人教版初中八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步講義-等邊三角形（原卷版）

第04講等邊三角形

學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1,掌握等邊三角形的性質(zhì)并能夠?qū)ζ涫炀殤?yīng)用。

①等邊三角形的概念與性質(zhì)2.掌握等邊三角形的判定方法，能夠運(yùn)用已知條件熟

②等邊三角形的判定練判定等腰三角形。

③含30°角的直角三角形3.掌握含30°角的直角三角形的性質(zhì)并對(duì)其熟練應(yīng)

用。

思維導(dǎo)圖

三條邊三個(gè)角的性質(zhì)

等邊三角形的性質(zhì)三邊的三線合一

定義列定

等邊三角形

等邊三角形的判定性質(zhì)判定

30°角的直角三角形的性質(zhì)

知識(shí)點(diǎn)01等邊三角形的概念與性質(zhì)

1.等邊三角形的概念:

三條邊都的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的O

2.等邊三角形的性質(zhì)：如圖

①等邊三角形的三條邊都，三個(gè)角也_________,且三個(gè)角都等于°

②等邊三角形三條邊都存在。

③等邊三角形是一個(gè)圖形，它有條對(duì)稱軸，對(duì)稱軸的交點(diǎn)叫做中心。

題型考點(diǎn)：①等邊三角形的性質(zhì)求角度與線段。

【即學(xué)即練1】

1.如圖，直線a〃人等邊三角形48c的頂點(diǎn)C在直線6上，Zl=40°,則/2的度數(shù)為（）

A.80°B.70°C.60°D.50°

【即學(xué)即練2】

2.如圖：等邊三角形/3C中，BD=CE,ND與BE相交于點(diǎn)P,則N/PE的度數(shù)是（）

【即學(xué)即練3】

3.如圖，△/BC中，4D為角平分線，若/8=/C=60°,48=8,則CD的長(zhǎng)度為.

【即學(xué)即練4】

4.如圖，過(guò)邊長(zhǎng)為4的等邊△43C的邊43上一點(diǎn)尸，作尸EL/C于E,。為2。延長(zhǎng)線上一?點(diǎn)，當(dāng)B4=

C。時(shí)，連尸0交/C邊于D,則的長(zhǎng)為.

知識(shí)點(diǎn)02含30°角的直角三角形

1.30°角所對(duì)的直角邊與斜邊的關(guān)系：

30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的。證明如下：

如圖，△NBC是等邊三角形，ADLBC.證明

2

,：AABC是等邊三角形

:.AB=BC=AC,/BAC=NB=NC=。

"JADLBC

：.4。平分ABAC,ZBAD=ZCAD=

BD=CD=BC

：.BD=AB.

題型考點(diǎn)：含30°角的直角三角形的性質(zhì)。

【即學(xué)即練1】

5.如圖，在△ZBC中，ZC=90°,/43C=60°,BD平分N4BC,若4。=6,則CD等于()

A.3B.4C.5D.6

【即學(xué)即練2】

6.若等腰三角形的一腰長(zhǎng)為a,底角為15°,則這個(gè)等腰三角形腰上的高為（）

A.2aB.aC.—aD.與a無(wú)關(guān)

2

【即學(xué)即練3】

7.如圖，NAOP=NBOP=15：PC//OA,PDLOA,若PC=4,則PD的長(zhǎng)為2

知識(shí)點(diǎn)03等邊三角形的判定

1.等邊三角形的判定：

①定義判定：三條邊都的三角形是等邊三角形。

②判定定理1：三個(gè)角的三角形是等邊三角形?；蛴袃蓚€(gè)角是的三角形是等邊三

角形。

③判定定理2：有一個(gè)角是的等腰三角形是等邊三角形。

題型考點(diǎn)：等邊三角形判定證明。

【即學(xué)即練1】

8.下列三角形：

①有兩個(gè)角等于60°；

②有一個(gè)角等于60°的等腰三角形；

③三個(gè)外角（每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角）都相等的三角形；

④一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形.

其中是等邊三角形的有（）

A.①②③B.①②④C.①③D.①②③④

【即學(xué)即練2】

9.已知，如圖，/B=/C,AB//DE,EC=ED,求證：ZYDEC為等邊三角形.

【即學(xué)即練3】

10.如圖，在△/3C中，AC=BC,ZACB=U0°,CEL4B于點(diǎn)、D,1.DE=DC.求證：△CEB為等邊三

角形.

【即學(xué)即練41

11.在△48C中，已知是角平分線.

(1)若BE=AE,求證：ZABC=2ZA；

(2)若3￡J_NC,求證：△/BC為等邊三角形.

題型精講

題型01等邊三角形的性質(zhì)計(jì)算長(zhǎng)度

【典例1】

如圖,CD是等邊△48C的中線,垂足為點(diǎn)E.若的長(zhǎng)度為3c加，則點(diǎn)。到8c的距離為cm.

【典例2】

如圖，將邊長(zhǎng)為4個(gè)單位的等邊△/2C沿邊2C向右平移3個(gè)單位得到△/'2'C',則3'C的長(zhǎng)度

為

【典例3】

如圖，在等邊△48C中，3。平分交NC于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。作。E_L2C于點(diǎn)E,且CE=1.5,則48的

長(zhǎng)為（）

【典例4】

如圖，等邊三角形/3C是一塊邊長(zhǎng)為20加的草坪，點(diǎn)P是草坪內(nèi)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸有三條小路PD,PE,

PF,且滿足PE〃/5,PF//BC,PD//AC,則三條小路的總長(zhǎng)度為（）

B.IOA/3^C.20mD.20A/3^

題型02等邊三角形的性質(zhì)計(jì)算角度

【典例1】

等邊三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與一個(gè)外角的平分線相交所成的銳角是3。度.

【典例2】

如圖，已知△/3C是等邊三角形，點(diǎn)8、C、D、E在同一直線上，MCG=CD,DF=DE,則/￡的度數(shù)為

)

C.15°D.7.5°

【典例3】

在△NBC中，點(diǎn)。，￡是3C的三等分點(diǎn),且△/￡>￡是等邊三角形，則/歷1C的度數(shù)為（)

A.100°B.110°C.120°D.130°

【典例4】

如圖，△/BC是等腰三角形，AB=AC,在△/BC外部分別作等邊三角形4D3和等邊三角形/。瓦若/D4E

=/DBC,求△A8C三個(gè)內(nèi)角的度數(shù).

題型03含30°角的直角三角形的計(jì)算

【典例1】

如圖，Rt/vlSC中，//=30°，且/2=6,則BC=()

B.4C.6D.不確定

【典例2】

如圖，在RtZX/BC中，已知，ZACB=90°Z5=15°,N5邊的垂直平分線交48于￡,交BC于D,且

BD=V3cm,則NC的長(zhǎng)是（）

C.30cmD.6y]~2cm

【典例3】

如圖，在△48C中，AB=AC,NR4C=120°點(diǎn)。在3c上，ABLAD,AD=2cm,則3c的長(zhǎng)為（)

C.6cmD.8cm

【典例4】

如圖，在△/BC中，AB=AC,//=120°,BC=6cm,48的垂直平分線交3c于點(diǎn)"，交48于點(diǎn)E,AC

的垂直平分線交8C于點(diǎn)N,交/C于點(diǎn)e則aW的長(zhǎng)為（）

C.2.5cmD.3cm

題型04等邊三角形的判定

【典例1】

下列推理中，不能判斷△NBC是等邊三角形的是（

A./4=/B=NCB.AB=AC,ZB=60°

C.ZA=60°,ZB=60°D.AB=AC,且

【典例2】

已知：在△/BC中，ZA=60°,如要判定△48C是等邊三角形，還需添加一個(gè)條件.現(xiàn)有下面三種說(shuō)法:

①如果添加條件"AB=AC”,那么△NBC是等邊三角形；

②如果添加條件"/B=/C”,那么△NBC是等邊三角形；

③如果添加條件“邊/夙8C上的高相等"，那么A/BC是等邊三角形.

上述說(shuō)法中，正確的有（）

A.3個(gè)B.2個(gè)C.1個(gè)D.0個(gè)

【典例3】

如圖，在△/2C中，AB=AC,D為邊的中點(diǎn)，DELAC于點(diǎn)E,。尸_L3C于點(diǎn)RDE=DF.求證：△

/8C是等邊三角形.

【典例4】

如圖，△4BC中，。為NC邊上一點(diǎn)，DELABE,ED的延長(zhǎng)線交8c的延長(zhǎng)線于尸，且CD=CF.

（1）求證：△/3C是等腰三角形;

（2）當(dāng)/尸=度時(shí)，△A8C是等邊三角形？請(qǐng)證明你的結(jié)論.

【典例5】

在邊長(zhǎng)為9的等邊三角形/3C中，點(diǎn)P是上一動(dòng)點(diǎn)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)/向點(diǎn)2運(yùn)動(dòng)，

設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒.

（1）如圖1,若點(diǎn)。是2C上一定點(diǎn)，BQ=6,PQ//AC,求才的值；

（2）如圖2,若點(diǎn)P從點(diǎn)/向點(diǎn)2運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)。以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)8經(jīng)點(diǎn)C向點(diǎn)/運(yùn)

動(dòng)，當(dāng):為何值時(shí)，△/尸。為等邊三角形？

題型05等邊三角形的判定與性質(zhì)

【典例1】

如圖，在RtZXZBC中，ZACB=90°,Z5=30°,。石是45的垂A

B

EC

直平分線，交AB、BC于點(diǎn)D、￡連接CO、AE.求證:

(1)△4DC是等邊三角形；

(2)點(diǎn)E在線段CD的垂直平分線上.

【典例2】

己知：如圖，點(diǎn)。為線段N5上一點(diǎn)，&LCM,△C8N都是等邊三角形，AN交MC于點(diǎn)、E,BM交CN于

點(diǎn)尸.

(1)求證：AN=BM；

(2)求證：△CM為等邊三角形.

【典例3】

在Rt/X/BC中，ZACB=90°,ZA=30°,3。是△48C的角平分線，DE_LAB于點(diǎn)E.

(1)如圖1,連接EC,求證：△E3C是等邊三角形；

(2)點(diǎn)M是線段CD上的一點(diǎn)(不與點(diǎn)C,。重合)，以8M為一邊，在8M的下方作入BMG=60°,

MG交。E延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.請(qǐng)你在圖2中畫出完整圖形，并直接寫出MD,0G與/。之間的數(shù)量關(guān)系；

(3)如圖3,點(diǎn)N是線段4。上的一點(diǎn)，以5N為一邊，在5N的下方作N5NG=60°,NG交DE延長(zhǎng)

線于點(diǎn)G.試探究ND,DG與/。數(shù)量之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

上上席

圖1圖2\

G

圖3

【典例4】

如圖，點(diǎn)。是等邊△48。內(nèi)一點(diǎn)，。是△/8C外的一點(diǎn)，ZAOB=UQC,ZBOC=a,△BOCQAADC,

ZOCD=60°,連接OD.A

(1)求證：△OCD是等邊三角形；

a

BC

(2)當(dāng)a=150°時(shí)，試判斷的形狀，并說(shuō)明理由;

(3)探究：當(dāng)a為多少度時(shí)，△20。是等腰三角形.

【典例5】

己知：如圖，△/BC、△CDE都是等邊三角形，AD、BE相交于點(diǎn)

。，點(diǎn)〃、N分別是線段40、3E的中點(diǎn).

(1)求證：AD=BE；

(2)求/。OE的度數(shù)；

(3)求證：△MVC是等邊三角形.

強(qiáng)化訓(xùn)練

1.如圖，直線加〃力等邊△45。的頂點(diǎn)8在直線〃上，N2=35°,則N1的度數(shù)為()

A

A.40°B.25°C.30°D.35°

2.下列對(duì)△/BC的判斷，不正確的是（）

A.^AB=AC,ZC=60°,則△48C是等邊三角形

B.若//：NB：ZC=1：2：3,則△48C是直角三角形

C.若/N=50°,ZB=80°,則△NBC是等腰三角形

D.若AB=BC,ZC=40°,則NB=40°

3.老師設(shè)計(jì)了“誰(shuí)是臥底”游戲，用合作的方式描述下面的題目：

“如圖，在△/8C中，NC=30°,點(diǎn)。是/C的中點(diǎn)，DEL4c交8c于E；點(diǎn)O在皮＞上，OA=OB,

OD=2,OE=4",C

甲說(shuō)：CE=12；A

乙說(shuō)：C5=20；/\

丙說(shuō)：ZX/OB為等邊三角形；/\

丁說(shuō)：過(guò)點(diǎn)。作C3,可以求出8/=10.牛夫

若四個(gè)描述中，只有“臥底”的描述是錯(cuò)誤的.則“臥底”是（）//w

A.甲B.乙/\\

C.丙D.四個(gè)人都不是臥底巫----------------

4.如圖，等邊三角形紙片N3C的邊長(zhǎng)為8,點(diǎn)E,廠是8c邊的三等分點(diǎn).分別過(guò)點(diǎn)E,尸沿著平行于R4,

C4的方向各剪一刀，則剪下的△。斯的周長(zhǎng)是（）

A

5.如圖，在△NBC中，ZC=90°,ZA=15°,NDBC=60°,5C=1,則NO的長(zhǎng)為()

B

6.如圖，ZABC^60°,AB=6,動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)3出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線/運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)尸

的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒（?>0）,當(dāng)△/AP為銳角三角形時(shí)，/的取值范圍是（）

A.t>3B.t>6C.6<t<12D.3</<12

7.如圖，△/2C中,4B=5,5C=7,48=60°,現(xiàn)將△/灰:沿著射線BC的方向平移2個(gè)單位得到△/向Ci，

則△NbBC的周長(zhǎng)是（）

8.如圖，已知與△CDE都是等邊三角形，點(diǎn)8、C、。在同一條直線上，與BE相交于點(diǎn)G,BE

與ZC相交于點(diǎn)R4D與CE相交于點(diǎn)X,連接萬(wàn)給出下列結(jié)論：①△/CD之△BCE；（2）ZAGB=

60°；③BF=4H；④△C/H是等邊三角形.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

9.如圖，木工師傅從邊長(zhǎng)為30cm的正三角形/8C木板上鋸出一正六邊形木板，那么正六邊形木板的邊長(zhǎng)

為cm.

10.如圖，已知/48C=60°,DB=12,DE=DF,若EF=2,則

A

BEFC

11.如圖，//。8=60°,點(diǎn)。是8。延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，OC=6cm,動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)C出發(fā)沿射線C8以2c加/s

的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)。出發(fā)沿射線。/以\cmls的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，用I（s）表

示移動(dòng)的時(shí)間，當(dāng)/=時(shí)，△尸。。是等邊三角形.

12.如圖，已知等邊△/8C中，點(diǎn)。、E分別在邊/2、3C上，把△8DE沿直線DE翻折，使點(diǎn)2落在點(diǎn)次

處，