第一章 勾股定理 單元測(cè)試2024-2025學(xué)年北師大版數(shù)學(xué) 八年級(jí)上冊(cè)

第1頁(yè)（共1頁(yè)）第一章《勾股定理》一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）下列各組線段中，不能構(gòu)成直角三角形的一組是（）A．3，4，5 B．1，，2 C．6，8，10 D．4，5，62．（3分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，若CD＝4，則點(diǎn)D到AB邊的距離為（）A．1 B．2 C．3 D．43．（3分）如圖，學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形花圃，有少數(shù)人為了走“捷徑”，在花圃內(nèi)走出一條不文明的“路”，其實(shí)他們僅僅少走了（）米，卻踩傷了花草．A．1 B．2 C．1.5 D．0.54．（3分）如圖，一架云梯長(zhǎng)25米，斜靠在一面墻上，梯子靠墻的一端距地面24米，如果梯子的頂端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向滑動(dòng)了多少米？（）A．8米 B．6米 C．10米 D．4米5．（3分）如圖，△ABC在每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都為1的網(wǎng)格圖中，頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，下列結(jié)論不正確的是（）A．BC＝5 B．△ABC的面積為5 C．∠A＝90° D．點(diǎn)A到BC的距離為6．（3分）《九章算術(shù)》是古代東方數(shù)學(xué)代表作，書中記載：今有開門去閫（讀kǔn，門檻的意思）一尺，不合二寸，問門廣幾何？其大意：如圖，推開雙門（大小相同），雙門間隙CD＝2寸，點(diǎn)C、點(diǎn)D與門檻AB的距離CE＝DF＝1尺（1尺＝10寸），則AB的長(zhǎng)是（）A．26寸 B．50.5寸 C．52寸 D．101寸7．（3分）已知一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為6和8，則第三邊的長(zhǎng)是（）A．10 B．10或 C． D．或8．（3分）如圖是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，此圖是由四個(gè)全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，AB＝13，則EF的值是（）A．7 B．2 C． D．79．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三邊為邊向外作三個(gè)正方形，其面積分別用S1，S2，S3表示．若S1＝10，S3＝3，則S2的值是（）A．3 B．5 C．7 D．910．（3分）如圖1，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，以這個(gè)直角三角形兩直角邊為邊作正方形．圖2由圖1的兩個(gè)小正方形向外分別作直角邊之比為4：3的直角三角形，再分別以所得到的直角三角形的直角邊為邊長(zhǎng)作正方形，…，按此規(guī)律，則圖7中所有正方形的面積和為（）A．200 B．175 C．150 D．125二．填空題（共5小題，滿分20分，每小題4分）11．（4分）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，則AB＝．12．（4分）如圖，有一個(gè)棱長(zhǎng)為4cm的正方體盒子，螞蟻在正方體下方一邊AB的中點(diǎn)P處，發(fā)現(xiàn)上方頂點(diǎn)C′處有一滴蜂蜜，螞蟻需要沿著正方體盒子的表面從點(diǎn)P爬行到頂點(diǎn)C′處吃到蜂蜜，它需要爬行的最短距離為．13．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，E是邊AB上一點(diǎn)，連接CE，在BC右側(cè)作BF∥AC，且BF＝AE，連接CF．若AC＝17，BC＝16，則四邊形EBFC的面積為．14．（4分）張老師和“數(shù)學(xué)小分隊(duì)”的隊(duì)員們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)著名的“希波克拉蒂月牙問題（Hippocrate'sTheorem）”：如圖在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，a＝5，b＝12，分別以Rt△ABC的各邊為直徑作半圓，則圖中兩個(gè)“月牙”即陰影部分面積為．15．（4分）已知AB的長(zhǎng)為10，平面內(nèi)存在兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，Q，使得PA2+PB2＝82，BQ＝3，以下結(jié)論正確的是．①AQ的最小值是7，最大值是13；②PB的最大值是9；③PA的最小值是1；④PQ的最大值是10．三．解答題（共5小題，滿分50分）16．（8分）漢江是長(zhǎng)江最大的一條支流，源頭在秦嶺南麓，從西向東流經(jīng)多個(gè)縣域后出陜西進(jìn)入湖北十堰，如圖，在漢江筆直的河流一側(cè)有一旅游地A，江邊有兩個(gè)景點(diǎn)B，C．其中BA＝BC，由于某種原因，從A到B的路現(xiàn)在不通，為讓游客有更好的體驗(yàn)，現(xiàn)決定在江邊新建一個(gè)景點(diǎn)D（B，C，D三點(diǎn)在同一直線上），并修建一條公路AD，測(cè)得AC＝6.5千米，DC＝2.5千米，AD＝6千米．（1）判斷△ACD的形狀，并說明理由；（2）求原路線AB的長(zhǎng)．17．（10分）設(shè)計(jì)生日蛋糕包裝盒素材1某興趣小組在數(shù)學(xué)社團(tuán)活動(dòng)中進(jìn)行了項(xiàng)目化學(xué)習(xí)研究“如何設(shè)計(jì)生日蛋糕包裝盒？”為便于研究，他們提出合理假設(shè)：為圓形生日蛋糕設(shè)計(jì)包裝盒，包裝盒由一個(gè)頂部為正方形的無底長(zhǎng)方體盒子和一個(gè)正方形的底部托盤組成，其中頂部正方形和底部托盤邊長(zhǎng)相同．蛋糕裝好后，用一根彩帶從盒子上方纏繞一周，在底部打一個(gè)十字，再將彩帶兩端拉上來在盒子頂部打一個(gè)蝴蝶結(jié)，打包后的蛋糕如圖1所示．素材2已知6寸，8寸，10寸，12寸蛋圓形糕的直徑分別為15cm，20cm，25cm，30cm．若要制作一個(gè)可以裝上述4種尺寸且厚度均為10cm的圓形蛋糕的包裝盒．圖2是該興趣小組設(shè)計(jì)的正方形托盤的平面示意圖，虛線圓圈是放置蛋糕的區(qū)域，正方形托盤的邊沿到這個(gè)圓形區(qū)域的最短距離為1cm，托盤高為1cm．素材3該興趣小組利用邊長(zhǎng)為72cm的正方形透明塑料板制作頂部為正方形的無底長(zhǎng)方體盒子．在正方形透明塑料板的四角各剪掉一個(gè)同樣大小的小正方形，如圖3所示．將剩余部分折成一個(gè)無底長(zhǎng)方體盒子．蛋糕頂部與盒子頂部的距離至少為8cm．設(shè)頂部正方形邊長(zhǎng)為acm，剪掉的小正方形邊長(zhǎng)為hcm．任務(wù)1（1）寫出a，h之間的關(guān)系式；任務(wù)2（2）求a的取值范圍；任務(wù)3（3）若用一根長(zhǎng)為240cm的彩帶打包，要求預(yù)留40cm的彩帶打蝴蝶結(jié)，則彩帶是否夠用？18．（10分）圖1是某品牌嬰兒車，圖2為其簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)示意圖，現(xiàn)測(cè)得AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB與BD之間由一個(gè)固定為90°的零件連接（即∠ABD＝90°），根據(jù)安全標(biāo)準(zhǔn)需滿足BC⊥CD，通過計(jì)算說明該車是否符合安全標(biāo)準(zhǔn)．19．（10分）【綜合實(shí)踐】【問題情境】消防云梯的作用是用于高層建筑火災(zāi)等救援任務(wù)，它能讓消防員快速到達(dá)高層救援現(xiàn)場(chǎng)，如圖，已知一架云梯AB長(zhǎng)25m斜靠在一面墻上，這時(shí)云梯底端距墻角的距離OB＝20m，∠AOB＝90°．【獨(dú)立思考】（1）求這架云梯頂部距離地面OA的長(zhǎng)度．【深入探究】（2）消防員接到命令，按要求將云梯從頂部A下滑到A′位置上（云梯長(zhǎng)度不改變），則底部B沿水平方向向前滑動(dòng)到B′位置上，若AA′＝8m，求BB′的長(zhǎng)度．【問題解決】（3）在演練中，墻邊距地面24m的窗口有求數(shù)聲，消防員需調(diào)整云梯去救援被困人員．經(jīng)驗(yàn)表明，云梯靠墻擺放時(shí)，如果云梯底端離墻的距離不小于云梯長(zhǎng)度的，則云梯和消防員相對(duì)安全，在相對(duì)安全的前提下，云梯的頂端能否到達(dá)24m高的窗口去救援被因人員？20．（12分）閱讀：如圖1，在△ABC中，3∠A+∠B＝180°，BC＝8，AC＝10，求AB的長(zhǎng)．小明的思路：如圖2，作BE⊥AC于點(diǎn)E，在AC的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)D，使得DE＝AE，連接BD，易得∠A＝∠D，△ABD為等腰三角形，由3∠A+∠B＝180°和∠A+∠ABC+∠BCA＝180°，易得∠BCA＝2∠A，△BCD為等腰三角形，依據(jù)已知條件可得AE和AB的長(zhǎng)．解決下列問題：（1）圖2中，AE＝，AB＝；（2）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a、b、c．如圖3，當(dāng)3∠A+2∠B＝180°時(shí)，用含a，c式子表示b．

第一章《勾股定理》參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）下列各組線段中，不能構(gòu)成直角三角形的一組是（）A．3，4，5 B．1，，2 C．6，8，10 D．4，5，6【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理．【分析】只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方即可判斷是直角三角形．【解答】解：A、32+42＝52，此三角形是直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；B、12+22＝（）2，此三角形是直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；C、62+82＝102，此三角形是直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；D、42+52≠62，此三角形不是直角三角形，故此選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形．必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．2．（3分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，若CD＝4，則點(diǎn)D到AB邊的距離為（）A．1 B．2 C．3 D．4【考點(diǎn)】勾股定理；角平分線的性質(zhì)．【分析】＝根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等，得DH＝CD＝4作答即可【解答】解：如圖所示：過點(diǎn)D作DH⊥AB∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，且DH⊥AB，∴DH＝CD＝4，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，利用角平分線的性質(zhì)定理解決問題．3．（3分）如圖，學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形花圃，有少數(shù)人為了走“捷徑”，在花圃內(nèi)走出一條不文明的“路”，其實(shí)他們僅僅少走了（）米，卻踩傷了花草．A．1 B．2 C．1.5 D．0.5【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用．【分析】根據(jù)勾股定理求出斜邊的長(zhǎng)，然后求出兩直角邊和與斜邊的差即可．【解答】解：在Rt△ABC中，已知AB＝3m，AC＝4m，∴，所以他們僅僅少走了3+4﹣5＝2（m）．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查勾股定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是理解題意，利用勾股定理求出斜邊后還需要繼續(xù)求出多走的部分．4．（3分）如圖，一架云梯長(zhǎng)25米，斜靠在一面墻上，梯子靠墻的一端距地面24米，如果梯子的頂端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向滑動(dòng)了多少米？（）A．8米 B．6米 C．10米 D．4米【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用．【分析】先求出滑動(dòng)前，梯子的底端到墻的距離，再設(shè)滑動(dòng)后梯子的底端到墻的距離為b米，列式計(jì)算b＝15，即可作答．【解答】解：滑動(dòng)前，梯子的底端到墻的距離為（米），設(shè)滑動(dòng)后梯子的底端到墻的距離為b米，得方程，b2+（24﹣4）2＝252，解得：b＝15，則15﹣7＝8（米），所以梯子向后滑動(dòng)了8米．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求梯子滑落高度（勾股定理的應(yīng)用），解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí)的靈活運(yùn)用．5．（3分）如圖，△ABC在每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都為1的網(wǎng)格圖中，頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，下列結(jié)論不正確的是（）A．BC＝5 B．△ABC的面積為5 C．∠A＝90° D．點(diǎn)A到BC的距離為【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理；勾股定理．【分析】利用勾股定理求出BC長(zhǎng)可判定A，利用網(wǎng)格圖計(jì)算三角形的面積可判定B，利用勾股定理及其逆定理判定C；利用面積公式求出△ABC邊BC的高，即可利用點(diǎn)到直線的距離判定D．【解答】解：A．∵BC2＝32+42＝25，∴BC＝5，正確，不符合題意；B．，正確，不符合題意；C．∵AC2＝12+22＝5，AB2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25，∴AC2+AB2＝BC2，∴∠BAC＝90°，正確，不符合題意；D．點(diǎn)A到BC的距離＝2S△ABC÷BC＝2×5÷5＝2，原結(jié)論錯(cuò)誤，符合題意，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理及其逆定理，利用網(wǎng)格圖計(jì)算三角形的面積，點(diǎn)到直線的距離．熟練掌握勾股定理及其逆定理是解題的關(guān)鍵．6．（3分）《九章算術(shù)》是古代東方數(shù)學(xué)代表作，書中記載：今有開門去閫（讀kǔn，門檻的意思）一尺，不合二寸，問門廣幾何？其大意：如圖，推開雙門（大小相同），雙門間隙CD＝2寸，點(diǎn)C、點(diǎn)D與門檻AB的距離CE＝DF＝1尺（1尺＝10寸），則AB的長(zhǎng)是（）A．26寸 B．50.5寸 C．52寸 D．101寸【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用．【分析】取AB的中點(diǎn)為點(diǎn)O，由題意可得AC＝AO，設(shè)AE＝x寸，則AC＝AO＝（x+1）寸，利用勾股定理即可求解．【解答】解：如圖，取AB的中點(diǎn)為O，則EF的中點(diǎn)也為O，根據(jù)題意可知：CD＝EF＝2寸，∴寸，設(shè)AE＝x寸，則AC＝AO＝（x+1）寸，∵AE2+CE2＝AC2，CE＝DF＝1尺＝10寸，∴x2+102＝（x+1）2，解得：x＝49.5，∴AB＝49.5+49.5+2＝101（寸）．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，弄清題意，構(gòu)建直角三角形是解題關(guān)鍵．7．（3分）已知一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為6和8，則第三邊的長(zhǎng)是（）A．10 B．10或 C． D．或【考點(diǎn)】勾股定理．【分析】題目中沒有說明兩條邊是否包含斜邊，因此需分邊長(zhǎng)為8的邊是直角和斜邊兩種情況，利用勾股定理分別求解．【解答】解：當(dāng)邊長(zhǎng)為8的邊是直角邊時(shí)，第三邊為斜邊，邊長(zhǎng)為：；當(dāng)邊長(zhǎng)為8的邊是斜邊時(shí)，第三邊為直角邊，邊長(zhǎng)為：；因此第三邊的長(zhǎng)是10或，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查勾股定理，正確分情況討論是解題關(guān)鍵．8．（3分）如圖是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，此圖是由四個(gè)全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，AB＝13，則EF的值是（）A．7 B．2 C． D．7【考點(diǎn)】勾股定理的證明．【分析】根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算大正方形的邊長(zhǎng)，然后即可計(jì)算出小正方形的面積，再根據(jù)圖形可知EF2的值等于小正方形的面積的2倍，本題得以解決．【解答】解：∵AE＝5，AB＝13，∴BE＝＝12，∴小正方形的面積為：132﹣4××5×12＝49，由圖可得，EF2的值等于小正方形的面積的2倍，∴EF2的值是49×2＝98，∴EF的值是7，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的證明，解答本題的關(guān)鍵是明確EF2的值等于小正方形的面積的2倍．9．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三邊為邊向外作三個(gè)正方形，其面積分別用S1，S2，S3表示．若S1＝10，S3＝3，則S2的值是（）A．3 B．5 C．7 D．9【考點(diǎn)】勾股定理．【分析】根據(jù)勾股定理，結(jié)合正方形的面積公式即可求解．【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC2＝AB2﹣AC2，∵分別以Rt△ABC的三邊為邊向外作三個(gè)正方形，其面積分別用S1，S2，S3，∴AB2＝10，AC2＝3，∴BC2＝10﹣3＝7，即S2的值是7，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，正方形的面積公式，正確識(shí)圖，得出S2＝S1﹣S3是解題的關(guān)鍵．10．（3分）如圖1，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，以這個(gè)直角三角形兩直角邊為邊作正方形．圖2由圖1的兩個(gè)小正方形向外分別作直角邊之比為4：3的直角三角形，再分別以所得到的直角三角形的直角邊為邊長(zhǎng)作正方形，…，按此規(guī)律，則圖7中所有正方形的面積和為（）A．200 B．175 C．150 D．125【考點(diǎn)】勾股定理；規(guī)律型：圖形的變化類．【分析】根據(jù)勾股定理求出AB＝5，再根據(jù)勾股定理和正方形面積公式得出規(guī)律，即可解決問題．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝＝5，∴圖1中正方形的面積和為：32+42+52＝25+25＝2×25＝50，圖2中所有正方形的面積和為：32+42+32+42+52＝25+25+25＝25+50，圖3中所有正方形面積和為：32+42+32+42+32+42+52＝25+25+25+25＝2×25+50，，∴圖7中所有正方形的面積為6×25+50＝200，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理、圖形的變化規(guī)律，根據(jù)勾股定理、正方形的面積公式得出所有正方形的面積和的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共5小題，滿分20分，每小題4分）11．（4分）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，則AB＝．【考點(diǎn)】勾股定理．【分析】勾股定理：在直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和等于斜邊長(zhǎng)的平方．據(jù)此求解即可．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，∴．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理的知識(shí)，理解并掌握勾股定理是解題關(guān)鍵．12．（4分）如圖，有一個(gè)棱長(zhǎng)為4cm的正方體盒子，螞蟻在正方體下方一邊AB的中點(diǎn)P處，發(fā)現(xiàn)上方頂點(diǎn)C′處有一滴蜂蜜，螞蟻需要沿著正方體盒子的表面從點(diǎn)P爬行到頂點(diǎn)C′處吃到蜂蜜，它需要爬行的最短距離為2．【考點(diǎn)】平面展開﹣?zhàn)疃搪窂絾栴}．【分析】將正方體側(cè)面展開，連接PC'，在Rt△PCC'中，由勾股定理求出PC'的長(zhǎng)即可．【解答】解：如圖，側(cè)面展開圖如圖所示，連接PC'，∵正方體的棱長(zhǎng)為4cm，∴CP＝PB+BC＝2+4＝6（cm），在Rt△PCC'中，由勾股定理得，PC'＝＝2（cm），即它需要爬行的最短距離為2cm，故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面展開﹣?zhàn)疃搪窂絾栴}，將立體圖形展開在平面圖形中求解是解題的關(guān)鍵．13．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，E是邊AB上一點(diǎn)，連接CE，在BC右側(cè)作BF∥AC，且BF＝AE，連接CF．若AC＝17，BC＝16，則四邊形EBFC的面積為120．【考點(diǎn)】勾股定理．【分析】將四邊形EBFC的面積轉(zhuǎn)化為S△CBF+S△CBE，然后進(jìn)行求解．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BF∥AC，∴∠ACB＝∠CBF，∴∠ABC＝∠CBF，∴BC平分∠ABF，過點(diǎn)C作CM⊥AB，CN⊥BF，∴CM＝CN，∵S△ACE＝AE?CM，S△CBF＝BF?CN，且BF＝AE，∴S△CBF＝S△ACE，∴四邊形EBFC的面積＝S△CBF+S△CBE＝S△ACE+S△CBE＝S△CBA，∵AC＝17，∴AB＝17，設(shè)AM＝x，則BM＝17﹣x，由勾股定理得：CM2＝AC2﹣AM2＝BC2﹣BM2，∴172﹣x2＝162﹣（17﹣x）2，解得：x＝，∴CM＝＝，∴S△CBA＝AB?CM＝×17×＝120，∴四邊形EBFC的面積為120，故答案為：120．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．14．（4分）張老師和“數(shù)學(xué)小分隊(duì)”的隊(duì)員們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)著名的“希波克拉蒂月牙問題（Hippocrate'sTheorem）”：如圖在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，a＝5，b＝12，分別以Rt△ABC的各邊為直徑作半圓，則圖中兩個(gè)“月牙”即陰影部分面積為30．【考點(diǎn)】勾股定理．【分析】根據(jù)圓的面積公式和直角三角形的面積公式求解即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，a＝5，b＝12，AB＝c∴c2＝a2+b2，∴圖中兩個(gè)“月牙”即陰影部分面積為＝＝＝＝30，故答案為：30．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理，熟練掌握勾股定理，找準(zhǔn)求陰影面積的關(guān)系式是解答的關(guān)鍵．15．（4分）已知AB的長(zhǎng)為10，平面內(nèi)存在兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，Q，使得PA2+PB2＝82，BQ＝3，以下結(jié)論正確的是①②③．①AQ的最小值是7，最大值是13；②PB的最大值是9；③PA的最小值是1；④PQ的最大值是10．【考點(diǎn)】勾股定理．【分析】先證明PA2+PB2＝2PD2+2AD2，這是解答第一步．①利用圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)求最值即可．②③④均利用三角形三邊關(guān)系判斷即可．【解答】解：取AB中點(diǎn)D，連PD．過P作PM⊥AB，以B為圓心，以BQ為半徑作⊙B，QQ'為⊙B直徑．∴設(shè)AD＝DB＝a，設(shè)DM＝b，則MB＝a﹣b．∵PA2+PB2＝PM2+AM2+PM2+MB2＝2PM2+（a+b）2+（a﹣b）2＝2PM2+2a2+2b2，又PD2+AD2＝PM2+b2+a2，∴PA2+PB2＝2PD2+2AD2，∴82＝2PD2+2×（×10）2，∴PD＝4．①如圖，AQ最?。紸B﹣BQ＝10﹣3＝7，AQ'最大＝AB+BQ'＝10+3＝13，故①正確．②如圖，PB≤PD+DB，∴PB最大＝PD+DB＝4+5＝9，故②正確．③如圖，PA≥AD﹣PD，∴PA最?。紸D﹣PD＝5﹣4＝1，故③正確．④如圖，PQ'≤PD+DB+BQ'，∴PQ'最大＝PD+DB+BQ'＝4+5+3＝11，故④錯(cuò)誤．故答案為：①②③．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，作垂線構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．三．解答題（共5小題，滿分50分）16．（8分）漢江是長(zhǎng)江最大的一條支流，源頭在秦嶺南麓，從西向東流經(jīng)多個(gè)縣域后出陜西進(jìn)入湖北十堰，如圖，在漢江筆直的河流一側(cè)有一旅游地A，江邊有兩個(gè)景點(diǎn)B，C．其中BA＝BC，由于某種原因，從A到B的路現(xiàn)在不通，為讓游客有更好的體驗(yàn)，現(xiàn)決定在江邊新建一個(gè)景點(diǎn)D（B，C，D三點(diǎn)在同一直線上），并修建一條公路AD，測(cè)得AC＝6.5千米，DC＝2.5千米，AD＝6千米．（1）判斷△ACD的形狀，并說明理由；（2）求原路線AB的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理；勾股定理．【分析】（1）利用勾股定理即可判斷；（2）設(shè)BD＝x千米，則BA＝BC＝（x+2.5）千米，利用勾股定理即可求解．【解答】解：（1）△ACD是直角三角形，理由如下：∵AC＝6.5千米，DC＝2.5千米，AD＝6千米，∴AD2+DC2＝62+2.52＝42.25，AC2＝6.52＝42.25，∴AD2+DC2＝AC2，∴△ACD是直角三角形；（2）由（1）可知AD⊥BC，設(shè)BD＝x千米，則BA＝BC＝（x+2.5）千米，在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，∴62+x2＝（x+2.5）2，解得x＝5.95千米，∴AB＝8.45千米．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查勾股定理及其逆定理，如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．17．（10分）設(shè)計(jì)生日蛋糕包裝盒素材1某興趣小組在數(shù)學(xué)社團(tuán)活動(dòng)中進(jìn)行了項(xiàng)目化學(xué)習(xí)研究“如何設(shè)計(jì)生日蛋糕包裝盒？”為便于研究，他們提出合理假設(shè)：為圓形生日蛋糕設(shè)計(jì)包裝盒，包裝盒由一個(gè)頂部為正方形的無底長(zhǎng)方體盒子和一個(gè)正方形的底部托盤組成，其中頂部正方形和底部托盤邊長(zhǎng)相同．蛋糕裝好后，用一根彩帶從盒子上方纏繞一周，在底部打一個(gè)十字，再將彩帶兩端拉上來在盒子頂部打一個(gè)蝴蝶結(jié)，打包后的蛋糕如圖1所示．素材2已知6寸，8寸，10寸，12寸蛋圓形糕的直徑分別為15cm，20cm，25cm，30cm．若要制作一個(gè)可以裝上述4種尺寸且厚度均為10cm的圓形蛋糕的包裝盒．圖2是該興趣小組設(shè)計(jì)的正方形托盤的平面示意圖，虛線圓圈是放置蛋糕的區(qū)域，正方形托盤的邊沿到這個(gè)圓形區(qū)域的最短距離為1cm，托盤高為1cm．素材3該興趣小組利用邊長(zhǎng)為72cm的正方形透明塑料板制作頂部為正方形的無底長(zhǎng)方體盒子．在正方形透明塑料板的四角各剪掉一個(gè)同樣大小的小正方形，如圖3所示．將剩余部分折成一個(gè)無底長(zhǎng)方體盒子．蛋糕頂部與盒子頂部的距離至少為8cm．設(shè)頂部正方形邊長(zhǎng)為acm，剪掉的小正方形邊長(zhǎng)為hcm．任務(wù)1（1）寫出a，h之間的關(guān)系式；任務(wù)2（2）求a的取值范圍；任務(wù)3（3）若用一根長(zhǎng)為240cm的彩帶打包，要求預(yù)留40cm的彩帶打蝴蝶結(jié)，則彩帶是否夠用？【考點(diǎn)】平面展開﹣?zhàn)疃搪窂絾栴}；展開圖折疊成幾何體．【分析】任務(wù)1根據(jù)圖3，結(jié)合題意列出a與h的關(guān)系式即可；任務(wù)2根據(jù)要制作一個(gè)可以裝上述4種尺寸且厚度均為10cm的圓形蛋糕的包裝盒且正方形托盤的邊沿到這個(gè)圓形區(qū)域的最短距離為1cm，托盤高為1cm，蛋糕頂部與盒子頂部的距離至少為8cm，求出a的范圍即可；任務(wù)3當(dāng)a取最小值時(shí)，求出需要的彩帶長(zhǎng)度，判斷即可．【解答】解：任務(wù)1根據(jù)題意得：a+2h＝72，∴a與h的關(guān)系式為a＝﹣2h+72；任務(wù)2根據(jù)題意得：a≥30+1+1＝32，h≥10+1+8＝19，即，解得：32≤a≤34；任務(wù)3根據(jù)題意得：4×（32+19）+40＝244（cm）＞240cm，∴彩帶不夠用．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平面展開﹣?zhàn)疃搪窂絾栴}，展開圖折疊成幾何體，弄清題意是解本題的關(guān)鍵．18．（10分）圖1是某品牌嬰兒車，圖2為其簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)示意圖，現(xiàn)測(cè)得AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB與BD之間由一個(gè)固定為90°的零件連接（即∠ABD＝90°），根據(jù)安全標(biāo)準(zhǔn)需滿足BC⊥CD，通過計(jì)算說明該車是否符合安全標(biāo)準(zhǔn)．【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用．【分析】由勾股定理求出BD2＝45，再證BC2+CD2＝BD2，然后由勾股定理的逆定理得△BCD是直角三角形，∠BCD＝90°，即可得出結(jié)論．【解答】解：該車符合安全標(biāo)準(zhǔn)，證明如下：在Rt△ABD中，BD2＝AD2﹣AB2＝92﹣62＝45，在△BCD中，BC2+CD2＝32+62＝45，∴BC2+CD2＝BD2，∴△BCD是直角三角形，∠BCD＝90°，∴BC⊥CD，∴該車符合安全標(biāo)準(zhǔn)．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用以及勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理以及逆定理是解題的關(guān)鍵．19．（10分）【綜合實(shí)踐】【問題情境】消防云梯的作用是用于高層建筑火災(zāi)等救援任務(wù)，它能讓消防員快速到達(dá)高層救援現(xiàn)場(chǎng)，如圖，已知一架云梯AB長(zhǎng)25m斜靠在一面墻上，這時(shí)云梯底端距墻角的距離OB＝20m，∠AOB＝90°．【獨(dú)立思考】（1）求這架云梯頂部距離地面OA的長(zhǎng)度．【深入探究】（2）消防員接到命令，按要求將云梯從頂部A下滑到A′位置上（云梯長(zhǎng)度不改變），則底部B沿水平方向向前滑動(dòng)到B′位置上，若AA′＝8m，求BB′的長(zhǎng)度．【問題解決】（3）在演練中，墻邊距地面24m的窗口有求數(shù)聲，消防員需調(diào)整云梯去救援被困人員．經(jīng)驗(yàn)表明，云梯靠墻擺放時(shí)，如果云梯底端離墻的距離不小于云梯長(zhǎng)度的，則云梯和消防員相對(duì)安全，在相對(duì)安全的前提下，云梯的頂端能否到達(dá)24m高的窗口去救援被因人員？【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用．【分析】（1）根據(jù)勾股定理列式計(jì)算即可；（2）先求出OA′，再根據(jù)勾股定理求出OB′，進(jìn)一步即可求出BB′；（2）當(dāng)云梯的頂端到達(dá)24m高的窗口時(shí)，根據(jù)勾股定理得云梯的底端距離墻的距離為7m，根據(jù)7m＞5m，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）在Rt△OAB中，由勾股定理得：OA＝＝＝15（m），答：OA的長(zhǎng)為15m；（2）∵OA＝15m，AA′＝8m，∴OA′＝OA﹣AA′＝15﹣8＝7（m），在Rt△A′OB′中，由勾股定理得：OB'＝＝＝24（m），∴BB′＝OB′﹣OB＝24﹣20＝4（m），答