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文檔簡介

教師資格認定考試初級中學數學模擬題11一、單項選擇題1.

A.0B.1C.∞D.不存在正確答案:A[解析]當x→0時,=0。

2.

二次型f(x1,x2,x3)=-4x1x2+2x1x3+2x2x3的矩陣的秩為______A.0B.1C.2D.3正確答案:D[解析]二次型f(x1,x2,x3)=-4x1x2+2x1x3+2x2x3的矩陣為,其對應的行列式,故該矩陣的秩為3。

3.

設在3次獨立試驗中,事件A出現的概率均相等且至少出現1次的概率為,則在1次試驗中,事件A出現的概率為______

A.

B.

C.

D.正確答案:A[解析]設P(A)=p,則,即,解得。

4.

設λ1,λ2是矩陣A的兩個不同的特征值,對應的特征向量分別為α1,α2,則α1,A(α1+α2)線性無關的充要條件是______A.λ1=0B.λ2=0C.λ1≠0D.λ2≠0正確答案:D[解析]由題意可知,Aα1=λ1α1,Aα2=λ2α2。若α1,A(α1+α2)線性無關,A(α1+α2)=λ1α1+λ2α2,若λ2=0,則α1與A(α1+α2)共線,即線性相關,與條件不符,故λ2≠0。當λ2≠0時,若k1α1+k2A(α1+α2)=k1α1+k2(λ1α1+λ2α2)=(k1+k2λ1)α1+k2λ2α2=0,則必有k1+k2λ1=0且k2=0,即k1=k2=0,故α1與A(α1+α2)是線性無關的。綜上,可知選D。

5.

設常數λ>0,且收斂,則A.發(fā)散B.條件收斂C.絕對收斂D.收斂性與λ有關正確答案:C[解析],因為收斂,所以收斂,故絕對收斂。

6.

設直線L:及平面π:2x+6y+4z-1=0,則直線L______A.平行于πB.在π上C.垂直于πD.與π斜交正確答案:A[解析]直線L的方向向量為,平面π的法向量為m=(2,6,4),由m·n=0,知m⊥n。又直線L上一點不在平面π上,所以直線L平行于π。

7.

下列圖形中,既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是______A.等邊三角形B.等腰梯形C.正五邊形D.正六邊形正確答案:D[解析]等邊三角形、等腰梯形、正五邊形都是軸對稱圖形,不是中心對稱圖形;正六邊形既是軸對稱圖形,也是中心對稱圖形。故選D。

8.

“只有一組對邊平行的四邊形叫作梯形”屬于______A.屬加種差定義B.描述性定義C.約定式定義D.發(fā)生定義正確答案:A[解析]屬加種差定義法就是先確定被定義概念的最鄰近的屬概念,然后尋找這個屬概念中諸種概念彼此間的本質差別的一種定義方法,梯形最鄰近的屬概念是四邊形,只有一組對邊平行是梯形區(qū)別于一般四邊形的本質差別。

二、簡答題(本大題共5小題,每小題7分,共35分)1.

求由兩個圓柱面x2+y2=a2與z2+x2=a2圍成立體的體積。正確答案:解:如圖所示為兩圓柱面在第一卦限部分的圖象。

對任意x0∈[0,a],平面x=x0與兩圓柱面所圍立體的截面是一個邊長為的正方形,所以截面函數A(x)=a2-x2,x∈[0,a]。

由定積分的幾何意義知,對截面函數A(x)在區(qū)間[0,a]上的積分就是該立體在第一卦限部分的體積,

所以

2.

設f(x)在[0,1]上可導,且滿足關系式。證明:在(0,1)內至少存在一個ξ,使。正確答案:解:分析:先尋找輔助函數。令ξ=x,。于是令F(x)=xf(x)。

由題設可知F(x)=xf(x)在[0,1]上連續(xù),在(0,1)內可導,

由,有(積分中值定理),,則F(1)=f(1)=ηf(η)。

又F(η)=ηf(η),可知F(x)滿足羅爾定理,故存在一個,使得F'(ξ)=0,即f(ξ)+ξf'(ξ)=0,即。

甲、乙、丙三車間加工同一產品,加工量分別占總量的25%,35%,40%,次品率分別為0.03,0.02,0.01?,F從所有產品中取出一件,試求:3.

該產品是次品的概率;正確答案:解:設A1,A2,A3分別表示甲、乙、丙三車間加工的產品,B表示此產品是次品,

所求事件的慨率為P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.25×0.03+0.35×0.02+0.4×0.01=0.0185。

4.

若檢查結果顯示該產品是次品,則該產品是乙車間生產的概率是多少?正確答案:解:該次品是乙車間生產的概率是。

5.

數感是《義務教育數學課程標準》(2011年版)提到的課程核心之一,學生的數感主要表現在哪些方面?正確答案:理解數的意義;能用多種方法來表示數;能在具體的情境中把握數的相對大小關系;能用數來表達和交流信息;能為解決問題而選擇恰當的算法;能估計運算的結果,并對結果的合理性做出解釋。

6.

請以“二次根式”概念的教學為例簡要說明概念形成的教學模式。正確答案:(1)為學生提供熟悉的具體例證用帶有根號的式子填空,看看結果有什么特點?

①要做一個兩條直角邊的長分別是7cm和4cm的三角尺,那么斜邊長為______cm;

②面積為S的正方形的邊長為______;

③要修建一個面積為6.28m2的圓形噴水池,它的半徑為______m(π取3.14);

④一個物體從高處落下,落到地面所用的時間t(單位:s)與開始落下時的高度h(單位:m)滿足關系h=5t2,則t=______。

(2)抽象出本質屬性

①教師引導學生分析:上面的問題中,結果分別是。

②歸納這些代數式的特點:都表示一些正數的算術平方根。

③請學生再舉出一些類似的例子:(a≥0),,…

(3)形成概念

在分析上述例子以及學生舉例的基礎上,引導學生得出二次根式的定義。

(4)概念辨析

教師提供一些問題引導學生討論質疑:

①(a≥0)的內在含義;

②判斷:以及是二次根式嗎?

③說出下列二次根式中字母a的取值范圍:

(5)概念運用與系統(tǒng)化

①引導學生探討二次根式的性質,并思考為什么?由定義知二次根式是算術平方根的推廣,因而二次根式具有算數平方根的性質:

②二次根式的運用,要將二次根式的概念納入學生認知結構,還需要運用它來解決問題,并將其與相關概念建立聯(lián)系。

三、解答題(本大題1小題,10分)1.

設,且方程組AX=0的解空間的維數為2,求AX=0的通解。正確答案:解:由于解空間的維數等于AX=0的基礎解系中所含解向量的個數,所以4-r(A)=2,即r(A)=2。

將A化為階梯形矩陣:

由r(A)=2知,(t-1)2=0,即t=1,

分別取(x3,x4)T=(1,0)T,(x3,x4)T=(0,1)T,

得方程組的通解為,其中k1,k2∈R。

四、論述題(本大題1小題,15分)鞏固與發(fā)展相結合的原則是數學教學的基本原則之一。1.

請談談“鞏固”與“發(fā)展”的關系;正確答案:數學學習過程是鞏固與獲取有關知識技能的不斷向前發(fā)展的過程,鞏固與發(fā)展不能截然分開,應在發(fā)展的過程中進行鞏固,在鞏固的基礎上向前發(fā)展。即所謂“溫故而知新”。因此在教學中應很好地調節(jié)這兩方面的進程,處理好新知識與舊知識的關系、知識傳播與能力發(fā)展的關系,以便獲得更好的教學效果。

2.

請說明教學中怎樣做到在發(fā)展的過程中進行鞏固。正確答案:教師在教學中要做到以下幾方面:

①將學習新知識、復習鞏固舊知識貫穿于教學的全過程,既要重視階段性復習、總結性復習,更要重視日常課堂的復習鞏固,將復習鞏固作為一個重要的教學環(huán)節(jié)。

②要重視對學生所學知識、技能和方法進行復習鞏固工作的研究。

③在復習鞏固過程中,要指導學生記憶,提高記憶能力,并通過適當途徑予以檢查,對數學中一些基本的概念、定理、公式、法則都必須在理解的基礎上記熟。

④在學習新知識時,要深刻理解這些知識,必須調動學生學習知識的自覺性。學習過程必須是學生積極開展思維活動的過程,用積極態(tài)度學到的知識是獲得鞏固知識的必要條件。因此,在教學時要激起學生對學習知識的強烈興趣,把原來以為枯燥無味的數學課上成生動活潑的數學課,注意防止學生產生學習的逆反心理,充分發(fā)揮學生的主體作用。

⑤零碎的、雜亂的、無系統(tǒng)的知識是不可能鞏固的。因此,學生獲得有系統(tǒng)的知識是知識鞏固的又一必要條件,它要求教師在教學時注意概念形成的過程,講清命題間的邏輯關系等。教學必須條理清晰、前后聯(lián)系、層次分明,給學生系統(tǒng)知識,使其深刻理解知識,達到鞏固的目的。

五、案例分析題(本大題1小題,20分)下面是數學教師王老師在一節(jié)習題課上的教學片段:

師:下面大家看這道題:化簡。大家思考一分鐘。

(學生思考后回答)

師:誰來說一下怎么化簡?

學生1:老師,我的想法是分母有理化,分子分母同時乘以,分母就化成了a-b,結果為。

師:很好,說明你已經熟練掌握了分母有理化的一般方法,把你的化簡過程寫在黑板上。

師:大家想想有沒有其他做法。

學生2:老師,這道題也可以這樣做:將分子因式分解,,然后再約分,得到。

師:你的思維已經轉向了分析,又聯(lián)想到因式分解,很好!把你的化簡過程也寫在黑板上。

師:好的,兩位同學的解法都寫在了黑板上,大家比較這兩種解法,看看兩種解法都正確嗎?

問題:1.

判斷學生1和學生2的解法正確嗎?并說明理由。正確答案:雖然兩位學生的計算結果都是,但學生1在分母有理化的時候分子分母同時乘以,如果a=b,這一步就不符合分式的運算性質,即學生1的解法有邏輯錯誤。學生2的解法是正確的。

2.

如果你是該教師,如何完成后續(xù)的教學?正確答案:師:兩種解法的計算結果一樣,都是,大家覺得有什么問題嗎?可以大膽地說出來。

學生一臉茫然。

師:學生1和學生2你們都想想自己的解法,過程中有沒有不合理的地方?

(學生們在相互討論著,但都說不上來)

師:兩種解法的計算都只有兩步,大家一步一步地看,聯(lián)想分式的運算性質,細細琢磨琢磨。

(這時,學生1突然有了靈感)

學生1:老師,我知道我哪里錯了。在我的解法中,分母有理化的時候分子分母同時乘以,問題出在這里,如果a=b的時候,。而分式的運算性質是,分子分母同時乘以一個不為零的數,分式的值不變。這一步錯了,沒有考慮a=b的情況。

(學生1說完,大家都恍然大悟)

師:太棒了,自己發(fā)現了自己的問題。是的,問題就在這兒。學生2的解法是正確的。

師:大家都明白了吧,在計算的過程中很多時候看著正確,細細探究卻是有問題的,這個時候就不能相信直覺,而是要有嚴密的邏輯思維。在數學的推理計算過程中,每一步都要有理有據、合情合理,即使再簡單的過程都是有依據的,大家要養(yǎng)成多問自己“為什么可以這樣做”的習慣,培養(yǎng)嚴謹的思維習慣。

六、教學設計題(本大題1小題,30分)《義務教育數學課程標準》(2011年版)在課程內容中要求:創(chuàng)新意識的培養(yǎng)是現代教育的根本任務,應體現在數學教與學的過程之中。學生自己發(fā)現問題和提出問題是創(chuàng)新的基礎,獨立思考、學會思考是創(chuàng)新的核心,歸納概括得到猜想和規(guī)律并加以驗證,是創(chuàng)新的重要方法。

素材:如圖所示,將正方形紙ABCD折疊使點B落在CD邊上一點E處(不與C,D重合),壓平后得到折痕MN。

問題:1.

根據點E在CD上的位置變化,設置適當條件編制三道數學題目(不要求作答)。正確答案:設正方形紙片ABCD的邊長為2,

①E在什么位置時,△ENC是一個角為30°的直角三角形?

②試寫出NC與EC的數量關系。

③求E在什么位置時,△ENC的面積取得最大值?

④當時,求的值。

(可以任選3道)

2.

依據上述素材和要求,試以提出問題為主線進行“探究式”教學,撰寫一份培養(yǎng)學生觀察與發(fā)現、歸納與推理能力的教學過程設計(只要求寫出教學過程,突出探究的方法和問題即可)。正確答案:①導入。

采用練習導入法,利用(1)中題目引入本節(jié)課內容。

②新課講授。

根據導入的例題,提出問題:在之前學習的三角形知識中,有哪些常用的性質和定理?

預設:全等三角形判定定理、相似三角形判定定理、等腰三角形性質、勾股定理……

找學生回答并追問,明確具體的性質和定理內容。

在復習之前的知識之后,結合(1)中②③進行“探究式”教學。

給出例題:如圖所示,已知正方形紙片ABCD的邊長為2,將正方形紙片ABCD折疊,使B點落在CD邊上一點E(不與C,D重合),壓平后得到折痕MN,A點落在點F處。

問題1:根據條件,能夠獲得哪些結論?

學生七嘴八舌地說著,教師提問后總結:AM=FM,BN=EN,△ENC為直角三角形,MN所在的直線是BE的垂直平分線(需連結BE),∠NBE=∠NEB,∠ENC=2∠NBE,……

問題2:如果,或CE=DE,分別求NC。

學生思考后,教師提問并總結:由已知條件知,或,在Rt△ENC中,EN+NC=BN+NC=BC=2,再利用勾股定理就可分別求出NC。

問題3:如果設NC=x,EC=

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