高二數(shù)學上學期人教A版（2019）選擇性必修第二冊4.4.2 數(shù)學歸納法的簡單應(yīng)用 教案

第四章數(shù)列4.4數(shù)學歸納法4.4.2數(shù)學歸納法的簡單應(yīng)用一、教學目標1、正確理解數(shù)學歸納法原理，培養(yǎng)不完全歸納法下的歸納、猜想與證明思維體系；2、通過數(shù)學歸納法原理證明簡單的猜想，如等式、不等式命題等.二、教學重點、難點重點：數(shù)學歸納法原理難點：數(shù)學歸納法原理的應(yīng)用.三、學法與教學用具1、學法：學生在老師的引導下，通過閱讀教材，自主學習、思考、交流、討論和概括，從而完成本節(jié)課的教學目標.2、教學用具：多媒體設(shè)備等四、教學過程（一）創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題【回顧】數(shù)學歸納法(mathematical

induction)（1）歸納奠基證明當時命題成立（2）歸納遞推以“當時命題成立”為條件，推出“當時命題也成立”.由（1）（2）可知，命題對任何都成立.【用途】數(shù)學歸納法用于解決關(guān)于正整數(shù)的猜想與命題.（二）閱讀精要，研討新知【例題研討】閱讀領(lǐng)悟課本例2、例3、例4（用時約為3-5分鐘，教師作出準確的評析.）例2用數(shù)學歸納法證明：①證明：（1）當時，①式的左邊，右邊,

所以①式成立.（2）

假設(shè)當時，①式成立，即所以時，即當時，①式也成立.由（1）（2）可知，①式對任何都成立.例3已知數(shù)列滿足，試猜想數(shù)列的通項公式，并用數(shù)學歸納法加以證明.解：由，可得由可得，同理可得歸納上述結(jié)果，猜想①下面用數(shù)學歸納法證明這個猜想.（1）當時，①式的左邊，右邊,

猜想成立.（2）

假設(shè)當時，①式成立，即那么即當時，猜想也成立.由（1）（2）可知，猜想對任何都成立.例4設(shè)為正實數(shù)，為大于1的正整數(shù)，若數(shù)列的前項和為，試比較與的大小，并用數(shù)學歸納法證明你的結(jié)論.解法1：由已知可得當時，,由，可得；當時，,由，可得由此，我們猜想，當且時，.下面用數(shù)學歸納法證明這個猜想.（1）

當時，由上述過程知，不等式成立.（2）

假設(shè)當,且時，不等式成立，即，由，可得，所以于是所以，當時，

不等式也成立.由（1）（2）可知，不等式對任何大于1的正整數(shù)都成立.解法2：顯然，所給數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，于是當時，,由，可得；當時，,由，可得由此，我們猜想，當且時，.下面用數(shù)學歸納法證明這個猜想.（1）

當時，由上述過程知，不等式成立.（2）

假設(shè)當,且時，不等式成立，即，由，知所以又，所以所以，當時，不等式也成立.由（1）（2）可知，不等式對任何大于1的正整數(shù)都成立.【小組互動】完成課本練習1、2、3、4，同桌交換檢查，老師答疑.【練習答案】（三）探索與發(fā)現(xiàn)、思考與感悟1.設(shè)數(shù)列的前項和為,且對任意都有.（1）求；（2）猜想的表達式并予以證明.解：（1）由已知，當時，，所以.又.（2）猜想.下面用數(shù)學歸納法證明:①當時,，猜想正確；②假設(shè)當時,猜想正確,即,那么,即時,猜想也成立,由①②可知，猜想對任何都成立.2.已知的三個內(nèi)角分別對應(yīng)于三邊，其中三邊長都是有理數(shù).（1）求證：是有理數(shù)；（2）求證：對任意正整數(shù)是有理數(shù).解：（1）由為有理數(shù)及余弦定理知是有理數(shù).（2）用數(shù)學歸納法證明和都是有理數(shù).①當時，由（1）知是有理數(shù)，從而有也是有理數(shù).②假設(shè)當時，和都是有理數(shù).當時，由，，由①和歸納假設(shè)，知和都是有理數(shù).即當時，結(jié)論成立.由①、②可知，對任意正整數(shù)是有理數(shù).3.用數(shù)學歸納法證明：對一切大于1的自然數(shù)，不等式成立．證明：（1）當時，左邊，右邊，左邊右邊，不等式成立（2）假設(shè)時不等式成立，即那么，即時不等式也成立．由（1）（2）可知，對一切大于1的正整數(shù)不等式都成立.（四）歸納小結(jié)，回顧重點數(shù)學歸納法(mathematical

induction)（1）歸納奠基證明當時命題成立（2）歸納遞推以“當時命題成立”為條件，推出“當時命題也成立”.由（1）（2）可知，命題對任何都成