2024年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：排列組合12種題型歸納（解析版）

2024年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)排列組合12種

題型歸納（解析版）

排列組合12種題型歸納

i.排列與組合的概念

名稱定義區(qū)別

排列按照一定的順序排成一列

從n個不同元素中取出

排列有序，組合無序

冽（冽W"）個兀素

組合合成一組

2.排列數(shù)與組合數(shù)

定義計算公式性質(zhì)聯(lián)系

從n個不同元素中取出

冽（加〈加）個元素的所有

排A4=幾(幾—1)5—2),??5—冽+1)

不同排列的個數(shù),叫做(l)Ag=?l；

列

從〃個不同元素中取出=——---(幾，m且冽

數(shù)(n~m)!(2)0!=1

旭個元素的排列數(shù).用符

號表示

5「tn-—.

m!

從n個不同元素中取出

⑴

_n(n—1)(〃―2)???(L冽+1)-L

加（加W幾）個元素的所有。八一

組m!

不同組合的個數(shù),叫做(2)a,=cp2；

合

從n個不同元素中取出=----------(n，加￡N*,且加

mI(n-m)!

數(shù)(3)C?+i=Cf±

加個元素的組合數(shù).用符

號“or表示

【題型一】人坐座位模型1:捆綁與插空

【典例分析】

1.有四男生，三女生站一排，其中只有倆個女生相鄰:

2.有四男生，4女生站一排，女生若相鄰，則最多2個女生相鄰:

【變式演練】

1.在某班進(jìn)行的歌唱比賽中，共有5位選手參加，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能連著出場,

且女生甲不能排在第一個，那么出場順序的排法種數(shù)為

A.30B.36C.60D.72

2.某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目、2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的

排法種數(shù)是（）

A.144B.120C.72D.48

3.2021年4月15日，是第六個全民國家安全教育日，教育廳組織宣講團(tuán)到某市的六個不同高校進(jìn)行國家安

全知識的宣講，時間順序要求是：高校甲必須排在第二或第三個，且高校甲宣講結(jié)束后需立即到高校丁宣

講，高校乙、高校丙的宣講順序不能相鄰，則不同的宣講順序共有（）

A.28種B.32種C.36種D.44種

【題型二】人坐座位模型2:染色（平面）

【典例分析】

如圖為我國數(shù)學(xué)家趙爽（約3世紀(jì)初）在為《周髀算經(jīng)》作注時驗(yàn)證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供5種顏

色給其中5個小區(qū)涂色，規(guī)定每個區(qū)域只能涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，則A、C區(qū)域顏色不相同的概

率是

A.l/7b.2/7c.3/7D.4/7

【變式演練】

1.正方體六個面上分別標(biāo)有/、B、C、D、E、9六個字母，現(xiàn)用5種不同的顏色給此正方體六個面染色,

要求有公共棱的面不能染同一種顏色，則不同的染色方案有（）種.

A.420B.600C.720D.780

2.如圖，某傘廠生產(chǎn)的太陽傘的傘篷是由太陽光的七種顏色組成，七種顏色分別涂在傘篷的八個區(qū)域內(nèi)，且

恰有一種顏色涂在相對區(qū)域內(nèi)，則不同顏色圖案的此類太陽傘最多有（）.

A.40320種B.5040種C.20160種D.2520種

3.如圖，用四種不同的顏色給圖中的4,B,C,D,E,F,G七個點(diǎn)涂色，要求每個點(diǎn)涂一種顏色，且圖中

每條線段的兩個端點(diǎn)涂不同顏色，則不同的涂色方法有（）

C.600D.以上答案均不對

【題型三】人坐座位模型3：染色（空間）：

【典例分析】

如圖所示的幾何體由三棱錐尸-在。與三棱柱/8C-44G組合而成，現(xiàn)用3種不同顏色對這個幾何體的表

面涂色（底面44G不涂色），要求相鄰的面均不同色，則不同的涂色方案共有（）

A.6種B.9種

C.12種D.36種

【變式演練】

1.如圖所示，將一個四棱錐的每一個頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可

供使用，則不同的染色方法種數(shù)是（）

A.420B.210C.70D.35

2.在如圖所示的H■^一面體4BCDEFG印中，用3種不同顏色給這個幾何體各個頂點(diǎn)染色，每個頂點(diǎn)染一種顏

色，要求每條棱的兩端點(diǎn)異色，則不同的染色方案種數(shù)為.

3.用五種不同顏色給三棱臺斯的六個頂點(diǎn)染色，要求每個點(diǎn)染一種顏色，且每條棱的兩個端點(diǎn)染不

同顏色.則不同的染色方法有種.

【題型四】書架插書模型

【典例分析】

有12名同學(xué)合影，站成了前排4人后排8人，現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相

對順序不變，則不同調(diào)整方法的種數(shù)是（）

A.168B.260C.840D.560

【變式演練】

1.從B,C,D,a,b,c,d中任選5個字母排成一排，要求按字母先后順序排列（即按，⑷,2（"C（c）,DS）

先后順序，但大小寫可以交換位置，如或〃5c都可以），這樣的情況有種.（用數(shù)字作答）

2..在一張節(jié)目表上原有6個節(jié)目，如果保持這些節(jié)目的相對順序不變，再添加進(jìn)去三個節(jié)目，求共有多少

種安排方法

3.書架上有排好順序的6本書，如果保持這6本書的相對順序不變，再放上3本書，則不同的放法共有

（）.

A.210種B.252種C.504種D.505種

【題型五】球放盒子模型1:球不同，盒子也不同

【典例分析】

已知有5個不同的小球，現(xiàn)將這5個球全部放入到標(biāo)有編號1、2、3、4、5的五個盒子中，若裝有小球的

盒子的編號之和恰為11,則不同的放球方法種數(shù)為（）

A.150B.240C.390D.1440

【變式演練】

1.將5個不同的小球放入3個不同的盒子，每個盒子至少1個球，至多2個球，則不同的放法種數(shù)有（）

A.30種B.90種C.180種D.270種

2.將編號分別為1,2,3,4,5的5個小球分別放入3個不同的盒子中，每個盒子都不空，則每個盒子中所

放小球的編號奇偶性均不相同的概率為

.11-67

A.-B.一C.—D.—

762524

3.將B,C,D四個小球放入編號為1,2,3的三個盒子中，若每個盒子中至少放一個球且/，8不能放

入同一個盒子中，則不同的放法種數(shù)為（)

A.15B.30C.20D.42

【題型六】球放盒子模型2：球相同，盒子不同

【典例分析】

把1995個不加區(qū)別的小球分別放在10個不同的盒子里，使得第i個盒子中至少有i個球（i=l,2,...,10）,則

不同放法的總數(shù)是

A.Cj?40B.C：940C.C；；49D.C：949

【變式演練】

1.將7個相同的球放入4個不同的盒子中，則每個盒子都有球的放法種數(shù)為（）

A.22B.25C.20D.48

2.把20個相同的小球裝入編號分別為①②③④的4個盒子里，要求①②號盒每盒至少3個球，③④號盒每

盒至少4個球，共有種方法.

A.C；B./c.團(tuán)D.C^Cf

3.將7個相同的小球放入A,B,C三個盒子，每個盒子至少放一球，共有（）種不同的放法.

A.60種B.36種C.30種D.15種

【題型七】相同元素排列模型1:數(shù)字化法

【典例分析】

如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓才加志愿者活動，則

小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為

A.24B.18C.12D.9

【變式演練】

1.一只小蜜蜂位于數(shù)軸上的原點(diǎn)處，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飛行一個單位或者兩個單位距離的能

力，且每次飛行至少一個單位.若小蜜蜂經(jīng)過5次飛行后，停在數(shù)軸上實(shí)數(shù)3位于的點(diǎn)處，則小蜜蜂不同的

飛行方式有多少種？

A.5B.25C.55D.75

2.跳格游戲：如圖，人從格子外只能進(jìn)入第1個格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人從格子外

跳到第8個格子的方法種數(shù)為

加I“小I小卜，

A.8種B.13種C.21種D.34種

3.如圖所示，甲、乙兩人同時出發(fā)，甲從點(diǎn)A到B,乙從點(diǎn)C到。，且每人每次都只能向上或向右走一格.則

甲、乙的行走路線沒有公共點(diǎn)的概率為（

213

B.D.——

7cA21

DB

A圖3

【題型八】相同元素排列模型2：空車位停車等

【典例分析】

1.某單位有8個連在一起的車位，現(xiàn)有4輛不同型號的車需要停放，如果要求剩余的4個車位中恰好有3個

連在一起，則不同的停放方法的種數(shù)為（）

A.240B.360C.480D.720

2.馬路上有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,9的9盞路燈，為節(jié)約用電，可以把其

中的三盞路燈關(guān)掉，但不能同時關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的路燈，滿足條件的關(guān)燈辦法有

種

【變式演練】

1.某公共汽車站有6個候車位排成一排，甲、乙、丙三個乘客在該汽車站等候228路公交車的到來，由于市

內(nèi)堵車，228路公交車一直沒到站，三人決定在座位上候車，且每人只能坐一個位置，則恰好有2個連續(xù)空

座位的候車方式的種數(shù)是

A.48B.54C.72D.84

2.現(xiàn)有一排10個位置的空停車場，甲、乙、丙三輛不同的車去停放，要求每輛車左右兩邊都有空車位且甲

車在乙、丙兩車之間的停放方式共有種.

3.地面上有并排的七個汽車位，現(xiàn)有紅、白、黃、黑四輛不同的汽車同時倒車入庫.當(dāng)停車完畢后，恰有兩

個連續(xù)的空車位，且紅、白兩車互不相鄰的情況有種.

【題型九】相同元素排列模型3：上樓梯等

【典例分析】

欲登上第10級樓梯，如果規(guī)定每步只能跨上一級或兩級，則不同的走法共有

A.34種B.55種

C.89種D.144種

【變式演練】

1.斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列.因數(shù)學(xué)家列昂納多?斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子

數(shù)列”，指的是這樣一個數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34..........在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列以如下被

遞推的方法定義：/（1）=1，/（2）=1,/（"）=/（〃-1）+/（〃-2乂”22,"eN*）.這種遞推方法適合研究生活

中很多問題.比如：一六八中學(xué)食堂一樓到二樓有15個臺階，某同學(xué)一步可以跨一個或者兩個臺階，則他到

二樓就餐有（）種上樓方法.

A.377B.610C.987D.1597

2.從一樓到二樓共有12級臺階，可以一步邁一級也可以一步邁兩級，要求8步走完，則從一樓到二樓共有

走法.

A.12B.8C.70D.66

3.某人從上一層到二層需跨10級臺階.他一步可能跨1級臺階，稱為一階步，也可能跨2級臺階，稱為二

階步，最多能跨3級臺階，稱為三階步.從一層上到二層他總共跨了6步，而且任何相鄰兩步均不同階.則

他從一層到二層可能的不同過程共有（）種.

A.6B.8C.10D.12

2010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽山東賽區(qū)預(yù)賽試題

【題型十】多事件限制重疊型

【典例分析】

班班會準(zhǔn)備從含甲、乙、丙的7名學(xué)生中選取4人發(fā)言，要求甲、乙兩人至少有一個發(fā)言，且甲、乙都發(fā)

言時丙不能發(fā)言，則甲、乙兩人都發(fā)言且發(fā)言順序不相鄰的概率為

2333

A.—B.—C.—D.—

17162628

【變式演練】

1.某同學(xué)計劃用他姓名的首字母T,X,身份證的后4位數(shù)字（4位數(shù)字都不同）以及3個符號巴由。設(shè)置一

個六位的密碼.若T,X必選，且符號不能超過兩個，數(shù)字不能放在首位和末位，字母和數(shù)字的相對順序不

變，則他可設(shè)置的密碼的種數(shù)為（)

A.864B.1009C.1225D.1441

2.2019年11月19日至20日，北京師范大學(xué)出版集團(tuán)攜手北師大版數(shù)學(xué)教材編寫組在廣東省珠海市聯(lián)合舉辦

了以“新課程，我們都是追夢人”為主題的北師大版中小學(xué)數(shù)學(xué)教材交流研討會，會議期間舉辦了一場“互動

沙龍”，要求從6位男嘉賓，2位女嘉賓中隨機(jī)選出4位嘉賓進(jìn)行現(xiàn)場演講，且女嘉賓至少要選中1位，如果

2位女嘉賓同時被選中，她們的演講順序不能相鄰，那么不同演講順序的種數(shù)是（）

A.1860B.1320C.1140D.1020

3.有2輛不同的紅色車和2輛不同的黑色車要停放在如圖所示的六個車位中的四個內(nèi)，要求相同顏色的車不

在同一行也不在同一列，則共有種不同的停放方法.（用數(shù)字作答）

【題型十一】多重限制分類討論

【典例分析】

高一新生小崔第一次進(jìn)入圖書館時看到了館內(nèi)樓梯（圖1）,她準(zhǔn)備每次走1級或2級樓梯去二樓，并在心

中默默計算這樣走完25級樓梯大概有多少種不同的走法，可是當(dāng)她走上去后發(fā)現(xiàn)（圖2）原來在13級處有

一寬度達(dá)1.5米的平臺，這樣原來的走樓梯方案需要調(diào)整，請問，對于剩下的15級（12+3）樓梯按分2段的

走法與原來一次性走15級的走法相比較少了種.

ffl1圖2

【變式演練】

1.市內(nèi)某公共汽車站有7個候車位（成一排），現(xiàn)有甲，乙，丙，丁，戊5名同學(xué)隨機(jī)坐在某個座位上候車，則

甲，乙相鄰且丙，丁不相鄰的不同的坐法種數(shù)為;（用數(shù)字作答）3位同學(xué)相鄰，另2位同學(xué)也相鄰,

但5位同學(xué)不能坐在一起的不同的坐法種數(shù)為.（用數(shù)字作答）

2.2021年某地電視臺春晚的戲曲節(jié)目，準(zhǔn)備了經(jīng)典京劇、豫劇、越劇、粵劇、黃梅戲、評劇6個劇種的各

一個片段.對這6個劇種的演出順序有如下要求：京劇必須排在前三，且越劇、粵劇必須排在一起，則該

戲曲節(jié)目演出順序共有（）種.

A.120B.156C.188D.240

3.甲、乙、丙、丁等六名退休老黨員相約去觀看黨史舞臺劇《星火》.《星火》的票價為50元/人，每人限購

一張票.甲、乙、丙三人各帶了一張50元鈔，其余三人各帶了一張100元鈔.他們六人排成一列到售票處

買票，而售票處一開始沒有準(zhǔn)備50元零錢，那么他們六人共有多少種不同排隊(duì)順序能使購票時售票處不出

現(xiàn)找不出錢的狀態(tài).（）

A.720B.360C.180D.90

【題型十二】綜合應(yīng)用

【典例分析】

設(shè)十人各拿一只水桶，同到水龍頭前打水，設(shè)水龍頭注滿第甲=1,2,…，10）個人的水桶需0分鐘，假設(shè)

方各不相同，當(dāng)水龍頭只有一個可用時，應(yīng)如何安排他（她）們的接水次序，使他（她）們的總的花費(fèi)時間（包括

等待時間和自己接水所花費(fèi)的時間）最少（）

A.從乃中最大的開始，按由大到小的順序排隊(duì)

B.從我中最小的開始，按由小到大的順序排隊(duì)

C.從靠近方平均數(shù)的一個開始，依次按取一個小的取一個大的的擺動順序排隊(duì)

D.任意順序排隊(duì)接水的總時間都不變

【變式演練】

1.由1,2,3,4,5組成的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，從中任意抽取一個，則其恰好為“前3個數(shù)字保持遞減,

后3個數(shù)字保持遞增”（如五位數(shù)“43125”，前3個數(shù)字“431”保持遞減，后3個數(shù)字“125”保持遞增）的概率

是（）

2.設(shè)N是集合｛123,4,5,6,7,8,9,10｝的子集，只含有3個元素，且不含相鄰的整數(shù)，則這種子集/的個數(shù)為（）

A.32B.56C.72D.84

3.為迎接第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動會，某校安排甲、乙、丙、丁、戊共五名學(xué)生擔(dān)任冰球、冰壺和短道速滑三個

項(xiàng)目的志愿者，每個比賽項(xiàng)目至少安排1人.則學(xué)生甲不會被安排到冰球比賽項(xiàng)目做志愿者的概率為（）

【經(jīng)典題專練】

1.如圖為我國數(shù)學(xué)家趙爽（約3世紀(jì)初）在為《周髀算經(jīng)》作注時驗(yàn)證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供5種顏

色給其中5個小區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，則4c區(qū)域涂色不相同的概

率為（）

2.將一個四棱錐S-/B8的每個頂點(diǎn)染上一種顏色,并使同一條棱的兩端異色,如果只有5種顏色可供使用,

則不同的染色方法的總數(shù)是

A.540B.480C.420D.360

3.清明節(jié)前夕，某校團(tuán)委決定舉辦“緬懷革命先烈，致敬時代英雄”主題演講比賽，經(jīng)過初賽，共有10人進(jìn)

入決賽，其中高一年級3人，高二年級3人，高三年級4人，現(xiàn)采用抽簽方式?jīng)Q定演講順序，則在高二年

級3人相鄰的前提下，高一年級3人不相鄰的概率為（）

4.10名同學(xué)合影，站成前排4人后排6人，現(xiàn)攝影師要從后排6人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對

順序不變，則不同調(diào)整方法的總數(shù)是（）

A.C混B.C次C.C法D-CX

5.將編號為1、2、3、4、5、6的小球放入編號為1、2、3,4、5、6的六個盒子中，每盒放一球，若有

且只有兩個盒子的編號與放入的小球的編號相同，則不同的放法種數(shù)為（）

A.90B.135C.270D.360

6.現(xiàn)有9個相同的球要放到3個不同的盒子里，每個盒子至少一個球，各盒子中球的個數(shù)互不相同，則不同

放法的種數(shù)是（）

A.28B.24C.18D.16

7.某單位有7個連在一起的車位，現(xiàn)有3輛不同型號的車需停放，如果要求剩余的4個車位中恰好有3個連

在一起，則不同的停放方法的種數(shù)為

A.16B.18C.32D.72

8.校園某處并排連續(xù)有6個停車位，現(xiàn)有3輛汽車需要停放，為了方便司機(jī)上下車，規(guī)定：當(dāng)有汽車相鄰?fù)?/p>

放時，車頭必須同向；當(dāng)車沒有相鄰時，車頭朝向不限，則不同的停車方法共有種.（用數(shù)學(xué)作

答）

9.如圖，在某城市中，兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，其中4、4、4、4是道路網(wǎng)中位于一條對角

線上的4個交匯處.今在道路網(wǎng)N處的甲、乙兩人分別要到N、M處，他們分別隨機(jī)地選擇一條沿街的最

短路徑，以相同的速度同時出發(fā)，直到到達(dá)處為止.則下列說法正確的是（）

A.甲從M到達(dá)N處的方法有120種

B.甲從M必須經(jīng)過4到達(dá)N處的方法有64種

Q1

c.甲、乙兩人在4處相遇的概率為K

400

D.甲、乙兩人相遇的概率為3

10.有一道樓梯共10階，小王同學(xué)要登上這道樓梯，登樓梯時每步隨機(jī)選擇一步一階或一步兩階，小王同學(xué)

7步登完樓梯的概率為.

11,2020年疫情期間，某縣中心醫(yī)院分三批共派出6位年齡互不相同的醫(yī)務(wù)人員支援武漢六個不同的方艙醫(yī)

院，每個方艙醫(yī)院分配一人.第一批派出一名醫(yī)務(wù)人員的年齡為耳，第二批派出兩名醫(yī)務(wù)人員的年齡最大者

為6,第三批派出三名醫(yī)務(wù)人員的年齡最大者為4,則滿足4<￡<A的分配方案的概率為（）

12.如圖，在某海岸尸的附近有三個島嶼。，R,S,計劃建立三座獨(dú)立大橋，將這四個地方連起來，每座橋

只連接兩個地方，且不出現(xiàn)立體交叉形式，則不同的連接方式有（）.

P

A.24種B.20種C.16種D.12種

13.現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加2022年杭州亞運(yùn)會志愿者服務(wù)活動，有翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司

機(jī)四項(xiàng)工作可以安排，以下說法正確的是（）

A.每人都安排一項(xiàng)工作的不同方法數(shù)為54

B.每人都安排一項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作至少有一人參加，則不同的方法數(shù)為

C.如果司機(jī)工作不安排，其余三項(xiàng)工作至少安排一人，則這5名同學(xué)全部被安排的不同方法數(shù)為

（c；c；+c；c；）W

D.每人都安排一項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作至少有一人參加，甲、乙不會開車但能從事其他三項(xiàng)工作，丙、丁、戊

都能勝任四項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)是

14.羅馬數(shù)字是歐洲在阿拉伯?dāng)?shù)字傳入之前使用的一種數(shù)碼，它的產(chǎn)生標(biāo)志著一種古代文明的進(jìn)步.羅馬數(shù)字

的表示法如下:

數(shù)字123456789

形式IIIIIIIVVVIVIIVIIIIX

其中“I”需要1根火柴，"V”與“X”需要2根火柴，若為0,則用空位表示.（如123表示為

405表示為IVV）如果把6根火柴以適當(dāng)?shù)姆绞饺糠湃胂旅娴谋砀裰?，那么可以表示的不?/p>

的三位數(shù)的個數(shù)為（）

B.95C.100D.103

15.如圖為3x3的網(wǎng)格圖，甲、乙兩人均從A出發(fā)去5地，每次只能向上或向右走一格，并且乙到達(dá)任何一

個位置（網(wǎng)格交點(diǎn)處）時向右走過的格數(shù)不少于向上走過的格數(shù)，記甲、乙兩人所走路徑的條數(shù)分別為M、

N,則M—N的值為（）

A.10B.14C.15D.16

排列組合12種題型歸納

1.排列與組合的概念

名稱定義區(qū)別

排列按照一定的順序排成一列

從n個不同元素中取出

排列有序，組合無序

冽（冽W幾）個兀素

組合合成一組

2.排列數(shù)與組合數(shù)

定義計算公式性質(zhì)聯(lián)系

從n個不同元素中取出

個元素的所有

排-1)(〃-2)…-冽+1)

不同排列的個數(shù),叫做(l)Ag=?l；

列

從〃個不同元素中取出=——---(幾，m且冽

數(shù)(n~m)!(2)0!=1

旭個元素的排列數(shù).用符

號表示

5「tn-—.

m!

從n個不同元素中取出

⑴

_n(n—1)(〃―2)???(L冽+1)-L

個元素的所有。八一

組m!

不同組合的個數(shù),叫做(2)a,=cp?i；

合

從n個不同元素中取出=----------(n,冽￡N*,且

m!(n-m)!

數(shù)Gg=駕土

加個元素的組合數(shù).用符

mWn)

號“or表示

【題型一】人坐座位模型1:捆綁與插空

【典例分析】

1.有四男生，三女生站一排，其中只有倆個女生相鄰：

2.有四男生，4女生站一排，女生若相鄰，則最多2個女生相鄰:

解答（1）：先捆綁倆女生，再排列捆綁女生，然后排列四個男生，兩個“女生”插孔即可,

(1)都不相鄰：A"；;(2)兩隊(duì)各自相鄰:上工出國用；(3)一對兩人相鄰：C：團(tuán)

(2)分類討論2!

【方法技巧】

人坐座位模型：

特征：1.一人一位；2、有順序；3、座位可能空；4、人是否都來坐，來的是誰；5、必要時，座位拆遷，

剩余座位隨人排列。主要典型題：1.捆綁法;2.插空法；3.染色。出現(xiàn)兩個實(shí)踐重疊，必要時候，可以使用容

斥原理來等價處理：容斥原理〃"(/)+〃(3)_〃(/c3)

【變式演練】

1.在某班進(jìn)行的歌唱比賽中，共有5位選手參加，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能連著出場，

且女生甲不能排在第一個，那么出場順序的排法種數(shù)為

A.30B.36C.60D.72

【答案】C

【分析】記事件/：2位男生連著出場，事件從女生甲排在第一個，利用容斥原理可知所求出場順序的排法

種數(shù)為,。)+〃?卜"JcB)],再利用排列組合可求出答案.

【詳解】

記事件N：2位男生連著出場，即將2位男生捆綁，與其他3位女生形成4個元素，所以，事件A的排法種數(shù)

為〃(4)=$<=48,

記事件8:女生甲排在第一個，即將甲排在第一個，其他四個任意排列，所以，事件8的排法種數(shù)為

〃⑶=/：=24,

事件Nc8:女生甲排在第一位，且2位男生連著，那么只需考慮其他四個人，將2位男生與其他2個女生形

成三個元素，所以，事件/口8的排法種數(shù)為￡/；=12種，

因此，出場順序的排法種數(shù)用-["(/)+〃?)-〃0cBl

=120—(48+24-12)=60種，故選C.

2.某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目、2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的

排法種數(shù)是()

A.144B.120C.72D.48

【答案】B

【分析】先求出只有3個歌舞類節(jié)目不相鄰的方法，然后求出3個歌舞類節(jié)目不相鄰且2個小品類節(jié)目相

鄰的排法，相減可得.

【詳解】

先考慮只有3個歌舞類節(jié)目不相鄰，排法有耳耳=144種，

再考慮3個歌舞類節(jié)目不相鄰，2個小品類節(jié)目相鄰的排法有：444=24,

因此同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是144-24=120.

故選：B.

3.2021年4月15日，是第六個全民國家安全教育日，教育廳組織宣講團(tuán)到某市的六個不同高校進(jìn)行國家安

全知識的宣講，時間順序要求是：高校甲必須排在第二或第三個，且高校甲宣講結(jié)束后需立即到高校丁宣

講，高校乙、高校丙的宣講順序不能相鄰，則不同的宣講順序共有（）

A.28種B.32種C.36種D.44種

【答案】B

【分析】由題意，對高校甲排在第二或第三個進(jìn)行分類討論，接著考慮乙和丙的排法，最后考慮其他兩所

高校的排法，綜合利用分類和分步計數(shù)原理進(jìn)行分析即可.

【詳解】

根據(jù)題意：分成以下兩種情況進(jìn)行分類討論

高校甲排在第二個時，高校丁必排在第三個，當(dāng)乙或丙排在第一個時共有=12種排法，當(dāng)乙或丙不排

在第一個時，乙和丙只能排在第四個和第六個，此時共有省用=4種排法，所以高校甲排在第二個時共有

16種排法；

高校甲排在第三個時，高校丁必排在第四個，乙或丙只能一個排在第一二個，一個排在第五六個，則共有

=16種排法；

綜上：共有32種排法滿足題意.

故選：B.

【題型二】人坐座位模型2：染色（平面）

【典例分析】

如圖為我國數(shù)學(xué)家趙爽（約3世紀(jì)初）在為《周髀算經(jīng)》作注時驗(yàn)證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供5種顏

色給其中5個小區(qū)涂色，規(guī)定每個區(qū)域只能涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，則A、C區(qū)域顏色不相同的概

率是

A.l/7b.2/7C.3/7D.4/7

答案：D

涂色法：（1）用了幾種顏色；（2）盡量先圖相鄰多的“三角形”：本題先把ABE作為“三角形”

1、用了5色：Ag-------/與C不相同

2、用了4色：⑴先涂ABE:A：;（2）C用第4色：C；（不相同）；（3）D用第4種：（相同）

3、用了3色：先涂ABE:A：—結(jié)束。/與C相同

歸入A；+A；xC；_240_4

A；+A：x2C；+A：4207

【方法技巧】

染色問題：

1.用了幾種顏色

2.盡量先從公共相鄰區(qū)域開始。

【變式演練】

1.正方體六個面上分別標(biāo)有/、B、C、D、E、尸六個字母,現(xiàn)用5種不同的顏色給此正方體六個面染色，

要求有公共棱的面不能染同一種顏色，則不同的染色方案有（）種.

A.420B.600C.720D.780

【答案】D

【解析】【分析】

根據(jù)對面的顏色是否相同，分①三對面染相同的顏色、②兩對面染相同顏色，另一對面染不同顏色、③一

對面染相同顏色，另兩對面染不同顏色，分別求出不同的染色方案，最后加總即可.

【詳解】

分三類：

1、若三對面染相同的顏色，則有W=6。種；

2、若兩對面染相同顏色，另一對面染不同顏色，則有WC；C；=360種；

3、若一對面染相同顏色，另兩對面染不同顏色，則有WCM=360種；

共有60+360+360=780種.

故選：D

2.如圖，某傘廠生產(chǎn)的太陽傘的傘篷是由太陽光的七種顏色組成，七種顏色分別涂在傘篷的八個區(qū)域內(nèi)，且

恰有一種顏色涂在相對區(qū)域內(nèi)，則不同顏色圖案的此類太陽傘最多有（）.

A.40320種B.5040種C.20160種D.2520種

【答案】D

【解析】【分析】

先從7種顏色中任意選擇一種，涂在相對的區(qū)域內(nèi)，再將剩余的6種顏色全部涂在剩余的6個區(qū)域內(nèi)，結(jié)

合圖形的對稱性，即可求解.

【詳解】

先從7種顏色中任意選擇一種，涂在相對的區(qū)域內(nèi)，有C；=7種方法，

再將剩余的6種顏色全部涂在剩余的6個區(qū)域內(nèi)，共有￡種方法，

由于圖形是軸對稱圖形，所以上述方法正好重復(fù)一次，

所以不同的涂色方法，共有上a=2520種不同的涂法.

2

故選：D.

3.如圖，用四種不同的顏色給圖中的4,B,C,D,E,F,G七個點(diǎn)涂色，要求每個點(diǎn)涂一種顏色，且圖中

每條線段的兩個端點(diǎn)涂不同顏色，則不同的涂色方法有（）

C.600D.以上答案均不對

【答案】C

【解析】【分析】

根據(jù)題意，結(jié)合計數(shù)原理，先排￡,F,G,然后根據(jù)4B,C,。的情況討論.

【詳解】

解：E,F,G分別有4,3,2種方法，

①當(dāng)4與尸相同時，N有1種方法，此時3有2種，

⑴C若與F相同有。有1種方法，同時。有3種方法,

（2）若C與尸不同，則此時。有2種方法，

故此時共有：4x3x2xlx2x（lx3+lx2）=240種方法；

②當(dāng)N與G相同時，/有1種方法，此時3有3種方法,

（1）若C與尸相同，C有1種方法，同時D有2種方法，

（2）若C與尸不同，則。有1種方法，

故此時共有：4乂3*2*良3*”2+卜1）=216種方法；

③當(dāng)4既不同于尸又不同于G時，N有1種方法,

⑴若2與尸相同，則C必須與/相同，同時。有2種方法；

（2）若8不同于尸，則8有1種方法，

（I）若C與尸相同則。有1種方法同時。有2種方法；

（n）若C與尸不同則必與/相同，。有1種方法，同時。有2種方法；

故此時共有：4x3x2xlx[lxlx2+lx（l><2+lx2]=144種方法；

綜上共有240+216+144=600種方法.

故選：C.

【題型三】人坐座位模型3：染色（空間）：

【典例分析】

如圖所示的幾何體由三棱錐尸-N8C與三棱柱NBC-431G組合而成，現(xiàn)用3種不同顏色對這個幾何體的表

面涂色（底面4片G不涂色），要求相鄰的面均不同色，則不同的涂色方案共有（）

A.6種B.9種

C.12種D.36種

【答案】C

【解析】三棱錐尸-48。三個側(cè)面的顏色各不相同，先進(jìn)行染色，然后再給三棱柱的側(cè)面染色,

保證組合體中相鄰的側(cè)面顏色不同即可.

【詳解】

先涂三棱錐尸的三個側(cè)面，有C；C；C；=6種情況，然后涂三棱柱的三個側(cè)面，有C；C；C：=2種情況，

共有6*2=12種不同的涂法.

故選：C.

【方法技巧】

空間幾何體，可以"拍扁"，轉(zhuǎn)化為平面圖形

【變式演練】

1.如圖所示，將一個四棱錐的每一個頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可

供使用，則不同的染色方法種數(shù)是（）

A.420B.210C.70D.35

【答案】A

【解析】【分析】

將不同的染色方案分為：/C相同和NC不同兩種情況，相加得到答案.

【詳解】

按照"8CD的順序：

當(dāng)NC相同時：染色方案為5x4x3x1x3=180

當(dāng)ZC不同時：染色方案為5x4x3x2x2=240

不同的染色方案為：420種

故答案為A

2.在如圖所示的H--面體48CDE■尸G8Z中，用3種不同顏色給這個幾何體各個頂點(diǎn)染色，每個頂點(diǎn)染一種顏

色，要求每條棱的兩端點(diǎn)異色，則不同的染色方案種數(shù)為.

【答案】6

【解析】【詳解】

分析：首先分析幾何體的空間結(jié)構(gòu)，然后結(jié)合排列組合計算公式整理計算即可求得最終結(jié)果.

詳解：空間幾何體由11個頂點(diǎn)確定，首先考慮一種涂色方法：

假設(shè)/點(diǎn)涂色為顏色C4,3點(diǎn)涂色為顏色C2,C點(diǎn)涂色為顏色CC,

由AC的顏色可知D需要涂顏色CB,

由AB的顏色可知E需要涂顏色CC,

由BC的顏色可知F需要涂顏色CA,

由DE的顏色可知G需要涂顏色CA,

由DF的顏色可知/需要涂顏色CC,

由G/的顏色可知〃需要涂顏色CB,

據(jù)此可知，當(dāng)A48C三個頂點(diǎn)的顏色確定之后，其余點(diǎn)的顏色均為確定的，

用三種顏色給A48C的三個頂點(diǎn)涂色的方法有⑷=6種，

故給題中的幾何體染色的不同的染色方案種數(shù)為6.

3.用五種不同顏色給三棱臺/3C-QE尸的六個頂點(diǎn)染色，要求每個點(diǎn)染一種顏色，且每條棱的兩個端點(diǎn)染不

同顏色.則不同的染色方法有種.

【答案】1920.

【解析】【詳解】

分析：分兩步來進(jìn)行，先涂48,C,再涂尸，然后分若5種顏色都用上、若5種顏色只用4種、若5

種顏色只用3種這三種情況，分別求得結(jié)果，再相加，即可得結(jié)果.

詳解：分兩步來進(jìn)行，先涂4SC,再涂尸.

第一類：若5種顏色都用上，先涂4B,C,方法有百種，再涂2瓦廠中的兩個點(diǎn)，方法有團(tuán)種，最后剩余

的一個點(diǎn)只有2種涂法，故此時方法共有H?團(tuán)?=720種；

第二類：若5種顏色只用4種，首先選出4種顏色，方法有種；

先涂4SC,方法有彳種，再涂2旦尸中的一個點(diǎn)，方法有3種，最后剩余的兩個點(diǎn)只有3種涂法，故此

時方法共有C；??3?3=1080種；

第三類：若5種顏色只用3種，首先選出3種顏色，方法有C；種；

先涂48,C,方法有H種，再涂D,E,F,方法有2種，故此時方法共有C；-Wx2=120種；

綜上可得，不同涂色方案共有720+1080+120=1920種，

故答案是1920.

點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)排列組合的綜合題，在解題的過程中，涉及到的知識點(diǎn)有分步計數(shù)乘法原理和分

類計數(shù)加法原理，要認(rèn)真分析題的條件，列式求得結(jié)果.

【題型四】書架插書模型

【典例分析】

有12名同學(xué)合影，站成了前排4人后排8人，現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相

對順序不變，則不同調(diào)整方法的種數(shù)是（）

A.168B.260C.840D.560

【答案】C

【分析】先從后排8人中抽2人，把抽出的2人插入前排保證前排人順序不變可用倍縮法，再由分步乘法

計數(shù)原理即可求解.

【詳解】

解：從后排8人中抽2人有C；種方法；

將抽出的2人調(diào)整到前排，前排4人的相對順序不變有有種，

由分步乘法計數(shù)原理可得：共有C；?冬=28x6x5=840種，

A4

故選：C.

【方法技巧】

（1）書架上原有書的順序不變；（2）新書要一本一本插；

【變式演練】

1從A,B,C,a,"c,d中任選5個字母排成一排,要求按字母先后順序排列（即按4。）,8（6）,C（c）,。⑷

先后順序，但大小寫可以交換位置，如或都