復數(shù)（七大題型）（講義）-2024年高考數(shù)學復習（新教材新高考）（解析版）

第03講復數(shù)

目錄

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考點要求考題統(tǒng)計考情分析

(1)通過方程的解，認識復高考對集合的考查相對穩(wěn)定，每年必考

數(shù).題型，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均

(2)理解復數(shù)的代數(shù)表示及變化不大.復數(shù)的運算、概念、復數(shù)的

2022年/卷〃卷第2題，5分

其幾何意義，理解兩個復數(shù)相模、復數(shù)的幾何意義是常考點，難度較

2021年〃卷第1題，5分

等的含義.低，預測高考在此處仍以簡單題為主.

2021年/卷第2題，5分

(3)掌握復數(shù)的四則運算，

了解復數(shù)加、減運算的幾何意

義.

形如a+bi(a,b￡R)的數(shù)叫復軌，記作a+biwC

兩個實部相等，虛部互為相反數(shù)的復數(shù)互為共聊復數(shù)

兩個復數(shù)a+阮,c+di(a,b,c,dER)相等0a=c,b=d

復數(shù)的概念

復數(shù)的模：|Z|=|Q+M=

(a+忖土(c+di)=(a±c)+(b土d)i

(a+bi)?(c4-di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

復數(shù)運算

(a+&i)?(c—di)(ac+bd)+(be—ad)i

(c2+d2/0)

(c+di)■(c—di)c2+d2

復數(shù)2=0+萬((1冷￡夫)對應平面內(nèi)的點2(。,6)

復數(shù)

復數(shù)N=a+尻(a,beR)對應平面向量溫

復數(shù)的幾何意義

復數(shù)2=。+尻3,6€砌的模團表示復平面內(nèi)的點23，與到原點的距離

復數(shù)的三角表示式：r(cos6+isin6)

輻角的主值

三角形式下的兩個復數(shù)相等：兩個非零復數(shù)相等

當且僅當它們的模與輻角的主值分別相等

復數(shù)三角形式的乘范運算：

復數(shù)的三角形式

ri(cos&+zsin0i)?Q(cos02+ismd2)=[cos(0i+02)+isin(a+&)]

復數(shù)三角形式的除法運算：

ri(cos0i+isin0i)nA\.根AM

--~.a、=-cos(0i-02)+2sm(%-02)]

「2(cos%+2S11102)72

礎知識他理

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知識點一、復數(shù)的概念

（1）i叫虛數(shù)單位,滿足產(chǎn)=一1,當keZ時，產(chǎn)=1,產(chǎn)?，產(chǎn)+2=一1,嚴+3=T.

（2）形如a+砥a,beR）的數(shù)叫復數(shù),記作a+沅eC.

①復數(shù)z=a+砥a,6eR）與復平面上的點Z（a,6）一—對應，。叫z的實部，6叫z的虛部；b=0<=>z&R,

Z點組成實軸；bwO,z叫虛數(shù)；bwO且a=0,z叫純虛數(shù)，純虛數(shù)對應點組成虛軸（不包括原點）.兩個

實部相等，虛部互為相反數(shù)的復數(shù)互為共輾復數(shù).

②兩個復數(shù)a+bi,c+力（a,b,c,deR）相等。,（兩復數(shù)對應同一點）

\b=d

③復數(shù)的模：復數(shù)。+山(a,R)的模，也就是向量OZ的模，即有向線段OZ的長度，其計算公式為

|z|=|a+bi|=y/a2+b2,顯然，|z|=|a-bi|="Ja2+b2,z-z=a2+b2.

知識點二、復數(shù)的加、減、乘、除的運算法則

1、復數(shù)運算

(1)(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b+d)i

(2)(a+bi)-(c+di)=(ac—bd)+(ad+bc)i

(a+bi)■(a-bi)=z-z=a2+Z?2=|z|2

，(注意Z2=|Z「)

z+z=2a

其中|z\=Ja，+下,叫z的模；z=a-瓦是z=a+沅的共軌復數(shù)（a,6eR）.

a+bi_(a+bi)■(c-di)_(ac+bd)+(be-ad)i

(3)(c2+屋w0).

c+di(c+di)■(c-di)c1+d2

實數(shù)的全部運算律（加法和乘法的交換律、結合律、分配律及整數(shù)指數(shù)募運算法則）都適用于復數(shù).

注意：復數(shù)加、減法的幾何意義

以復數(shù)az?分別對應的向量OZpOZz為鄰邊作平行四邊形OZiZZ2,對角線OZ表示的向量OZ就是復

數(shù)Z1+Z2所對應的向量.Z[-Z2對應的向量是Z2Z].

2、復數(shù)的幾何意義

（1）復數(shù)z=a+6i（4,Z?eR）對應平面內(nèi)的點z（a,6）；

（2）復數(shù)z=a+砥對應平面向量OZ；

（3）復平面內(nèi)實軸上的點表示實數(shù)，除原點外虛軸上的點表示虛數(shù)，各象限內(nèi)的點都表示復數(shù).

（4）復數(shù)z=a+bi（a,bcR）的模|z|表示復平面內(nèi)的點z（a,6）到原點的距離.

3、復數(shù)的三角形式

（1）復數(shù)的三角表示式

一般地，任何一個復數(shù)z=a+慶都可以表示成/'（cose+isin。）形式，其中7?是復數(shù)z的模；。是以x軸

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的非負半軸為始邊，向量OZ所在射線(射線OZ)為終邊的角，叫做復數(shù)2=4+次的輻角.r(cos6+，sin。)

叫做復數(shù)2=々+次的三角表示式，簡稱三角形式.

(2)輻角的主值

任何一個不為零的復數(shù)的輻角有無限多個值，且這些值相差27的整數(shù)倍.規(guī)定在04，＜2萬范圍內(nèi)的

輻角。的值為輻角的主值.通常記作argz,即0Wargz＜2萬.復數(shù)的代數(shù)形式可以轉化為三角形式，三角

形式也可以轉化為代數(shù)形式.

(3)三角形式下的兩個復數(shù)相等

兩個非零復數(shù)相等當且僅當它們的模與輻角的主值分別相等.

(4)復數(shù)三角形式的乘法運算

①兩個復數(shù)相乘，積的模等于各復數(shù)的模的積，積的輻角等于各復數(shù)的輻角的和，即

4(cos9X+isin(cos02+ising)=42[cos(^+02)+isin(q+g)]

②復數(shù)乘法運算的三角表示的幾何意義

復數(shù)Z「Z2對應的向量為OZpOZ2,把向量。4繞點。按逆時針方向旋轉角(如果a＜。，就要把。4

繞點。按順時針方向旋轉角陶|)，再把它的模變?yōu)樵瓉淼?倍，得到向量OZ,OZ表示的復數(shù)就是積z生.

(5)復數(shù)三角形式的除法運算

兩個復數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)

的輻角所得的差，即小cosG+isin.)=ZL[cos(a_&)+isin(a_e,)].

L

^(cos^+zsin^)r2

.提升?必考題型歸納

題型一：復數(shù)的概念

例1.(2023?河南安陽?統(tǒng)考三模)已知(l+2i)(a+i)的實部與虛部互為相反數(shù)，則實數(shù)。=()

A.—B.—C.gD.—

3322

【答案】A

【解析】由于(l+2i)(q+i)=a—2+(l+2a)i,

(l+2i)(a+i)的實部與虛部互為相反數(shù)，故a-2+(l+2a)=0,;.a=g,

故選：A

例2.(2023?浙江紹興?統(tǒng)考二模)已知復數(shù)z滿足z(百-i)=2i,其中i為虛數(shù)單位，則z的虛部為()

A.BB.—iC.--D.一立

2222

【答案】A

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W(用i)=-2+26」+烏

【解析】因為Z（石-i）=2i,所以z=*

(V3-i)(73+i)-4---2+TX

所以z的虛部為也.

2

故選：A.

例3.（2023?海南?？?校聯(lián)考一模）若復數(shù)z=4—4+（a-2）i為純虛數(shù)，則實數(shù)。的值為（）

A.2B.2或-2C.-2D.-4

【答案】C

,/、fa2—4=0

【解析】因為復數(shù)z="2-4+（a-2）i為純虛數(shù)，則有\(zhòng)八，解得a=-2,

[〃-2W0

所以實數(shù)。的值為-2.

故選：C

3-5i

例4.（多選題）（2023?河南安陽?安陽一中?？寄M預測）若復數(shù)2=丁一，則（）

1-1

A.目=而B.z的實部與虛部之差為3

C.z=4+iD.z在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限

【答案】ACD

1錮桁】?.13-5i-(3-5i)(l+i)

［斛析］?z-73r-(1)(1+0-j

；.z的實部與虛部分別為4,-1,

22

|z|=^4+(-1)=V17,A正確;

z的實部與虛部之差為5,B錯誤；

z=4+i,C正確；

z在復平面內(nèi)對應的點為（4-1）,位于第四象限，D正確.

故選：ACD.

7

例5.（2023.遼寧.校聯(lián)考一模）若z是純虛數(shù)，目=1,則『的實部為______,

1—Z

【答案】1

【解析】Z是純虛數(shù)，且回=1,貝IJ有Z=±i,故;一=l±i,實部為1.

1—Z

故答案為：1.

【解題方法總結】

無論是復數(shù)模、共輾復數(shù)、復數(shù)相等或代數(shù)運算都要認清復數(shù)包括實部和虛部兩部分，所以在解決復

數(shù)有關問題時要將復數(shù)的實部和虛部都認識清楚.

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題型二：復數(shù)的運算

例6.(2023?黑龍江哈爾濱?哈師大附中統(tǒng)考三模)已知復數(shù)2=罟，則忖-彳=()

1-1

A.1+iB.1C.1-iD.i

【答案】A

【解析】依題意，z==g=i,則|z|=l,W=-i,

V(l-i)(?l+i)2

所以|z|-z=l+i.

故選：A

例7.(2023?河北衡水?模擬預測)若(i-l)(z-2i)=2+i,則5=()

31.

cD.------i

-泊22

【答案】B

【解析】由已知得上=_空+方__(2+1(1+1)+方=_巴且+公=_3+1,

1-i2222

if~11.

故選：B.

例8.(2023?陜西榆林?高三綏德中學?？茧A段練習)已知復數(shù)z滿足(z-2i)i=3+i,則2=

A.1-iB.3-iC.l-5iD.-l+3i

【答案】A

【解析】因為(z—2i)i=3+i,

所以z=2±i+2「『+2i

=l-3i+2i=l-i.

ii(-i)

故選：A.

例9.(2023?全國?模擬預測)已知復數(shù)z滿足3z+i=l—4iz,貝||z|=()

A.2B.拽^C.—D.-

2555

【答案】C

1-i-l-7i、/7

【解析】解法一：由3z+i=l—4iz得z=\=」/,所以|z|=Y4,故選C.

3+41255

解法二:由3z+i=l—4iz得(3+4i)z=l-i,所以5|z|=&,即平|=巫,

故選：C.

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【解題方法總結】

設Z[=a+bi,Z2=c+di(a,b,c,dwR),則

(1)zl±z2=a±c+(b±d)i

(2)-z2=ac—bd+(ad+bc)i

五=ac+bdbe—ad

(3)22+22卡

c+dc+dz(z20)

z?

題型三：復數(shù)的幾何意義

3-i

例10.（2023?河南鄭州?三模）復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點位于（）

1+i2023

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

3-i_3-i_3-i_(3-i)(l+i)

【解析】由題得=2+i,即復平面內(nèi)對應的點為（2,1）,在第一象限.

1+i20231+i31-i(l-i)(l+i)

故選：A.

例11.（2。23?全國?高三專題練習）已知復數(shù)i在復平面內(nèi)對應的點關于實軸對稱，則代=（）

A.1+iB.1-iC.-1+i

【答案】B

【解析】因為復數(shù)4與z=3+i在復平面內(nèi)對應的點關于實軸對稱，所以z】=3-i,

((

Z]3-i3-i)2-i)5-5i

所以ITl_2+i_(2+i)(2_i)=l-i

5

故選：B.

例12.（2023?湖北?校聯(lián)考三模）如圖，正方形。43。中，點A對應的復數(shù)是3+5i,則頂點B對應的復數(shù)是

2-8iC.-l+7iD.-2+7i

【答案】A

【解析】由題意得：。4=（3,5）,不妨設。點對應的復數(shù)為a+歷（。＜0,與0）,則OC=（a,b）,

a2+b2=32+520Q=-5

由04,℃,|例二|0。|,得

3a+5b=0=b=3

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即C點對應的復數(shù)為-5+3i,

由02=04+OC得：B點對應復數(shù)為(3+5i)+(-5+3i)=-2+8i.

故選：A.

例13.(2023?全國?校聯(lián)考模擬預測)在復平面內(nèi)，設復數(shù)，422對應的點分別為Z40,2),Z2(l,-1),則生=

Z2

()

A.2B.&C.&D.1

【答案】C

【解析】由題意，知Z=2i,z2=l-i,所以五=三=-1+1,所以至=夜.

Z21TZ2

故選：C.

【解題方法總結】

復數(shù)的幾何意義在于復數(shù)的實質是復平面上的點，其實部、虛部分別是該點的橫坐標、縱坐標，這是

研究復數(shù)幾何意義的最重要的出發(fā)點.

題型四：復數(shù)的相等與共物復數(shù)

例14.(2023?湖北?黃岡中學校聯(lián)考模擬預測)已知2-i(i是虛數(shù)單位)是關于x的方程x2+bx+c=0(6,cwR)

的一個根，則b+c=()

A.9B.1C.-7D.2i-5

【答案】B

【解析】已知2-i(i是虛數(shù)單位)是關于x的方程V+6x+c=0S,ceR)的一個根，

,13+2b+c=0

則(2-ip+仇2-i)+c=0,即4-4i—l+2b—bi+c=0,即Y—G—O，

\b=-4

解得(c，故"+c=l.

[c=5

故選：B.

例15.(2023?貴州貴陽?統(tǒng)考模擬預測)已知4=a+2i,z2=2+bi,^(Z1+z1)+(z2z2)i=4+13i,

則()

A.a=2,〃=3B.a=—2,Z?=—3

C.a=2,Z7=±3D.a=-2,b=±3

【答案】C

222

【解析】由已知可得，Zi+Z]=〃+2i+a-2i=2〃，z2z2=2+Z?=b+4,

2

所以(Z[+z1)+(z2z2)i=2?+(Z?+4)i=4+13i,

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所以有3[2+〃=44=3解得b\a-32或[%a7=2

故選：C.

例16.（2023?四川宜賓?統(tǒng)考三模）已知復數(shù)z=3+4i,且z+￡=9-4i，其中〃是實數(shù)，則（）

A.a=—2B.。=2C.a=lD.a=3

【答案】B

【解析】因為z=3+4i,所以彳=3-4i,

所以3+4i+3a—4oi=3+3a+（4—4a）i=9—4i,

所以3+3a=9,4—4a=—4,解得a=2.

故選:B.

例17.（2023?湖北?模擬預測）已知復數(shù)z滿足z+|z|=2+4i,則z的共軌復數(shù)的虛部為（）

A.2B.-4C.4D.-2

【答案】B

【解析】設z=a+bi,（a,beR）,則忖=VZ兩,

則z+可=2+4i,即4+，儲+/+歷=2+4i，

2

所以仁da+/=2a=-3

，解得

4b=4

所以z=—3+4i,N=-3—4i,

所以z的共輒復數(shù)的虛部為-4.

故選：B.

例18.（2023?四川宜賓?統(tǒng)考三模）已知復數(shù)z=3+4i,且z+質+藥=9，其中mb是實數(shù)，則（）

A.a=-2,b=3B.a=29b=4

C.Q=1,b=2D.a=2,b=—4

【答案】B

【解析】因為z=3+4i,所以z=3-4i，貝I由Z+QZ+歷=9得：

3+4i+a(3-4i)+歷=9,艮(3+3a)+(4+b—4a)i=9,

4+6-4〃=0a=2

故3+39，解得:

b=4

故選：B.

【解題方法總結】

復數(shù)相等：a+bi=c+di=a=c且"=d(a,b,c,dER)

共朝復數(shù)：a+bi=c+dia=。且b=—d(a,b,c,dGR).

題型五：復數(shù)的模

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例19.(2023?河南?統(tǒng)考二模)若(i+l)(z-l)=2,貝!J|彳+1|=.

【答案】710

【解析]由(i+l)(z_l)=2可得z=3+l=^^+l=2_i,

1+12

故三=2+i，則|2+1|=|3+1卜序衣=弧，

故答案為：M

例20.(2023?上海浦東新?統(tǒng)考三模)已知復數(shù)z滿足|z-2|=|z|=2,則z3=.

【答案】-8

【解析】設2=。+歷，則z-2=a-2+歷，

a2+b2=4

所以2?，解得4=1,。=±石，

(〃-2)+〃=4

當0=1/=6時，z=l+B，故Z。=(1+后『=1+2育+3?=-2+2/，

Z3=(-2+2后)(1+后)=一2+6i2=-8；

當“=1涉=_石時，z=\-?,^z2=(1-V3i)2=l-2V3i+3i2=-2-2^i,

z3=(-2-273i)(l-V3i)=-2+6i2=-8

故答案為：-8

例21.(2023?遼寧鐵嶺校聯(lián)考模擬預測)設復數(shù)Z],z?滿足㈤=|即=2,z+z2=g+i,則匕-z/=

【答案】273

【解析】方法一：設4=。+方,(?！晔?￡氏)，Z2=c+di,(ceR,dwR),

.'.z1+z2=a+c+(b+d)i=6+i,

]，又區(qū)|=歸2|=2,所以/+/?2=4，。2+/=4,

[b+d=1

(6Z+c)2+(b+d)2=〃+c?+g_|_d2_|_2(QC+bd)—4

:.ac-\-bd=—2

?.IZi-z2|=|(Q-c)+S-d)i\_Q(a—4+(Z?-d)2=《8-2(ac+bd)

=J8+4=2y/3.

故答案為：2石.

方法二：如圖所示，設復數(shù)4*2所對應的點為Z「Z2,o尸=OZ1+OZ2,

由已知=J幣=2=|ozj=I0Z2I,

平行四邊形OZ/Z?為菱形，且3OPZ?_OPZ2都是正三角形，/ZQZ]=120°,

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222

IZ]Z2I=1OZlI+1OZ21-21OZ]IIOZ21cos120。=2?+22-2?2?2.=12

|zx—z2|=jZjZjl=26.

【解題方法總結】

\z\=yja2+b2

題型六：復數(shù)的三角形式

例22.(2023?四川成都?成統(tǒng)考模擬預測)1748年，瑞士數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)了復指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的

關系，并寫出以下公式葭=cosx+isinx(XGR,i為虛數(shù)單位)，這個公式在復變論中占有非常重要的地位,

被譽為“數(shù)學中的天橋”.根據(jù)此公式，下面四個結果中不成立的是()

/I-\2022

A.泌+1=0B.-+—i=1

(22J

C.卜"+e半2D.-2<ett-e^<2

【答案】D

【解析】對于A,當X=71時，因為/=cos7T+isin7i=-l,所以e'"+l=0,故選項A正確；

2022

QY°22(\2022(n.\

對于B,—H-----i=cos—+isin—=e'=e674ra=cos674K+isin674K=1,

3；J

故選項B正確；

對于C,由e"=cosx+isinx,e-w=cos(-x)+isin(-x)=cosx-isinx,

所以e*+e±=2cosx,得出|eW]=|2cosx|42,故選項C正確；

對于D,由C的分析得e"-e』=2isinx,推不出-2We"-e毋V2,故選項D錯誤.

故選：D.

例23.(2023?全國?高三專題練習)任何一個復數(shù)z=a+歷(a,b￡R)都可以表示成

z="cose+isine)(〃20,e￡R)的形式，通常稱之為復數(shù)的三角形式.法國數(shù)學家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：

[r(cos+isin0)]n=rn(cosnd4-isinn0\neZ),我們稱這個結論為棣莫弗定理.貝！J(1一石=()

A.1B.22022D.i

【答案】B

【解析】1一后=2141=2

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2022

(1-后嚴22=22022CQS(一等j+isin(-等乃J=2;

故選：B.

例24.(2023?河南?統(tǒng)考模擬預測)歐拉公式-=cose+isin。把自然對數(shù)的底數(shù)e、虛數(shù)單位i、三角函數(shù)

聯(lián)系在一起，充分體現(xiàn)了數(shù)學的和諧美.若復數(shù)z滿足(ei"+i).z=l,貝1的虛部為()

A.-"B.—C.1D.—1

22

【答案】B

【解析】由歐拉公式知：

e,7t=cos兀+isin兀=-1,(em+i)-z=(-1+i)-z=i,

ii(-l-i)1-i11.

?z-.........=-----------------=-----=-------i

--1+i(-l+i)(-l-i)222'

Z的虛部為-不.

故選：B

例25.(2023?全國?高三專題練習)棣莫弗公式(cosa+isinx)"=cosn%+isinn%(其中i為虛數(shù)單位)是由法國

(\2023

數(shù)學家棣莫弗(1667-1754年)發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復數(shù)「os.+isi吟在復平面內(nèi)所對應的

點位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】由棣莫弗公式知，(cos'+isin工］=cos^^+isin=COsf337K+—'l+isinf337TT+—

(66)66I6Jv6)

,兀、..，兀、石1.

=COS(7l+—)+isin(7l+—)=--------------1,

6622

/\2023(巧］、

復數(shù)cos^+isin?在復平面內(nèi)所對應的點的坐標為-一，-彳，位于第三象限.

V06>I2

故選：C.

【解題方法總結】

一般地，任何一個復數(shù)z=a+次都可以表示成廠(cosd+lsin。)形式，其中廠是復數(shù)z的模；。是以x軸

的非負半軸為始邊，向量OZ所在射線(射線QZ)為終邊的角，叫做復數(shù)z=a+4的輻角.r(cos6+isine)

叫做復數(shù)z=a+bz?的三角表示式，簡稱三角形式.

題型七：與復數(shù)有關的最值問題

例26.(2023?上海閔行?上海學?？寄M預測)若|z+l-i|=l,則目的最大值與最小值的和為

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【答案】2近

【解析】由幾何意義可得：復數(shù)z表示以為圓心的半徑為1的圓，

貝憫e［點一1,應+1］制九+|九=2①

故答案為：20

例27.（2023?陜西西安