廣東省東莞市東莞外國語學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題

2024-2025學(xué)年第一學(xué)期東莞外國語學(xué)校高三段考一命題人：夏俊東審題人：龔建兵一、單選題（每題5分，共40分）1．設(shè)集合，，若，則a的取值范圍是（

）A．B．C． D．2．命題“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，3．某公司為了調(diào)查員工的健康狀況，由于女員工所占比重大，按性別分層，用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取樣本，若樣本中有女員工39人，男員工21人，女員工的平均體重為50kg，標(biāo)準(zhǔn)差為6，男員工的平均體重為70kg，標(biāo)準(zhǔn)差為4．則所抽取的所有員工的體重的方差為（

）A．29 B．120 C．100 D．1124．二項(xiàng)式展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為（

）A．20 B． C． D．805．函數(shù),經(jīng)過點(diǎn)，則關(guān)于的不等式解集為（

）A．B．C． D．6．若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，則（

）A．2 B．0 C．60 D．627．如圖，在兩行三列的網(wǎng)格中放入標(biāo)有數(shù)字的六張卡片，每格只放一張卡片，則“只有中間一列兩個(gè)數(shù)字之和為5”的不同的排法有（

）A．96種 B．64種 C．32種 D．16種8．已知實(shí)數(shù)，，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題（每題6分，共18分，部分選對(duì)得部分分，錯(cuò)選得0分）9．已知正數(shù)，滿足，則下列說法正確的是（

）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最大值為 D．的最小值為10．從某加工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取200件作為樣本，將它們進(jìn)行某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值測量，并把測量結(jié)果x用頻率分布直方圖進(jìn)行統(tǒng)計(jì)（如圖）.若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，則關(guān)于該樣本的下列統(tǒng)計(jì)量的敘述正確的是（

）A．指標(biāo)值在區(qū)間的產(chǎn)品約有48件B．指標(biāo)值的平均數(shù)的估計(jì)值是200C．指標(biāo)值的第60百分位數(shù)是200D．指標(biāo)值的方差估計(jì)值是15011．已知函數(shù)，的定義域?yàn)?，的?dǎo)函數(shù)為，且，，若為偶函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．B．C．若存在使在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則的極小值點(diǎn)為D．若為偶函數(shù)，則滿足題意的唯一，滿足題意的不唯一三、填空題（每題5分，共15分）12．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則.(精確到小數(shù)點(diǎn)后第五位)13．已知是定義R在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則14．設(shè)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，用fx表示中的較小者．若函數(shù)至少有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為.四、解答題15．（13分）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；16．（15分）隨著中國科技的迅猛發(fā)展和進(jìn)步，中國民用無人機(jī)行業(yè)技術(shù)實(shí)力和國際競爭力不斷提升，市場規(guī)模持續(xù)增長.為了適應(yīng)市場需求，我國某無人機(jī)制造公司研發(fā)了一種新型民用無人機(jī)，為測試其性能，對(duì)其飛行距離與核心零件損壞數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，數(shù)據(jù)如下：飛行距離x（千千米）5663717990102110117核心零件損壞數(shù)y（個(gè)）617390105119136149163(1)據(jù)關(guān)系建立y關(guān)于x的回歸模型求y關(guān)于x的回歸方程（精確到0.1，精確到1）.(2)為了檢驗(yàn)核心零件報(bào)廢是否與保養(yǎng)有關(guān)，該公司進(jìn)行第二次測試，從所有同型號(hào)民用無人機(jī)中隨機(jī)選取100臺(tái)進(jìn)行等距離測試，對(duì)其中60臺(tái)進(jìn)行測試前核心零件保養(yǎng)，測試結(jié)束后，有20臺(tái)無人機(jī)核心零件報(bào)廢，其中保養(yǎng)過的占比30%，請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成2×2列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為核心零件的報(bào)廢與保養(yǎng)有關(guān)?保養(yǎng)未保養(yǎng)合計(jì)報(bào)廢20未報(bào)廢合計(jì)60100附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘原理估計(jì)公式，0.250.10.050.0250.010.0011.3232.7063.8415.0246.63510.828參考數(shù)據(jù)：

17．（15分）甲?乙兩人準(zhǔn)備進(jìn)行臺(tái)球比賽，比賽規(guī)定：一局中贏球的一方作為下一局的開球方.若甲開球，則本局甲贏的概率為，若乙開球，則本局甲贏的概率為，每局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，且沒有平局，經(jīng)抽簽決定，第1局由甲開球.(1)求第3局甲開球的概率；(2)設(shè)前4局中，甲開球的次數(shù)為，求的分布列及期望.18．（17分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；（2）若不等式恒成立，求a的取值范圍．19．（17分）無窮數(shù)列，，…，，…的定義如下：如果n是偶數(shù)，就對(duì)n盡可能多次地除以2，直到得出一個(gè)奇數(shù)，這個(gè)奇數(shù)就是﹔如果n是奇數(shù)，就對(duì)盡可能多次地除以2，直到得出一個(gè)奇數(shù)，這個(gè)奇數(shù)就是．(1)寫出這個(gè)數(shù)列的前7項(xiàng)；(2)如果且，求m，n的值；(3)記，，求一個(gè)正整數(shù)n，滿足．2024-2025學(xué)年第一學(xué)期東莞外國語學(xué)校高三段考一參考答案1．A【詳解】，；由可以推出，所以，a的取值范圍是．故選：A.2．D【詳解】由命題否定的定義得命題“，”的否定是，，故D正確.3．B【詳解】依題意，樣本中所有員工的體重的平均值為，則樣本中所有員工的體重的方差.4．A【詳解】表示5個(gè)因式的乘積，要得到含項(xiàng)，需有1個(gè)因式取，其余的4個(gè)因式都取，系數(shù)為，或者需有2個(gè)因式取項(xiàng)，需有2個(gè)因式取，其余的1個(gè)因式都取，系數(shù)為，故含項(xiàng)的系數(shù)為．5．B【詳解】由函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，得，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，則在R上單調(diào)遞減，又，即函數(shù)是奇函數(shù)，不等式，則，即，解得，所以原不等式的解集為.6．A【詳解】由題意，所以的周期為4，且關(guān)于直線對(duì)稱，而，所以.故選：A.7．B【詳解】根據(jù)題意，分3步進(jìn)行，一步，要求“只有中間一列兩個(gè)數(shù)字之和為5”，則中間的數(shù)字只能為兩組數(shù)1，4或2，3中的一組，共有種排法；第二步，排第一步中剩余的一組數(shù)，共有種排法；第三步，排數(shù)字5和6，共有種排法；由分步計(jì)數(shù)原理知，共有不同的排法種數(shù)為.8．A【詳解】由已知有，即，即，因?yàn)椋?，，易知在上單調(diào)遞增，因，所以，故，即.以，令，可得，又因在上小于零，故y在單調(diào)遞減，在上大于零，故y在單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，y取極小值也是最小值為e.故選：A9．ABD【詳解】對(duì)于A：∵，，.∴，.當(dāng)且僅當(dāng)，即，，取“”，∴A正確；對(duì)于B：，由（1）知，∴.∴.∴B正確；對(duì)于C：.∴，∴C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，當(dāng)且僅當(dāng)，即，取“”，∴D正確.故選：ABD.10．ABD【詳解】指標(biāo)值的樣本頻率是，指標(biāo)值在區(qū)間的產(chǎn)品約有件，A正確；抽取的產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：，，BD正確；由直方圖得，從第一組至第七組的頻率依次是0.02，0.09，0.22，0.33，0.24，0.08，0.02，所以指標(biāo)值的第60百分位數(shù)m在內(nèi)，，解得，C錯(cuò)誤.11．ABD【詳解】對(duì)A，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以是奇函數(shù)，所以，又，以，故A對(duì)；對(duì)B，由，，得，所以，所以，，又，所以是周期為4的函數(shù)，也是周期為4的函數(shù)，所以，故B對(duì)；對(duì)C，在上嚴(yán)格增，在上嚴(yán)格減，由，的圖象關(guān)于對(duì)稱且，由A可得，故在上嚴(yán)格增，在上嚴(yán)格減，可知在嚴(yán)格遞減，在嚴(yán)格遞增，又的周期為4，所以在嚴(yán)格遞增，所以在嚴(yán)格遞減，在嚴(yán)格遞減，又，所以0是的極大值點(diǎn)，是周期為4的函數(shù)，所以則的極大值點(diǎn)為，故C錯(cuò)；對(duì)D，若為偶函數(shù)，由于是奇函數(shù)，，則，即，所以，，所以唯一，不唯一，故D對(duì).故選：ABD.12．0.15865【詳解】由于服從正態(tài)分布，故正態(tài)曲線的對(duì)稱軸為直線．所以，故．故答案為：0.1586513．【詳解】令，則，所以．因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，所以，所以，所以，，14．【詳解】設(shè)，，由可得.要使得函數(shù)至少有個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn)，則，解得或.①當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)、的圖象如下圖所示：此時(shí)函數(shù)只有兩個(gè)零點(diǎn)，不合乎題意；②當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為、，要使得函數(shù)至少有個(gè)零點(diǎn)，則，所以，，解得；③當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)、的圖象如下圖所示：由圖可知，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，合乎題意；④當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為、，要使得函數(shù)至少有個(gè)零點(diǎn)，則，可得，解得，此時(shí).綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.15．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?,+∞，則，……..2分當(dāng)時(shí)，f'x<0，當(dāng)時(shí)，f'x>0，則在0,1所以有極小值，無極大值………………..6分（2）因?yàn)楹愠闪?，得，，……………?.8分令，，求導(dǎo)的，當(dāng),,當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上遞減，在上遞增，………………..11分因此，則a≤-1e，所以的取值范圍a≤-116．【詳解】（1）依題意，，……..4分（列式對(duì)了給2分，算出1.6再得2分，若算出1.5或者1.7的第一問總體扣2分，其他值不給分.），所以y關(guān)于x的線性回歸方程為.……………7分（2）依題意，報(bào)廢機(jī)核心零件中保養(yǎng)過的有臺(tái)，未保養(yǎng)的有臺(tái)，………8分則列聯(lián)表如下：保養(yǎng)未保養(yǎng)合計(jì)報(bào)廢61420未報(bào)廢542680合計(jì)6040100………………10分零假設(shè)：核心零件是否報(bào)廢與保養(yǎng)無關(guān)，則，…………14分（式子列對(duì)得2分，算對(duì)得2分）根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即認(rèn)為核心零件報(bào)廢與是否保養(yǎng)有關(guān)，此推斷的錯(cuò)誤概率不大于0.01.…………15分17．【詳解】（1）設(shè)第局甲勝為事件，則第局乙勝為事件，其中則“第3局甲開球”為事件，.…6分（2）依題意，…………7分，，，，……………………11分（每個(gè)1分）的分布列為1234…………………13分則……………………..15分18．【詳解】（1），，.………………..2分，∴切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1+e),∴函數(shù)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程為,即,…………..4分切線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)分別為,……………..6分∴所求三角形面積為．…………………..7分（2）［方法一］：通性通法,，且.……………..9分設(shè),則…………………..10分∴g(x)在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，……..11分當(dāng)時(shí)，,∴,∴成立.當(dāng)時(shí)，，，,∴存在唯一，使得，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，……………………..14分因此>1,∴∴恒成立；當(dāng)時(shí)，∴不是恒成立.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1,+∞).……………………..17分［方法二］【最優(yōu)解】：同構(gòu)由得，即，而，所以．令，則，所以在R上單調(diào)遞增．由，可知，所以，所以．令，則．所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．所以，則，即．所以a的取值范圍為．［方法三］：換元同構(gòu)由題意知，令，所以，所以．于是．由于，而在時(shí)為增函數(shù)，故，即，分離參數(shù)后有．令，所以．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．所以當(dāng)時(shí)，取得最大值為．所以．［方法四］：因?yàn)槎x域?yàn)?，且，所以，即．令，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．因?yàn)?，所以時(shí)，有，即．下面證明當(dāng)時(shí)，恒成立．令，只需證當(dāng)時(shí)，恒成立．因?yàn)?，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則．因此要證明時(shí)，恒成立，只需證明即可．由，得．上面兩個(gè)不等式兩邊相加可得，故時(shí)，恒成立．當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，顯然不滿足恒成立．所以a的取值范圍為．19.【詳解】（1）根據(jù)題意，，，，，，，．…………………3分（算對(duì)兩個(gè)得1分）（2）由已知，m，n均為奇數(shù)，不妨設(shè)．當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，故；………?分（猜對(duì)但是沒證明的