2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第8章立體幾何第2講空間點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系作業(yè)試題1含解析新人教版

PAGE第八章立體幾何其次講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系練好題﹒考點(diǎn)自測1.下列說法正確的是 ()A.梯形肯定是平面圖形B.過三點(diǎn)確定一個(gè)平面C.三條直線兩兩相交確定一個(gè)平面D.若兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn),則這兩個(gè)平面重合2.若∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,QUOTE與QUOTE的方向相同,則下列結(jié)論中正確的是 ()A.OB∥O1B1且QUOTE與QUOTE的方向相同B.OB∥O1B1C.OB與O1B1不平行D.OB與O1B1不肯定平行3.[2017全國卷Ⅰ,5分]如圖,在下列四個(gè)正方體中,A,B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn),M,N,Q為所在棱的中點(diǎn),則在這四個(gè)正方體中,直線AB與平面MNQ不平行的是 ()ABCD4.[多選題]已知直線l?平面α,直線m?平面α,則 ()A.若l與m不垂直,則l與α肯定不垂直B.若l與m所成的角為30°,則l與α所成的角也為30°C.l∥m是l∥α的充分不必要條件D.若l與α相交,則l與m肯定是異面直線5.[2024長春市第四次質(zhì)量監(jiān)測]已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,點(diǎn)N是棱CC1的中點(diǎn),則異面直線AN與BC所成角的余弦值為.

6.[2016全國卷Ⅱ,5分]α,β是兩個(gè)平面,m,n是兩條直線,有下列四個(gè)命題:①假如m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.②假如m⊥α,n∥α,那么m⊥n.③假如α∥β,m?α,那么m∥β.④假如m∥n,α∥β,那么m與α所成的角和n與β所成的角相等.其中正確的命題有.(填寫全部正確命題的編號(hào))

拓展變式1.如圖8-2-4所示,E,F分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱CC1,AA1的中點(diǎn),試畫出平面BED1F與平面ABCD的交線.圖8-2-42.如圖8-2-7為正方體表面的一種綻開圖,則在原正方體的四條線段AB,CD,EF,GH所在直線中,互為異面直線的有對(duì).圖8-2-73.[2024全國卷Ⅱ,5分]在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=QUOTE,則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE4.[多選題]如圖8-2-13所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,N為底面ABCD的中心,P為線段A1D1上的動(dòng)點(diǎn)(不包括兩個(gè)端點(diǎn)),M為線段AP的中點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是 ()圖8-2-13A.CM與PN是異面直線B.CM>PNC.平面PAN⊥平面BDD1B1D.過P,A,C三點(diǎn)的正方體的截面肯定是等腰梯形答案其次講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系1.A對(duì)于A,因?yàn)閮蓷l平行直線確定一個(gè)平面,所以梯形可以確定一個(gè)平面,A正確;對(duì)于B,過不在同一條直線上的三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面,留意三點(diǎn)不共線,B錯(cuò)誤;對(duì)于C,三條直線兩兩相交,可以確定一個(gè)平面或三個(gè)平面,C錯(cuò)誤;對(duì)于D,若兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn),則這兩個(gè)平面相交或重合,D錯(cuò)誤.故選A.2.D在空間中,若兩角相等,角的一邊平行且方向相同,則另一邊不肯定平行,故選D.3.A解法一對(duì)于選項(xiàng)B,如圖D8-2-1所示,C,D為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn),連接CD,因?yàn)锳B∥CD,M,Q分別是所在棱的中點(diǎn),所以MQ∥CD,所以AB∥MQ,又AB?平面MNQ,MQ?平面MNQ,所以AB∥平面MNQ.同理可證選項(xiàng)C,D中均有AB∥平面MNQ.選A.圖D8-2-1解法二對(duì)于選項(xiàng)A,作出正方體的底面的對(duì)角線,記對(duì)角線的交點(diǎn)為O(如圖D8-2-2所示),連接OQ,則OQ∥AB,因?yàn)镺Q與平面MNQ有交點(diǎn),所以AB與平面MNQ有交點(diǎn),即AB與平面MNQ不平行,故選A.圖D8-2-24.AC對(duì)于A,當(dāng)l與m不垂直時(shí),假設(shè)l⊥α,那么由l⊥α肯定能得到l⊥m,這與已知條件沖突,因此l與α肯定不垂直,A正確;易知B錯(cuò)誤;由l∥m可以推出l∥α,但是由l∥α不肯定能推出l∥m,因此l∥m是l∥α的充分不必要條件,C正確;若l與α相交,則l與m相交或異面,D錯(cuò)誤.故選AC.圖D8-2-35.QUOTE因?yàn)锳D∥BC,所以∠DAN為異面直線AN與BC所成的角,連接AC,在Rt△NAC中,因?yàn)镹為CC1的中點(diǎn),所以CN=1.AN=QUOTE=QUOTE=3,連接DN,在Rt△ADN中,cos∠DAN=QUOTE=QUOTE.圖D8-2-36.②③④對(duì)于命題①,可運(yùn)用長方體舉反例證明其錯(cuò)誤.如圖D8-2-3,不妨設(shè)AA'所在直線為直線m,CD所在直線為直線n,ABCD所在的平面為α,ABC'D'所在的平面為β,明顯這些直線和平面滿意題目條件,但α⊥β不成立.故①錯(cuò)誤.對(duì)于命題②,設(shè)過直線n的某平面與平面α相交于直線l,則l∥n,由m⊥α知m⊥l,從而m⊥n,故②正確.對(duì)于命題③,由平面與平面平行的性質(zhì)可知,③正確.對(duì)于命題④,由平行的傳遞性及線面角的定義可知,④正確.1.如圖D8-2-4所示,在平面AA1D1D內(nèi),D1F與DA不平行.分別延長D1F與DA,則D1F與DA的延長線必相交,設(shè)交點(diǎn)為M.因?yàn)镸∈D1F,M∈DA,D1F?平面BED1F,DA?平面ABCD.所以M∈平面BED1F∩平面ABCD,又B∈平面BED1F∩平面ABCD,連接MB,則平面BED1F∩平面ABCD=MB.故直線MB為所求兩平面的交線.圖D8-2-42.3還原后的正方體的示意圖如圖D8-2-5所示,其中AB與CD,AB與GH,EF與GH分別互為異面直線,共3對(duì).圖D8-2-53.C解法一如圖D8-2-6,補(bǔ)上一個(gè)相同的長方體CDEF-C1D1E1F1,連接DE1,B1E1.易知AD1∥DE1,則∠B1DE1為異面直線AD1與DB1所成角或其補(bǔ)角.因?yàn)樵陂L方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=QUOTE,所以DE1=QUOTE=QUOTE=2,DB1=QUOTE=QUOTE,B1E1=QUOTE=QUOTE=QUOTE,在△B1DE1中,由余弦定理,得cos∠B1DE1=QUOTE=QUOTE,即異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為QUOTE,故選C.圖D8-2-6解法二如圖D8-2-7,連接BD1,交DB1于點(diǎn)O,取AB的中點(diǎn)M,連接DM,OM.易知O為BD1的中點(diǎn),所以AD1∥OM,則∠MOD為異面直線AD1與DB1所成角或其補(bǔ)角.因?yàn)樵陂L方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=QUOTE,AD1=QUOTE=2,DM=QUOTE=QUOTE,DB1=QUOTE=QUOTE,所以O(shè)M=QUOTEAD1=1,OD=QUOTEDB1=QUOTE,于是在△DMO中,由余弦定理,得cos∠MOD=QUOTE=QUOTE,即異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為QUOTE,故選C.圖D8-2-7解法三以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖D8-2-8所示.由條件可知D(0,0,0),A(1,0,0),D1(0,0,QUOTE),B1(1,1,QUOTE),所以QUOTE=(-1,0,QUOTE),QUOTE=(1,1,QUOTE),則由向量夾角公式,得cos<QUOTE,QUOTE>=QUOTE=QUOTE=QUOTE,即異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為QUOTE,故選C.圖D8-2-84.BCD對(duì)于選項(xiàng)A,如圖D8-2-9,連接NC,PC.在△PAC中,M為AP的中點(diǎn),N為AC的中點(diǎn),CN,PM交于點(diǎn)A,所以CM與PN共面,故A錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)B,因?yàn)镻為線段A1D1上的動(dòng)點(diǎn)(不包括兩個(gè)端點(diǎn)),所以AC>AP.在△MAC中,CM2=AC2+AM2-2AC·AMcos∠MAC=AC2+QUOTEAP2-AC·AP·cos∠MAC.圖D8-2-9在△PAN中,PN2=AP2+AN2-2AP·ANcos∠PAN=AP2+QUOTEAC2-AP·ACcos∠PAN,則CM2-PN2=QUOTE(AC2-AP2)>0,所以CM>PN,故B正確.對(duì)于選項(xiàng)C,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,易知AC⊥平面BDD1B1,即AN