教師資格認定考試初級中學數(shù)學模擬題11

教師資格認定考試初級中學數(shù)學模擬題11一、單項選擇題1.

A.0B.1C.∞D(zhuǎn).不存在正確答案：A[解析]當x→0時，=0。

2.

二次型f(x1，x2，x3)=-4x1x2+2x1x3+2x2x3的矩陣的秩為______A.0B.1C.2D.3正確答案：D[解析]二次型f(x1，x2，x3)=-4x1x2+2x1x3+2x2x3的矩陣為，其對應的行列式，故該矩陣的秩為3。

3.

設在3次獨立試驗中，事件A出現(xiàn)的概率均相等且至少出現(xiàn)1次的概率為，則在1次試驗中，事件A出現(xiàn)的概率為______

A．

B．

C．

D．正確答案：A[解析]設P(A)=p，則，即，解得。

4.

設λ1，λ2是矩陣A的兩個不同的特征值，對應的特征向量分別為α1，α2，則α1，A(α1+α2)線性無關的充要條件是______A.λ1=0B.λ2=0C.λ1≠0D.λ2≠0正確答案：D[解析]由題意可知，Aα1=λ1α1，Aα2=λ2α2。若α1，A(α1+α2)線性無關，A(α1+α2)=λ1α1+λ2α2，若λ2=0，則α1與A(α1+α2)共線，即線性相關，與條件不符，故λ2≠0。當λ2≠0時，若k1α1+k2A(α1+α2)=k1α1+k2(λ1α1+λ2α2)=(k1+k2λ1)α1+k2λ2α2=0，則必有k1+k2λ1=0且k2=0，即k1=k2=0，故α1與A(α1+α2)是線性無關的。綜上，可知選D。

5.

設常數(shù)λ＞0，且收斂，則A.發(fā)散B.條件收斂C.絕對收斂D.收斂性與λ有關正確答案：C[解析]，因為收斂，所以收斂，故絕對收斂。

6.

設直線L：及平面π：2x+6y+4z-1=0，則直線L______A.平行于πB.在π上C.垂直于πD.與π斜交正確答案：A[解析]直線L的方向向量為，平面π的法向量為m=(2，6，4)，由m·n=0，知m⊥n。又直線L上一點不在平面π上，所以直線L平行于π。

7.

下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是______A.等邊三角形B.等腰梯形C.正五邊形D.正六邊形正確答案：D[解析]等邊三角形、等腰梯形、正五邊形都是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形；正六邊形既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形。故選D。

8.

“只有一組對邊平行的四邊形叫作梯形”屬于______A.屬加種差定義B.描述性定義C.約定式定義D.發(fā)生定義正確答案：A[解析]屬加種差定義法就是先確定被定義概念的最鄰近的屬概念，然后尋找這個屬概念中諸種概念彼此間的本質(zhì)差別的一種定義方法，梯形最鄰近的屬概念是四邊形，只有一組對邊平行是梯形區(qū)別于一般四邊形的本質(zhì)差別。

二、簡答題(本大題共5小題，每小題7分，共35分)1.

求由兩個圓柱面x2+y2=a2與z2+x2=a2圍成立體的體積。正確答案：解：如圖所示為兩圓柱面在第一卦限部分的圖象。

對任意x0∈[0，a]，平面x=x0與兩圓柱面所圍立體的截面是一個邊長為的正方形，所以截面函數(shù)A(x)=a2-x2，x∈[0，a]。

由定積分的幾何意義知，對截面函數(shù)A(x)在區(qū)間[0，a]上的積分就是該立體在第一卦限部分的體積，

所以

2.

設f(x)在[0，1]上可導，且滿足關系式。證明：在(0，1)內(nèi)至少存在一個ξ，使。正確答案：解：分析：先尋找輔助函數(shù)。令ξ=x，。于是令F(x)=xf(x)。

由題設可知F(x)=xf(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導，

由，有(積分中值定理)，，則F(1)=f(1)=ηf(η)。

又F(η)=ηf(η)，可知F(x)滿足羅爾定理，故存在一個，使得F'(ξ)=0，即f(ξ)+ξf'(ξ)=0，即。

甲、乙、丙三車間加工同一產(chǎn)品，加工量分別占總量的25%，35%，40%，次品率分別為0.03，0.02，0.01?，F(xiàn)從所有產(chǎn)品中取出一件，試求：3.

該產(chǎn)品是次品的概率；正確答案：解：設A1，A2，A3分別表示甲、乙、丙三車間加工的產(chǎn)品，B表示此產(chǎn)品是次品，

所求事件的慨率為P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.25×0.03+0.35×0.02+0.4×0.01=0.0185。

4.

若檢查結果顯示該產(chǎn)品是次品，則該產(chǎn)品是乙車間生產(chǎn)的概率是多少?正確答案：解：該次品是乙車間生產(chǎn)的概率是。

5.

數(shù)感是《義務教育數(shù)學課程標準》(2011年版)提到的課程核心之一，學生的數(shù)感主要表現(xiàn)在哪些方面?正確答案：理解數(shù)的意義；能用多種方法來表示數(shù)；能在具體的情境中把握數(shù)的相對大小關系；能用數(shù)來表達和交流信息；能為解決問題而選擇恰當?shù)乃惴?；能估計運算的結果，并對結果的合理性做出解釋。

6.

請以“二次根式”概念的教學為例簡要說明概念形成的教學模式。正確答案：(1)為學生提供熟悉的具體例證用帶有根號的式子填空，看看結果有什么特點?

①要做一個兩條直角邊的長分別是7cm和4cm的三角尺，那么斜邊長為______cm；

②面積為S的正方形的邊長為______；

③要修建一個面積為6.28m2的圓形噴水池，它的半徑為______m(π取3.14)；

④一個物體從高處落下，落到地面所用的時間t(單位：s)與開始落下時的高度h(單位：m)滿足關系h=5t2，則t=______。

(2)抽象出本質(zhì)屬性

①教師引導學生分析：上面的問題中，結果分別是。

②歸納這些代數(shù)式的特點：都表示一些正數(shù)的算術平方根。

③請學生再舉出一些類似的例子：(a≥0)，，…

(3)形成概念

在分析上述例子以及學生舉例的基礎上，引導學生得出二次根式的定義。

(4)概念辨析

教師提供一些問題引導學生討論質(zhì)疑：

①(a≥0)的內(nèi)在含義；

②判斷：以及是二次根式嗎?

③說出下列二次根式中字母a的取值范圍：

(5)概念運用與系統(tǒng)化

①引導學生探討二次根式的性質(zhì)，并思考為什么?由定義知二次根式是算術平方根的推廣，因而二次根式具有算數(shù)平方根的性質(zhì)：

②二次根式的運用，要將二次根式的概念納入學生認知結構，還需要運用它來解決問題，并將其與相關概念建立聯(lián)系。

三、解答題(本大題1小題，10分)1.

設，且方程組AX=0的解空間的維數(shù)為2，求AX=0的通解。正確答案：解：由于解空間的維數(shù)等于AX=0的基礎解系中所含解向量的個數(shù)，所以4-r(A)=2，即r(A)=2。

將A化為階梯形矩陣：

由r(A)=2知，(t-1)2=0，即t=1，

分別取(x3，x4)T=(1，0)T，(x3，x4)T=(0，1)T，

得方程組的通解為，其中k1，k2∈R。

四、論述題(本大題1小題，15分)鞏固與發(fā)展相結合的原則是數(shù)學教學的基本原則之一。1.

請談談“鞏固”與“發(fā)展”的關系；正確答案：數(shù)學學習過程是鞏固與獲取有關知識技能的不斷向前發(fā)展的過程，鞏固與發(fā)展不能截然分開，應在發(fā)展的過程中進行鞏固，在鞏固的基礎上向前發(fā)展。即所謂“溫故而知新”。因此在教學中應很好地調(diào)節(jié)這兩方面的進程，處理好新知識與舊知識的關系、知識傳播與能力發(fā)展的關系，以便獲得更好的教學效果。

2.

請說明教學中怎樣做到在發(fā)展的過程中進行鞏固。正確答案：教師在教學中要做到以下幾方面：

①將學習新知識、復習鞏固舊知識貫穿于教學的全過程，既要重視階段性復習、總結性復習，更要重視日常課堂的復習鞏固，將復習鞏固作為一個重要的教學環(huán)節(jié)。

②要重視對學生所學知識、技能和方法進行復習鞏固工作的研究。

③在復習鞏固過程中，要指導學生記憶，提高記憶能力，并通過適當途徑予以檢查，對數(shù)學中一些基本的概念、定理、公式、法則都必須在理解的基礎上記熟。

④在學習新知識時，要深刻理解這些知識，必須調(diào)動學生學習知識的自覺性。學習過程必須是學生積極開展思維活動的過程，用積極態(tài)度學到的知識是獲得鞏固知識的必要條件。因此，在教學時要激起學生對學習知識的強烈興趣，把原來以為枯燥無味的數(shù)學課上成生動活潑的數(shù)學課，注意防止學生產(chǎn)生學習的逆反心理，充分發(fā)揮學生的主體作用。

⑤零碎的、雜亂的、無系統(tǒng)的知識是不可能鞏固的。因此，學生獲得有系統(tǒng)的知識是知識鞏固的又一必要條件，它要求教師在教學時注意概念形成的過程，講清命題間的邏輯關系等。教學必須條理清晰、前后聯(lián)系、層次分明，給學生系統(tǒng)知識，使其深刻理解知識，達到鞏固的目的。

五、案例分析題(本大題1小題，20分)下面是數(shù)學教師王老師在一節(jié)習題課上的教學片段：

師：下面大家看這道題：化簡。大家思考一分鐘。

(學生思考后回答)

師：誰來說一下怎么化簡?

學生1：老師，我的想法是分母有理化，分子分母同時乘以，分母就化成了a-b，結果為。

師：很好，說明你已經(jīng)熟練掌握了分母有理化的一般方法，把你的化簡過程寫在黑板上。

師：大家想想有沒有其他做法。

學生2：老師，這道題也可以這樣做：將分子因式分解，，然后再約分，得到。

師：你的思維已經(jīng)轉(zhuǎn)向了分析，又聯(lián)想到因式分解，很好!把你的化簡過程也寫在黑板上。

師：好的，兩位同學的解法都寫在了黑板上，大家比較這兩種解法，看看兩種解法都正確嗎?

問題：1.

判斷學生1和學生2的解法正確嗎?并說明理由。正確答案：雖然兩位學生的計算結果都是，但學生1在分母有理化的時候分子分母同時乘以，如果a=b，這一步就不符合分式的運算性質(zhì)，即學生1的解法有邏輯錯誤。學生2的解法是正確的。

2.

如果你是該教師，如何完成后續(xù)的教學?正確答案：師：兩種解法的計算結果一樣，都是，大家覺得有什么問題嗎?可以大膽地說出來。

學生一臉茫然。

師：學生1和學生2你們都想想自己的解法，過程中有沒有不合理的地方?

(學生們在相互討論著，但都說不上來)

師：兩種解法的計算都只有兩步，大家一步一步地看，聯(lián)想分式的運算性質(zhì)，細細琢磨琢磨。

(這時，學生1突然有了靈感)

學生1：老師，我知道我哪里錯了。在我的解法中，分母有理化的時候分子分母同時乘以，問題出在這里，如果a=b的時候，。而分式的運算性質(zhì)是，分子分母同時乘以一個不為零的數(shù)，分式的值不變。這一步錯了，沒有考慮a=b的情況。

(學生1說完，大家都恍然大悟)

師：太棒了，自己發(fā)現(xiàn)了自己的問題。是的，問題就在這兒。學生2的解法是正確的。

師：大家都明白了吧，在計算的過程中很多時候看著正確，細細探究卻是有問題的，這個時候就不能相信直覺，而是要有嚴密的邏輯思維。在數(shù)學的推理計算過程中，每一步都要有理有據(jù)、合情合理，即使再簡單的過程都是有依據(jù)的，大家要養(yǎng)成多問自己“為什么可以這樣做”的習慣，培養(yǎng)嚴謹?shù)乃季S習慣。

六、教學設計題(本大題1小題，30分)《義務教育數(shù)學課程標準》(2011年版)在課程內(nèi)容中要求：創(chuàng)新意識的培養(yǎng)是現(xiàn)代教育的根本任務，應體現(xiàn)在數(shù)學教與學的過程之中。學生自己發(fā)現(xiàn)問題和提出問題是創(chuàng)新的基礎，獨立思考、學會思考是創(chuàng)新的核心，歸納概括得到猜想和規(guī)律并加以驗證，是創(chuàng)新的重要方法。

素材：如圖所示，將正方形紙ABCD折疊使點B落在CD邊上一點E處(不與C，D重合)，壓平后得到折痕MN。

問題：1.

根據(jù)點E在CD上的位置變化，設置適當條件編制三道數(shù)學題目(不要求作答)。正確答案：設正方形紙片ABCD的邊長為2，

①E在什么位置時，△ENC是一個角為30°的直角三角形?

②試寫出NC與EC的數(shù)量關系。

③求E在什么位置時，△ENC的面積取得最大值?

④當時，求的值。

(可以任選3道)

2.

依據(jù)上述素材和要求，試以提出問題為主線進行“探究式”教學，撰寫一份培養(yǎng)學生觀察與發(fā)現(xiàn)、歸納與推理能力的教學過程設計(只要求寫出教學過程，突出探究的方法和問題即可)。正確答案：①導入。

采用練習導入法，利用(1)中題目引入本節(jié)課內(nèi)容。

②新課講授。

根據(jù)導入的例題，提出問題：在之前學習的三角形知識中，有哪些常用的性質(zhì)和定理?

預設：全等三角形判定定理、相似三角形判定定理、等腰三角形性質(zhì)、勾股定理……

找學生回答并追問，明確具體的性質(zhì)和定理內(nèi)容。

在復習之前的知識之后，結合(1)中②③進行“探究式”教學。

給出例題：如圖所示，已知正方形紙片ABCD的邊長為2，將正方形紙片ABCD折疊，使B點落在CD邊上一點E(不與C，D重合)，壓平后得到折痕MN，A點落在點F處。

問題1：根據(jù)條件，能夠獲得哪些結論?

學生七嘴八舌地說著，教師提問后總結：AM=FM，BN=EN，△ENC為直角三角形，MN所在的直線是BE的垂直平分線(需連結BE)，∠NBE=∠NEB，∠ENC=2∠NBE，……

問題2：如果，或CE=DE，分別求NC。

學生思考后，教師提問并總結：由已知條件知，或，在Rt△ENC中，EN+NC=BN+NC=BC=2，再利用勾股定理就可分別求出NC。

問題3：如果設NC=x，EC=