2025年六年級(jí)小升初數(shù)學(xué)提高復(fù)習(xí)：二元一次方程（組）的應(yīng)用 講義

第16講二元一次方程（組）的應(yīng)用

專題概述

像2x+y=8這樣的等式，含有兩個(gè)未知數(shù)x,y,而且未知數(shù)的指數(shù)都為1的方程叫作二元一次方程；把兩個(gè)二

元一次方程用寫在一起，就組成了一個(gè)二元一次方程組。如果有兩個(gè)未知數(shù)，一般需要兩個(gè)方程才能求出唯一

解，如果有三個(gè)未知數(shù)，一般需要三個(gè)方程才能求出唯一解。

列方程解應(yīng)用題的一般步驟是：

①審清題意，弄清楚題目意思以及數(shù)量之間的關(guān)系；

②合理設(shè)未知數(shù)x,y,設(shè)未知數(shù)的方法有兩種：?jiǎn)柺裁丛O(shè)什么（直接設(shè)未知數(shù)），間接設(shè)未知數(shù)；

③依題意確定等量關(guān)系，根據(jù)等量關(guān)系列出方程；

④解方程；

⑤將結(jié)果代入原題檢驗(yàn)。

概括成五個(gè)字就是：“審、設(shè)、列、解、驗(yàn)

列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是找到正確的等量關(guān)系。尋找等量關(guān)系的常用方法是：根據(jù)題中“不變量''找等量關(guān)

系。

典型例題1

李大媽今年從村里承包了35公頃土地，今年春季改種西蘭花和紅范菜兩種大棚蔬菜，用去了65000元，其中

種西蘭花每公頃用去了1800元，獲純利2500元；種紅范菜每公頃用去了1900元，獲純利2400元，問李大媽一

共獲純利多少元？

分析解題的關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程組，再求解。

本題一共獲得的純利潤(rùn)指西蘭花和紅范菜的利潤(rùn)和。

解設(shè)李大媽種了x公頃的西蘭花，y公頃的紅范菜，根據(jù)題意得

工+y=35,

1800z+1900y=65000,

（x=15,

解得

（y=20o

共獲純利潤(rùn)：2500xl5+2400x20=85500（元）

答：李大媽一共獲純利85500元。

思維訓(xùn)練1

1.快捷酒店的客房有單人間和兩人間兩種，單人間每人每天85元，兩人間每人每天65元，一個(gè)55人的旅游

團(tuán)到了該酒店住宿，租了若干間客房，且每間客房恰好住滿，一天共花去3915元，兩種客房各租了多少間？

2.張師傅進(jìn)了250張紙皮做盒子，每張紙皮做10個(gè)盒身或做30個(gè)盒底，一個(gè)盒身與兩個(gè)盒底配成一個(gè)完整的

盒子，問用多少?gòu)埣埰ぶ瞥珊猩?，多少?gòu)埣埰ぶ瞥珊械?，可以正好制成一批完整的盒?

典型例題2

光耀水果公司收購(gòu)到橘子240噸，準(zhǔn)備加工成橘子罐頭，該公司的加工能力是：每天精加工8噸或者粗加工1

8噸，現(xiàn)計(jì)劃用20天完成加工任務(wù)，該公司應(yīng)安排幾天粗加工，幾天精加工，才能按期完成任務(wù)?如果每噸橘子粗

加工后的利潤(rùn)為500元，精加工后為800元，那么該公司出售這些加工后的橘子共可獲利多少元？

解設(shè)該公司應(yīng)安排x天粗加工，y天精加工。根據(jù)題意，得

(-x+y=20,

(18x+8y=240,

(x=8,

解得

(y=12o

獲得利潤(rùn)：18x500x8+12x800x8=148800(元)。

答：該公司應(yīng)安排8天粗加工，12天精加工，可獲利148800元。

思維訓(xùn)練2

1.在一次足球選拔賽中，有11支球隊(duì)參加選拔，每一隊(duì)都要與另外的球隊(duì)比賽一次，記分規(guī)則為勝一場(chǎng)記3

分，平一場(chǎng)記1分，負(fù)一場(chǎng)記0分。比賽結(jié)束時(shí)，某球隊(duì)所勝場(chǎng)數(shù)是所負(fù)場(chǎng)數(shù)的2倍，共得20分，問這支球隊(duì)

勝、負(fù)各幾場(chǎng)？

2.A、B兩地相距160千米，一輛汽車和一輛卡車同時(shí)由A、B兩地相向而行，1小時(shí)20分相遇。相遇后，卡

車?yán)^續(xù)前進(jìn)，汽車在相遇處停留1小時(shí)后調(diào)轉(zhuǎn)車頭原速返回。在汽車出發(fā)后半小時(shí)后追上了卡車。這時(shí)，汽車、

卡車各自行駛了多少千米？

典型例題3

一中學(xué)有一棟4層的教學(xué)大樓，進(jìn)出這棟大樓共有4道門，其中兩道正門大小相同，兩道側(cè)門大小相同，安

全檢查中，對(duì)4道門進(jìn)行了測(cè)試：當(dāng)同時(shí)開啟一道正門和兩道側(cè)門時(shí)，3分鐘可以通過660名學(xué)生，當(dāng)同時(shí)開啟一

道正門和一道側(cè)門時(shí)，5分鐘可以通過800名學(xué)生。平均每分鐘一道正門和一道側(cè)門各可以通過多少名學(xué)生？

解設(shè)平均每分鐘一道正門可以通過x名學(xué)生，一道側(cè)門可以通過y名學(xué)生，

根據(jù)題意，得3(x+2y)=660,

5(x+y)=800,

x=100,

答：平均每分鐘一道正門可以通過100名學(xué)生，一道側(cè)門可以通過60名學(xué)生。

思維訓(xùn)練3

1.一條長(zhǎng)裙和一條短裙的成本共500元，商店老板為獲取利潤(rùn)，決定將長(zhǎng)裙按50%的利潤(rùn)定價(jià)，短裙裝按4

0%的利潤(rùn)定價(jià)。在實(shí)際出售時(shí)，應(yīng)顧客要求，兩件服裝均按9折出售，這樣商店共獲利157元，長(zhǎng)裙和短裙的成

本各是多少元？

2.小明玩套圈游戲，套中小雞一次得9分，套中小猴一次得5分，套中小狗一次得2分。小明共套了10次,

每次都套中了，每個(gè)小玩具都至少被套中一次，小明套10次共得61分。問：小明至多套中小雞幾次？

典型例題4

林芳同學(xué)在A、B兩家超市發(fā)現(xiàn)他看中的學(xué)習(xí)機(jī)的單價(jià)相同，書包單價(jià)也相同，學(xué)習(xí)機(jī)和書包的單價(jià)之和是4

52元，且學(xué)習(xí)機(jī)的單價(jià)比書包單價(jià)的4倍少8元。

(1)該同學(xué)看中的學(xué)習(xí)機(jī)和書包單價(jià)各是多少元？

(2)一天林芳上街，恰好趕上商家促銷，超市A所有商品打八折銷售，超市B全場(chǎng)購(gòu)物滿100元返購(gòu)物券30

元銷售(不足100元不返券，購(gòu)物券全場(chǎng)通用)，但他只帶了400元錢，如果他只在一家超市購(gòu)買看中的這兩樣物

品，你能說明他可以選擇哪一家購(gòu)買嗎?若兩家都可以選擇，在哪一家購(gòu)買更省錢？

解⑴設(shè)書包的單價(jià)為X元，學(xué)習(xí)機(jī)的單價(jià)為y元。

根據(jù)題意，得儼+匕=坪，

(y=4%—8,

(x=92,

解得

(y=360o

所以書包的單價(jià)為92元，學(xué)習(xí)機(jī)的單價(jià)為360元。

(2)在超市A購(gòu)買學(xué)習(xí)機(jī)與書包各一件需花費(fèi)現(xiàn)金：

452x8O%=361.6(元)。

因?yàn)?61.6<400,所以可以選擇超市A購(gòu)買。

在超市B可先花費(fèi)現(xiàn)金360元購(gòu)買學(xué)習(xí)機(jī)，再利用得到的90元返券，加上2元現(xiàn)金購(gòu)買書包，總計(jì)共花費(fèi)現(xiàn)

金：360+2=362(元)。

因?yàn)?62<400,所以也可以選擇在超市B購(gòu)買。

因?yàn)?62>361.6,所以在超市A購(gòu)買更省錢。

思維訓(xùn)練4

1.某玩具工廠廣告稱：“本廠工人工作時(shí)間：每天工作8小時(shí)，每月工作25天；待遇：熟練工人按計(jì)件付工

資，多勞多得，計(jì)件工資不少于800元，每月另加福利工資100元，按月結(jié)算……”該廠只生產(chǎn)兩種玩具：小狗和

小汽車。熟練工人嘵云一月份領(lǐng)工資900多元，她記錄了如下表所示的一些數(shù)據(jù)。

小狗玩具個(gè)數(shù)/個(gè)小汽車玩具個(gè)數(shù)/個(gè)總時(shí)間/分總工資/元

11352.15

22704.30

32855.05

一月份做小狗和小汽車的數(shù)目沒有限制，從二月份開始，廠方從銷售方面考慮逐月調(diào)整為：k月份每個(gè)工人每

月生產(chǎn)的小狗的個(gè)數(shù)不少于生產(chǎn)的小汽車的個(gè)數(shù)的k倍(k=2,3,4,12),假設(shè)曉云的工作效率不變，且服從

工廠的安排，請(qǐng)運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)說明廠家廣告是否有欺詐行為？

2.幼兒園有三個(gè)班，甲班比乙班多4人，乙班比丙班多4人。老師給小孩分枇杷，甲班每個(gè)小孩比乙班每個(gè)小

孩少分了3個(gè)枇杷，乙班每個(gè)小孩比丙班每個(gè)小孩少分了5個(gè)枇杷，結(jié)果甲班比乙班總共多分了3個(gè)枇杷，乙班

比丙班總共多分了5個(gè)枇杷，三個(gè)班總共分了多少個(gè)枇杷？

競(jìng)賽強(qiáng)化

1.一個(gè)分?jǐn)?shù)約分后是當(dāng)如果將這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子減少124,分母減少11,所得的新分?jǐn)?shù)約分后是士。那么原分?jǐn)?shù)

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是。

2.八個(gè)自然數(shù)排成一行，從第三個(gè)數(shù)開始，每個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和。已知第一

個(gè)數(shù)是3,第八個(gè)數(shù)是180,那么第二個(gè)數(shù)是。

3,180

3.一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬之比是14：5,如果長(zhǎng)減少13厘米，寬增加13厘米，則面積增加182平方厘米。原長(zhǎng)

方形的面積是平方厘米。

4.光明廠家的縫紉師做成一件襯衣、一條褲子、一件上衣所用的時(shí)間之比為2：3：4o他用19個(gè)工時(shí)能做成1

件襯衣、2條褲子和3件上衣。那么他要做成15件襯衣、12條褲子和3件上衣，共需要_工時(shí)。

5.小華和小強(qiáng)各用6角4分買了若干支鉛筆，他們買來的鉛筆中都是5分一支和7分一支的兩種，而且小華買

來的鉛筆比小強(qiáng)多。小華比小強(qiáng)多買來鉛筆_支。

6.有兩種不同規(guī)格的油桶若干個(gè)，大的能裝8千克油，小的能裝5千克油，44千克油恰好裝滿這些油桶。

問：大、小油桶各幾個(gè)？

7.從甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，沒有平路。一輛汽車上坡時(shí)每小時(shí)行駛20千米，下坡時(shí)每小

時(shí)行駛35千米。車從甲地開往乙地需9小時(shí)，從乙地開往甲地需7.5小時(shí)，問：甲、乙兩地公路有多少千米?從甲

地到乙地需行駛多少千米的上坡路？

8.某人在公路上行走，往返公共汽車每隔4分鐘就有一輛與此人迎面相遇，每隔6分鐘就有一輛從背后超過此

人。如果人與公共汽車均為勻速運(yùn)動(dòng)，那么公共汽車站每隔幾分鐘發(fā)一班車？

9.有兩個(gè)班的小學(xué)生要到少年宮參加活動(dòng)，但只有一輛車接送，甲班的學(xué)生坐車從學(xué)校出發(fā)的同時(shí)，乙班

的學(xué)生開始步行，車到中途某處，讓甲班的學(xué)生下車步行，車立刻返回接乙班的學(xué)生上車并直接開往少年宮，兩

班學(xué)生正好同時(shí)到達(dá)。已知學(xué)生步行速度為每小時(shí)4千米，載學(xué)生時(shí)車速為每小時(shí)40千米，空車時(shí)車速為每小時(shí)

50千米。甲班學(xué)生應(yīng)步行全程的幾分之幾?（學(xué)生上、下車時(shí)間不計(jì)）

第16講二元一次方程（組）的應(yīng)用

思維訓(xùn)練1

1.設(shè)租住單人間x間，租住兩人間y間。根據(jù)題意，有

(-x+2y=55,

(85%+2x65y=3915,

%=17,

解得

y=I9o

答：?jiǎn)稳碎g租了17間，兩人間租了19間。

2.設(shè)x張紙皮做盒身，y張紙皮做盒底。根據(jù)題意，得

cx+y=250,

(2x10x=3Oy,

解得］x=150,

y=100o

答：150張紙皮制成盒身，100張紙皮制成盒底，可以正好制成一批完整的盒子。

思維訓(xùn)練2

1.設(shè)負(fù)了x場(chǎng)，平了y場(chǎng)，勝了2x場(chǎng)。

(6x+y=20,

(3x+y=11,

(x=3,

解得c

(y=2。

則2x=6o

答：這支球隊(duì)勝了6場(chǎng)，負(fù)了3場(chǎng)。

2.設(shè)汽車的速度是x千米每小時(shí)，卡車的速度是y千米每小時(shí)，根據(jù)題意，得

士(%+y)=160,

\3

22

(x—90,

解得ty=30o

汽車行駛的路程：(2+工)X90=165(千米)，

32

卡車行駛的路程：(±+3)X30=85(千米)。

32

答：汽車行駛了165千米，卡車行駛了85千米。

思維訓(xùn)練3

1.設(shè)長(zhǎng)裙的成本是x元，短裙的成本是y元。

x+y=500,

0.9(1+50%)%+0.9(1+40%)y-500157,

解得］x=300,

y=200o

答：長(zhǎng)裙的成本是300元，短裙的成本是200元。

2.設(shè)套中小雞x次，套中小猴y次，則套中小狗(10—x—y)次。

根據(jù)得61分可列方程:9x+5y+2(10—x--y)=61,化簡(jiǎn)后得7x=41-3y。顯然y越小,x越大。將y=l代入得7x=38,

無整數(shù);若y=2,7x=35,得x=5,所以小明至多套中小雞5次。

思維訓(xùn)練4

1.設(shè)制作一個(gè)小狗玩具用了ti分鐘，可得工資X元，制作一個(gè)小汽車玩具用了12分鐘，可得工資y元。依題

意，得

t+t=35,

3、+2t2=85,解得匕=15/=20,x=0.75,y=1.4。就二月份來講，設(shè)二月份生產(chǎn)小汽車玩具a件，則生產(chǎn)小狗

,3x+2y=5.05,

玩具2a件，此時(shí)可得工資M=1.4a+0.75x2a+100=100+2.9a。又因?yàn)楣と嗣吭鹿ぷ?x25x60=12000(分)，由20a+15x2a

=12000,得a=240。故二月份可領(lǐng)工資796元，小于計(jì)件工資的最低額，所以廠家的廣告有欺詐行為。

2.設(shè)甲班有x人，則乙班有(xT)人，丙班有(x—8)人；甲班每人分得y個(gè)枇杷，則乙班每人分得(y+3)個(gè)，丙

班每人分得(y+8)個(gè)。那么甲班共分得xy個(gè)枇杷，乙班共分得(x—)(y+3)個(gè)枇杷，丙班共分得(x-8)(y+8)個(gè)枇杷。

xy=(x-4)(y+3)+3,

xy=(x-8)(y+8)+8;

整理得\3x—4y解得x=19,

y=i2o

因此，甲班有19人，每人分得枇杷12個(gè)；乙班有15人，每人分得枇杷15個(gè)；丙班有11人,每人分得枇杷2

0個(gè)。19x12+15x15+11x20=673(個(gè))，所以，三個(gè)班總共分了