高中數(shù)學(xué)人教A版2019必修第一冊同步單元測試AB卷(新高考)專題18冪函數(shù)單元測試(B)(原卷版+解析)

第三章專題18冪函數(shù)(B）命題范圍：第一章，第二章，函數(shù)的概念及其表示方法,函數(shù)的基本性質(zhì)，冪函數(shù).高考真題：1．（2007·山東·高考真題（理））設(shè)，則使函數(shù)的定義域?yàn)镽且為奇函數(shù)的所有值為A． B． C． D．2．（2014·上?！じ呖颊骖}（理））若，則滿足的取值范圍是_____.3．（2022·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)若存在最小值，則a的一個(gè)取值為________；a的最大值為___________．牛刀小試第I卷選擇題部分（共60分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）圖中，，分別為冪函數(shù)，，在第一象限內(nèi)的圖象，則，，依次可以是（

）A．，3， B．，3， C．，，3 D．，，33．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則（）A． B．3 C．9 D．84．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，若函數(shù)在［2，4]上單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．5．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）給出冪函數(shù)：①；②；③；④；⑤．其中滿足條件的函數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．46．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)(9,3)，則函數(shù)在區(qū)間［1,9]上的值域?yàn)椋?/p>

）A．［－1,0] B． C．［0,2] D．7．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在上單調(diào)遞減，則滿足的a的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得3分，有選錯(cuò)的得0分.9．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．10．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）冪函數(shù)在上是增函數(shù)，則以下說法正確的是（

）A．B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．函數(shù)是偶函數(shù)D．函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱11．（2021·黑龍江·勃利縣高級中學(xué)高一期中）如果冪函數(shù)的圖象過，下列說法不正確的有（）A．且 B．是偶函數(shù)C．是減函數(shù) D．的值域?yàn)?2．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A．函數(shù)為增函數(shù) B．函數(shù)為偶函數(shù)C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，第II卷非選擇題部分（共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．（2022·全國·高一單元測試）請寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列三個(gè)條件的冪函數(shù)______.（1）是偶函數(shù)；（2）在上單調(diào)遞增；（3）的值域是.14．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)是冪函數(shù)，滿足，則_________．15．（2021·上海交大附中高一期中）若，則滿足的x的取值范圍是___．16．（2010·江蘇·高考真題）若函數(shù)，則不等式的解集合是______________四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）結(jié)合圖中的五個(gè)函數(shù)圖象回答問題：(1)哪幾個(gè)是偶函數(shù)，哪幾個(gè)是奇函數(shù)？(2)寫出每個(gè)函數(shù)的定義域、值域；(3)寫出每個(gè)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(4)從圖中你發(fā)現(xiàn)了什么？18．（2020·安徽·合肥市第十中學(xué)高一期中）已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)是冪函數(shù)，且圖象過點(diǎn)(3，)．(1)求f(x)在R上的解析式；(2)當(dāng)x<0時(shí)，判斷f(x)的單調(diào)性，并給出證明．19．（2022·全國·高一）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)．(1)求函數(shù)的解析式；(2)設(shè)函數(shù)，寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域．20．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)．(1)若的圖象在時(shí)位于直線的上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若的圖象在時(shí)位于直線的上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍．21．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)R.(1)求的解析式；(2)若在上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.22．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，(1)求函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)在上的最大值為1，求實(shí)數(shù)的值.第三章專題18冪函數(shù)(B）命題范圍：第一章，第二章，函數(shù)的概念及其表示方法,函數(shù)的基本性質(zhì)，冪函數(shù).高考真題：1．（2007·山東·高考真題（理））設(shè)，則使函數(shù)的定義域?yàn)镽且為奇函數(shù)的所有值為A． B． C． D．【答案】A【詳解】時(shí)，函數(shù)定義域不是R,不合題意；時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)镽且為奇函數(shù)，合題意，故選A.2．（2014·上海·高考真題（理））若，則滿足的取值范圍是_____.【答案】【詳解】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，由于，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，因此的解集為.3．（2022·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)若存在最小值，則a的一個(gè)取值為________；a的最大值為___________．【答案】

0（答案不唯一）

1【分析】根據(jù)分段函數(shù)中的函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行分類討論，可知，符合條件，不符合條件，時(shí)函數(shù)沒有最小值，故的最小值只能取的最小值，根據(jù)定義域討論可知或，

解得.【詳解】解：若時(shí)，，∴；若時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，故沒有最小值，不符合題目要求；若時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，∴或，解得，綜上可得；故答案為：0（答案不唯一），1牛刀小試第I卷選擇題部分（共60分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)冪函數(shù)的概念求出，再代入點(diǎn)的坐標(biāo)可求出，即可得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為冪函數(shù)，所以，則，又因?yàn)榈膱D象經(jīng)過點(diǎn)，所以，得，所以.故選：A2．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）圖中，，分別為冪函數(shù)，，在第一象限內(nèi)的圖象，則，，依次可以是（

）A．，3， B．，3， C．，，3 D．，，3【答案】D【分析】根據(jù)冪函數(shù)的圖象，結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)判斷參數(shù)的大小關(guān)系，即可得答案.【詳解】由題圖知：，，，所以，，依次可以是，，3．故選：D3．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則（）A． B．3 C．9 D．8【答案】B【分析】將代入函數(shù)解析式，即可求出，即可得解函數(shù)解析式，再代入求值即可.【詳解】解：由題意知，所以，即，所以，所以，所以.故選：B4．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，若函數(shù)在［2，4]上單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)冪函數(shù)的特征和性質(zhì)可得，代入，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性即可列出不等關(guān)系求解.【詳解】依題意有，解得或．又函數(shù)為偶函數(shù)，故為偶數(shù)，則，所以，，若單調(diào)遞增，則，若單調(diào)遞減，則，故或，解得或．故選：B．5．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）給出冪函數(shù)：①；②；③；④；⑤．其中滿足條件的函數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】條件表示函數(shù)圖象在第一象限上凸，結(jié)合冪函數(shù)的圖象特征判斷即可【詳解】由題，滿足條件表示函數(shù)圖象在第一象限上凸，結(jié)合冪函數(shù)的圖象特征可知只有④滿足.故選：A6．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)(9,3)，則函數(shù)在區(qū)間［1,9]上的值域?yàn)椋?/p>

）A．［－1,0] B． C．［0,2] D．【答案】B【分析】根據(jù)冪函數(shù)經(jīng)過的點(diǎn)可求解析式，代入中通過分離常數(shù)法即可求解.【詳解】解法一：因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象過點(diǎn)，所以，可得，所以，．因?yàn)椋?，故．因此，函?shù)在區(qū)間[1,9]上的值域?yàn)椋蔬x：B．解法二：因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象過點(diǎn)，所以，可得，所以．因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以，所以，解得，即函?shù)在區(qū)間[1,9]上的值域?yàn)椋蔬x：B．7．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出分段函數(shù)在各段上的函數(shù)值集合，再根據(jù)給定值域，列出不等式求解作答.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞減，其函數(shù)值集合為，當(dāng)時(shí)，的取值集合為，的值域，不符合題意，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，其函數(shù)值集合為，因函數(shù)的值域?yàn)?，則有，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D8．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在上單調(diào)遞減，則滿足的a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由條件知，，可得m＝1．再利用函數(shù)的單調(diào)性，分類討論可解不等式.【詳解】冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，解得．又，故m＝1或2．當(dāng)m＝1時(shí)，的圖象關(guān)于y軸對稱，滿足題意；當(dāng)m＝2時(shí)，的圖象不關(guān)于y軸對稱，舍去，故m＝1．不等式化為，函數(shù)在和上單調(diào)遞減，故或或，解得或．故應(yīng)選：D．二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得3分，有選錯(cuò)的得0分.9．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，結(jié)合冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】解：對于A，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，所以函?shù)為奇函數(shù)，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故A正確；對于B，函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以函?shù)為奇函數(shù)，易知在上單調(diào)遞增，故B正確；對于C，函數(shù)的定義域?yàn)椋魂P(guān)于原點(diǎn)對稱，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對于D，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤.故選：AB.10．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）冪函數(shù)在上是增函數(shù)，則以下說法正確的是（

）A．B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．函數(shù)是偶函數(shù)D．函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱【答案】ABD【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義與性質(zhì)得到方程（不等式）組，解得，即可得到，從而判斷可得；【詳解】解：因?yàn)閮绾瘮?shù)在上是增函數(shù)，所以，解得，所以，所以，故為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以在上單調(diào)遞增；故選：ABD11．（2021·黑龍江·勃利縣高級中學(xué)高一期中）如果冪函數(shù)的圖象過，下列說法不正確的有（）A．且 B．是偶函數(shù)C．是減函數(shù) D．的值域?yàn)椤敬鸢浮緾【分析】由冪函數(shù)定義和所過點(diǎn)可求得，知A正確；利用奇偶性的定義知B正確；根據(jù)冪函數(shù)在上的單調(diào)性，結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)知C錯(cuò)誤；由冪函數(shù)值域知D正確.【詳解】為冪函數(shù)，，又過點(diǎn)，，解得：，A正確；則，定義域?yàn)椋?，為偶函?shù)，B正確；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，由偶函數(shù)性質(zhì)知：在上單調(diào)遞增，C錯(cuò)誤；，，即的值域?yàn)?，D正確.故選C.12．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A．函數(shù)為增函數(shù) B．函數(shù)為偶函數(shù)C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【答案】ACD【分析】設(shè)冪函數(shù)的解析式，代入點(diǎn)，求得函數(shù)的解析式，根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性可判斷A、C項(xiàng)，根據(jù)函數(shù)的定義域可判斷B項(xiàng)，結(jié)合函數(shù)的解析式，利用平方差證明不等式可判斷D項(xiàng).【詳解】解：設(shè)冪函數(shù)，則，解得，所以，所以的定義域?yàn)?，在上單調(diào)遞增，故A正確，因?yàn)榈亩x域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以函數(shù)不是偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，，故C正確，當(dāng)時(shí)，，又，所以，D正確．故選：ACD.第II卷非選擇題部分（共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．（2022·全國·高一單元測試）請寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列三個(gè)條件的冪函數(shù)______.（1）是偶函數(shù)；（2）在上單調(diào)遞增；（3）的值域是.【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)求解【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，在上單調(diào)遞增，的值域是，所以同時(shí)滿足三個(gè)條件的冪函數(shù)可以為.故答案為：（答案不唯一）14．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)是冪函數(shù)，滿足，則_________．【答案】【分析】利用冪函數(shù)定義設(shè)，由，求解，從而得的解析式，即可求值.【詳解】解：函數(shù)是冪函數(shù)，設(shè)，又，所以，即，所以，得所以，則.故答案為：.15．（2021·上海交大附中高一期中）若，則滿足的x的取值范圍是___．【答案】【分析】不等式轉(zhuǎn)化為，且，討論x＞0和x＜0時(shí)的解集即可求得答案．【詳解】由得到，且，即，當(dāng)x＞0時(shí)，不等式化為，解得，當(dāng)x＜0時(shí)，不等式化為，解得x＜0，綜上：x的取值范圍是，故答案為：．16．（2010·江蘇·高考真題）若函數(shù)，則不等式的解集合是______________【答案】【分析】分析給定的分段函數(shù)性質(zhì)，再分段列出不等式組求解即可作答.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則化為：或，解得或，所以不等式的解集合是.故答案為：四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）結(jié)合圖中的五個(gè)函數(shù)圖象回答問題：(1)哪幾個(gè)是偶函數(shù)，哪幾個(gè)是奇函數(shù)？(2)寫出每個(gè)函數(shù)的定義域、值域；(3)寫出每個(gè)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(4)從圖中你發(fā)現(xiàn)了什么？【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析；(3)答案見解析；(4)答案見解析.【分析】根據(jù)已知函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可求得結(jié)果.（1）數(shù)形結(jié)合可知，的圖象關(guān)于軸對稱，故其為偶函數(shù)；的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故都為奇函數(shù).（2）數(shù)形結(jié)合可知：的定義域是，值域?yàn)?；的定義域都是，值域也是；的定義域?yàn)椋涤蛞矠?；的定義域?yàn)?，值域?yàn)?（3）數(shù)形結(jié)合可知：的單調(diào)增區(qū)間是：，無單調(diào)減區(qū)間；的單調(diào)增區(qū)間是：，無單調(diào)減區(qū)間；的單調(diào)減區(qū)間是：和，無單調(diào)增區(qū)間；的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是.（4）數(shù)形結(jié)合可知：冪函數(shù)均恒過點(diǎn)；冪函數(shù)在第一象限一定有圖象，在第四象限一定沒有圖象.對冪函數(shù)，當(dāng)，其一定在是單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)，在是單調(diào)減函數(shù).18．（2020·安徽·合肥市第十中學(xué)高一期中）已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)是冪函數(shù)，且圖象過點(diǎn)(3，)．(1)求f(x)在R上的解析式；(2)當(dāng)x<0時(shí)，判斷f(x)的單調(diào)性，并給出證明．【答案】(1)(2)單調(diào)遞增；證明見解析【分析】（1）由冪函數(shù)的解析式求得時(shí)的表達(dá)式，再根據(jù)奇函數(shù)定義求解；（2）根據(jù)單調(diào)性定義判斷證明．(1)由題意時(shí)，設(shè)，則，，所以，為奇函數(shù)，所以，時(shí)，，所以；(2)時(shí)，，設(shè)的任意的兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)，且，則，所以，所以時(shí)，是增函數(shù)．19．（2022·全國·高一）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)．(1)求函數(shù)的解析式；(2)設(shè)函數(shù)，寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域．【答案】(1)(2)單調(diào)遞增區(qū)間為，，無單調(diào)遞減區(qū)間，值域?yàn)椋痉治觥浚?）待定系數(shù)法去求函數(shù)的解析式；（2）依據(jù)反比例函數(shù)性質(zhì)即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域．(1)設(shè)，則，則，∴函數(shù)的解析式為．(2)因?yàn)?，∴函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，無單調(diào)遞減區(qū)間，值域?yàn)椋?0．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)．(1)若的圖象在時(shí)位于直線的上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若的圖象在時(shí)位于直線的上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根