)逆時針旋轉90。后可得4(-2,2),同理AG4,一4)，依次類推可求得，4(8,-8),

4(16,16),這些點所位于的象限為每4次一循環(huán)，根據規(guī)律即可求出A2022的坐標.

【解析】是等腰直角三角形，點B的坐標為(L0),

:.AB=OB=1,

???A點坐標為(1,1).

將Q4B繞原點。逆時針旋轉90。得到等腰直角三角形。4片，且A旦=2AB,

再將。。4月繞原點。順時針旋轉90。得到等腰直角三角形外灰，且人當=24瓦，

依此規(guī)律，

???點A旋轉后的點所位于的象限為每4次一循環(huán)，

即A(-2,2),4(-4,-4),4(8,-8),4(16,16).

???2022=505x4+2,

.?.點4()22與4同在一個象限內.

■.--4=-22,8=2"16=24,

，.點心(-2叫一2的).

故選：D.

【點睛】本題考查了等腰直角三角形在平面直角坐標系中旋轉的規(guī)律問題，熟練

掌握等腰直角三角形的性質并能夠在坐標系中找到點的坐標的變化規(guī)律是解題

的關鍵.

二、填空題

9.如圖，AABC的三個頂點都在方格紙的格點上，其中A點的坐標是（TO）,

現將AABC繞A點按逆時針方向旋轉90。，則旋轉后點C對應點的坐標是

【分析】根據圖形在坐標中的旋轉步驟，對線段AB、AC先逆時針旋轉，然后連

接BC即可得出旋轉后的圖形，直接讀出點的坐標即可.

【解析】解：如圖所示，逆時針旋轉后的圖形如圖，

根據圖像可得：點C的坐標為：（-2,3）,

故答案為：（-2,3）.

【點睛】題目主要考查圖形在坐標系中的旋轉，掌握圖形旋轉步驟是解題關鍵.

4

10.如圖，直線y=§x+4與X軸軸分別交于A,3兩點，把AAOB繞點A逆時針旋

轉90。后得到AAOB,則點B的坐標是.

【分析】過點8,作軸于點C,根據題意求出B、A的坐標，然后證明VAB'C

和-BA。全等，根據對應邊相等進行代換進而求出答案即可.

【解析】解：如圖，過點K作軸于點C,

4

y^-x+4,當x=0時，y=

44

當y=O時，—%+4=0,-x=-4,x=-3；

.?.B(0,4),A(-3,0)

:.OB=4,OA=3

由旋轉的性質知，AB=AB',ZBAB=90°

:.ZBAO+ZCAB'=90°

B'C_Lx軸，ZAOB=90°

:.ZB'CA=ZAOB^90°,

ACAB+ZABC=9(f

又iZBAO+ZCAB'=9(f

ZAB'C=ZBAO

在VAB'C和，54。中

ZB'CA=ZAOB

<ZAB'C=ZBAO

AB'=BA

/.ABC=BAO

:.CB=OA=39CA=OB=4

.?.OC=O!A+C4=3+4=7

點2’在第二象限內

二點8,的坐標是(-7,3).

故答案為：(-7,3).

【點睛】本題考查的旋轉和全等的知識點，解題關鍵在于把握題干知識點證明全

等之后進行代換即可.

11.如圖，在邊長為1的小正方形網格中，團ABC的三個頂點都在格點上，將12ABe

繞點B逆時針旋轉90。得到回A'B'C',則圖中陰影部分圖形的面積為.(結

果保留n).

：B

【解析】試題解析：根據旋轉的性質和勾股定理得到：A'B2=AB2=22+32=13.

二90%xl31?c13"

S陰影二^-一萬以小二彳萬一3.

考點：1.扇形面積的計算；2.旋轉的性質.

12.如圖，在平面直角坐標系中，點A和B的坐標分別為(2,0),(0,-4),

若將線段AB繞點A順時針旋轉90。得到線段AC,則點C的坐標為.

【分析】如圖，過點C作CHEIx軸于H.證明EIAOB三團CHA(AAS),推出CH=

0A=2,AH=0B=4,可得結論.

【解析】解：如圖，過點C作CH13X軸于H.

???A(2,0),B(0,4),

.??OA=2,OB=4,

???ZAHC=ZAOB=ZBCA=90°,

.-.ZCAH+ZBAO=90°,ZABO+ZBAO=90°,

.-.ZCAH=ZABO,

在團AOB和團CHA中，

ZAHC=ZAOB

<ZCAH=ZABO,

AC=AB

.-.0AOB=ECHA(AAS),

???CH=OA=2,AH=OB=4,

???OH=AH-OA=2,

???C(-2,2).

【點睛】本題考查坐標與圖形變化表轉，解題的關鍵是學會添加常用輔助線,

構造全等三角形解決問題.

13.如圖所示的平面直角坐標系中，13ABe是由回ABC繞點P順時針旋轉90。

得到的，則點P的坐標是.

y

【分析】根據對應點連線的垂直平分線的交點即為旋轉中心作圖求解即可.

【解析】解：如圖，點P即為所求，P(1,0).

【點睛】本題考查坐標與圖形變化表轉變換，解題的關鍵是理解對應點連線的

垂直平分線的交點是旋轉中心.

14.如圖，AABC的三個頂點都在方格紙的格點上，其中A點的坐標是(-1,0),

現將AABC繞A點逆時針旋轉90°,再向右平移一個單位后點C的對應點O的

坐標是?

【分析】利用旋轉變換的性質畫出圖形，觀察圖形即可得結論.

【解析】AABC繞A點逆時針旋轉90。后的圖像如圖：

觀察圖象，可知c對應的點G坐標為(-2,3),

(-2,3)再向右平移一個單位后點C的對應點C'的坐標是(T，3)

故答案是：(T3).

【點睛】本題考查坐標與圖形變化-旋轉、平移，解題的關鍵是畫出旋轉后的圖

形，屬于中考?？碱}型.

15.如圖，在直角坐標系中，邊長為2個單位長度的正方形ABCO繞原點0逆時

針旋轉75。，再沿y軸方向向上平移1個單位長度，則點3"的坐標為.

-2-1012x

【分析】連接0B,03’由題意可得乙水加=75。，可得出ZCO?=30。，可求出夕的

坐標，即可得出點的坐標.

【解析】解：如圖：連接0B,。8',作笈/Ely軸

.-.ZCOB=45°,OB=20

???繞原點0逆時針旋轉75。

:/BOB'=75°

.-./.COB'=30°

-：OB,-OB-2y/2

■■■MB'=42,MO=yf6

B'(—\/2,,^6)

???沿y軸方向向上平移1個單位長度

B"(—,\/2,y/6+1)

故答案為：(-五,>/6+1)

【點睛】本題考查了坐標與圖形變化-旋轉，坐標與圖形變化-平移，熟練掌握

網格結構，準確確定出對應點的位置是解題的關鍵.

16.如圖，把正方形鐵OABC置于平面直角坐標系中，頂點A的坐標為(。，3),

點P(T,2)在正方形鐵片上，將正方形鐵片繞其右下角的頂點按順時針方向依次

旋轉90。，第一次旋轉至圖①位置，第二次旋轉至圖②位置……，則正方形鐵片

連續(xù)旋轉2022次，點P的坐標變?yōu)?

BA

P??P???

P??P

C0①②③3

【分析】首先求出Pi?P5的坐標，探究規(guī)律后，再利用規(guī)律解決問題.

【解析】解：第一次Pi(2,1),

第二次P2(4,1),

第三次P3(7,2),

第四次P4(ll,2),

第五次P5(14,1),

發(fā)現點P的位置4次一個循環(huán)

???2022+4=505……2

???P2022的縱坐標與P2相同為1,橫坐標為4+4x3x505=6064

”2022(6064,1)

故答案為：(6064,1).

【點睛】本題考查坐標規(guī)律問題，由前面幾個點的坐標尋找出規(guī)律是解題的關鍵.

三、解答題

17.如圖，已知.ABC三個頂點的坐標分別為A(T2),8(-3,4),C(-2,6),在給出

的平面直角坐標系中：

(1)作出ABC繞點A順時針旋轉90。后得到的△ABC；并直接寫出G的坐標；

(2)作出ASC關于原點。成中心對稱的△&BzG；并直接寫出色的坐標

【分析】(1)ABC繞點A順時針旋轉90。，則ABLA%AC1AQ,連接B6,

即可得到所求圖形，并得到G的坐標；

(2)ASC關于原點。成中心對稱的△人與6,則點A(T,2),8(-3,4),(7(-2,6)與

點4,鳥，4的坐標關系是橫縱坐標變?yōu)樵瓉淼南喾磾?，由此即可求?

【解析】(1)解：ABC繞點A順時針旋轉90。，如圖所示，

???點G(3,3).

(2)解：根據；ASC關于原點。成中心對稱的△人魚作圖如下,

原因原點的中心對稱，則點A(T2),5(-3,4),C(-2,6)與點兒,層，G的坐標關

系是橫縱坐標變?yōu)樵瓉淼南喾磾担?/p>

.?.4(1,-2),巴(3,-4),QC2.-6),

【點睛】本題主要考查圖形在平面直角坐標系中的變換，解題的關鍵是點的坐標.

18.已知：在平面直角坐標系中，ABC的三個頂點的坐標分別為

A(5,4),B(0,3),C(2,l).

(1)畫出一ABC關于原點成中心對稱的并寫出點A的坐標；

(2)畫出將△ABC繞點Ci按順時針旋轉90。所得的并寫出點4的坐標為

(3)在y軸上有點P,使尸A+PC最小，直接寫出P點坐標為；PA+PC的最

小值％.

【分析】(1)分別作出三頂點關于原點的對稱點，再順次連接即可得出答案.

(2)分別作出點4,耳繞點G按順時針旋轉90。所得的對應點，再順次連接即可

得出答案；

(3)作點C關于y軸的對稱點D,連接AD交y軸于點P,此時PA+PC的值最

小，最小值為AD的長，根據軸對稱的性質可得點。(-2,1),求出線段AD,直線AD

的解析式，即可求解.

【解析】(1)解：如圖，△/!由G即為所求，點A的坐標為(-5,-4).

(2)解：如圖，△A與G即為所求.4(-5,2).

(3)解：如圖，作點C關于y軸的對稱點D,連接4)交y軸于點P,此時P4+PC

的值最小，最小值為AD的長，

???點C(2,l),

點。(-2,1),

AD=J(5+2『+(4_l)2=758;

設直線AD的解析式為y=kx+b〈k豐0),

把點。(-2,1),4(5,4)代入得:

-2k+b=\

,解得：

5左+6=4

313

二直線AD的解析式為>=齊+/，

13

當X=0時，y=y,

此時點P的坐標為

故答案為：J無，［。，￡)

【點睛】本題主要考查了圖形的軸對稱變換，旋轉變換，求一次函數的解析式,

正確得出對應點的位置是解題的關鍵.

19.實踐與操作：如圖，在平面直角坐標系中，點A、點B的坐標分別為。，3),

(3,2).

(1)畫出。AB繞點B順時針旋轉90。后的△0W?；

(2)點M是。1的中點，在(1)的條件下，M的對應點奴的坐標為.

(3)以點B為位似中心，相似比為2:1,在x軸的上方畫出△040放大后的VO"A'B.

【分析】(1)找到0,A繞點B順時針旋轉90。后的對應點。，A,順次連接。，A；B,

則―0AB即為所求；

(2)點M是OA的中點，在(1)的條件下，即可得到點M的對應點步的坐標；

(3)延長30'至。"，財至4",使得B(T=2BO,BA1=2BA,連接ATT,則O"A'B

即為所求.

(1)

如圖，找至U0,A繞點B順時針旋轉90。后的對應點。，4,順次連接。，A1B,

則，OW3即為所求；

(2)

由題意得，點M與點乙在圖上標出，

由圖可知，。'。，5),4(4,4),

,?,點M是。4的中點，

???經過旋轉點河'也是O'A'的中點，

(3)

如圖，延長30'至O",加至4",使得3。"=2"7,BA"=2BA,連接A"O",則O"A'B

即為所求.

【點睛】本題考查了畫旋轉圖形，在平面直角坐標系中畫位似圖形，掌握旋轉的

性質和位似圖形的性質是解題的關鍵.

20.如圖，直線y=gx+2交無軸于A,交y軸于B

(1)直線AB關于y軸對稱的直線解析式為

(2)直線AB繞原點旋轉180度后的直線解析式為—；

(3)將直線A8繞點P(T0)順時針方向旋轉90度，求旋轉后的直線解析式.

【分析】(1)先根據關于y軸對稱確定兩個坐標，然后運用待定系數法求解；

(2)根據關于原點對稱的兩點的橫坐標縱坐標都互為相反數求確定兩個點的坐

標，然后利用待定系數法求解；

(3)點A、B對應點D、E的坐標，再利用待定系數法求解即可.

【解析】(1)解：由題意得:A(T,0),8(0,2),

???關于y軸對稱，則此直線過點(。，2)和(4,0),

設函數解析式為：y=kx+b,

J6=2

??[4Z+/?=0'

L—l

解得一2,

b=2

???函數解析式為：y=-gx+2；

故答案為：y=-3x+2；

(2)解：???關于原點對稱的兩點的橫坐標縱坐標都互為相反數,

???可得函數解析式過點(。，-2)和(4,0),

同理可得函數解析式為：

故答案為：y=gx-2；

(3)解：點A、B繞點尸(TO)順時針方向旋轉90度的對應點分別為D、E,

過點后作口，》軸于點F,如圖，

PA=PD=3,PB=PE,ZBPE=90°,ZPOB=NEFP=90°,

D(-l,3),ZBPF+ZEPF=/EPF+ZPEF=90°,

NBPF=NPEF,

:.APOB=AEFP,

：.EF=OP=l,PF=OB=2,

E(L-l),

函數解析式過點(-1，3)和(1，-1),

同理可得函數解析式為：J=-2x+l.

【點睛】本題考查待定系數法求函數解析式，關鍵是掌握幾種對稱的特點.

21.圖，直線AB與x軸交于點A(1,0),與y軸交于點B(0,2),將線段

AB繞點A順時針旋轉90。得到線段AC,反比例函數y=?A*0,x＞0)的圖象經過

k

(2)求出反比例函數丫=[(左力。,彳＞0)的解析式.

【分析】(1)過點C作CDEIx軸，根據三角形全等的判定和性質，可求C(3,1)；

(2)把C的坐標代入了=?左#0戶＞0)求得k即可.

(1)

解：rA(1,0),B(0,2),

.,.OA=1,OB=2,

過點C作CD配軸，

???線段AB繞點A順時針旋轉90。得到線段AC,

.-.AB=AC,ZBAC=9Q°,

???ZOAB+ZCAD=90°,

???ZAOB=90°,

???NOAB+NOBA=90。，

???ZOBA=ZCAD,

又???ZAOB=ZCDA=90°,

???團ABO三團CAD(AAS),

???AD=0B=2,CD=OA=1,

OD=OA+AD=1+2=3,

???C(3,1),

(2)

k

??,反比例函數y=-(左wo,x>o)的圖象經過點C,

X

.'.k=3xl=3,

???反比例函數的解析式y(tǒng)=3(x>0).

【點睛】本題考查了待定系數法求反比例函數的解析式，坐標與圖形的變化」性

質，反比例函數圖象上點的坐標特征，求得C的坐標是解題的關鍵.

22.如圖，在直角坐標系中有RtElAOB,0為坐標原點，0B=LtanzABO=3,

將此三角形繞原點0順時針旋轉90°,得至URtECOD,二次函數y=-x2+bx+c的圖

象剛好經過A,B,C三點.

(1)求二次函數的解析式及頂點P的坐標;

(2)過定點Q(L3)的直線1：y=kx-k+3與二次函數的圖象相交于M,N兩點.

①若S0PMN=2,求k的值；

②證明：無論k為何值，I2PMN恒為直角三角形；

③當直線1繞著定點Q旋轉時，EPMN外接圓圓心在一條拋物線上運動，直接寫

出拋物線的表達式.

【分析】(1)根據正切的定義求出0A,根據旋轉變換的性質求出0C,利用待定

系數法求出二次函數的解析式，利用配方法把一般式化為頂點式，求出頂點P

的坐標；

(2)(①根據題意求出PQ=L根據三角形的面積公式得到X2Ji=4,根據一元二次

方程根與系數的關系解答即可；②根據正切的定義得到tanzPME=l」i，

tanZFPN=-^,進而證明NPME=ZFPN,據此證明結論；③用k表示出MN的

中點坐標，計算即可.

(1)

解：vOB=l,tanzAB0=3,

.,.0A=0B*tanzAB0=3,

???A(0,3),

根據旋轉的性質可得：0C=0A=3,

把A(0,3)、C(3,0)分別代入解析，得

Jc=3

\-9+3b+c=0,

b=2

解得:

c=3

二次函數的解析式為y=-x2+2x+3,

,.?y=-x2+2x+3=-(x-l)2+4,

???頂點坐標為P(l,4)；

(2)

解：①設M(xi,yi),N(X2,y2),

?.■直線1：y=kx-k+3過定點Q(l,3),拋物線的頂點坐標為

.-.PQ=1,

,1,SJMN=5PQ?(%-玉)=2，

?■?X2-X1=4,

聯(lián)立y=-x2+2x+3與y=kx-k+3可得x2+(k-2)x-k=0,

.?,xi+X2=2-k,xi?X2=-k,

.,.(x2-xi]2=(xi+x2)2-4xix2=k2+4=16,

k=±26；

②證明：過點P作PG團x軸，垂足為G,分別過點M,N作PG的垂線，垂足分

別為E、F,

???M,N在二次函數y=-x2+2x+3圖象上，

.*.yi=-xi2+2xi+3,y2=-X22+2x2+3.

???P(L4),

2222

.'.PE=4-yi=4+xi-2xi-3=(xi-lJ,ME=l-xi,PF=4-y2=4+X2-2x2-3=(X2-l],NF=X2-1,

PE(x-l)2

tanZPME=——二山y(tǒng)一人=1—%,

PF1-x,

FN兀2—]1

tan/FPN=——

PF

由①可知xi+X2=2-k,xiX2=-k,

???X1+X2=2+X1X2,

.,.tanzPME=tanzFPN,

/.ZPME=ZFPN,

VZPME+ZMPE=9O°,

.-.ZFPN+ZMPE=9O°,BPzMPN=90°,

?,?無論k為何值，13PMN恒為直角三角形;

③解：設線段MN的中點(x,y),

由②可得MN的中點為］一,十日)，

"一r+6，

r-

化簡，得y=-2x2+4x+l,

拋物線的表達式為y=-2x2+4x+l.

【點睛】本題考查的是待定系數法求二次函數的解析式、旋轉的性質、直角三角

形的判定、正切的概念、一元二次方程根與系數的關系，靈活運用二次函數與一

元二次方程的關系是解題的關鍵.

23.某學生合作學習小組在探究旋轉、平移變換.如圖回ABC為等腰直角三角形，

各頂點坐標分別為A(1,1),B(2,1),C(2,2).

⑴他們將回ABC繞原點按順時針方向旋轉90。得到.請寫出點A，片的坐

標；

(2)如果拋物線y=/+b元+c恰好經過(1)中得到的△ABC中的兩個頂點，請求

出符合條件的拋物線解析式；

(3)他們繼續(xù)探究，發(fā)現將回ABC繞某個點旋轉45。，若旋轉后的三角形恰好有兩

個頂點落在拋物線y=f上，則可求出旋轉后三角形的直角頂點P的坐標，請你

直接寫出點P的所有坐標.

【分析】(1)將團ABC繞原點按順時針方向旋轉90。得到△ABC,畫出圖形，根

據坐標系即可求解；

(2)①若過綜G,將耳(l,-2)，G(2,-2)代入廣/+次+?②若過4，G,將

4(1,-1)6(2,-2)代入、=尤2+法+。，待定系數法求解析式即可求解；

(3)分順時針旋轉45。，與逆時針旋轉45。，每種情形又分三種情形討論，畫出

圖形，根據不同的點落在拋物線時，逐個分析，求得點尸的坐標.

(1)

（2）

①若過耳G,將耳（1,-2）,G（2,-2）代入y=/+法+,得:

J—2=1+b+c

\—2=4+26+c

???二

[c=0

y=x2-3x

②若過A，G，將A（l，T），G（2,-2）代入y=/+H+C得:

f-1=l+b+c

[-2=4+2b+c

[c=2

y=x2-4x+2.

22

綜上，符合條件的拋物線解析式有：y=x-3x,y=x-4x+2

(3)

則AC〃x軸，設AC交>軸于點

.■.BD=-A'C'=-AC=—,

222

???AC=V2,

???點P坐標為0,一；

\）

②順時針旋轉45。，點B、C落在拋物線上，如答圖2所示:

設點的橫坐標分別為%,三.

易知此時B'C'與一、三象限角平分線平行，

???設直線8'C'的解析式為y=X+"

聯(lián)立_y=V與y=x+b得：x2=x+b,§Px2-x-b=O,

"+%2=L再％=一萬.

???B'C'=I,.??根據題意易得：慟r|=］，

?Gr)2=|即（國+々）2-4%迎

2

.??1+傷=:，解得8=-9

2o

一尤+，=0,解得片21或片上也

844

???點C，的橫坐標較小，”=三”

當片三g時,3-20

y=/

48

J2->/23-2。

［48J

③順時針旋轉45。，點8、A落在拋物線上，如答圖3所示：

設點的橫坐標分別為4馬.

易知此時aA與二、四象限角平分線平行，.??設直線？A的解析式為y=T+b,

聯(lián)立y=V與y=-尤+6得：尤2=_彳+匕，即/+十一萬二。，

:.再+%=-1，%％2=』

旦

????A=1,??.根據題意易得：,-引=

2

2

BP(%1+x2)-4XJX2=-

.■-l+4b=~,解得b=T.

Zo

0-2T-A/2-2

x2+x+=0,解得％=:----或X=

o44

0-2

??,點8’的橫坐標較大，二,?X=------------.

4

當x=^二時.j=x23-2立

48

④逆時針旋轉45。，點C、A落在拋物線上.

因為逆時針旋轉45。后，直線C0與y軸平行，因此，與拋物線最多只能有一個

交點，故此種情形不存在；

⑤逆時針旋轉45。，點B、C落在拋物線上，如答圖4所示：

‘拒-23-2及'

與③同理，可求得：P

48

\7

⑥逆時針旋轉45。，點3、A落在拋物線上，如答圖5所示:

’2+應3+

與②同理，可求得：P

4，1

綜上所述，點P的坐標為：［。,萼［或］￥，三I亞］或卜等，乏I亞］或

I2JI48JI48)

'2+&3+20、

8)'

【點睛】本題考查了旋轉變換與二次函數的綜合題型，難度較大.第(3)問是

本題難點所在，解題關鍵是：第一，旋轉方向有兩種可能，落在拋物線上的點有

三種可能，因此共有六種可能的情形，需要分類討論；第二，針對每一種可能的

情形，按照旋轉方向與旋轉角度，確定圖形形狀并進行計算.

24.在平面直角坐標系中，。為原點，點A(4,0),點B(0,3),把他。繞點8逆

時針旋轉，得"上0';點A。旋轉后的對應點為A',O',記旋轉角為a.

(1)如圖①，若&=90。，則點O,的坐標為，點H的坐標為,A4,的

長為;

(2)如圖②.若。=120。，求點。的坐標；

(3)在(2)條件下在平面直角坐標系有一點。，使A、B、D四個點構成的四

邊形是平行四邊形，請你直接寫出。點的坐標.

【分析】(1)由旋轉的性質確定。'，A分別到坐標軸的距離，配合所在的象限寫

出坐標；然后根據兩點間的距離公式求出A4'的長度即可；

(2)作。石，x軸、BF±O'E,構造矩形OEFB和及.。M，然后分別求出

BF、O,F.EF的長度，從而得出結果；

(3)通過線段的平移求解即可；

【解析】⑴解:44Q)，2(0,3)

二.OB=3,OA=4

由旋轉的性質可知：

O，B=OB=3,O'A=(M=4,O'Bly,O'Alx

到x軸的距離為：4+3=7

：。(3,3),A'(3,7)

AA'=7(4-3)2+(0-7)2=5收

(2)解：作。石，x軸、BF±O'E如圖：

V

:.NOBF=90。,EF=OB=3

由旋轉的性質可知：

ZOB（y=-\2Q°,OB=OB=3

ZC/BF=ZOBO1-NOBF=30°

在Rr中

O'F=-O'B=-,BF=O'B.cos30°=^-

222

3o

/.O,E=O,F+EF=-+3=-

22

.??點?！淖鴺藶椋ㄊ?2）

22

（3）解：將線段A3沿30'方向平移，使點B移動到點O；設點A平移后的

對應點為2

AB//O'Dy,AB=O'R

.-.四邊形ABO4