2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)章末綜合測評含解析新人教A版必修第一冊

PAGE9章末綜合測評(三)函數(shù)的概念與性質(zhì)(滿分：150分時間：120分鐘)一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．函數(shù)f(x)＝eq\r(1＋x)＋eq\f(1,x)的定義域是()A．[－1，＋∞)B．(－∞，0)∪(0，＋∞)C．[－1,0)∪(0，＋∞)D．RC[要使函數(shù)有意義，需滿意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋x≥0，,x≠0，))即x≥－1且x≠0.]2．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋1，x≤1，,x2＋3，x>1，))則f(3)＝()A．7 B．2C．10 D．12D[∵3>1，∴f(3)＝32＋3＝12.]3．已知函數(shù)f(x)＝x2－4x，x∈[1,5]，則函數(shù)f(x)的值域是()A．[－4，＋∞) B．[－3,5]C．[－4,5] D．(－4,5]C[由f(x)＝x2－4x＝(x－2)2－4，當(dāng)x＝2時，f(x)取到最小值－4，當(dāng)x＝5時，f(x)取得最大值5，故值域為[－4,5]．]4．函數(shù)f(x)＝ax3＋bx＋4(a，b不為零)，且f(5)＝10，則f(－5)等于()A．－10 B．－2C．－6 D．14B[∵f(5)＝125a＋5b∴125a＋5b∴f(－5)＝－125a－5b＝－(125a＋5b＝－6＋4＝－2.]5．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋4x，x≥0，,4x－x2，x<0，))若f(2－a2)>f(a)，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B．(－1,2)C．(－2,1)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C[∵f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋4x，x≥0，,4x－x2，x<0，))由函數(shù)圖象(圖略)知f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，∴由f(2－a2)>f(a)，得a2＋a－2<0，解得－2<a<1.]6．函數(shù)y＝3x＋eq\r(2x－1)(x≥2)的值域是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞)) B．[6＋eq\r(3)，＋∞)C．[6，＋∞) D．[eq\r(3)，＋∞)B[∵y＝3x＋eq\r(2x－1)在[2，＋∞)上是增函數(shù)，∴y最小值＝3×2＋eq\r(2×2－1)＝6＋eq\r(3).∴y＝3x＋eq\r(2x－1)(x≥2)的值域為[6＋eq\r(3)，＋∞)．]7．已知二次函數(shù)y＝x2－2ax＋1在區(qū)間(2,3)內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是()A．a(chǎn)≤2或a≥3 B．2≤a≤3C．a(chǎn)≤－3或a≥－2 D．－3≤a≤－2A[y＝x2－2ax＋1＝(x－a)2＋1－a2，由已知得，a≤2或a≥3.]8．假如函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c對于隨意實數(shù)t都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么()A．f(2)<f(1)<f(4) B．f(1)<f(2)<f(4)C．f(4)<f(2)<f(1) D．f(2)<f(4)<f(1)A[由f(2＋t)＝f(2－t)，可知拋物線的對稱軸是直線x＝2，再由二次函數(shù)的單調(diào)性，可得f(2)<f(1)<f(4)．]二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得5分，部分選對得3分，有選錯的得0分．9．下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為()A．y＝x B．y＝x3C．y＝－eq\f(1,x) D．y＝x4AB[對于A，y＝x為其定義域上的增函數(shù)，是奇函數(shù)，A正確；對于C，y＝－eq\f(1,x)為奇函數(shù)，但只在(－∞，0)和(0，＋∞)上分別為增函數(shù)，不是整個定義域上的增函數(shù)，解除C；對于D，y＝x4為偶函數(shù)，解除D，選AB.]10．函數(shù)y＝xeq\s\up12(eq\f(3,5))在[－1,1]上是()A．增函數(shù) B．減函數(shù)C．奇函數(shù) D．偶函數(shù)AC[由冪函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)α＞0時，y＝xα在第一象限內(nèi)是增函數(shù)，所以y＝xeq\s\up12(eq\f(3,5))在(0,1]上是增函數(shù)．令y＝f(x)＝xeq\s\up12(eq\f(3,5))，x∈[－1,1]，則f(－x)＝(－x)eq\s\up12(eq\f(3,5))＝－xeq\s\up12(eq\f(3,5))＝－f(x)，所以f(x)＝xeq\s\up12(eq\f(3,5))是奇函數(shù)．因為奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，所以當(dāng)x∈[－1,0)時，y＝xeq\s\up12(eq\f(3,5))也是增函數(shù)．當(dāng)x＝0時，y＝0，又當(dāng)x＜0時，y＝xeq\s\up12(eq\f(3,5))＜0，當(dāng)x＞0時，y＝xeq\s\up12(eq\f(3,5))＞0，所以y＝xeq\s\up12(eq\f(3,5))在[－1,1]上是增函數(shù)．故y＝xeq\s\up12(eq\f(3,5))在[－1,1]上是增函數(shù)且是奇函數(shù)．]11．函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()A．f(0)＝0B．若f(x)在[0，＋∞)上有最小值－1，則f(x)在(－∞，0]上有最大值1C．若f(x)在[1，＋∞)上為增函數(shù)，則f(x)在(－∞，－1]上為減函數(shù)D．若x>0時，f(x)＝x2－2x，則x<0時，f(x)＝－x2－2xABD[f(x)為R上的奇函數(shù)，則f(0)＝0，A正確；其圖象關(guān)于原點對稱，且在對稱區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，最值相反且互為相反數(shù)，所以B正確，C不正確；對于D，x<0時，－x>0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x，又f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－x2－2x，即D正確．]12．已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋2ax＋1在區(qū)間[－2,3]上的最大值為6，則a的值為()A．3 B.eq\f(1,3)C．5 D．－5BD[f(x)＝ax2＋2ax＋1＝a(x＋1)2＋1－a，對稱軸x＝－1，當(dāng)a>0時，圖象開口向上，在[－2,3]上的最大值為f(3)＝9a＋6a＋1＝6，所以a＝eq\f(1,3)；當(dāng)a<0時，圖象開口向下，在[－2,3]上的最大值為f(－1)＝a－2a＋1＝6，所以a綜上，a的值為eq\f(1,3)或－5.]三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上．13．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x≥0，,fx＋2，x<0，))則f(－3)＝________.3[∵－3<0，∴f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)，∵1>0，∴f(1)＝2×1＋1＝3，∴f(－3)＝3.]14．已知f(x)為R上的減函數(shù)，則滿意feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))>f(1)的實數(shù)x的取值范圍為________．(－∞，0)∪(1，＋∞)[∵f(x)在R上是減函數(shù)，∴eq\f(1,x)<1，解得x>1或x<0.]15．已知函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù)，若g(x)＝f(x)＋2，且g(1)＝1，則g(－1)＝________.3[由g(1)＝1，且g(x)＝f(x)＋2，∴f(1)＝g(1)－2＝－1，又y＝f(x)是奇函數(shù)，∴f(－1)＝－f(1)＝1，從而g(－1)＝f(－1)＋2＝3.]16．已知函數(shù)f(x－1)＝x2＋(2a－2)x＋3－2(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[－5,5]上為單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為________；(2)若f(x)在區(qū)間[－5,5]上的最小值為－1，則a的值為________．(本題第一空2分，其次空3分)(1)(－∞，－5]∪[5，＋∞)(2)±eq\r(3)[令x－1＝t，則x＝t＋1，f(t)＝(t＋1)2＋(2a－2)·(t＋1)＋3－2a＝t2＋2at＋2，所以f(x)＝x2＋2ax＋2.(1)因為f(x)圖象的對稱軸為x＝－a，由題意知－a≤－5或－a≥5，解得a≤－5或a≥5.故實數(shù)a的取值范圍為(－∞，－5]∪[5，＋∞)．(2)當(dāng)a>5時，f(x)最小值＝f(－5)＝27－10a＝－1，解得a＝eq\f(14,5)(舍去)；當(dāng)－5≤a≤5時，f(x)最小值＝f(－a)＝－a2＋2＝－1，解得a＝±eq\r(3)；當(dāng)a<－5時，f(x)最小值＝f(5)＝27＋10a＝－1，解得a＝－eq\f(14,5)(舍去)．綜上，a＝±eq\r(3).]四、解答題：本題共6小題，共70分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．(本小題滿分10分)若f(x)對x∈R恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，求f(x[解]2f(x)－f(－x)＝3x＋1，將①中的x換為－x，得2f(－x)－f(x)＝－3x＋1，①②聯(lián)立，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2fx－f－x＝3x＋1，,2f－x－fx＝－3x＋1，))把f(x)與f(－x)看成未知數(shù)解得f(x)＝x＋1.18．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝|x－1|＋|x＋1|(x∈R)，(1)證明：函數(shù)f(x)是偶函數(shù)；(2)利用肯定值及分段函數(shù)學(xué)問，將函數(shù)解析式寫成分段函數(shù)，然后畫出函數(shù)圖象；(3)寫出函數(shù)的值域．[解](1)由于函數(shù)定義域是R，且f(－x)＝|－x－1|＋|－x＋1|＝|x＋1|＋|x－1|＝f(x)．∴f(x)是偶函數(shù)．(2)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x，x<－1，,2，－1≤x≤1，,2x，x>1，))圖象如圖所示：(3)由函數(shù)圖象知，函數(shù)的值域為[2，＋∞)．19．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(2x＋1,x＋1).(1)推斷函數(shù)在區(qū)間[1，＋∞)上的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論；(2)求該函數(shù)在區(qū)間[1,4]上的最大值與最小值．[解](1)f(x)在[1，＋∞)上是增函數(shù)．證明如下：任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1<x2，f(x1)－f(x2)＝eq\f(2x1＋1,x1＋1)－eq\f(2x2＋1,x2＋1)＝eq\f(x1－x2,x1＋1x2＋1).∵x1－x2<0，(x1＋1)(x2＋1)>0，所以f(x1)－f(x2)<0，f(x1)<f(x2)，所以函數(shù)f(x)在[1，＋∞)上是增函數(shù)．(2)由(1)知函數(shù)f(x)在[1,4]上是增函數(shù)．最大值為f(4)＝eq\f(2×4＋1,4＋1)＝eq\f(9,5)，最小值為f(1)＝eq\f(2×1＋1,1＋1)＝eq\f(3,2).20．(本小題滿分12分)大氣中的溫度隨著高度的上升而降低，依據(jù)實測的結(jié)果上升到12km為止溫度的降低大體上與上升的距離成正比，在12km以上溫度肯定，保持在－55℃(1)當(dāng)?shù)厍虮砻娲髿獾臏囟仁莂℃時，在xkm的上空為y℃，求a、x、y間的函數(shù)關(guān)系式；(2)問當(dāng)?shù)乇淼臏囟仁?9℃時，3km[解](1)由題設(shè)知，可設(shè)y－a＝kx(0≤x≤12，k＜0)，即y＝a＋kx.依題意，當(dāng)x＝12時，y＝－55，∴－55＝a＋12k，解得k＝－eq\f(55＋a,12).∴當(dāng)0≤x≤12時，y＝a－eq\f(x,12)(55＋a)(0≤x≤12)．又當(dāng)x＞12時，y＝－55.∴所求的函數(shù)關(guān)系式為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－\f(x,12)55＋a，0≤x≤12，,－55，x＞12.))(2)當(dāng)a＝29，x＝3時，y＝29－eq\f(3,12)(55＋29)＝8，即3km上空的溫度為8℃21．(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為U＝{x|x∈R且x>0}，且滿意條件f(4)＝1.對隨意的x1，x2∈U，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且當(dāng)x1≠x2時，有eq\f(fx2－fx1,x2－x1)>0.(1)求f(1)的值；(2)假如f(x＋6)＋f(x)>2，求x的取值范圍．[解](1)因為對隨意的x1，x2∈U，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，所以令x1＝x2＝1，得f(1×1)＝f(1)＋f(1)＝2f(1)，所以f(2)設(shè)0<x1<x2，則x2－x1>0.又因為當(dāng)x1≠x2時，eq\f(fx2－fx1,x2－x1)>0，所以f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)＞f(x1)，所以f(x)在定義域內(nèi)為增函數(shù)．令x1＝x2＝4，得f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝1＋1＝2，即f(16)＝2.當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋6>0，,x>0，))即x>0時，原不等式可化為f[x(x＋6)]>f(16)．又因為f(x)在定義域上為增函數(shù)，所以x(x＋6)>16，解得x>2或x<－8.又因為x>0，所以x>2.所以x的取值范圍為(2，＋∞)．22．(本小題滿分12分)已知奇函數(shù)f(x)＝px＋eq\f(q,x)＋r(p，q，r為常數(shù))，且滿意f(1)＝eq\f(5,2)，f(2)＝eq\f(17,4).(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)試推斷函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明；(3)當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))時，f(x)≥2－m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．[解](1)∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，∴r＝0.又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝\f(5,2)，,f2＝\f(17,4)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＋q＝\f(5,2)，,2p＋\f(q,2)＝\f(17,4)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝2