高二數(shù)學(xué)上學(xué)期人教A版（2019）選擇性必修第二冊(cè)4.4.2 數(shù)學(xué)歸納法的簡(jiǎn)單應(yīng)用 教案

第四章數(shù)列4.4數(shù)學(xué)歸納法4.4.2數(shù)學(xué)歸納法的簡(jiǎn)單應(yīng)用一、教學(xué)目標(biāo)1、正確理解數(shù)學(xué)歸納法原理，培養(yǎng)不完全歸納法下的歸納、猜想與證明思維體系；2、通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法原理證明簡(jiǎn)單的猜想，如等式、不等式命題等.二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法原理難點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法原理的應(yīng)用.三、學(xué)法與教學(xué)用具1、學(xué)法：學(xué)生在老師的引導(dǎo)下，通過(guò)閱讀教材，自主學(xué)習(xí)、思考、交流、討論和概括，從而完成本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo).2、教學(xué)用具：多媒體設(shè)備等四、教學(xué)過(guò)程（一）創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題【回顧】數(shù)學(xué)歸納法(mathematical

induction)（1）歸納奠基證明當(dāng)時(shí)命題成立（2）歸納遞推以“當(dāng)時(shí)命題成立”為條件，推出“當(dāng)時(shí)命題也成立”.由（1）（2）可知，命題對(duì)任何都成立.【用途】數(shù)學(xué)歸納法用于解決關(guān)于正整數(shù)的猜想與命題.（二）閱讀精要，研討新知【例題研討】閱讀領(lǐng)悟課本例2、例3、例4（用時(shí)約為3-5分鐘，教師作出準(zhǔn)確的評(píng)析.）例2用數(shù)學(xué)歸納法證明：①證明：（1）當(dāng)時(shí)，①式的左邊，右邊,

所以①式成立.（2）

假設(shè)當(dāng)時(shí)，①式成立，即所以時(shí)，即當(dāng)時(shí)，①式也成立.由（1）（2）可知，①式對(duì)任何都成立.例3已知數(shù)列滿足，試猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.解：由，可得由可得，同理可得歸納上述結(jié)果，猜想①下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想.（1）當(dāng)時(shí)，①式的左邊，右邊,

猜想成立.（2）

假設(shè)當(dāng)時(shí)，①式成立，即那么即當(dāng)時(shí)，猜想也成立.由（1）（2）可知，猜想對(duì)任何都成立.例4設(shè)為正實(shí)數(shù)，為大于1的正整數(shù)，若數(shù)列的前項(xiàng)和為，試比較與的大小，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.解法1：由已知可得當(dāng)時(shí)，,由，可得；當(dāng)時(shí)，,由，可得由此，我們猜想，當(dāng)且時(shí)，.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想.（1）

當(dāng)時(shí)，由上述過(guò)程知，不等式成立.（2）

假設(shè)當(dāng),且時(shí)，不等式成立，即，由，可得，所以于是所以，當(dāng)時(shí)，

不等式也成立.由（1）（2）可知，不等式對(duì)任何大于1的正整數(shù)都成立.解法2：顯然，所給數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，于是當(dāng)時(shí)，,由，可得；當(dāng)時(shí)，,由，可得由此，我們猜想，當(dāng)且時(shí)，.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想.（1）

當(dāng)時(shí)，由上述過(guò)程知，不等式成立.（2）

假設(shè)當(dāng),且時(shí)，不等式成立，即，由，知所以又，所以所以，當(dāng)時(shí)，不等式也成立.由（1）（2）可知，不等式對(duì)任何大于1的正整數(shù)都成立.【小組互動(dòng)】完成課本練習(xí)1、2、3、4，同桌交換檢查，老師答疑.【練習(xí)答案】（三）探索與發(fā)現(xiàn)、思考與感悟1.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,且對(duì)任意都有.（1）求；（2）猜想的表達(dá)式并予以證明.解：（1）由已知，當(dāng)時(shí)，，所以.又.（2）猜想.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:①當(dāng)時(shí),，猜想正確；②假設(shè)當(dāng)時(shí),猜想正確,即,那么,即時(shí),猜想也成立,由①②可知，猜想對(duì)任何都成立.2.已知的三個(gè)內(nèi)角分別對(duì)應(yīng)于三邊，其中三邊長(zhǎng)都是有理數(shù).（1）求證：是有理數(shù)；（2）求證：對(duì)任意正整數(shù)是有理數(shù).解：（1）由為有理數(shù)及余弦定理知是有理數(shù).（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明和都是有理數(shù).①當(dāng)時(shí)，由（1）知是有理數(shù)，從而有也是有理數(shù).②假設(shè)當(dāng)時(shí)，和都是有理數(shù).當(dāng)時(shí)，由，，由①和歸納假設(shè)，知和都是有理數(shù).即當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立.由①、②可知，對(duì)任意正整數(shù)是有理數(shù).3.用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)一切大于1的自然數(shù)，不等式成立．證明：（1）當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，左邊右邊，不等式成立（2）假設(shè)時(shí)不等式成立，即那么，即時(shí)不等式也成立．由（1）（2）可知，對(duì)一切大于1的正整數(shù)不等式都成立.（四）歸納小結(jié)，回顧重點(diǎn)數(shù)學(xué)歸納法(mathematical

induction)（1）歸納奠基證明當(dāng)時(shí)命題成立（2）歸納遞推以“當(dāng)時(shí)命題成立”為條件，推出“當(dāng)時(shí)命題也成立”.由（1）（2）可知，命題對(duì)任何都成