甘肅省蘭州市第一中學2024-2025學年高二數(shù)學下學期期中試題文含解析

PAGE16-甘肅省蘭州市第一中學2024-2025學年高二數(shù)學下學期期中試題文（含解析）說明：本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，考試時間120分鐘．答案寫在答題卡上，交卷時只交答題卡．第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題（在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確答案涂在答題卡上．）1.已知集合，，則為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式得到集合，依據(jù)函數(shù)定義域的求法得到集合，于是可得．【詳解】由題意得，，∴．故選B．【點睛】本題以不等式的解法和函數(shù)定義域的求法為載體考查集合的交集運算，屬于基礎題．2.設函數(shù)f(x)＝－alnx，若f′(2)＝3，則實數(shù)a的值為()A.4 B.－4C.2 D.－2【答案】B【解析】f′(x)＝－，故f′(2)＝－＝3，因此a＝－4.3.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上遞減的函數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】可以對每一個選項逐一篩選，選項A、B、C呈現(xiàn)的函數(shù)是基本初等函數(shù)很簡潔推斷，選項D則須要借助函數(shù)的性質(zhì)進行推斷【詳解】解：選項A：在（0,1）上是增函數(shù)，故解除；選項B：的定義域為，且滿意，為奇函數(shù)，同時是冪函數(shù)，在（0,1）上的減函數(shù)，所以符合題意，選項B正確；選項C：依據(jù)奇偶性定義，可得到是定義域上偶函數(shù)，故解除；選項D：依據(jù)奇偶性定義，可得到是定義域上偶函數(shù)，故解除.【點睛】探討函數(shù)性質(zhì)問題，可以借助函數(shù)的圖像與性質(zhì)的定義來解決.4.曲線y=2sinx+cosx在點(π，–1)處的切線方程為A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先判定點是否為切點，再利用導數(shù)的幾何意義求解.【詳解】當時，，即點在曲線上．則在點處的切線方程為，即．故選C．【點睛】本題考查利用導數(shù)工具探討曲線的切線方程，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng)．實行導數(shù)法，利用函數(shù)與方程思想解題．學生易在非切點處干脆求導數(shù)而出錯，首先證明已知點是否為切點，若是切點，可以干脆利用導數(shù)求解；若不是切點，設出切點，再求導，然后列出切線方程．5.若，且，則的最小值為（）A.2 B. C.4 D.【答案】B【解析】，當且僅當時等號成立，又，即，當且僅當時等號成立，的最小值為，故選B.6.若函數(shù)且在上為減函數(shù)，則函數(shù)的圖象可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)且在上為減函數(shù)可得，結(jié)合，再依據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖像特征，得出結(jié)論.【詳解】由且在上為減函數(shù)，則，令，函數(shù)的定義域為，，所以函數(shù)為關(guān)于對稱的偶函數(shù).函數(shù)的圖像，時是函數(shù)的圖像向右平移一個單位得到的.故選D【點睛】本題考查復合函數(shù)的圖像，可利用函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)圖象的平移進行求解，屬于基礎題.7.視察下列各式：a+b=1.a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7,a5+b5=11,…，則a10+b10=（）A.28 B.76 C.123 D.【答案】C【解析】【詳解】由題視察可發(fā)覺，，，，即,故選C.考點：視察和歸納推理實力.8.如圖，函數(shù)的圖象為折線，則不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】試題分析：如下圖所示，畫出的函數(shù)圖象，從而可知交點，∴不等式的解集為，故選C．考點：1．對數(shù)函數(shù)的圖象；2．函數(shù)與不等式；3．數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想．9.已知，，，則的大小關(guān)系為A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用利用等中間值區(qū)分各個數(shù)值的大?。驹斀狻浚?；．故．故選A．【點睛】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時要依據(jù)底數(shù)與的大小區(qū)分對待．10.若函數(shù)的最小值3，則實數(shù)的值為（）A.5或8 B.或5 C.或 D.或【答案】D【解析】試題分析：由題意，①當時，即，，則當時，，解得或（舍）；②當時，即，，則當時，，解得（舍）或；③當時，即，，此時，不滿意題意，所以或，故選D.11.設定義在上的偶函數(shù)滿意：，且當時，，若，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由定義在上的偶函數(shù)滿意可得函數(shù)是周期為4的函數(shù)，然后將問題轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上進行比較大小，從而可得所求結(jié)論．【詳解】因為為上的偶函數(shù)，所以，所以，所以函數(shù)是周期為4的函數(shù)，所以，，．又當時，，所以，所以當時，單調(diào)遞減，所以，即．故選B．【點睛】解題時留意兩點：一是知道函數(shù)的奇偶性、對稱性和周期性中的兩特性質(zhì)可推出第三特性質(zhì)；二是比較函數(shù)值的大小時，可將問題轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間上進行探討，利用單調(diào)性得到函數(shù)值的大小關(guān)系．12.函數(shù)f（x）的定義域為，，對隨意，，則的解集為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用推斷出為減函數(shù)，結(jié)合，求得不等式的解集.【詳解】設，則，所以為減函數(shù)，又，所以依據(jù)單調(diào)性可知，即解集是.故選：C【點睛】本小題主要考查利用導數(shù)求解抽象函數(shù)不等式，屬于基礎題.第Ⅱ卷（非選擇題）二、填空題（將答案寫在答題卡上．）13.若函數(shù)____.【答案】32【解析】【詳解】當單調(diào)遞增；當單調(diào)遞減；當單調(diào)遞增；所以，.故答案為32.14.把一個直角三角形以兩直角邊為鄰邊補成一個矩形，則矩形的對角線長即為直角三角形外接圓直徑，以此可求得外接圓半徑（其中，為直角三角形兩直角邊長）．類比此方法可得三條側(cè)棱長分別為，，且兩兩垂直的三棱錐的外接球半徑______．【答案】【解析】【分析】利用長方體的對角線為外接球的直徑，類比矩形的對角線為外接圓的直徑，由此求得.【詳解】，，兩兩垂直，則可將其補形為長方體，長方體的對角線長為，也即外接球的半徑.故答案為：【點睛】本小題主要考查合情推理，屬于基礎題.15.學校藝術(shù)節(jié)對同一類的，，，四件參賽作品，只評一件一等獎，在評獎揭曉前，甲、乙、丙、丁四位同學對這四項參賽作品預料如下：甲說：“或作品獲得一等獎”；乙說：“作品獲得一等獎”；丙說：“，兩項作品未獲得一等獎”；丁說：“作品獲得一等獎”．若這四位同學中有且只有兩位說的話是對的，則獲得一等獎的作品是______.【答案】B【解析】【分析】首先依據(jù)“學校藝術(shù)節(jié)對四件參賽作品只評一件一等獎”，故假設分別為一等獎，然后推斷甲、乙、丙、丁四位同學的說法的正確性，即可得出結(jié)果．【詳解】若A為一等獎，則甲、丙、丁的說法均錯誤，不滿意題意；若B為一等獎，則乙、丙的說法正確，甲、丁的說法錯誤，滿意題意；若C為一等獎，則甲、丙、丁的說法均正確，不滿意題意；若D為一等獎，則乙、丙、丁的說法均錯誤，不滿意題意；綜上所述，故B獲得一等獎．【點睛】本題屬于信息題，可依據(jù)題目所給信息來找出解題所須要的條件并得出答案，在做本題的時候，可以采納依次假設為一等獎并通過是否滿意題目條件來推斷其是否正確．16.已知函數(shù)，則方程實根個數(shù)為__________．【答案】2【解析】【分析】當時，將代入，得，因為可得到兩曲線相切，有一個零點，又易知在處的切線的斜率為1，可得到在切線的上方，故會有一個交點.【詳解】當時，將代入，得，因為，所以與相切.又易知,在處的切線的斜率為.直線在切線的上方，所以與有一個交點，故題中方程的根的個數(shù)為2.故答案為2.【點睛】對于函數(shù)的零點問題，它和方程的根的問題，和兩個函數(shù)的交點問題是同一個問題，可以相互轉(zhuǎn)化；在轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)交點時，假如是一個常函數(shù)一個含自變量的函數(shù)，留意變形時讓含有自變量的函數(shù)式子盡量簡潔一些．三、解答題17.已知函數(shù)是奇函數(shù)．（1）求實數(shù)的值；（2）若函數(shù)在區(qū)間[，]上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）2；（2）（1，3]．【解析】【分析】（1）利用為奇函數(shù)，滿意，由此求得的值.（2）由（1）推斷出在區(qū)間上的單調(diào)性，由此列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.【詳解】（1）設，則，所以又為奇函數(shù)，所以，于是時，，所以.（2）由（1）知在[，1]上是增函數(shù)，要使在[，]上單調(diào)遞增，則所以，故實數(shù)的取值范圍是（1，3]．【點睛】本小題主要考查依據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，考查依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題.18.已知．（1）若，求實數(shù)的取值范圍；（2）已知（其中，），求證：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用零點分段法，求得不等式的解集；（2）利用基本不等式，求得，由此證得.【詳解】（1），即.①當時，，得；②當時，，得，不成立；③當時，，得.綜上，所求的的取值范圍是.（2）因為，時，，當且僅當時，等號成立，所以，得，所以.【點睛】本小題主要考查含有肯定值的不等式的解法，考查利用基本不等式進行證明，屬于中檔題.19.選修4-4：坐標系與參數(shù)方程在平面直角坐標系中，圓：，直線：，直線過點，傾斜角為，以原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系.（1）寫出直線與圓的交點極坐標及直線的參數(shù)方程；（2）設直線與圓交于，兩點，求的值.【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）先解出交點的直角坐標，再轉(zhuǎn)化成極坐標；由題直線過點，傾斜角為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）（2）將的參數(shù)方程代入圓的一般方程，結(jié)合韋達定理與參數(shù)的幾何意義求解．【詳解】解：（1）聯(lián)立方程，解得，.所以當時，；當時，，所以交點的直角坐標分別為，，則對應的極坐標為，.由題得，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（2）將的參數(shù)方程代入圓的方程中，得，化簡整理，得，且，設點，分別對應參數(shù)，，所以，又由，的幾何意義可知，.【點睛】求極坐標可先求直角坐標，通過直角坐標轉(zhuǎn)化成極坐標，兩者之間的關(guān)系為；直線的參數(shù)方程（為參數(shù)）直線與圓錐曲線交于，兩點，P為直線上定點，則.20.設函數(shù)，若曲線在處的切線方程為直線．（1）求，的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若有三個零點，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）單調(diào)增區(qū)間是，；單調(diào)減區(qū)間為；（3）.【解析】【分析】（1）依據(jù)切點和斜率列方程組，解方程組求得的值.（2）利用求得的單調(diào)區(qū)間.（3）依據(jù)的極值，求得的取值范圍.【詳解】（1）由已知得切點（1，），斜率因為，所以，解得（2）由（1）知，因此令即得或令即得故的單調(diào)增區(qū)間是，；單調(diào)減區(qū)間為.（3）由（2）可知函數(shù)極大值為，微小值為.要使得有三個零點，則曲線與直線有三個不同交點所以實數(shù)的值為.【點睛】本小題主要考查利用導數(shù)探討函數(shù)的切線，考查利用導數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查利用導數(shù)探討函數(shù)的零點，屬于中檔題.21.某同學在一次探討性學習中發(fā)覺，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)：①；②；③；④；⑤；（1）試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；（2）依據(jù)（1）的計算結(jié)果，將該同學的發(fā)覺推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論．【答案】（1）選擇②式，（2）.證明見解析【解析】【分析】（1）選擇②式，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式以及二倍角公式，求出常數(shù).（2）猜想.法一：利用兩角差的余弦公式綻開，然后結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式證得結(jié)論成立.法二：利用提公因式法，結(jié)合兩角差的余弦公式、平方差公式進行化簡，由此證得結(jié)論成立.法三：利用降次公式，結(jié)合兩角差的余弦公式進行化簡，由此證得結(jié)論成立.【詳解】（1）選擇②式，計算如下：.（2）三角恒等式為.法一：.法二：.法三：.【點睛】本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查三角恒等變換，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.22.已知函數(shù)（）．（1）探討函數(shù)在定義域內(nèi)的極值點的個數(shù)；（2）若函數(shù)在處取得極值，（0，），恒成立，求實數(shù)的最大值．【答案】（1）時，在（0，）上沒有極值點；當時，在（0，）上有一個極值點.（2）【解析】【分析】（1）首先求得函數(shù)的定義域和導函數(shù)，對分成和兩種狀況，探討的極值點個數(shù).（2）利用求得的值，將不等式分別常數(shù)，轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)利用導數(shù)求得的最小值，由此求得的取值范圍，進而求得實數(shù)的最大值.【詳解】