6.1.2乘法公式與事件的獨(dú)立性課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版選擇性

1.2乘法公式與事件的獨(dú)立性第六章概率北師大版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)目錄索引

課程標(biāo)準(zhǔn)1.結(jié)合古典概型,會(huì)用乘法公式計(jì)算概率.2.了解獨(dú)立性與條件概率的關(guān)系.3.會(huì)求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識一遍過知識點(diǎn)1

乘法公式

條件概率定義的變形由條件概率的定義P(B|A)=,則有P(AB)=P(B|A)P(A)(其中P(A)>0).①同理,P(AB)=P(A|B)P(B)(其中P(B)>0).②稱公式①②為乘法公式,利用它們可以計(jì)算

的概率.

兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生

思考辨析小劉在登錄自己的郵箱時(shí)發(fā)現(xiàn)忘了密碼的最后一位,只記得是數(shù)字0~9中的任意一個(gè).那么當(dāng)他在嘗試登錄時(shí),第一次失敗,第二次成功的概率是多少?自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)若P(A)≠0,則P(AB)=P(B|A)·P(A).(

)(2)一粒種子發(fā)芽的可能性是90%,而發(fā)芽后長成苗的概率為80%,則一粒種子長成苗的概率為72%.(

)√√2.[人教A版教材習(xí)題]從人群中隨機(jī)選出1人,設(shè)B=“選出的人患有心臟病”,C=“選出的人是年齡大于50歲的心臟病患者”,請你判斷P(B)和P(C)的大小,并說明理由.解

P(B)>P(C).理由:設(shè)A=“選出的人年齡大于50歲”,則C=AB.因?yàn)镻(C)=P(AB)=P(B)P(A|B),而0≤P(A|B)<1,所以P(B)>P(C).3.[人教A版教材習(xí)題]已知P(A)>0,P(B)>0,P(B|A)=P(B),證明:P(A|B)=P(A).知識點(diǎn)2

事件的獨(dú)立性定義如果事件A(或B)是否發(fā)生對事件B(或A)發(fā)生的概率沒有影響,這樣的兩個(gè)事件就叫作

,兩個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率,等于這兩個(gè)事件發(fā)生的概率的積,即P(AB)=

.

相互獨(dú)立事件

P(A)P(B)名師點(diǎn)睛1.如果事件A1,A2,…,An相互獨(dú)立,則這n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率,等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積,即P(A1A2…An)=P(A1)·P(A2)…P(An),并且上式中任意多個(gè)事件Ai換成其對立事件后,等式仍成立.2.性質(zhì)(3)事件A,B相互獨(dú)立的充要條件:事件A與事件B相互獨(dú)立?P(AB)=P(A)P(B).思考辨析三張獎(jiǎng)券中只有一張能中獎(jiǎng),現(xiàn)分別由三名同學(xué)有放回地抽取,事件A為“第一名同學(xué)沒有抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券”,事件B為“最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券”.事件A的發(fā)生會(huì)影響事件B發(fā)生的概率嗎?提示

當(dāng)有放回地抽取獎(jiǎng)券時(shí),最后一名同學(xué)也是從原來的三張獎(jiǎng)券中任抽一張,因此第一名同學(xué)抽的結(jié)果對最后一名同學(xué)的抽獎(jiǎng)結(jié)果沒有影響,即事件A的發(fā)生不會(huì)影響事件B發(fā)生的概率.于是P(B|A)=P(B),P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B).自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)P(AB)=P(BA).(

)(2)P(AB)=P(A)P(B).(

)(3)“P(AB)=P(A)P(B)”是“事件A,B相互獨(dú)立”的充要條件.(

)√×√2.下列說法正確的有

.(填序號)

①對事件A和B,若P(B|A)=P(B),則事件A與B相互獨(dú)立;①②③3.甲、乙兩人各射擊一次,他們各自擊中目標(biāo)的概率都是0.6,則他們都擊中目標(biāo)的概率是(

)

A.0.6 B.0.36 C.0.16 D.0.84B重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一乘法公式及其應(yīng)用【例1】

一袋中裝10個(gè)球,其中3個(gè)黑球、7個(gè)白球,這10個(gè)球除顏色外完全相同.先后兩次從中隨意各取一球(不放回),求兩次取到的均為黑球的概率.解

設(shè)事件Ai表示“第i次取到的是黑球”(i=1,2),則事件A1A2表示“兩次取到的均為黑球”.變式探究1在本例條件不變的情況下,求第一次取得黑球,第二次取得白球的概率.變式探究2在本例條件不變的情況下,求兩次均取得白球的概率.解

用Bi表示“第i次取得的是白球”(i=1,2),則B1B2表示“兩次取到的均是白球”.規(guī)律方法

乘法公式給出了一種計(jì)算“積事件”概率的求法,即當(dāng)直接計(jì)算P(AB)不好計(jì)算時(shí),可先求出P(A)及P(B|A)或先求出P(B)及P(A|B),再利用乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)求解即可.變式訓(xùn)練1在10道題中有7道選擇題和3道填空題,如果不放回地依次抽取2道題,求兩次都抽到選擇題的概率.探究點(diǎn)二事件獨(dú)立性的判斷【例2】

某家庭中有若干名小孩,假定生男孩和生女孩是等可能的,令A(yù)={某家庭中既有男孩又有女孩},B={某家庭中最多有一名女孩}.對下述兩種情形,討論A與B的獨(dú)立性:(1)某家庭中有2名小孩;(2)某家庭中有3名小孩.分析利用相互獨(dú)立事件的定義判斷.規(guī)律方法

判斷兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立的方法:變式訓(xùn)練2判斷下列各對事件是否是相互獨(dú)立事件.(1)甲組3名男生,2名女生;乙組2名男生,3名女生,現(xiàn)從甲、乙兩組中各選1名同學(xué)參加演講比賽,“從甲組中選出1名男生”與“從乙組中選出1名女生”;(2)擲一顆骰子一次,“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”與“出現(xiàn)3點(diǎn)或6點(diǎn)”.解

(1)“從甲組中選出1名男生”這一事件是否發(fā)生,對“從乙組中選出1名女生”這一事件發(fā)生的概率沒有影響,所以它們是相互獨(dú)立事件.(2)記事件A為“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”,事件B為“出現(xiàn)3點(diǎn)或6點(diǎn)”,則A={2,4,6},B={3,6},AB={6},∴P(AB)=P(A)P(B),∴事件A與B相互獨(dú)立.即擲一顆骰子一次,“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”與“出現(xiàn)3點(diǎn)或6點(diǎn)”是相互獨(dú)立事件.探究點(diǎn)三相互獨(dú)立事件發(fā)生的概率【例3】

甲、乙2個(gè)人獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼,已知他們能譯出密碼的概率分別為,求:(1)2個(gè)人都譯出密碼的概率;(2)2個(gè)人都譯不出密碼的概率;(3)至多1個(gè)人譯出密碼的概率.變式探究在本例條件下,求:(1)恰有1個(gè)人譯出密碼的概率;(2)至少1個(gè)人譯出密碼的概率.解

(1)“恰有1個(gè)人譯出密碼”可以分為兩類,即甲譯出乙未譯出以及甲未譯出乙譯出,且兩個(gè)事件為互斥事件,所以恰有1個(gè)人譯出密碼的概率為(2)“至少1個(gè)人譯出密碼”的對立事件為“2個(gè)人都未譯出密碼”,所以至少1個(gè)人譯出密碼的概率為規(guī)律方法

1.求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的步驟:(1)首先確定各事件之間是相互獨(dú)立的;(2)確定這些事件可以同時(shí)發(fā)生;(3)求出每個(gè)事件的概率,再求積.2.使用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式時(shí),要掌握公式的適用條件,即各個(gè)事件是相互獨(dú)立的,而且它們能同時(shí)發(fā)生.變式訓(xùn)練3(1)兩人射擊命中目標(biāo)的概率分別為,現(xiàn)兩人同時(shí)射擊目標(biāo),則目標(biāo)被命中的概率為

.

★(2)俗話說:三個(gè)臭皮匠頂個(gè)諸葛亮.在某次挑戰(zhàn)大賽中,由甲、乙、丙三人組成“臭皮匠”團(tuán)隊(duì),挑戰(zhàn)“諸葛亮”,且每個(gè)“臭皮匠”解出題目是相互獨(dú)立的.其中甲、乙、丙能答對某題目的概率分別為0.5,0.48,0.45,而“諸葛亮”能答對該題目的概率是0.8.比賽規(guī)則:各個(gè)選手獨(dú)立答題,不得商量,“臭皮匠”團(tuán)隊(duì)中只要1人答出該題即為挑戰(zhàn)成功.①求甲、乙二人中至少有一人解出題目的概率.你能得出什么結(jié)論?②求甲、乙、丙三人中至少有一人解出題目的概率.你又能得出什么結(jié)論?②事件“甲、乙、丙三人中至少有一人解出題目”可以表示為事件A∪B∪C,因?yàn)镻(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A)P(B)-P(B)P(C)-P(C)P(A)+P(A)P(B)P(C)=0.5+0.48+0.45-0.5×0.48-0.48×0.45-0.45×0.5+0.5×0.48×0.45=0.857,所以甲、乙、丙三人中至少有一人解出題目的概率為0.857.結(jié)論:因?yàn)?.857>0.8,所以三個(gè)“臭皮匠”解出題目的能力是可以超過“諸葛亮”的.所以甲、乙、丙三人中至少有一人解出題目的概率為0.857.結(jié)論:因?yàn)?.857>0.8,所以三個(gè)“臭皮匠”解出題目的能力是可以超過“諸葛亮”的.探究點(diǎn)四事件獨(dú)立性的綜合應(yīng)用【例4】

在一段線路中并聯(lián)著3個(gè)自動(dòng)控制的常開開關(guān),只要其中1個(gè)開關(guān)能夠閉合,線路就能正常工作.假定在某段時(shí)間內(nèi)每個(gè)開關(guān)能夠閉合的概率都是0.7,計(jì)算在這段時(shí)間內(nèi)線路正常工作的概率.解

如圖所示,記“這段時(shí)間內(nèi)開關(guān)KA,KB,KC能夠閉合”分別為事件A,B,C.由題意,這段時(shí)間內(nèi)3個(gè)開關(guān)是否能夠閉合相互之間沒有影響,根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式,這段時(shí)間內(nèi)3個(gè)開關(guān)都不能閉合的概率是變式探究1若將本例中的“并聯(lián)”改為“串聯(lián)”,求相應(yīng)概率.解

依題意可知所求事件的概率為P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.7×0.7×0.7=0.73=0.343.變式探究2本例中每個(gè)開關(guān)能夠閉合的概率不變,求如圖所示的線路正常工作的概率.規(guī)律方法

概率問題中的數(shù)學(xué)思想(1)正難則反.靈活應(yīng)用對立事件的概率關(guān)系(P(A)+P()=1)簡化問題,是求解概率問題最常用的方法.(2)化繁為簡.將復(fù)雜事件的概率轉(zhuǎn)化為簡單事件的概率,即尋找所求事件與已知事件之間的關(guān)系.“所求事件”分幾類(考慮加法公式,轉(zhuǎn)化為互斥事件)還是分幾步組成(考慮乘法公式,轉(zhuǎn)化為相互獨(dú)立事件).(3)方程思想.利用有關(guān)的概率公式和問題中的數(shù)量關(guān)系,建立方程(組),通過解方程(組)使問題獲解.變式訓(xùn)練4甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員分別對一目標(biāo)射擊1次,已知甲射中的概率為0.8,乙射中的概率為0.9,求:(1)2人都射中目標(biāo)的概率;(2)2人中恰有1人射中目標(biāo)的概率;(3)2人至少有1人射中目標(biāo)的概率;(4)2人至多有1人射中目標(biāo)的概率.學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)12345678910111213141516A級必備知識基礎(chǔ)練1.[探究點(diǎn)三]一件產(chǎn)品要經(jīng)過2道獨(dú)立的加工程序,第一道工序的次品率為a,第二道工序的次品率為b,則該產(chǎn)品的正品率為(

)A.1-a-b

B.1-abC.(1-a)(1-b) D.1-(1-a)(1-b)C123456789101112131415162.[探究點(diǎn)二]下列事件中,A,B是相互獨(dú)立事件的是(

)A.一枚硬幣擲兩次,A表示“第一次為正面”,B表示“第二次為反面”B.袋中有2白,2黑的小球,不放回地摸兩球,A表示“第一次摸到白球”,B表示“第二次摸到白球”C.擲一枚骰子,A表示“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”,B表示“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”D.A表示“人能活到20歲”,B表示“人能活到50歲”A12345678910111213141516C解析

記事件A=“下雨”,事件B=“刮風(fēng)”,AB=“刮風(fēng)又下雨”,則

123456789101112131415164.[探究點(diǎn)三·教材改編]甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員分別對同一目標(biāo)射擊1次,甲射中的概率為0.8,乙射中的概率為0.9,則2人都射中的概率為(

)A.0.72 B.0.18

C.0.03 D.0.97A解析

設(shè)事件A為“甲射中目標(biāo)”,事件B為“乙射中目標(biāo)”,則P(A)=0.8,P(B)=0.9,兩人都射中為事件AB,又因?yàn)锳與B互相獨(dú)立,故P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.9=0.72.123456789101112131415160.06123456789101112131415166.[探究點(diǎn)三]已知1號箱中有2個(gè)白球和4個(gè)紅球、2號箱中有5個(gè)白球和3個(gè)紅球,現(xiàn)隨機(jī)從1號箱中取出一球放入2號箱,然后從2號箱中隨機(jī)取出一球,則兩次都取到紅球的概率是

.

123456789101112131415167.[探究點(diǎn)四]袋中裝有4個(gè)紅球,5個(gè)白球,從中不放回地任取兩次,每次取一球.(1)求在第一次取出的是紅球的條件下,第二次取出的也是紅球的概率;(2)求第二次才取到紅球的概率.1234567891011121314151612345678910111213141516B級關(guān)鍵能力提升練8.袋內(nèi)有3個(gè)白球和2個(gè)黑球,從中有放回地摸球,用A表示“第一次摸得白球”,如果“第二次摸得白球”記為B,“第二次摸得黑球”記為C,那么事件A與B,A與C間的關(guān)系是(

)A.A與B,A與C均相互獨(dú)立B.A與B相互獨(dú)立,A與C互斥C.A與B,A與C均互斥D.A與B互斥,A與C相互獨(dú)立A12345678910111213141516123456789101112131415169.如圖,A,B,C表示三個(gè)開關(guān),設(shè)在某段時(shí)間內(nèi)它們正常工作的概率分別是0.9,0.8,0.7,那么該系統(tǒng)正常工作的概率是(

)A.0.994 B.0.686

C.0.504 D.0.496B解析

A,B,C表示三個(gè)開關(guān),在某段時(shí)間內(nèi)它們正常工作的概率分別是0.9,0.8,0.7,設(shè)事件A表示A開關(guān)正常工作,事件B表示B開關(guān)正常工作,事件C表示C開關(guān)正常工作,則P(A)=0.9,P(B)=0.8,P(C)=0.7,當(dāng)系統(tǒng)正常工作時(shí),C正常工作且A,B至少有一個(gè)正常工作,C正常工作的概率為P(C)=0.7;A,B至少有一個(gè)正常工作的概率為1-(1-0.9)×(1-0.8)=0.98,所以這個(gè)系統(tǒng)正常工作的概率為P=0.7×0.98=0.686.故選B.123456789101112131415161234567891011121314151610.在某道路的A,B,C三處設(shè)有交通信號燈,這三處在1分鐘內(nèi)開放綠燈的時(shí)間分別為25秒、35秒、45秒,某輛車在這段道路上勻速行駛,則在這三處都不停車的概率為(

)C12345678910111213141516ACD1234567891011121314151612.(多選題)在一次對一年級學(xué)生上、下兩學(xué)期數(shù)學(xué)成績的統(tǒng)計(jì)調(diào)查中發(fā)現(xiàn),上、下兩學(xué)期成績均得優(yōu)的學(xué)生占5%,僅上學(xué)期得優(yōu)的占7.9%,僅下學(xué)期得優(yōu)的占8.9%,則(

)A.已知某學(xué)生上學(xué)期得優(yōu),則下學(xué)期也得優(yōu)的概率約為0.388B.已知某學(xué)生上學(xué)期得優(yōu),則下學(xué)期也得優(yōu)的概率約為0.139C.上、下兩學(xué)期均未得優(yōu)的概率約為0.782D.上、下兩學(xué)期均未得優(yōu)的概率約為0.95AC1234567891011121314151613.同學(xué)甲參加某科普知識競賽,需回答三個(gè)問題,競賽規(guī)則規(guī)定:答對第一、二、三個(gè)問題分別得100分、100分、200分,答錯(cuò)或不答均得零分.假設(shè)同學(xué)甲答對第一、二、三個(gè)問題的概率分別為0.8,0.6,0.5,且各題答對與否相互之間沒有影響,則同學(xué)甲得分不低于300分的概率