2025年高考數(shù)學(xué)大題復(fù)習(xí)訓(xùn)練：線性回歸、分線性回歸和相關(guān)系數(shù)（原卷）

專題19線性回歸、分線性回歸和相關(guān)系數(shù)

一、線性回歸

1.2015年7月31日，在吉隆坡舉行的國(guó)際奧委會(huì)第128次全會(huì)上，北京獲得2022年冬奧會(huì)舉辦權(quán).在申

冬奧過(guò)程中，中國(guó)正式向國(guó)際社會(huì)作出“帶動(dòng)三億人參與冰雪運(yùn)動(dòng)”的莊嚴(yán)承諾.這一承諾，既是我國(guó)為國(guó)際

奧林匹克運(yùn)動(dòng)做出重大貢獻(xiàn)的大國(guó)擔(dān)當(dāng)展現(xiàn)，也是根據(jù)我國(guó)經(jīng)濟(jì)水平和全民健身需求做出的群眾性運(yùn)動(dòng)的

戰(zhàn)略部署.從北京冬奧會(huì)申辦成功到2021年10月，全國(guó)參與冰雪運(yùn)動(dòng)人數(shù)累計(jì)達(dá)到3.46億，實(shí)現(xiàn)了“帶動(dòng)

三億人參與冰雪運(yùn)動(dòng)”的目標(biāo)，這是北京冬奧會(huì)給予全球冬季體育運(yùn)動(dòng)和奧林匹克運(yùn)動(dòng)的最為重要的遺產(chǎn)，

可以說(shuō)是2022年北京冬奧會(huì)的第一塊金牌.“冬奧熱”帶動(dòng)“冰雪熱”，也帶動(dòng)了冰雪經(jīng)濟(jì)，以冰雪運(yùn)動(dòng)為主要

內(nèi)容的冰雪旅游近年來(lái)發(fā)展迅速，2016至2022六個(gè)冰雪季的旅游人次?（單位億）的數(shù)據(jù)如下表：

年度2016—20172017—20182018—20192019—20202020—20212021—2022

年度代號(hào)t123456

旅游人次y1.71.972.240.942.543.15

（1）求y與，的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）,并回答y與/的線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱；

（2）因受疫情影響，現(xiàn)將2019—2020年度的異常數(shù)據(jù)剔除，用剩下的5個(gè)年度數(shù)據(jù)（年度代號(hào)不變），求y

關(guān)于/的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）,并推測(cè)沒(méi)有疫情情況下，2019—2020年度冰雪旅游人次的估計(jì)

值.

附注：參考數(shù)據(jù)：1=隹：=3=3.5,歹=￡*%=2.09,2*5=47.72,2：=否=91,

穴色一,2：=1（%—歹尸x7.參考公式：相關(guān)系數(shù)r==以…型，

、1=1，21（5以5以IM（%-5）2

回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：b=，三色々”）=a=y-bt

2.隨著科技進(jìn)步，近來(lái)年，我國(guó)新能源汽車產(chǎn)業(yè)迅速發(fā)展.以下是中國(guó)汽車工業(yè)協(xié)會(huì)2022年2月公布的

近六年我國(guó)新能源乘用車的年銷售量數(shù)據(jù)：

年份201620172018201920202021

年份代碼X123456

新能源乘用車年銷售y(萬(wàn)輛)5078126121137352

(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程；(結(jié)果保留整數(shù))

(2)若用)7=機(jī)郵工模型擬合/與x的關(guān)系，可得回歸方程為5>=37.71e°33,經(jīng)計(jì)算該模型和第(1)問(wèn)中模

型的R2(R2為相關(guān)指數(shù))分別為0.87和0.71,請(qǐng)分別利用這兩個(gè)模型，求2022年我國(guó)新能源乘用車的年銷

售量的預(yù)測(cè)值；

(3)你認(rèn)為(2)中用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠？請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考數(shù)據(jù)：設(shè)u=Iny,其中以=In%.

66

W(久D(%W(x;-X)(Ui

3.635.946.27

yUi=li=leee

-y)-u)

1444.788415.7037.71380528

參考公式：對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(%,%)(i=l,2,3,n),其回歸直線9=+2的斜

率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為1鬻冷，a=y-麗

3.小李準(zhǔn)備在某商場(chǎng)租一間商鋪開(kāi)服裝店，為了解市場(chǎng)行情，在該商場(chǎng)調(diào)查了20家服裝店，統(tǒng)計(jì)得到了

它們的面積x(單位:n?)和日均客流量供單位:百人)的數(shù)據(jù)1,2,…，20),并計(jì)算得￡售看=2400,

￡2力=210,2各(%—到2=42000,￡2?—元)(%一力=6300.

(1)求y關(guān)于x的回歸直線方程；

(2)已知服裝店每天的經(jīng)濟(jì)效益”=々迎+zn%(/c>0,zn>0),該商場(chǎng)現(xiàn)有60?150m2的商鋪出租，根據(jù)(1)

的結(jié)果進(jìn)行預(yù)測(cè)，要使單住面積的經(jīng)濟(jì)效益Z最高，小李應(yīng)該租多大面積的商鋪？

1

附：回歸直線夕=Bx+4的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：石=飛，a^y-bx.

2-ii=i\xi-x)

4.某醫(yī)科大學(xué)實(shí)習(xí)小組為研究實(shí)習(xí)地晝夜溫差與感冒人數(shù)之間的關(guān)系，分別到當(dāng)?shù)貧庀蟛块T和某醫(yī)院抄錄

了1月至3月每月5日、20日的晝夜溫差情況與因感冒而就診的人數(shù)，得到如表資料：

日期1月5日1月20日2月5日2月20日3月5日3月20日

晝夜溫差X（℃）1011131286

就診人數(shù)V（個(gè)）222529261612

該小組確定的研究方案是：先從這6組數(shù)據(jù)中隨機(jī)選取4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用剩余的2組數(shù)據(jù)進(jìn)

行檢驗(yàn).

參考公式：B=I'ZZ/a=?一鼓.

j=l

（1）求剩余的2組數(shù)據(jù)都是20日的概率;

⑵若選取的是1月20日、2月5日、2月20日、3月5日這4組數(shù)據(jù).

①請(qǐng)根據(jù)這4組數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程）=bx+a；

②若某日的晝夜溫差為7℃,請(qǐng)預(yù)測(cè)當(dāng)日就診人數(shù).（結(jié)果保留整數(shù)）.

5.某科技公司研發(fā)了一項(xiàng)新產(chǎn)品4經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)研，對(duì)公司1月份至6月份銷售量及銷售單價(jià)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),

銷售單價(jià)乂（千元）和銷售量y（千件）之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示：

月份i123456

銷售單價(jià)

99.51010.5118

銷售量力111086515

（1）試根據(jù)1至5月份的數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于久的回歸直線方程；

（2）若由回歸直線方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與剩下的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差不超過(guò)0.65千件，則認(rèn)為所得到的回歸

直線方程是理想的，試問(wèn)（1）中所得到的回歸直線方程是否理想？

參考公式：回歸直線方程夕=放+4,其中3=選盧二喳.

〉x^-nx2

=i=]

參考數(shù)據(jù)：￡乙々為=392,城=5025

6.2015年10月16日，習(xí)近平總書(shū)記在減貧與發(fā)展高層論壇上強(qiáng)調(diào)，中國(guó)扶貧工作要實(shí)施精準(zhǔn)扶貧方略,

堅(jiān)持中國(guó)制度優(yōu)勢(shì)，堅(jiān)持分類施策.當(dāng)年11月23日，中共中央政治局召開(kāi)會(huì)議，審議通過(guò)了《關(guān)于打贏

脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)的決定》等有關(guān)文件，會(huì)議確定了通過(guò)產(chǎn)業(yè)扶持、轉(zhuǎn)移就業(yè)、教育支持和醫(yī)療救助等措施幫助

5000萬(wàn)左右貧困人口脫貧的目標(biāo).下表為某貧困縣在實(shí)施扶貧政策過(guò)程中貧困戶的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：

年份2015年2016年2017年2018年2019年2020年

序號(hào)工第0年第1年第2年第3年第4年第5年

貧困戶數(shù)y（百戶）5.44.63.42.51.60.5

（1）從這六組數(shù)據(jù)的貧困戶數(shù)中任意抽取兩個(gè)值a,6（百戶），設(shè)f為|a-川四舍五入后的整數(shù)值，求隨機(jī)

變量f的分布列及期望值Ef；

（2）以2015-2019年五組數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)性分析發(fā)現(xiàn)，貧困戶數(shù)y（百戶）與年份的序號(hào)x存在較強(qiáng)的線性

相關(guān)性，試用最小二乘法求相應(yīng)的回歸方程，并利用2020年的數(shù)據(jù)對(duì)該回歸方程進(jìn)行檢驗(yàn).若實(shí)際數(shù)與預(yù)

測(cè)值的差值的絕對(duì)值不超過(guò)10戶，則認(rèn)為回歸方程可靠.請(qǐng)問(wèn)該回歸方程是否可靠？

附：回歸方程夕=3久+2中斜率和截距的最小二乘法公式為：3=*廣51=飛七彳）（對(duì)）,a=y—?jiǎng)?wù)孔

Vxj-nx2》=15-X）2

7.2021年是“十四五”開(kāi)局之年，是在全面建成小康社會(huì)，實(shí)現(xiàn)第一個(gè)百年奮斗目標(biāo)之后，全面建設(shè)社會(huì)主

義現(xiàn)代化國(guó)家新征程開(kāi)啟之年，新征程的第一階段是2020年到2035年，基本實(shí)現(xiàn)社會(huì)主義現(xiàn)代化，其中

保障農(nóng)村農(nóng)民的生活達(dá)到富裕是一個(gè)關(guān)鍵指標(biāo).某地區(qū)在2020年底全面建成小康社會(huì)，隨著實(shí)施鄉(xiāng)村振興

戰(zhàn)略規(guī)劃，該地區(qū)農(nóng)村居民的收入逐漸增加，可支配消費(fèi)支出也逐年增加.該地區(qū)統(tǒng)計(jì)了2016年—2020年

農(nóng)村居民人均消費(fèi)支出情況，對(duì)有關(guān)數(shù)據(jù)處理后，制作如圖1的折線圖（其中變量y（萬(wàn)元）表示該地區(qū)農(nóng)

村居民人均年消費(fèi)支出，年份用變量t表示，其取值依次為1,2,3,……).

(1)由圖1可知，變量y與t具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于t的回歸方程，并預(yù)測(cè)2021年該地區(qū)農(nóng)村居

(2)在國(guó)際上，常用恩格爾系數(shù)(其含義是指食品類支出總額占個(gè)人消費(fèi)支出總額的比重)來(lái)衡量一個(gè)國(guó)

家和地區(qū)人民生活水平的狀況.根據(jù)聯(lián)合國(guó)糧農(nóng)組織的標(biāo)準(zhǔn)：恩格爾系數(shù)在40%?50%為小康，30%?40%為

富裕.已知2020年該地區(qū)農(nóng)村居民平均消費(fèi)支出構(gòu)成如圖2所示，預(yù)測(cè)2021年該地區(qū)農(nóng)村居民食品類支

出比2020年增長(zhǎng)3%,從恩格爾系數(shù)判斷2021年底該地區(qū)農(nóng)村居民生活水平能否達(dá)到富裕生活標(biāo)準(zhǔn).

其他用品及

醫(yī)療保健1428元服務(wù)244元

教育文化

娛樂(lè)1429元

食品類

交通通信

4451元

1871元

生活用品及衣著723元

服務(wù)872元

居住2982元

圖2

2020年該地區(qū)農(nóng)村居民人均消費(fèi)支出構(gòu)成

(%-為_(kāi)￡隘八%-n雙

參考公式：回歸方程夕=bx+a中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：b=

2M(%-以—y"%?_n-2

a,—y—bx

8.根據(jù)國(guó)際疫情形勢(shì)以及傳染病防控的經(jīng)驗(yàn)，加快新冠病毒疫苗接種是當(dāng)前有力的防控手段，我國(guó)正在安

全、有序加快推進(jìn)疫苗接種工作，某鄉(xiāng)村采取通知公告、微信推送、廣播播放、條幅宣傳等形式，積極開(kāi)

展疫苗接種社會(huì)宣傳工作，消除群眾疑慮，提高新冠疫苗接種率，讓群眾充分地認(rèn)識(shí)到了疫苗接種的重要

作用，自宣傳開(kāi)始后村干部統(tǒng)計(jì)了本村200名居民（未接種）5天內(nèi)每天新接種疫苗的情況，得如下統(tǒng)計(jì)表:

第X天12345

新接種人數(shù)y1015192328

（1）建立y關(guān)于x的線性回歸方程；

（2）預(yù)測(cè)該村80%■居民接種新冠疫苗需要幾天？

參考公式：回歸方程9=務(wù)久+a中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：務(wù)=需出0,a=y-bx.

/xi~nx2

-1=]

9.某地區(qū)2021年清明節(jié)前后3天每天下雨的概率為50%,通過(guò)模擬實(shí)驗(yàn)的方法來(lái)計(jì)算該地區(qū)這3天中恰

好有2天下雨的概率.用隨機(jī)數(shù)且0WXW9）表示是否下雨：當(dāng)xe[0,m]0nez）時(shí)表示該地

區(qū)下雨，當(dāng)xe[zn+1,9]時(shí)，表示該地區(qū)不下雨，從隨機(jī)數(shù)表中隨機(jī)取得20組數(shù)如下：

332714740945593468491272073445

992772951431169332435027898719

（1）求出加的值，并根據(jù)上述數(shù)表求出該地區(qū)清明節(jié)前后3天中恰好有2天下雨的概率；

（2）從2012年到2020年該地區(qū)清明節(jié)當(dāng)天降雨量（單位：mm）如表：（其中降雨量為0表示沒(méi)有下雨）.

時(shí)間2012年2013年2014年2015年2016年2017年2018年2019年2020年

年份/123456789

降雨量V292826272523242221

經(jīng)研究表明：從2012年至2021年，該地區(qū)清明節(jié)有降雨的年份的降雨量y與年份/成線性回歸，求回歸直

線方程9=幾+6,并計(jì)算如果該地區(qū)2021年（t=10）清明節(jié)有降雨的話，降雨量為多少？（精確到0.01）

參考公式：Ba=y-bt.

“（郵

Q.V7

參考數(shù)據(jù)：2：=1（4-租％-歷=—58,-弓（%-歹）=一54,一*60'/守=

52.

10.隨著互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)、傳統(tǒng)行業(yè)和實(shí)體經(jīng)濟(jì)的融合不斷加深，互聯(lián)網(wǎng)對(duì)社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的推動(dòng)效果日益顯著,

某大型超市計(jì)劃在不同的線上銷售平臺(tái)開(kāi)設(shè)網(wǎng)店，為確定開(kāi)設(shè)網(wǎng)店的數(shù)量，該超市在對(duì)網(wǎng)絡(luò)上相關(guān)店鋪?zhàn)?/p>

了充分的調(diào)查后，得到下列信息，如圖所示（其中x表示開(kāi)設(shè)網(wǎng)店數(shù)量，y表示這x個(gè)分店的年銷售額總和）,

現(xiàn)已知=8850,￡：=]%=2000,求解下列問(wèn)題；

A年銷售籟r乃元）

°123456分店數(shù)量、

（1）經(jīng)判斷，可利用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，求解y關(guān)于x的回歸方程；

（2）按照經(jīng)驗(yàn)，超市每年在網(wǎng)上銷售獲得的總利潤(rùn)w（單位：萬(wàn)元）滿足w=y-5/-140,請(qǐng)根據(jù)（1）

中的線性回歸方程，估算該超市在網(wǎng)上開(kāi)設(shè)多少分店時(shí)，才能使得總利潤(rùn)最大.

參考公式；線性回歸方程5>=+其中6=歹—B元B=李絲二亙

/Xj2—nx2

二、非線性回歸

11.抗體藥物的研發(fā)是生物技術(shù)制藥領(lǐng)域的一個(gè)重要組成部分，抗體藥物的攝入量與體內(nèi)抗體數(shù)量的關(guān)系

成為研究抗體藥物的一個(gè)重要方面.某研究團(tuán)隊(duì)收集了10組抗體藥物的攝入量與體內(nèi)抗體數(shù)量的數(shù)據(jù)，并對(duì)

這些數(shù)據(jù)作了初步處理，得到了如圖所示的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值，抗體藥物攝入量為X(單位：mg),

體內(nèi)抗體數(shù)量為了(單位：AU/mL).

10101010

好注

i=li=li=li=l

29.2121634.4

九

12-

10-

8-

6-

4-

2-

62468101214161820222426*

(1)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，我們選擇y=c/作為體內(nèi)抗體數(shù)量y關(guān)于抗體藥物攝入量x的回歸方程，將y=c/兩邊取對(duì)

數(shù)，得Iny=Inc+dlnx,可以看出Inx與Iny具有線性相關(guān)關(guān)系，試根據(jù)參考數(shù)據(jù)建立y關(guān)于x的回歸方程，

并預(yù)測(cè)抗體藥物攝入量為25mg時(shí)，體內(nèi)抗體數(shù)量y的值；

(2)經(jīng)技術(shù)改造后，該抗體藥物的有效率z大幅提高，經(jīng)試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)得z服從正態(tài)分布N?(0.48,0.032),那這

種抗體藥物的有效率z超過(guò)0.54的概率約為多少？

附：①對(duì)于一組數(shù)據(jù)(%,%)。=1,2,-,10),其回歸直線。=加+6的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為瓦=

E；'utvt-nuv八-6一

=1-------a-v-M

Suj-nu

②若隨機(jī)變量Z~N(〃,拼)，則有P("-cr<Z<〃+。)=0.6826,P(〃-2。<Z<〃+2<r)=0.9544,P(〃-

3。<Z<〃+3<T)?0.9974；

③取e?2.7.

12.經(jīng)觀測(cè)，長(zhǎng)江中某魚(yú)類的產(chǎn)卵數(shù)y與溫度%有關(guān)，現(xiàn)將收集到的溫度期和產(chǎn)卵數(shù)%(i=1,2,…,10)的10組

觀測(cè)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到如圖的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量表.

f10a

￡10101010

i=l

1=1i=li=li=l

—無(wú)產(chǎn)

36054.5136044384

10101010

入2也E(Xi

1=1i=li=li=l

-ty-0(%-y)-無(wú))⑵-z)-x)(yt-y)

3588326430

表中q=歷4=Iny”=」那彳

歹八

350-.?

300-

250-

200-?

150-*

100-'

50-*

3JIJiIIII?

°202224262830323436x

⑴根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y-a+bx,y-n+m也與y=。，2才哪一個(gè)適宜作為y與久之間的回歸方程模型并求出y

關(guān)于x回歸方程；(給出判斷即可，不必說(shuō)明理由)

(2)某興趣小組抽取兩批魚(yú)卵，已知第一批中共有6個(gè)魚(yú)卵，其中“死卵”有2個(gè)；第二批中共有8個(gè)魚(yú)卵，

其中“死卵”有3個(gè).現(xiàn)隨機(jī)挑選一批，然后從該批次中隨機(jī)取出2個(gè)魚(yú)卵，求取出“死卵”個(gè)數(shù)的分布列及數(shù)

學(xué)期望.

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(%,%),Q2，02)，…(an"n)，其回歸直線"=a+0〃的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為

13.中醫(yī)藥是包括漢族和少數(shù)民族醫(yī)藥在內(nèi)的我國(guó)各民族醫(yī)藥的統(tǒng)稱，是具有悠久歷史傳統(tǒng)和獨(dú)特理論技

術(shù)方法的醫(yī)藥體系，長(zhǎng)期呵護(hù)著我們的健康，為中華文明的延續(xù)作出了突出貢獻(xiàn).某科研機(jī)構(gòu)研究發(fā)現(xiàn)，某

味中藥的藥用量x（單位：克）與藥物功效夕（單位：藥物功效單位）之間具有關(guān)系y=10x-/.

（1）估計(jì)該味中藥的最佳用量與功效；

（2）對(duì)一批含有這味中藥的合成藥物進(jìn)行檢測(cè)，發(fā)現(xiàn)這味中藥的藥用量平均值為6克，標(biāo)準(zhǔn)差為2,估計(jì)這

批合成藥的藥物功效的平均值.

14.五一小長(zhǎng)假期間，文旅部門在某地區(qū)推出N,B,C,D,E,歹六款不同價(jià)位的旅游套票，每款套票的

價(jià)格質(zhì)（單位：元；i=1,2,…,6）與購(gòu)買該款套票的人數(shù)%（單位：千人）的數(shù)據(jù)如下表：

套票類別ABCDEF

套票價(jià)格看（元）405060657288

購(gòu)買人數(shù)%（千人）16.918.720.622.524.125.2

（注：A,B,C,D,E,尸對(duì)應(yīng)i的值為1,2,3,4,5,6）為了分析數(shù)據(jù)，令巧=In^,q=In%,發(fā)現(xiàn)

點(diǎn)（巧,皿）集中在一條直線附近.

（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，建立購(gòu)買人數(shù)y關(guān)于套票價(jià)格x的回歸方程；

（2）規(guī)定：當(dāng)購(gòu)買某款套票的人數(shù)y與該款套票價(jià)格x的比值在區(qū)間［若］上時(shí)，該套票為“熱門套票”.現(xiàn)有

甲、乙、丙三人分別從以上六款旅游套票中購(gòu)買一款.假設(shè)他們買到的套票的款式互不相同，且購(gòu)買到“熱

門套票”的人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列和期望.

附：①參考數(shù)據(jù)：￡*巧孫=75.3,V=4.1,不=3.05,2乙詔=101.4.

②對(duì)于一組數(shù)據(jù)（巧,3。,（也的），…，（2，%），其回歸直線合=加+2的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為

7巧⑨一九兩人—令一

b=------,a=a）-bv.

〉v^—nv

=i=］

15.數(shù)據(jù)顯示中國(guó)車載音樂(lè)已步入快速發(fā)展期，隨著車載音樂(lè)的商業(yè)化模式進(jìn)一步完善，市場(chǎng)將持續(xù)擴(kuò)大,

下表為2018-2022年中國(guó)車載音樂(lè)市場(chǎng)規(guī)模（單位：十億元），其中年份2018—2022對(duì)應(yīng)的代碼分別為1-5.

年份代碼支12345

車載音樂(lè)市場(chǎng)規(guī)模y2.83.97.312.017.0

（1）由上表數(shù)據(jù)知，可用指數(shù)函數(shù)模型y=a?〃擬合y與久的關(guān)系，請(qǐng)建立y關(guān)于久的回歸方程;

（2）根據(jù)上述數(shù)據(jù)求得y關(guān)于萬(wàn)的回歸方程后，預(yù)測(cè)2024年的中國(guó)車載音樂(lè)市場(chǎng)規(guī)模.

參考數(shù)據(jù)：

5

0.5240.472

Vee1.67

1=1

1.9433.821.71.626.84

其中《=1w，5=

參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（如,%），@2"2），…，3役外）其回歸直線"=a+/?a的斜率和截距的最小二乘法

估計(jì)公式分別為瓦=之廣叱疝：,a=t—戰(zhàn)

Vu?-nu2

=i=]

16.當(dāng)前移動(dòng)網(wǎng)絡(luò)已融入社會(huì)生活的方方面面，深刻改變了人們的溝通、交流乃至整個(gè)生活方式.4G網(wǎng)絡(luò)雖

然解決了人與人隨時(shí)隨地通信的問(wèn)題，但隨著移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)快速發(fā)展，其已難以滿足未來(lái)移動(dòng)數(shù)據(jù)流量暴漲

的需求，而5G作為一種新型移動(dòng)通信網(wǎng)絡(luò)，不但可以解決人與人的通信問(wèn)題，而且還可以為用戶提供增強(qiáng)

現(xiàn)實(shí)、虛擬現(xiàn)實(shí)、超高清（3D）視頻等更加身臨其境的極致業(yè)務(wù)體驗(yàn)，更重要的是還可以解決人與物、物與物

的通信問(wèn)題，從而滿足移動(dòng)醫(yī)療、車聯(lián)網(wǎng)、智能家居、工業(yè)控制、環(huán)境監(jiān)測(cè)等物聯(lián)網(wǎng)應(yīng)用需求，為更好的滿足

消費(fèi)者對(duì)5G網(wǎng)絡(luò)的需求，中國(guó)電信在某地區(qū)推出了六款不同價(jià)位的流量套餐，每款套餐的月資費(fèi)x（單位:

元）與購(gòu)買人數(shù)?（單位：萬(wàn)人）的數(shù)據(jù)如下表：

套餐ABCDEF

月資費(fèi)X（元）384858687888

購(gòu)買人數(shù)y（萬(wàn)人）16.818.820.722.424.025.5

對(duì)數(shù)據(jù)作初步的處理，相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的值如下表:

6666

W/到EVi如

i=li=li=li=l

75.324.618.3101.4

其中%=In%,g=In%,且繪圖發(fā)現(xiàn)，散點(diǎn)（外處）（1Wi<6）集中在一條直線附近.

（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸方程；

（2）已知流量套餐受關(guān)注度通過(guò)指標(biāo)T（x）=節(jié)來(lái)測(cè)定，當(dāng)T（x）eg,II）時(shí)相應(yīng)的流量套餐受大眾的歡迎程

度更高，被指定為“主打套餐”.現(xiàn)有一家四口從這六款套餐中，購(gòu)買不同的四款各自使用.記四人中使用“主打

套督”的人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列和期望.

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)01，3。（"2,32），…叫），其回歸方程3=bu+Q的斜率和截距的最小二乘估計(jì)值分別

￡乙（"一行）<3廠員）

為務(wù)=a=0)—bv.

（%-力2

17.為幫助鄉(xiāng)村脫貧，某勘探隊(duì)計(jì)劃了解當(dāng)?shù)氐V脈某金屬的分布情況，測(cè)得了平均金屬含量y（單位：g/m3）

與樣本對(duì)原點(diǎn)的距離久（單位：m）的數(shù)據(jù)，并作了初步處理，得到了下面的一些統(tǒng)計(jì)量的值.（表中以=-,u=

xi

仁")

99999

Xyui=li=li=li=li=l

-x)2-it)2-y)2-x)(yt-y)-n)(%-y)

697.900.21600.1414.1226.13-1.40

(1)利用樣本相關(guān)系數(shù)的知識(shí)，判斷y=a+"與y=c+5哪一個(gè)更適宜作為平均金屬含量y關(guān)于樣本對(duì)原點(diǎn)

的距離x的回歸方程類型？

⑵根據(jù)(1)的結(jié)果回答下列問(wèn)題：

(i)建立y關(guān)于％的回歸方程；

(ii)樣本對(duì)原點(diǎn)的距離x=20時(shí)，金屬含量的預(yù)報(bào)值是多少？

(3)已知該金屬在距離原點(diǎn)久米時(shí)的平均開(kāi)采成本W(wǎng)(單位：元)與%,y關(guān)系為W=100(y-lnx)(l<x<100),

根據(jù)(2)的結(jié)果回答，x為何值時(shí)，開(kāi)采成本最大？

18.黨的二十大報(bào)告提出，從現(xiàn)在起，中國(guó)共產(chǎn)黨的中心任務(wù)就是團(tuán)結(jié)帶領(lǐng)全國(guó)各族人民全面建成社會(huì)主

義現(xiàn)代化強(qiáng)國(guó)、實(shí)現(xiàn)第二個(gè)百年奮斗目標(biāo)，以中國(guó)式現(xiàn)代化全面推進(jìn)中華民族偉大復(fù)興.高質(zhì)量發(fā)展是全面

建設(shè)社會(huì)主義現(xiàn)代化國(guó)家的首要任務(wù).加快實(shí)現(xiàn)高水平科技自立自強(qiáng)，才能為高質(zhì)量發(fā)展注入強(qiáng)大動(dòng)能.某科

技公司積極響應(yīng)，加大高科技研發(fā)投入，現(xiàn)對(duì)近十年來(lái)高科技研發(fā)投入情況分析調(diào)研，其研發(fā)投入y(單位:

億元)的統(tǒng)計(jì)圖如圖1所示，其中年份代碼x=l,2,…，10分別指2013年，2014年，…，2022年.

“研發(fā)費(fèi)用y(億元)

85■

80-

75■.,

70-?

65■?

O12345678910年份代碼x

圖1

現(xiàn)用兩種模型①丫=人彳+口，②y=c+dy分別進(jìn)行擬合，由此得到相應(yīng)的回歸方程，并進(jìn)行殘差分析,

得到圖2所示的殘差圖.結(jié)合數(shù)據(jù)，計(jì)算得到如下值:

10101010

ytL=1i=li=li=l

2-t)2

—x)-y)Cx(-x)-歷(…)

752.2582.54.512028.67

表中4=0花=看深內(nèi)

（1）根據(jù)殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應(yīng)選擇哪個(gè)模型？并說(shuō)明理由；

（2）根據(jù)（1）中所選模型，求出y關(guān)于x的回歸方程；根據(jù)所選模型，求該公司2028年高科技研發(fā)投入y

的預(yù)報(bào)值.（回歸系數(shù)精確到0.01）

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（句,乃），（久2,力），…，（與,%）其回歸直線歹=8+嬴的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別

為J2二（—戶’"y一3

19.MCN即多頻道網(wǎng)絡(luò)，是一種新的網(wǎng)紅經(jīng)濟(jì)運(yùn)行模式，這種模式將不同類型和內(nèi)容的PGC（專業(yè)生產(chǎn)內(nèi)

容）聯(lián)合起來(lái)，在資本有力支持下，保障內(nèi)容的持續(xù)輸出，從而最終實(shí)現(xiàn)商業(yè)的穩(wěn)定變現(xiàn)，在中國(guó)以直播

電商、短視頻為代表的新興網(wǎng)紅經(jīng)濟(jì)的崛起，使MCN機(jī)構(gòu)的服務(wù)需求持續(xù)增長(zhǎng).數(shù)據(jù)顯示，近年來(lái)中國(guó)

MCN市場(chǎng)規(guī)模迅速擴(kuò)大.下表為2018年—2022年中國(guó)MCN市場(chǎng)規(guī)模（單位：百億元），其中2018年—2022

（2）從2018年-2022年中國(guó)MCN市場(chǎng)規(guī)模中隨機(jī)抽取3個(gè)數(shù)據(jù)，記這3個(gè)數(shù)據(jù)中與歹的差的絕對(duì)值小于1的

個(gè)數(shù)為X,求X的分布列與期望.

參考數(shù)據(jù)：

55

yV

i=li=l

2.580.8446.8315.99

其中巧=In%,9=/L%，v=1^=1v;.

參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（〃力%），（〃2）2），…，（4P%）,其回歸直線D=8+彳〃的斜率和截距的最小二乘

221七七一九說(shuō)

估計(jì)公式分別為臺(tái)=a=v—￡五.

Vnu?-nu2?

4=]

20.2023年高考進(jìn)入倒計(jì)時(shí)，為了幫助學(xué)子們?cè)诰o張的備考中放松身心，某重點(diǎn)高中通過(guò)開(kāi)展形式多樣的

減壓游戲，確保同學(xué)們以穩(wěn)定心態(tài)，良好地狀態(tài)迎戰(zhàn)高考，游戲規(guī)則如下：盒子中初始裝有2個(gè)白球和1

個(gè)紅球各一個(gè)，每次有放回的任取一個(gè)，連續(xù)取兩次，將以上過(guò)程記為一輪.如果每一輪取到的兩個(gè)球都是

紅球，則記該輪為成功，否則記為失敗.在抽取過(guò)程中，如果某一輪成功，則停止；否則，在盒子中再放入

一個(gè)白球，然后接著進(jìn)行下一輪抽球，如此不斷繼續(xù)下去，直至成功.

（1）如果某同學(xué)進(jìn)行該抽球游戲時(shí)，最多進(jìn)行三輪，即使第三輪不成功，也停止抽球，記其進(jìn)行抽球試驗(yàn)的

輪次數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）為驗(yàn)證抽球試驗(yàn)成功的概率不超過(guò)去假設(shè)有1000名學(xué)生獨(dú)立的進(jìn)行該抽球試驗(yàn)，記t表示成功時(shí)抽球試

驗(yàn)的輪次數(shù)，y表示對(duì)應(yīng)的人數(shù)，部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：

ti2345

y12062332015

求y關(guān)于t的回歸方程夕=（+①并通過(guò)回歸方程預(yù)測(cè)成功的總?cè)藬?shù)（夕取整數(shù)部分）；

（3）證明:《+（1-.冷+（1_+）.+-+（1TOGA。一島7）舟，

附：經(jīng)驗(yàn)回歸方程系數(shù)：BL寫,y^bx+a；

參考數(shù)據(jù)：2L蠟=146,%=0.46,x2=0.212（其中期=（,元=：￡：=1%）.

三、相關(guān)系數(shù)

21.2021年春節(jié)前，受疫情影響，各地鼓勵(lì)外來(lái)務(wù)工人員選擇就地過(guò)年.某市統(tǒng)計(jì)了該市4個(gè)地區(qū)的外來(lái)

務(wù)工人數(shù)與就地過(guò)年人數(shù)（單位：萬(wàn)），得到如下表格：

4區(qū)B區(qū)C區(qū)。區(qū)

外來(lái)務(wù)工人數(shù)X/萬(wàn)3456

就地過(guò)年人數(shù)y/萬(wàn)2.5344.5

（1）請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)說(shuō)明y與龍之間的關(guān)系可用線性回歸模型擬合，并求y關(guān)于x的線性回歸方程）=2+樂(lè)和N

區(qū)的殘差

（2）假設(shè)該市政府對(duì)外來(lái)務(wù)工人員中選擇就地過(guò)年的每人發(fā)放1000元補(bǔ)貼.

①若該市E區(qū)有2萬(wàn)名外來(lái)務(wù)工人員，根據(jù)（1）的結(jié)論估計(jì)該市政府需要給E區(qū)就地過(guò)年的人員發(fā)放的補(bǔ)貼

總金額；

②若a區(qū)的外來(lái)務(wù)工人員中甲、乙選擇就地過(guò)年的概率分別為p,2p-1,其中g(shù)<p<i,該市政府對(duì)甲、乙

兩人的補(bǔ)貼總金額的期望不超過(guò)1400元，求P的取值范圍.

參考公式：相關(guān)系數(shù)r=亍型1一二^,

城一位2jW一6一博2

回歸方程y=；+黑中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為加=嗎a=y-te.

/xj—nx2

22.為了解某一地區(qū)新能源電動(dòng)汽車銷售情況，一機(jī)構(gòu)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，用最小二乘法得到電動(dòng)汽車銷量y

（單位：萬(wàn)臺(tái)）關(guān)于工（年份）的線性回歸方程y=4.7%-9459.2,且銷量y的方差為y=等，年份x的方差

為s馬=2.

（1）求y與x的相關(guān)系數(shù)r,并據(jù)此判斷電動(dòng)汽車銷量y與年份久的線性相關(guān)性的強(qiáng)弱.

（2）該機(jī)構(gòu)還調(diào)查了該地區(qū)90位購(gòu)車車主的性別與購(gòu)車種類情況，得到的數(shù)據(jù)如下表：

性別購(gòu)買非電動(dòng)汽車購(gòu)買電動(dòng)汽車總計(jì)

男性39645

女性301545

總計(jì)692190

依據(jù)小概率值a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為購(gòu)買電動(dòng)汽車與車主性別有關(guān)?

(3)在購(gòu)買電動(dòng)汽車的車主中按照性別進(jìn)行分層抽樣抽取7人，再?gòu)倪@7人中隨機(jī)抽取3人，記這3人中男

性的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

①參考數(shù)據(jù)：7sx127=V635~25.

②參考公式：線性回歸方程為y=B久+&,其中否=鼻號(hào)絲?力=，一石自

Zj=i(陽(yáng)一%)

相關(guān)系數(shù)「=〒鼠ETW'f=，若|r|>0.9,則可判斷y與％線性相關(guān)較強(qiáng);

J2Mg-冗AzM也一7)2

T^2_n(ad-bc)2

'(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'其中n==a+b+c+d.附表

P(K2

0.100.050.0100.001

Nk。)

k。2.7063.8416.63510.828

23.某騎行愛(ài)好者近段時(shí)間在專業(yè)人士指導(dǎo)下對(duì)騎行情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，各次騎行期間的身體綜合指標(biāo)評(píng)分x

與對(duì)應(yīng)用時(shí)〉(單位：小時(shí))如下表:

身體綜合指標(biāo)評(píng)分

12345

0)

用時(shí)(y/小時(shí))9.58.67.876.1

(1)由上表數(shù)據(jù)看出，可用線性回歸模型擬合y與X的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明;

(2)建立y關(guān)于x的回歸方程.

2七1⑶一元)(力一刃￡￡乙(修一功@一力-_/”“QA

參考數(shù)據(jù)和參考公式：相關(guān)系數(shù)「=i=,b=-'n——,a=y—bx,V7060?84

221(爸_/)2221(%_9)2工=i?r)

24.研究表明，如果溫差本大，人們不注意保暖，可能會(huì)導(dǎo)致自身受到風(fēng)寒刺激，增加感冒患病概率，特

別是對(duì)于幾童以及年老體弱的人群，要多加防范某中學(xué)數(shù)學(xué)建模社團(tuán)成員研究了晝夜溫差大小與某小學(xué)學(xué)

生患感冒就診人數(shù)多少之間的關(guān)系，他們記錄了某六天的溫差，并到校醫(yī)室查閱了這六天中每天學(xué)生新增

感冒就診的人數(shù)，得到數(shù)據(jù)如下：

日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天

晝夜溫差X（℃）47891412

新增感就診人數(shù)y（位）yi72丫37576

參考數(shù)據(jù)：2：*=3463,-力2=289

（1）已知第一天新增感冒就的學(xué)生中有4位男生，從第一天多增的感冒就診的學(xué)生中隨機(jī)取2位，其中男生

人數(shù)記為X,若抽取的2人中至少有一位女生的概率為三求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

O

（2）已知兩個(gè)變量x與y之間的樣本相關(guān)系數(shù)r=工，請(qǐng)用最小二乘法求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程9=B久+2,

（看一了）（％一力_______

據(jù)此估計(jì)晝夜溫差為15℃時(shí)，該校新增感冒就診的學(xué)生人數(shù).參考數(shù)據(jù)：r二27B_

2M（看一到2.12之］（加一9）2

工:（陽(yáng)一元）（％一刃

-元）2

25.根據(jù)統(tǒng)計(jì)，某蔬菜基地西紅柿畝產(chǎn)量的增加量y（百千克）與某種液體肥料每畝使用量%（千克）之間

的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，如圖所示.

木V（百千克）

7

6

5

4

3

。24568M千克）

⑴依據(jù)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出，可用線性回歸模型擬合y與久的關(guān)系，請(qǐng)計(jì)算相關(guān)系數(shù)r并加以說(shuō)明（若r>

0.75,則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合）；

（2）求y關(guān)于％的回歸方程，并預(yù)測(cè)液體肥料每畝使用量為12千克時(shí)，西紅柿畝產(chǎn)量的增加量約為多少？附:

相關(guān)系數(shù)公式r=I5g__=X；匾研二g---,回歸方程9=bx+&中斜率和截距的最

1%（符-我2M（外國(guó)2:冷成2

小二乘估計(jì)公式分別為：B=均**了=黑町廠嗎,a=y-bx.

2仁101-幻2yx2_n-2

4=1

26.我國(guó)風(fēng)云系列衛(wèi)星可以檢測(cè)氣象和國(guó)土資源情況.某地區(qū)水文研究人員為了了解汛期人工測(cè)雨量雙單

位:dm）與遙測(cè)雨量y（單位:dm）的關(guān)系，統(tǒng)計(jì)得到該地區(qū)10組雨量數(shù)據(jù)如下：

樣本號(hào)i12345678910

人工測(cè)雨量

5.387.996.376.717.535.534.184.046.024.23

陽(yáng)

5遙測(cè)雨量力5.438.076.576.147.955.564.274.156.044.49

0.050.080.20.570.420.030.090.110.020.26

\xi-yt\

10v—110

并計(jì)算得賄=353.6,Z,y?=361.7,￡詈々%=357.3,x2~33.62,y2~34.42,xy~34.02

（1）求該地區(qū)汛期遙測(cè)雨量y與人工測(cè)雨量X的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）,并判斷它們是否具有較強(qiáng)的線性

相關(guān)關(guān)系（若加20.75,則認(rèn)為兩個(gè)變量有較強(qiáng)的線性相關(guān)性）

（2）規(guī)定：數(shù)組?，力）滿足出―%|<0.1為“I類誤差”，滿足0.1W%―%|<0.3為“II類誤差”，滿足出—

y;|>0.3為“III類誤差”.為進(jìn)一步研究該地區(qū)水文研究人員，從“I類誤差”、"II類誤差”中隨機(jī)抽取3組數(shù)

據(jù)與“卬類誤差”數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，記抽到“I類誤差”的數(shù)據(jù)的組數(shù)為X,求X的概率分布與數(shù)學(xué)期望.

^Xjyj-nxy

附：相關(guān)系數(shù)=1,73045~17.4.

r=￡

27.為調(diào)查某地區(qū)植被覆蓋面積x（單位：公頃）和野生動(dòng)物數(shù)量了的關(guān)系，某研究小組將該地區(qū)等面積花

分為400個(gè)區(qū)塊，從中隨機(jī)抽取40個(gè)區(qū)塊，得到樣本數(shù)據(jù)（陽(yáng),%）冊(cè)=1,2，…,40）,部分?jǐn)?shù)據(jù)如下：

X2.73.63.23.9

50.663.752.154.3

經(jīng)計(jì)算得：￡*陽(yáng)=160,=2400,2曹（陽(yáng)—兄尸=160,（%—又）（%-力=1280.

（1）利用最小二乘估計(jì)建立y關(guān)于x的線性回歸方程；

（2）該小組又利用這組數(shù)據(jù)建立了x關(guān)于y的線性回歸方程，并把這兩條擬合直線畫(huà)在同一坐標(biāo)系xOy下，橫

坐標(biāo)x,縱坐標(biāo)y的意義與植被覆蓋面積x和野生動(dòng)物數(shù)量y一致.設(shè)前者與后者的斜率分別為燈，k2,比較

心,用的大小關(guān)系，并證明