人教A版（2019）必修第二冊8.4空間點、直線、平面之間的位置關系(學案)(原卷版+解析)

8.4空間點、直線、平面之間的位置關系（學案）知識自測知識自測一．平面1.平面的概念幾何中所說的“平面”，是從課桌面、黑板面、平靜的水面等，這樣的一些物體中抽象出來的.類似于直線向兩端無限延伸，幾何中的平面是向四周無限延展的.2.平面的畫法我們常用矩形的直觀圖，即表示平面，它的銳角通常畫成，且橫邊長等于其鄰邊長的倍，如圖①.如果一個平面的一部分被另一個平面遮擋住，為了增強它的立體感，把被遮擋部分用虛線畫出來，如圖②.3.平面的表示法圖①的平面可表示為平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.4.平面的幾個特點(1)平面是平的；(2)平面是沒有厚度的；(3)平面是無限延展而沒有邊界的二．點、線、面之間的位置關系1.直線在平面內的概念如果直線l上的所有點都在平面α內，就說直線l在平面α內，或者說平面α經(jīng)過直線l.2.一些文字語言與符號語言的對應關系文字語言表達符號語言表示文字語言表達符號語言表示點A在直線l上點A在直線l外點A在平面α內點A在平面α外直線l在平面α內直線l在平面α外直線l，m相交于點A平面α，β相交于直線l平面的基本性質及作用1.三個基本事實內容基本事實內容圖形符號作用事實1過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面A，B，C三點不共線?存在唯一的平面α使A，B，C∈α一是確定平面；二是證明點、線共面問題；三是判斷兩個平面重合的依據(jù)事實2如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α既可判定直線和點是否在平面內，又能說明平面是無限延展的事實3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線P∈α且P∈β?α∩β＝l，且P∈l①判定兩平面相交的依據(jù)②判定點在直線上2.利用基本事實1和基本事實2，再結合“兩點確定一條直線”，可以得到下面三個推論：推論1推論2推論3四．空間兩直線的位置關系1.異面直線(1)定義：不同在任何一個平面內的兩條直線.(2)異面直線的畫法(襯托平面法)如圖①②③所示，為了表示異面直線不共面的特點，作圖時，通常用一個或兩個平面來襯托.(3)判斷兩直線為異面直線的方法①定義法；②兩直線既不平行也不相交.2.空間兩條直線的三種位置關系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(相交直線：在同一平面內，有且只有一個公共點,平行直線：在同一平面內，沒有公共點)),異面直線：不同在任何一個平面內，沒有公共點))五．直線與平面的位置關系位置關系直線a在平面α內直線a在平面α外直線a與平面α相交直線a與平面α平行公共點有無數(shù)個公共點只有1個公共點沒有公共點符合表示a?αa∩α＝Aa∥α圖形表示六．平面與平面的位置關系位置關系兩平面平行兩平面相交公共點沒有公共點有無數(shù)個公共點(在一條直線上)符號表示α∥βα∩β＝l圖形表示知識簡用知識簡用題型一空間幾何三種語言的相互轉化【例1-1】（2022·全國·高一專題練習）將下列符號語言轉化為圖形語言：(1)A?α，a?α.(2)α∩β＝a，P?α且P?β.(3)aα，a∩α＝A(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O.【例1-2】（2021·高一課時練習）畫圖表示下列語句（其中P，M表示點l，m表示直線，，表示平面）：(1)，，；(2)，，；(3)；；(4)，，．題型二點、線共面【例2-1】（2022·全國·高一假期作業(yè)）如圖所示，在正方體中，E，F(xiàn)分別是AB和的中點．求證：E，C，，F(xiàn)四點共面．題型三點共線【例3-1】（2022廣東）如圖所示，在空間四邊形各邊AD，AB，BC，CD上分別取E，F(xiàn)，G，H四點，如果EF，GH交于一點P，求證：點P在直線BD上．【例3-2】已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如圖．求證：P，Q，R三點共線．題型四線共點【例4】（2022·高一課時練習）如圖，在三棱柱中，，．求證：直線，BP，CQ相交于一點．題型五兩條直線的位置關系【例5-1】（2022·高一課時練習）如圖，在直三棱柱中，棱與直線異面有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【例5-2】（2022春·山東聊城·高一山東聊城一中校考階段練習）在長方體中，，，，為的中點，則異面直線與所成角的大小是（）A． B． C． D．題型六直線與平面的位置關系【例6-1】（2022春·廣東廣州·高一校聯(lián)考期中）（多選）若一條直線與兩個平行平面中的一個平行，則這條直線與另一個平面的位置關系為（

）A．平行 B．相交 C．直線在平面內 D．相切題型七平面與平面的位置關系【例7-1】（2022云南）如果在兩個平面內分別有一條直線，這兩條直線互相平行，那么兩個平面的位置關系一定是()A．平行 B．相交C．平行或相交 D．不能確定【例7-2】（2022黑龍江）若點A∈α，B?α，C?α，則平面ABC與平面α的位置關系是________．【例7-3】（2022湖北）如圖，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，E，F(xiàn)分別為B′C′，A′D′的中點，求證：平面ABB′A′與平面CDFE相交．8.4空間點、直線、平面之間的位置關系（學案）知識自測知識自測一．平面1.平面的概念幾何中所說的“平面”，是從課桌面、黑板面、平靜的水面等，這樣的一些物體中抽象出來的.類似于直線向兩端無限延伸，幾何中的平面是向四周無限延展的.2.平面的畫法我們常用矩形的直觀圖，即平行四邊形表示平面，它的銳角通常畫成45°，且橫邊長等于其鄰邊長的2倍，如圖①.如果一個平面的一部分被另一個平面遮擋住，為了增強它的立體感，把被遮擋部分用虛線畫出來，如圖②.3.平面的表示法圖①的平面可表示為平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.4.平面的幾個特點(1)平面是平的；(2)平面是沒有厚度的；(3)平面是無限延展而沒有邊界的二．點、線、面之間的位置關系1.直線在平面內的概念如果直線l上的所有點都在平面α內，就說直線l在平面α內，或者說平面α經(jīng)過直線l.2.一些文字語言與符號語言的對應關系文字語言表達符號語言表示文字語言表達符號語言表示點A在直線l上A∈l點A在直線l外A?l點A在平面α內A∈α點A在平面α外A?α直線l在平面α內l?α直線l在平面α外l?α直線l，m相交于點Al∩m＝A平面α，β相交于直線lα∩β＝l平面的基本性質及作用1.三個基本事實內容基本事實內容圖形符號作用事實1過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面A，B，C三點不共線?存在唯一的平面α使A，B，C∈α一是確定平面；二是證明點、線共面問題；三是判斷兩個平面重合的依據(jù)事實2如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α既可判定直線和點是否在平面內，又能說明平面是無限延展的事實3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線P∈α且P∈β?α∩β＝l，且P∈l①判定兩平面相交的依據(jù)②判定點在直線上2.利用基本事實1和基本事實2，再結合“兩點確定一條直線”，可以得到下面三個推論：推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面.推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面.推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面.四．空間兩直線的位置關系1.異面直線(1)定義：不同在任何一個平面內的兩條直線.(2)異面直線的畫法(襯托平面法)如圖①②③所示，為了表示異面直線不共面的特點，作圖時，通常用一個或兩個平面來襯托.(3)判斷兩直線為異面直線的方法①定義法；②兩直線既不平行也不相交.2.空間兩條直線的三種位置關系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(相交直線：在同一平面內，有且只有一個公共點,平行直線：在同一平面內，沒有公共點)),異面直線：不同在任何一個平面內，沒有公共點))五．直線與平面的位置關系位置關系直線a在平面α內直線a在平面α外直線a與平面α相交直線a與平面α平行公共點有無數(shù)個公共點只有1個公共點沒有公共點符合表示a?αa∩α＝Aa∥α圖形表示六．平面與平面的位置關系位置關系兩平面平行兩平面相交公共點沒有公共點有無數(shù)個公共點(在一條直線上)符號表示α∥βα∩β＝l圖形表示知識簡用知識簡用題型一空間幾何三種語言的相互轉化【例1-1】（2022·全國·高一專題練習）將下列符號語言轉化為圖形語言：(1)A?α，a?α.(2)α∩β＝a，P?α且P?β.(3)aα，a∩α＝A(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O.【答案】答案見解析【解析】(1)如圖(1)所示．(2)如圖(2)所示．(3)如圖(3)所示．(4)如圖(4)所示．【例1-2】（2021·高一課時練習）畫圖表示下列語句（其中P，M表示點l，m表示直線，，表示平面）：(1)，，；(2)，，；(3)；；(4)，，．【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(1)如圖所示，(2)如圖所示，(3)如圖所示，(4)如圖所示，題型二點、線共面【例2-1】（2022·全國·高一假期作業(yè)）如圖所示，在正方體中，E，F(xiàn)分別是AB和的中點．求證：E，C，，F(xiàn)四點共面．【答案】證明見解析【解析】證明：連接EF，，．由E，F(xiàn)分別是AB，的中點，可得．又，所以，故E，C，，F(xiàn)四點共面．題型三點共線【例3-1】（2022廣東）如圖所示，在空間四邊形各邊AD，AB，BC，CD上分別取E，F(xiàn)，G，H四點，如果EF，GH交于一點P，求證：點P在直線BD上．【答案】見解析【解析】證明：若EF，GH交于一點P，則E，F(xiàn)，G，H四點共面，又因為EF?平面ABD，GH?平面CBD，平面ABD∩平面CBD＝BD，所以P∈平面ABD，且P∈平面CBD，由基本事實3可得P∈BD.【例3-2】已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如圖．求證：P，Q，R三點共線．【答案】見解析【解析】證明：法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB?平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由基本事實3可知：點P在平面ABC與平面α的交線上，同理可證Q，R也在平面ABC與平面α的交線上．∴P，Q，R三點共線．法二：∵AP∩AR＝A，∴直線AP與直線AR確定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈面APR，C∈面APR，∴BC?面APR.又∵Q∈面APR，Q∈α，∴Q∈PR.∴P，Q，R三點共線．題型四線共點【例4】（2022·高一課時練習）如圖，在三棱柱中，，．求證：直線，BP，CQ相交于一點．【答案】證明見解析【解析】如圖，連接PQ．由，，得，且．又，∴，且，∴四邊形BCQP為梯形，∴直線BP，CQ相交．設交點為R，則，．又平面，且平面，∴平面，且平面，∴R在平面與平面的交線上，即，∴直線，BP，CQ相交于一點．題型五兩條直線的位置關系【例5-1】（2022·高一課時練習）如圖，在直三棱柱中，棱與直線異面有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】C【解析】在直三棱柱的棱所在的直線中，與直線異面的直線有，共3條.故選:C.【例5-2】（2022春·山東聊城·高一山東聊城一中?？茧A段練習）在長方體中，，，，為的中點，則異面直線與所成角的大小是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】取的中點，連接、、、，如下圖所示：因為且，、分別為、的中點，則且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，且，因為且，且，故四邊形為平行四邊形，所以，，所以，異面直線與所成角為或其補角，由勾股定理可得，，，，則，所以，，因為，故.因此，異面直線與所成角的大小是.故選：B.題型六直線與平面的位置關系【例6-1】（2022春·廣東廣州·高一校聯(lián)考期中）（多選）若一條直線與兩個平行平面中的一個平行，則這條直線與另一個平面的位置關系為（

）A．平行 B．相交 C．直線在平面內 D．相切【答案】AC【解析】如圖1所示，與平行，，而直線在平面內，如圖2所示，與平行，，而.綜上：若一條直線與兩個平行平面中的一個平行，則這條直線與另一個平面的位置關系為平行或直線在平面內.故選：AC題型七平面與平面的位置關系【例7-1】（2022云南）如果在兩個平面內分別有一條直線，這兩條直線互相平行，那么兩個平面的位置關系一定是()A．平行 B．相交C．平行或相交 D．不能確定【答案】C【解析】如圖所示，a?α，b?β，a∥b.由圖形可知，這兩個平面可能相交，也可能平行．【例7-2】（2022黑龍江）若點A∈α，B?α，C?α，則平面ABC與平面α的位置關系是